Tối ưu hàm d.c và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





VŨ BÁ NAM




Tối ưu d.c và ứng dụng





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





VŨ BÁ NAM



Tối ưu d.c và ứng dụng

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số 60.46.36.

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH LÊ DŨNG MƯU
















THÁI NGUYÊN - 2010



Th¸i Nguyªn - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
&
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X

∗
X
R
n
n
∅
x := y x y
∀y y
∃x x
I
A ∩ B A B
A ∪ B A B
A
T
A
A
∗
A
inf
x∈X
F (x) {F (x) : x ∈ X}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
C ⊆ R
n
x
1
, x
2
∈ C
λ ∈ [0, 1] λx

1
+ (1 − λ)x
2
∈ C.
f C ⊆ R
n
x
1
, x
2
∈ C λ ∈ [0, 1]
f

λx
1
+ (1 − λ)x
2

≤ λf (x
1
) + (1 − λ)f (x
2
).
f C
f (λx
1
+ (1 − λ)x
2
) < λf (x
1

) + (1 − λ)f (x
2
),
x
1
, x
2
∈ C, x
1
= x
2
λ ∈ (0, 1)
f dom f = {x ∈ C | f (x) < +∞}
f C
(a) C = int(domf) = ∅
(b) f C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(c) lim
k→∞
  f(x
k
) = +∞ {x
k
} C
ρ > 0 C R
n
θ : C −→ R ∪ {+∞}
ρ−
θ[λx + (1 − λ)x


] ≤ λθ(x) + (1 − λ)θ(x

) −
λ(1 − λ)
2
ρx − x


2
,
∀λ ∈ [0, 1] ∀x, x

∈ C
ρ(θ, C) = sup {ρ ≥ 0 : θ − (ρ/2).
2
C }.
θ C (ρ, C) > 0
f : C −→ R ∪ {+∞}
R
n
f (x) = +∞, ∀x /∈ domf
f R
n
C ⊂ R
n
d.c C x ∈ C, f
f (x) = g(x) − h(x),
g, h C
f g h
f

R
n
f : R
n
−→ R
x
0
∈ R
n
B(x
0
, ) = {x ∈ R
n
: x − x
0
≤ },  > 0
f B(x
0
, ε)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) = f(x
1
, x
2
) = x
2
1
− 2x
1
x

2
+ 3x
2
2
−

x
2
1
+ x
2
2
.
g(x) = x
2
1
− 2x
1
x
2
+ 3x
2
2
,
h(x) =

x
2
1
+ x

2
2
= x  .
g(x) =


2x
1
−2x
2
−2x
1
6x
2
.



2
g(x) =


2 −2
−2 6


.
g(x) 
2
g(x) x g(x)

h(x) = x  f
f
i
, (i = 1, 2, , m)
(i)

m
i=1
λ
i
f
i
(x) λ
i
(i = 1, 2, , m)
(ii) max
i=1,2, ,m
f
i
(x) min
i=1,2, ,m
f
i
(x)
(iii) | f (x) |,
f
+
(x) := max{0, f (x)},
f
−

(x) := min{0, f }
(iv) Π
m
i=1
f
i
(x)
f
i
, (i = 1, 2, , m)
g
i
h
i
(i = 1, 2, , m)
f
i
= g
i
− h
i
, (i = 1, 2, , m).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
λ
i
∈ R I
1
i, i = 1, 2, , m λ
i
> 0 I

2
i, i = 1, 2, , m λ
i
< 0
m

i=1
λ
i
f
i
(x) =
m

i=1
λ
i

g
i
(x) − h
i
(x)

=
m

i=1
λ
i

g
i
(x) −
m

i=1
λ
i
h
i
(x)
=


i∈I
1
λ
i
g
i
(x) +

i∈I
2
(−λ
i
)h
i
(x)


−


i∈I
2
(−λ
i
)g
i
(x) +

i∈I
1
λ
i
h
i
(x)

.
g
i
h
i
(i = 1, 2, . . . , m)


i∈I
1
λ

i
g
i
(x) +

i∈I
2
(−λ
i
)h
i
(x)



i∈I
2
(−λ
i
)g
i
(x) +

i∈I
1
λ
i
h
i
(x)



m
i=1
λ
i
f
i
(x)
f
i
d.c (i = 1, 2, . . . , m) g
i
(x), h
i
(x)
(i = 1, 2, . . . , m) i f
i
= g
i
− h
i
. i
(i = 1, 2, . . . , m)
f
i
= g
i
+
m


j=1
j=i
h
j
−
m

j=1
h
j
.
max
(i=1,2, ,m)
f
i
= max
(i=1,2, ,m)

g
i
+
m

j=1
j=i
h
j

−

m

j=1
h
i
.
max
(i=1,2, ,m)

g
i
+

m
j=1
j=i
h
i


m
j=i
h
j
max
(i=1,2, ,m)
f
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
min

(i=1,2, ,m)
f
i
f g h f = g − h
| f |= 2 max{g, h} − (g + h).
2 max{g, h} (g + h) | f |
f
+
(x) = max{0, f (x)},
f
−
(x) = min{0, f (x)}.
(ii) f
+
(x) f
−
(x)
f
i
= f
+
i
+ f
−
i
, (i = 1, 2, . . . , m)
g
i
, h
i

(i = 1, 2, . . . , m) i f
i
= g
i
− h
i
m = 2
f
1
.f
2
= (g
1
− h
1
)(g
2
− h
2
)
=
1
2
[(h
1
+ h
2
)
2
+ (g

1
+ g
2
)
2
]
−
1
2
[(g
1
+ h
2
)
2
+ (g
2
+ h
1
)
2
].
1
2
[(h
1
+ h
2
)
2

+ (g
1
+ g
2
)
2
]
1
2
[(g
1
+ h
2
)
2
+ (g
2
+ h
1
)
2
]
f
1
.f
2
Π
m
(i=1)
f (x) ✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f (x) f ∈ C
2
Ω ⊂ R
n
.
g(x) = f (x) + ρ  x 
2
ρ
g(x) g(x) ρ
∇
2
g(x)  0 x
u, ∇
2
g(x)u = u, ∇
2
f(x)u + ρ  u 
2
.
∇
2
g(x)  0 u, ∇
2
g(x)u ≥ 0 u, u, ∇
2
f(x)u+
ρ  u 
2
≥ 0 u  u = 1 ρ ρ ≥

−u, ∇
2
f(x)u u  u = 1 x ∈ Ω,
ρ ≥ − min{u, ∇
2
f(x)u : x ∈ Ω;  u = 1}.
ρ
min{u, ∇
2
f(x)u : x ∈ Ω;  u = 1} > −∞
Ω ρ g(x)
f(x) = g(x) − ρ  x 
2
f(x)
✷
f : R
n
−→ R g : R −→ R
g ◦ f
x
0
∈ R
n
y
0
x
0
f y
0
= f (x

0
) g(y)
B(y
0
, 
0
) y
0
g(y) = sup
i∈I
(a
i
y + b
i
), y ∈ B(y
0
, 
0
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
i
, b
i
∈ R, i ∈ I I
s = sup
i∈I
max{a
i
, b

i
} < ∞.
f (x) = g(x) − h(x),
g, h B(x
0
, 
1
)
f (B(x
0
, 
1
)) ⊆ B(y
0
, 
0
).
x ∈ B(x
0
, 
1
)
a
i
f (x) + b
i
= b
i
+ a
i

g(x) − a
i
h(x)
= [b
i
+ (s + a
i
)g(x) + (s − a
i
)h(x)] − s

g(x) + h(x)

= ˜g
i
(x) +
˜
h(x),
˜g
i
˜
h
˜
h(x) = s

g(x) + h(x)

i
g(f (x)) = sup
i∈I

(˜g
i
(x) −
˜
h(x)) = sup
i∈I
˜g
i
(x) −
˜
h(x) = ˜g −
˜
h.
˜g g ◦ f
✷
M R
n
d
2
M(x)
d
M
:R
n
−→ R
x −→ inf { y − x : y ∈ M}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
d
2
M

(x) = inf { y − x 
2
: y ∈ M}
= x 
2
+ inf {−  x 
2
+  y − x 
2
: y ∈ M}
= x 
2
− sup{ x 
2
−  y − x 
2
: y ∈ M}
= x 
2
− sup{2x
T
y−  y 
2
: y ∈ M}.
h(x) = sup{2x
T
y−  y 
2
: y ∈ M}
g(x) = x 

2
d
2
M(x)
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X = R
n
·, ·
Y X X Γ
0
(X)
X
(P ) α = inf{f(x) := g(x) − h(x) : x ∈ X},
g h Γ
0
(X)
x
∗
g − h
g(x
∗
) − h(x
∗
)
x
∗
∈ dom g ∩ dom h
U x
∗

g(x
∗
) − h(x
∗
) ≤ g(x) − h(x), ∀x ∈ U.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
∗
g − h g(x
∗
) − h(x
∗
)
g(x) − h(x) ≥ g(x
∗
) − h(x
∗
),
x ∈

U ∩ (dom h)

.
x
∗
g − h
∂g(x
∗
) ∩ ∂h(x
∗

) = φ.
g ∈ Γ
0
(X) g
g
∗
(y) = sup {x, y − g(x) : x ∈ X}.
x
0
∈ dom g  > 0  g x
0
∂

g(x
0
) = {y ∈ Y : g(x) ≥ g(x
0
) + x − x
0
, y − , ∀x ∈ X}.
d.c
(P ) α = inf {f (x) := g(x) − h(x) : x ∈ X},
g, h ∈ Γ
0
(X)
(D) α = inf {h
∗
(y) − g
∗
(y) : y ∈ Y }.

(P ) α = inf {f (x) = g(x) − h(x) : x ∈ X},
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
g, h ∈ Γ
0
(X)
α = inf {g(x) − h(x) : x ∈ X}
= inf {g(x) − sup {x, y − h
∗
(y) : y ∈ Y } : x ∈ X}
= inf {β(y) : y ∈ Y },
(P
y
) β(y) = inf {g(x) −

x, y − h
∗
(y)

: x ∈ X}.
β(y) =



h
∗
(y) − g
∗
(y) y ∈ dom h
∗
+∞ .

α = inf {h
∗
(y) − g
∗
(y) : y ∈ dom h
∗
}.
β(y) (P )
(D) α = inf {h
∗
(y) − g
∗
(y) : y ∈ Y }. ✷
α dom g ⊂ dom h dom h
∗
⊂ dom g
∗
P D
(P) (D)
P
l
= {x
∗
∈ X : ∂h(x
∗
) ⊂ ∂g(x
∗
)}
D
l

= {y
∗
∈ Y : ∂g
∗
(y
∗
) ⊂ ∂h
∗
(y
∗
)}.
x ∈ P ∂

h(x) ⊂ ∂

g(x) ∀ > 0
y ∈ D ∂

g
∗
(y) ⊂ ∂

h
∗
(y) ∀ > 0
∪{∂h(x) : x ∈ P} ⊂ D ⊂ dom h
∗
∪{∂g
∗
(y) : y ∈ D} ⊂ P ⊂ dom g

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
∗
g − h x
∗
∈ P
l
x
∗
g − h y
∗
∈ ∂g(x
∗
) ∩ ∂h(x
∗
)
U x
∗
U ∩ dom g ⊂ dom ∂h.
x ∈ U ∩ dom g y ∈ ∂h(x)
h
∗
(y) − g
∗
(y) ≥ h
∗
(y
∗
) − g
∗

(y
∗
)
x
∗
g − h
g(x) − h(x) ≥ g(x
∗
) − h(x
∗
), ∀x ∈ U ∩ dom g.
x
∗
g − h x
∗
∈ P
l
x
∗
g − h U
x
∗
g(x) − g(x
∗
) ≥ h(x) − h(x
∗
), ∀x ∈ U ∩ dom g.
y
∗
∈ ∂h(x

∗
)
g(x) − g(x
∗
) ≥ x − x
∗
, y
∗

x ∈ U ∩ dom g
g y
∗
∈ ∂g(x
∗
) x
∗
∈ P
l
y
∗
∈ ∂g(x
∗
) ∩ ∂h(x
∗
),
g(x
∗
) + g
∗
(y

∗
) = x
∗
, y
∗
 = h(x
∗
) + h
∗
(y
∗
).
g(x
∗
) − h(x
∗
) = h
∗
(y
∗
) − g
∗
(y
∗
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x U ∩dom g y ∈ ∂h(x)
h
∗
(y) − g

∗
(y) ≥ h
∗
(y
∗
) − g
∗
(y
∗
).
h(x) + h
∗
(y) = x, y ≤ g(x) + g
∗
(y).
g(x) − h(x) ≥ h
∗
(y) − g
∗
(y).
g(x) − h(x) ≥ h
∗
(y) − g
∗
(y), ∀x ∈ U ∩ dom g
x
∗
g − h ✷
x
∗

U
∂h(x) ∩ ∂g(x
∗
) = ∅, x ∈ U ∩ dom g.
x
∗
g − h
g(x) − h(x) ≥ g(x
∗
) − h(x
∗
), ∀x ∈ U ∩ dom g.
x ∈ U ∩ dom g x
∗
U
∂h(x) ∩ ∂g(x
∗
) = ∅ y ∈ ∂h(x) ∩ ∂g(x
∗
)
y ∈ ∂h(x)
h(x) + h
∗
(y) = x, y ≤ g(x) + g
∗
(y).
g(x) − h(x) ≥ h
∗
(y) − g
∗

(y).
y ∈ ∂g(x
∗
)
g(x
∗
) + g
∗
(y) = x
∗
, y ≤ h(x
∗
) + h
∗
(y).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
h
∗
(y) − g
∗
(y) ≥ g(x
∗
) − h(x
∗
).
y
∗
∈ ∂h(x
∗
) ∩ ∂g(x

∗
)
g(x
∗
) + g
∗
(y
∗
) = x
∗
, y
∗
 = h(x
∗
) + h
∗
(y
∗
).
g(x
∗
) − h(x
∗
) = h
∗
(y
∗
) − g
∗
(y

∗
).
x
∗
g − h
g(x) − h(x) ≥ g(x
∗
) − h(x
∗
), x ∈ U ∩ dom g. ✷
x
∗
∈ int(dom h)
∂h(x
∗
) ⊂ int

∂g(x
∗
)

x
∗
g − h
∂h x
∗
∈ int(dom h)
O ∂h(x
∗
) U x

∗
∂h(x) ⊂ O
x ∈ U
O = int

∂g(x
∗
)

∂h(x) ∩ ∂g(x
∗
) = ∅
x
∗
g − h
V = U ∩ int(dom h) x ∈ V ∂h(x)
x ∈ V (x) > 0
∂h(x) + (x)B ⊂ O,
B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x ∈ V \ {x
∗
} y ∈ ∂h(x)
g(x) − g(x
∗
) ≥ x − x
∗
, y +
(x)
x − x

∗

(x − x
∗
)
= (x)x − x
∗
 + x − x
∗
, y
≥ (x)x − x
∗
 + h(x) − h(x
∗
).
g(x) − h(x) ≥ (x)x − x
∗
 + g(x
∗
) − h(x
∗
).
x
∗
g − h ✷
x
∗
∈ dom ∂h g − h
y
∗

∈ ∂h(x
∗
) x U
g(x) − h(x) ≥ g(x
∗
) − h(x
∗
), x ∈ U ∩ dom g.
y
∗
∈ int(dom g
∗
) ∂g
∗
(y
∗
) ⊂ U y
∗
h
∗
− g
∗

x
∗
∈ X

S (x
∗
)


inf{h
∗
(y) − g
∗
(y) : y ∈ ∂h(x
∗
)}.
inf{x
∗
, y − g
∗
(y) : y ∈ ∂h(x
∗
)}.
y
∗
∈ Y

T (y
∗
)

inf{g(x) − h(x) : x ∈ ∂g
∗
(y
∗
)}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
inf{x, y

∗
 − h(x) : x ∈ ∂g
∗
(y
∗
)}.
S(x
∗
), T (y
∗
)

S (x
∗
)
 
T (y
∗
)

.
(P ) (D)
x
0
∈ dom g {x
k
}
{y
k
}

y
k
∈ S(x
k
); x
k+1
∈ T (y
k
).

{x
k
} {y
k
}
(g − h)(x
k
) (h
∗
− g
∗
)(y
k
)
x
∗
y
∗
{x
k

} {y
k
}
g − h (h
∗
− g
∗
)
x
0
∈ dom g
{x
k
} {y
k
}
y
k
∈ ∂h(x
k
); x
k+1
∈ ∂g
∗
(y
k
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
k
x

k
∈ ∂g
∗
(y
k−1
) → y
k
∈ ∂h(x
k
)
= {h
∗
(y) − [g
∗
(y
k−1
)
+ x
k
, y − y
k−1
] : y ∈ Y }, (D
k
)
y
k
∈ ∂h(x
k
) → x
k+1

∈ ∂g
∗
(y
k
)
= {g(x) − [h(x
k
)
+ x − x
k
, y
k
] : x ∈ X}. (P
k
)
{x
k
} {y
k
} x
0
∈ dom g
{x
k
} ⊂ range ∂g
∗
= dom ∂g
{y
k
} ⊂ range ∂h = dom ∂h

∗
.
(D
k
) (P
k
)
{x
k
} {y
k
}
dom ∂g ⊂ dom ∂h dom ∂h
∗
⊂ dom ∂g
∗
.
f = g − h
f = (g + θ) − (h + θ), θ ∈ Γ
0
(X)
X d.c
f

ρ
i
ρ
∗
i
(i = 1, 2)

0 ≤ ρ
i
< ρ

f
i

,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ρ
i
= 0 ρ(f
i
) = 0 ρ
i
ρ(f
i
)
0 ≤ ρ
∗
i
< ρ

f
∗
i

ρ
∗
i

= 0 ρ(f
∗
i
) = 0 ρ
∗
i
ρ(f
∗
i
)
f
1
= g;
f
2
= h;
dx
k
:= x
k+1
− x
k
;
dy
k
:= y
k+1
− y
k
.

{x
k
} {y
k
}
(P
k
) (D
k
)
(g − h)(x
k+1
) ≤ (h
∗
− g
∗
)(y
k
) − max{
ρ
2
2
 dx
k

2
,
ρ
∗
2

2
 dy
k

2
}
≤ (g − h)(x
k
) − max{
ρ
1
+ ρ
2
2
 dx
k

2
,
ρ
∗
1
2
 dy
k−1

2
+
ρ
2

2
 dx
k

2
,
ρ
∗
1
2
 dy
k−1

2
+
ρ
∗
2
2
 dy
k

2
}.
(g − h)(x
k+1
) = (g − h)(x
k
)
x

k
∈ ∂g
∗
(y
k
), y
k
∈ ∂h(x
k+1
)
(ρ
1
+ ρ
2
)dx
k
= ρ
∗
1
dy
k−1
= ρ
∗
2
dy
k
= 0.
• (g −h)(x
k+1
) = (h

∗
−g
∗
)(y
k
) x
k
x
k+1
g −h
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
y
k
∈

∂g(x
k
) ∩ ∂h(x
k
)

y
k
∈

∂g(x
k+1
) ∩ ∂h(x
k+1
)


,
• y
k
h
∗
− g
∗
[x
k
, x
k+1
] ⊂

(∂g
∗
(y
k
) ∩ ∂h
∗
(y
k
))

,
• x
k+1
= x
k
ρ(g) + ρ(h) > 0

y
k
= y
k−1
ρ(g
∗
) > 0
y
k
= y
k+1
ρ(h
∗
) > 0
(h
∗
− g
∗
)(y
k+1
) ≤ (g − h)(x
k+1
) − max{
ρ
1
2
 dx
k+1

2

,
ρ
∗
1
2
 dy
k

2
}
≤ (h
∗
− g
∗
)(y
k
) − max{
ρ
1
2
 dx
k+1

2
+
ρ
2
2
 dx
k


2
,
ρ
∗
1
2
 dy
k

2
+
ρ
2
2
 dx
k

2
,
ρ
∗
1
+ ρ
∗
2
2
 dy
k


2
}.
(h
∗
− g
∗
)(y
k+1
) = (h
∗
− g
∗
)(y
k
)
x
k+1
∈ ∂g
∗
(y
k+1
), y
k
∈ ∂h(x
k+1
)
(ρ
∗
1
+ ρ

∗
2
)dy
k
= ρ
2
dx
k
= ρ
1
dx
k+1
= 0.
• (h
∗
− g
∗
)(y
k+1
) = (g − h)(x
k+1
) y
k
, y
k+1
(h
∗
− g
∗
)

x
k+1
∈

∂g
∗
(y
k
) ∩ ∂h
∗
(y
k
)

x
k+1
∈

∂g
∗
(y
k+1
) ∩ ∂h
∗
(y
k+1
)

,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên