Cac ham dac biet trong Vat ly.doc

Các hàm đặc biệt trong Vật Lý
I.Các công thức mở rộng.
Qui tắc tính đạo hàm bậc n của một tích- tổng…
a.
( )
( ) ( )
n
(n)
i n j
n
j
n
j 0
n
d
f g (f.g) C f .g
dx
−
=
= =
∑
o
(1.1)
b.
( )
n
n
j j j n j
n
j 0
(a b) ( 1) C a b

−
=
± = ±
∑
( Nhị thức Newton) (1.2)
c.
n n 1
n
(n 1)
(n) j j (n j) 0 1
(x) n (x) n n
(x)
n n 1
j 0
d d
(x.f ) C x f C .x C x 'f x. f n. f
dx dx
−
−
−
−
=
= = + = +
∑
(1.3)
d.
( )
( )
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
n
n
n j n j
x k x k j x k
n
n
j 0
n
j
j x (k n j)
n
j o
k
j
j x j
n
j 0
d
e .x e .x C . e . x
dx
k!
1 . C e .x where k n
k n j !
k!
1 . .C e .x where k n

j!
−
− − −
=
− − +
=
−
−
= =

− ≠

− +

=


− =


∑
∑
∑
(1.4)
ở đây chú ý:
k (n) k (n 1) k 1 (n 1) (k n)
(k n)
(x ) ((x )') k.(x ) ... k(k 1)...(k n 1)x
k!
x

(k n)!
− − − −
−
= = = = − − +
=
−
(1.4a)
tương tự:
( )
n
x n x
(e ) ... ( 1) .e
− −
= = −
(1.4b)
e. Nếu đặt
( )
k
x x k (k) x x k
k
k
d
e .(e .x ) L (x) e . e x
dx
− −
= =
(1.5a)
và:
( )
( )

j j k
( j)
x x k
k
k
j j k
d d d
L (x) L (x) e . e .x
dx dx dx
−
 
= =
 
 
 
(1.5b)
từ (1.4) ta có:

( ) ( ) ( )
( )
( )
j
k k k
i j i j
j
i i i i i i i
n n j
k
j
i 0 i 0 i 0

i j
k
i j
j
i i
n
k
i j
k j
i j
i j i
k
i 0
d k! k! k!
L (x) ( 1) . C x ( 1) C (x ) ( 1) x .C
i! i! (i j)!
dx
vi : x 0 i j,cho nen :
k!
L (x) ( 1) C .x
(i j)!
k!
( 1) C .x
i!
−
= = =
−
−
=
−

+
+
=
= − = − = −
−
= ⇔ ≤ −
= −
−
= −
∑ ∑ ∑
∑
∑
(1.5)
k
L
và
j
k
L
là các đa thức của x
II. Đa thức Hermit.
Xét hàm số: y =
2
x
A.e
−
Có nghiệm dạng: y’ + 2xy = 0 (2.1)
Đạo hàm (n+1) lần hai vế của phương trình này chú ý đến (1.3) và đặt
( )
n

2
n
x
n
d
v(x) y A. (e )
dx
−
= =
, ta có:
v" 2xv' 2(n 1)v 0+ + + =
(2.2)
Đặt:
2
x
v(x) e .u(x)
−
=
thay vào (2.2), ta được:
u" 2xu' 2xu 0− + =
(2.3)
Tương tự, ta có:
n
2 2 2
x x x
n
d
u e .v e .A. (e )
dx
−

= =
, trong đó A là hằng số tùy ý.
Đặt
n
A ( 1)= −
ta có:
n
2 2
n x x
n
n
d
u ( 1) e . (e ) H (x)
dx
−
= − =
n
H (x)
là đa thưc Hermite bậc n, là nghiệm của phương trình (2.3):
" '
n n n
H (x) 2xH (x) 2xH (x) 0− + =
, và chẵn lẻ cùng với n.
Các dạng đặc biệt:
0
H (x) 1=
1
H (x) 2n=
2
2

H (x) 4x 2= −
3
3
H (x) 8x 12x= −
Một số công thức suy biến:
1.
n n 1 n 1
1
x.H (x) n.H (x) .H (x)
2
− +
= +
4 2
4
H (x) 16x 48x 12= − +
2.
n n 1
d
H (x) 2x.H (x)
dx
−
=
3.
n 1 n 2 n
1
x.H (x) (n 1)H H
2
− −
= − +
4.

n 1 n n 2
1
x.H (n 1).H H
2
+ +
= + +
5.
n 1 n 2
d
H 2(n 1)H
dx
− −
= −
6.
n 1 n
d
H 2(n 1)H
dx
+
= +
7.
2
n n 1 n 2
2
d d
H 2n H 4n(n 1)H
dx
dx
− −
= = −

Công thức chuẩn hóa:
2
x 2
n
H e .H (x)dx
+∞
−
−∞
=
∫
với
n
2 2
n x x
n
n
d
H (x) ( 1) e e
dx
−
= −
n
2
n x
n
n
d
H ( 1) . H e dx
dx
+∞

−
−∞
⇒ = −
∫
=…=
n
2 .n!. π
Tính tích phân:
n
2
x
n
n
d
I H (x) e dx
dx
∞
−
−∞
=
∫
Tích phân từng phần ta có:
n 1 n 1
2 2
x x
n n
n 1 n 1
d d d
I H (x). e H . e dx
dx

dx dx
∞
− −
∞
− −
− −
−∞
−∞
= −
∫
, số hạng đứng trước tích phân bằng 0 vì tỉ lệ với
2
x
e
−
. Tiếp tục tính tích phân phân đoạn (n-1)
lần nữa và chú ý là các số hạng đứng trước tích phân đều bằng 0 vì
2
x
e
−
≈
n
2
n x
n
n
d
I ( 1) e H (x)dx
dx

∞
−
−∞
= −
∫
, chú ý đến (2.4):
( ) ( ) ( )
( )
( )
n n n
n
n n 1 n
n n n
n
n n n
d d n(n 1) d
H (x) 2x 2x ... 2x 2 x 2 .n!
1!
dx dx dx
−
−
 
= − + = = =
 
 
( )
2
n
n x n
H 1 I 2 n! e dx 2 .n!.

∞
−
−∞
= − = = π
∫
(
2
x
0
I e dx
∞
−
−∞
= = π
∫
là tích phân Poisson)
Chú ý: Nếu :
2
x
n m
e H H dx 0
+∞
−
−∞
=
∫
thì Hn và Hm trực giao.
III. Đa thức Legendre. Hàm điều hòa cầu
xét hàm số:
2 l

(x)
y A.(x 1)= −

( A = const, l nguyên dương)
Là nghiệm tổng quát của phương trình:
2
(1 x ).y' 2lxy 0− + =
(
l N \ 0∈
) (3.1)
Đạo hàm (l+1) lần hai vế của (3.1), chú ý rằng:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
l 1
l 1
j
l 2 j l 2 l 1 l
j
2 2 2
l 1
l 1
j 0
d
1 x .y' C 1 x .y (1 x )y l 1 2x .y l l 1 y
dx

+
+
+ − + +
+
+
=
 
− = − = − + + − − +
 
∑
, để ý đến (1.3) và nếu đặt
( )
l
v y=
ta sẽ có:
( )
2
1 x v" 2xv ' l(l 1)v 0− − + + =
(3.2)
Nếu chọn:
l
1
A
2 l!
=
thì:
( )
l
l
2

l
l l
1 d
v(x) x 1 P (x)
2 l! dx
= − =
l
P (x)
Hay: gọi là đa thức Legendre thỏa mãn phương trình (3.2):
( )
2 " '
l l l
1 x P (x) 2xP (x) l(l 1)P (x) 0− − + + =
(3.2a)
Đạo hàm phương trình (3.2a)
m
lần, chú ý đến (1.1) và (1.3)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
m m
m
2
l
l l
2

d d
1 x P (x) 2 m 1 x P (x) l m (l m 1)P (x) 0
dx
dx
− − + + − + + =
(3.3)
Kí hiệu:
( )
( )
m
m
m
2
2
l
l
m
d
P (x) P (x) u(x). 1 x
dx
−
= = −
(3.4)
Thay (3.4) vào (3.3)
( )
( )
2
2
2
m

1 x u" 2xu ' l l 1 u 0
1 x
 
− − + + − =
 
−
 
 
(3.5)
( )
m
m
2 m
2
l l
m
d
u(x) 1 x . P (x) P (x)
dx
= − =
gọi là đa thức Legendre biến đổi, thỏa mãn
phương trình (3.5):
( ) ( ) ( )
( )
2
2 m m m
l l l
2
m
1 x P (x) " 2x P (x) ' l l 1 P (x) 0

1 x
 
− − + + − =
 
−
 
 
, trong khoảng
1 x 1
− ≤ ≤
Chứng minh tính trực chuẩn của
m
l
P (x)
:
Vì
( ) ( )
'
" '
2 m 2 m m
l l l
d
1 x P (x) 1 x P (x) 2x. P (x)
dx
 
   
− = − −
 
   
 

cho nên từ (3.5) ta suy ra:
( )
( )
2
2 m m
l l
2
d d m
1 x P (x) l l 1 P 0
dx dx
1 x
 
 
− + + − =
 
 
 
−
 
 
(3.6)
( )
( )
2
2 m m
l' l'
2
d d m
1 x P (x) l' l' 1 P 0
dx dx

1 x
 
 
− + + − =
 
 
 
−
 
 
(3.7)
Nhân (3.6) với
m
l'
P
và (3.7) với
m
l
P
, lấy kết quả trừ đi nhau:
( )
( )
2 m m m m m m
l l' l' l l l'
d
1 x (P' P P' P ) l l 1 l'(l' 1) P P 0
dx
 
− − + + − + =
 

 
 
Tính tích phân vế trái ta sẽ có:
( )
( )
1
2 m m m m 1 m m
l l' l ' l 1 l l'
1
1 x (P' P P' P ) l l 1 l'(l ' 1) P P dx
+
+
−
−
 
− − + + − + =
 
 
 
∫
( )
1
m m
l l'
1
l l 1 l'(l' 1) P P dx 0
+
−
= + − + =
 

 
∫
, nếu l l'≠ thì suy ra tính trực giao.
Bài toán: hãy chuẩn hóa hàm
m
l
P
bằng tích phân:
1
m m m
l l l'
1
I P P dx
+
−
=
∫
(3.8)
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
'
1 1
'
m m
m 1 m m 1 m
m 2 m m 2 1 2

l l l' 1
l l l l
1 1
I 1 x P P dx P 1 x P P 1 x P (x) dx
+ +
− −
+
−
− −
 
 
= − = − − −
 
 
 
 
∫ ∫

(3.9)
Số hạng đứng trước tích phân trong (3.9) tỉ lệ với
( )
2
1 x−
do đó bằng 0
( )
m 1≥
. Nếu m=0 thì
số hạng đó lại tỉ lệ
( )
2

l 1 l
1 x P P
−
−
với
( )
l 1≥
do đó cũng bằng 0.
Hơn nữa từ phương trình (3.3) chuyển
m m 1→ +
, ta có thể viết lại:
( )
( )
( )
m 1 m m 1
m
2
l l
l
m 1 m m 1
d d d
1 x P (x) 2mx P (x) l m (l m 1) P (x) 0
dx dx dx
+ −
+ −
− − + + − + =
(3.3’)
, nhân 2 vế kết quả này với
( )
m 1

2
1 x
−
−
và chú ý rằng
( ) ( )
( )
m
m m
m 1
2 2 m 1 m
l l l
m
d d
1 x P (x) 1 x P (x) 2mx 1 x . P (x)
dx
dx
−
+
 
   
− = − − −
 
   
 
 
Ta có: