chuyên đề toán đại số 12: hàm số pot

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 1

Thân gửi những học trò thương!

Năm học mới đã đến kèm theo đó là sự bận rộn của các bạn trong việc học
chính tại trường và học thêm nâng cao nên đã không còn có thời gian đến
học nhóm nữa. Thầy đã thực sự không còn có thể giúp được các bạn nhiều
trong việc học tập, tuy vậy thầy vẫn muốn theo sát quá trình học tập của
các bạn tại lớp, tại trường. Thời gian vừa qua thầy đã tìm kiếm được một
số vấn đề về khảo sát hàm số. Rất muốn chia sẻ cùng các bạn. Với mỗi
chuyên đề sau này thầy cung cấp là những phương pháp giải không có
trong SGK, SBT, các bài tập đều là những dạng đề thi ĐH các năm về
trước. Thầy nghĩ rằng việc học sát với các dạng đề thi sẽ giúp các bạn có
thể nắm được dạng đề toán thi TN và ĐH. Thầy rất mong ngoài kiến thức
SGK; SBT và kiến thức các thầy cô giáo trên trường dạy, các bạn có thể
tranh thủ làm những dạng bài của thầy để nâng cao thêm tầm kiến thức, và
rất mong các bạn sẽ đón nhận chuyên đề này và những chuyên đề khác
nữa. Mong các bạn góp ý và bổ sung nhưng thiếu sót về mặt kiến thức
cũng như phương pháp giải. Trong quá trình học với từng chuyên đề,
những phần các bạn không hiểu hay thắc mắc có thể liên hệ trực tiếp với
thầy. Nếu còn ngại thì viết tên bài/số trang và chuyển tới Hưng, thầy sẽ cố
gắng hướng dẫn các bạn sớm nhất. Cảm
ơn các bạn rất nhiều.

Chúc các bạn sức khoẻ, thành công!

TRUNG TÂM GIA SƯ ANH TIẾN

Thân tặng







*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 2

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lý thuyết.
1. Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị.
Hàm số y = f(x) có cực trị  y = f(x) có cực đại và cực tiểu  f’(x) = 0 có nghiệm.
Chú ý: * Nếu f'(x
0
) = 0 và f"(x
0
) = 0 thì ta không tìm được cực trị của hsố y = f(x) theo
dấu hiệu II. Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ không được kết
luận hàm số không có cựu trị.
* Dấu hiệu II thường tìm cực trị những hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá
phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác.

B. Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3.
Bài 1: Tìm m để hàm số y =

3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1) có cực đại và cực tiểu.
Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx + 5 có cực đại và cực tiểu.
Bài 3: Chứng minh rằng

m, hàm số y = 2x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt
cực trị tại x
1
; x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc m.
Bài 4: Tìm m để hàm số y =
3

1
x
3
+ (m - 2)x
2
+ (5m + 4)x + m
2
+ 1 đạt cực trị tại x
1
; x
2

thoả mãn điều kiện x
1
< -1 < x
2
Bài 5: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ (m + 3)x
2
+ 4(m + 3)x + (m
2
-m) đạt cực trị x
1
; x
2

thoả mãn điều kiện -1 <x
1
< x
2

Bài 6: Chứng minh rằng

m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x
1
; x
2

với m < x
1
< n < x
2
< p.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x
3
- 3(m + 2)x
2
+ 6(5m + 1)z - (4m
3
+ 2)
a, Tìm m để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.
b, Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2.
c, Tìm m để hàm số có ít nhất một điểm cực trị

(-1; 1)
d, Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị lớn hơn 9.

Bài 8: Tìm m để hàm số y =
3
1
x
3
+ (m
2
- m + 2)x
2
+ (3m
2
+ 1)x + m - 5 đạt cực tiểu tại x
= -2. ( Điều kiện cần + điều kiện đủ)
Bài 9: Tìm m để f(x) = x
3
- 3mx
2
+ 3(m
2
- 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 10: Tìm m để f(x) = x
3
- 3mx
2
+ (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 11: Tìm m để f(x) = x
3
+ 3mx
2
- (m - 1)x - 1 không có cực trị.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 3

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số


xfy  ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm




0 0
;
M x y C
 .
 Tính đạo hàm và giá trị


0
'
f x
.

 Phương trình tiếp tuyến có dạng:




0 0 0
'
y f x x x y
  
.

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm




0 0
;
M x y C
 có hệ số góc


0
'
k f x
 .

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.

 Giải phương trình:


'
f x k

, tìm nghiệm
0 0
x y

.
 Phương trình tiếp tuyến dạng:


0 0
y k x x y
  
.

Chú ý: Cho đường thẳng
: 0
Ax By C
   
, khi đó:
 Nếu


// :
d d y ax b
   

 hệ số góc k = a.
 Nếu


:
d d y ax b
    
 hệ số góc
1
k
a
 
.

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm




;
A A
A x y C
 .
 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó




:
A A

d y k x x y
  

 Điều kiện tiếp xúc của




à
d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:




 
'
A A
f x k x x y
f x k

  







Tổng quát: Cho hai đường cong





:
C y f x
 và




' :
C y g x
 . Điều kiện để hai đường cong
tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.




   
' '
f x g x
f x g x








.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 4

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN.

A. Hướng dẫn cách giải
1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)

(C): y = f(x)
có hệ số góc là f’(x
0
).
Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
) của (C) là
y - y
0

= f’(x
0
)(x- x
0
)  y = f’(x
0
)(x- x
0
) + y
0

2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước.
Phương pháp:
Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm.
Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có
hoành độ x
i
=> f’(x
i
) = k => x = x
i
là nghiệm của phương trình f’(x) = k.
Giải phương trình f’(x
i
) = k => nghiệm x

(x
0
; x
1

;x
2
; …x
i
…x
n
)
Phương trình tiếp tuyến tại x
i
là y = k(x- x
i
) + f(x
i
)
Cách 2: Phương pháp điều kiện nghiệm kép
Xét đường thẳng với hệ số góc k với phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với
(C): y = f(x)  phương trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép. Giải phương trình (*)
với  = o => các giá trị của m => phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Vì điều kiện (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện
f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm
f’(x) = g’(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các hàm số mà phương trình tương
giao kx + m = f(x) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2.

3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc.
a, Dạng trực tiếp k =


1;

2,

3; …
b, Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc

=> k = tg

với






0000
165; 45;30,15
c, Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b => k = a.
d, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b => k = -
a
1
với a

0
e, Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc

=>
ka
ak



1
= tg

với






0000
75; 45;30,15







*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 5

4. Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Phương pháp tìm tiếp điểm:
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i

suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f’(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
). Do A

(t) nên b =
f’(x
i
)(a- x
i
) + f(x
i
). x = x
i
là nghiệm của phương trình b = f’(x
i
)(a- x
i
) + f(x
i
). Giải phương
trình tìm được nghiệm x

(x
0
; x
1

;x
2
; …x
i
…x
n
).
Phương trình tiếp tuyến tại x = x
i
là y = f’(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
).
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x-a) + b tiếp xúc
với đồ thị (C): y = f(x)  Hệ phương trình
f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f’(x) (x - a) + b. Giải phương trình ta tìm
f’(x) = k được x

(x
0
; x
1
;x
2
; …x
i
…x

n
).
Phương trình tiếp tuyến tại x = x
i
là y = f’(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
).


Phương pháp điều kiện nghiệm kép:
Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a,b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) + b tiếp xúc
với (C) y = f(x)  k(x-a) + b = f(x) có nghiệm kép ….  … Nói chung u(k)x
2
+ v(k)x +
w(k) = 0 có nghiệm kép
u(k)

0
 = g(k) =

.k
2
+

.k +


= 0 (**) Hệ sinh ra hệ số góc
Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra giá trị của k hoặc số lượng của k. Từ đó suy ra
phương trình tiếp tuyến hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a;b).

B: BÀI TẬP

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 6



Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x
3
- 3x + 5 khi biết
a, Hoành độ của tiếp điểm là x
1
= -1; x
2
= 2 ; x
3
= 3
b, Tung độ của các tiếp điểm là y
1
= 5; y
2
= 3 ; y
3

= 7
Bài 2. Cho (C): y = f(x) = 2x
3
- 3x
2
+ 9x - 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các
giao điểm của (C) với các đồ thị sau:
a, Đường thẳng (d) y = 7x + 4
b, Parabol (p): y = -x
2
+ 8x - 3
c, Đường cng (C) y = x
3
- 4x
2
+ 6x + 7
Bài 3: Cho hàm số (Cm) y = x
3
+ 1 - m(x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại
giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện
tích bằng 8.



*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 7

Bài 4: Cho (C) y = x
3

+ + 3x
2
+ 3x + 5.
a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với
đường thẳng y = kx + m.
Bài 5: Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =
3
1
x
3
- x +
3
2
mà tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng y =
3
1

x +
3
2
.
Bài 6: Cho đồ thị (C) y = x
3
+ 3x
2
- 9x + 5
Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 7: Cho đồ thị (C) y = x
3
- 3x + 7
a, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1
b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y = 2
9
1


x
c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 45
0
.
Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x
3
+ 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1.
b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3
- 3x
2
+ 4 biết tiếp tuyến đó song song với y = 9x.
Bài 9: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3
- 3x
2
+2 biết tiếp tuyến đó

5y - 3x + 4 = o
b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x
3

- 3x
2
+ 2 biết tiếp tuyến đó

y =
3
x


Bài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x
3
- 3x
2
- 12x - 5
a, Viết phương trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4
b, Viết pt tiếp tuyến

y = 2
3
1


x
c, Viết pt tiếp tuyến tạo với y = 5
2
1


x một góc 45
0

Bài 11: Cho đồ thị (C) y =
3
1
x
3
- 2x
2
+ x - 4.
a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 60
0

b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3
2
1


x góc 30
0

c, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đt y = -x + 2
d, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với y = 2x - 3.
Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( )4;
12
19
( đến (C) y = 2x
3
- 3x
2
+ 5

b, Cho (C) y = x
3
- 3x
2
+ 2.
+ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm B(
9
23
; -2) đến (C)
+ Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
+ Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 8

Bài 13: Cho (C) y = x
3
- 12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ được 3
tiếp tuyến đến đồ thị (C) .

Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( 1;
3
2
 ) đến y = x
3
- 3x + 1
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x
3
- x - 6.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x

3
+ 9x
+ Cho đồ thị (C) y = x
3
+ ax
2
+ bx + c. Tìm các điểm M

(C) để có thể kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến với đồ thị.
+ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x
3
- 9x
2
+ 17x

+ 2.

Bài 15: Cho đồ thị (C) y = -x
4
+ 2x
2
- 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ được 3 tiếp tuyến
đến đồ thị (C).
Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(5,
4
9

) đến đồ thị (C) y = x
4

- 7x
2
+ 10.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B( 1, - 4) đến đồ thị (C) y = x
4
- 2x
3
- 2x
2
+
4
5

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x
4
- x
3
+ 2x
2
-1
Bài 17: Cho (C): y = 2x
3
+ 3x
2
- 12x - 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M đi qua gốc toạ độ.
Bài 18: Cho (C): y =
3
1
x

3
- x +
3
2
. Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông
góc với đường thẳng y =
3
2
3
1


x .
Bài 19: Cho (C): y =
1
63
2


x
xx
. Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
(C); tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 20: Cho (C): y = mx
3
- (m - 1)x
2
- (m - 2)x + m -1.
Tìm m để (C) đạt cực đại tại x = -1.
Khi m = 1, tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến

(C)
Bài 21: Cho (C): y = -x
4
+ 2x
2
- 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
Bài 22: Cho (C): y = x
3
- 3x
2
+ 2.
a, Qua A(0; 1) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy.
b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói
trên.
Bài 23: Cho (P) y = 2x
2
+ x - 3. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ
được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 45
0

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 9

Bài 24: Cho (C): y =
x
xx 23
2


. Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M
kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 25: Cho (C) y = x
3
+ 3x
2
. Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ được đúng 3
tiếp tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 26: Cho (C): y =
m
x
xmx


4
34
2
, Với giá trị nào của m thì tếp tuyến vủa đồ thị tại điểm có
hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận.
Bài 27: Cho (H): y =
1
12


x
x
và 1 điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B.
CMR: M là trung điểm của AB.
CMR: Diện tích Tam giác IAB = const.

c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
(gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB +
22
IBIA 

2 IBIA. + IBIA.2 = 2(2+
2
)
Dấu = sảy ra  IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.)
Bài 28: Cho (C): y =
1
1


x
x
. CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cận của (C) một tam
giác có diện tích không đổi.
Bài 29: Cho (C): y =
1
23


x
x
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 45
0
.
Bài 30: Cho (C): y =
1

2
54



x
x
. Viết pt tiếp tuyến vủa (C) song song với y = 3x + 2.
Bài 31: Cho (C): y =
4
5
32


x
x
. Viết pt tiếp tuyến của (C)

y = - 2x.
Bài 32: Cho (C): y =
5
2
73


x
x
. Viết pt tiếp tuyến của (C) biết
a, Tiếp tuyến song song với y =
2

1
x + 1
b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x.
c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 45
0
.
Bài 32: Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C):
y =
1
3


x
x
.
Bài 34: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y =
3
4
43


x
x

Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y =
2
2


x

x

Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y =
1

x
x
đi qua giao điểm I của 2
đường tiệm cận.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 10
Bài 37: Viết phương trình tiếp tuyến từ O(0;0) đến (C): y =
2
)1(3


x
x

Bài 38: Cho (C): y =
1
33
2


x
xx
. Chứng minh rằngDiện tích tam giác tạo bởi hai tiệm cận với
1 tiếp tuyến bất kì là không đổi.

Bài 39: Cho (C): y =
2
33
2


x
xx
. Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0.
Bài 40: Cho (C): y =
2
772
2


x
xx
. Viết pt tiếp tuyến của (C) song song với đt y = x + 4.
Bài 41: Cho hàm số
4 2
2
y x x
 

a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
i. Tại điểm có hoành độ
2
x  .
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.

iii. Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
1
:24 2009 0
d x y
  
.
iv.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009 0
d x y
  
.
Bài 42: Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
  


có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
i. Tại giao điểm của (C) với trục tung.
ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 13.
Bài 43 :Cho hàm số

2
1
1
x x
y
x
 


có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Bài 44: Cho hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
 


có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M(3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 11
Bài 45: Cho hàm số:
2
1
x
y
x


có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm M

(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M
và tâm đối xứng của (C).
Bài 46: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba
điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.

Bài 47: Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
 


. (ĐH KhốiB 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận
xiên.
ĐS: b.
2 2 5
y x
   
.
Bài 48: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
  
(*) (m là tham số).

(ĐH KhốiD 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2.
b. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại M
song song với đường thẳng
5 0
x y
 
ĐS: m=4.
Bài 49: Cho hàm số


3 2
3 3
m
y x mx x m C
   
. Định m để


m
C
tiếp xúc với trục hoành.
Bài 50: Cho hàm số





4 3 2
1
m
y x x m x x m C
     
. Định m để


m
C
tiếp xúc với trục
hoành.
Bài 51: Cho đồ thị hàm số
 
2
4
:
1
x
C y
x



. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ
đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C).
Bài 52: Cho đồ thị hàm số



4 2
: 2 1
C y x x
  
. Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M
kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
Bài 53: Cho đồ thị hàm số


3
: 3 2
C y x x
  
. Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao
cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Bài 54: Cho hàm số y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH
KhốiB 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm M(–1;–9).


*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 12
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sô’


xfy  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
 Nghiệm của phương trình


' 0
f x

là hoành độ của điểm cực trị.
 Nếu


 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x







thì hàm số đạt cực đại tại

0
x x

.
 Nếu


 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x







thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x

.

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

 Để hàm số



y f x
 có 2 cực trị
'
0
0
y
a 




 


.
 Để hàm số


y f x
 có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
 
.
 Để hàm số



y f x
 có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
CĐ CT
x x
 
.
 Để hàm số


y f x
 có hai cực trị nằm phía trên trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
 





.
 Để hàm số


y f x
 có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành

0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
 





.
 Để hàm số


y f x
 có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
 
.

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d
   

Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2
điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y
dx e
 



Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng


 
2
'
2
'
ax bx c
a b
y x
dx e d d
 
  


*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 13

MỘT SỐ BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng hàm số y =


2 2 4
1 1
x m m x m
x m
   

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm
m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
 
3 2
1
2 1
3
y x mx m x
    
. Định m để:
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng



0;

.
c. Có hai cực trị trong khoảng


0;

.
3. Định m để hàm số


3 2 2 2
3 1 2 4
y x mx m x b ac
     
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
3x
2
+3mx+3m+4.
a. Khảo sát hàm số khi m = 0.
b. Định m để hàm số không có cực trị.
c. Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5
y x mx x m

    
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
6. Cho hàm số


2
1 1
x m x m
y
x m
   


. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại,
cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số




3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
      
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực
trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
2 2
2 1 3

x mx m
y
x m
  


. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai
phía đối với trục tung.
9. Cho hàm số
 
 
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C     
. Định m để hàm số có hai điểm
cực trị cùng dương.

10. Cho hàm số


2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
   



(1). (ĐH KhốiA / 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6
m    .



*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 14

11. Cho hàm số


3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
      
(1), m là tham số. (ĐH KhoiB/2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
cách đều gốc tọa độ.
ĐS : b
1
2

m
 
.
12. Cho hàm số


4 2 2
9 10
y mx m x
   
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐHKhốiB/2002)

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN

Cho hàm sô


xfy  có tập xác định là miền D.
 f(x) đồng biến trên D


Dxxf  ,0'
.
 f(x) nghịch biến trên D


Dxxf  ,0'
.

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:


2
f x ax bx c
  
.

1. Nếu
0
 
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0
 
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
  và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
  .
3. Nếu
0

 
thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2
nghiệm f(x) cùng dấu với a.

So sánh nghiệm của tam thức với số 0
*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
 


   




*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
 



   




*
1 2
0 0
x x P
   

1. Cho hàm số




3 2
3 1 3 1 1
y x m x m x
     
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng


2;

.
2. Xác định m để hàm số
3 2

2 1
3 2
x mx
y x
   
.
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên


1;

.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 15
3. Cho hàm số




3 2
3 2 1 12 5 2
y x m x m x
     
.
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng



2;

.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng


; 1
 
.
4. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
 


. Định m để hàm số nghịch biến trên


;1 .

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
   
2 2

B A B A
AB x x y y    .
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng
: 0
Ax By C
   
và
điểm M(x
0
;y
0
) khi đó
 
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
 
 

.

1. Cho hàm số


3 2
3 3 3 2
m

y x mx x m C
    
. Định m để


m
C
có cực đại cực tiểu
đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
2. Cho hàm số
 
2 2
:
1
x
C y
x



. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách
đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
 
2
1
:
1
x x
C y

x
 


. Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2
tiệm cận là nhỏ nhất.
4. Cho hàm số
 
2 2
:
1
x
C y
x



. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao
cho đoạn MN nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
 
2
1
:
1
x x
C y
x
 



. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao
cho đoạn MN nhỏ nhất.
6. Cho hàm số
 
2
2 1
:
1
x x
C y
x
 


.
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ
nhất.
b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ
nhất.



*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 16
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1

y mx
x
 
(*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m =
1
4
.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến
tiệm cận xiên bằng
1
2
. ĐS: m=1.

Dạng 5: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH

Phương pháp:
Từ hàm số


,
y f x m
 ta đưa về dạng




, ,

F x y mG x y
 . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu
có là nghiệm của hệ phương trình


 
, 0
, 0
F x y
G x y







.

1. Cho hàm số




3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C    
. Chứng minh rằng



m
C
luôn đi
qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
2. Cho hàm số
 


2
2 6 4
:
2
m
x m x
C y
mx
  


. Chứng minh rằng đồ thị


m
C
luôn đi qua một
điểm cố định khi m thay đổi.
3. Cho hàm số







4 2
: 1 2 3 1
m
C y m x mx m
    
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị
trên.
4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số








3 2
3 3 3 6 1 1
m
y m x m x m x m C       

luôn đi qua ba điểm cố định.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 17
Dạng 6: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C)


y f x
 có đồ thị (C’)


y f x
 có đồ thị (C “)



0,
y f x x D
   

. Do đó ta
phải giữ nguyên phần phía trên
trục Ox và lấy đối xứng phần
phía dưới trục Ox lên trên.


y f x
 có




f x f x
  ,
x D
 
nên đây là hàm số
chẵn do đó có đồ thị đối
xứng qua trục tung Oy.

x
y
(
C
)


x
y
(

C
')


x
y
(
C
'')



MỘT SỐ BÀI TẬP
1. Cho hàm số
 
2
:
2 2
x x
C y
x



.
a. Khảo sát hàm số.
b. Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.
2
2 2
x x

k
x



.
2. Cho hàm số
 
2
3 3
:
1
x x
C y
x
 


.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
 



.

3. Cho hàm số
 
2
4
:
1
x x
C y
x



.
a. Khảo sát hàm số.
b. Định m để phương trình


2
4 0
x m x m
   
có bốn nghiệm phân biệt.
4. Cho hàm số
 
2
1
:
2

x x
C y
x
 


.
a) Khảo sát hàm số.
b) Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:


2
1 2 1 0
x m x m
    
.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 18
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
   
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12
x x x m

  
. (ĐH
KA2006
Dạng 7: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG

Điểm


0 0
;
I x y
là tâm đối xứng của đồ thị




:
C y f x


Tồn tại hai điểm M(x;y) và
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:
   
0
0
' 2
' 2
x x x
f x f x y
 




 


 
 
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
 




  



Vậy


0 0
;
I x y
là tâm đối xứng của (C)






0 0
2 2
f x y f x x
  
.
1. Cho hàm số
2
2 2 2
2 3
x x m
y
x
  


có đồ thị


m
C
.
Tìm giá trị của m để


m

C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2. Cho hàm số
 
2 2 2
2
:
1
m
x m x m
C y
x
 


.
Định m để


m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số


3 2
3 1
y x x m  
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối
B2003)
ĐS: a.




0 0 0
, 0
f x f x x
    
 … m>0.
4. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x
    
có đồ thị


C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng
nhau qua trục tung.
5. Cho hàm số



3 2
1
y x ax bx c   
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng
là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1).
6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (1) (ĐH Khối D2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều
cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.






*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 19
Dạng 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

1. Định nghĩa:
(d) là tiệm cận của (C)
  
0lim 



CM
M
MH

2. Cách xác định tiệm cận
a. Tiệm cận đứng:




0
:lim
0
xxdxf
xx


.
b. Tiệm cận ngang:




00
:lim yydyxf
x


.

c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=

x+


trong đó:


 
 
xxf
x
xf
xx



lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm
nhất biến)
n
mx
bax
y




+TXĐ: D= R\







m
n

+TCĐ:
 
m
n
xdy
m
n
x


:lim
+TCN:
 
m
a
yd
m
a
y

x


:lim
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y 
m
n
x 
I

* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu
tỷ)
 
n
mx
A
x
n
mx
cbxax

y






2

+TXĐ: D= R\







m
n

+TCĐ:
 
m
n
xdy
m
n
x



:lim
+TCX: 0lim 


n
mx
A
x
 TCX: y=

x+


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y




xy
m
n
x 
I

1. Cho hàm số


 
2 2
3 2 2
1
3
mx m x
y
x m
  


, với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.
b. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45
0
.
(ĐH Khối A2008)
6
4
2
y
x
(d)
(C)
H

M
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 20
2. Cho hàm số
 


2 2
1 1
mx m x m
y f x
x
   
  . Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f(x) có tiệm
cận xiên đi qua gốc tọa độ.
3. Cho hàm số
 
2
(2 1). 3
1, 0
2
ax a x a
y a a
x
   
   

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của
hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.

4. Cho hàm số
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
 
 

có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường
đường tiệm cận là một số không đổi.
b. Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ nhất.
5. Cho hàm số
2
2 2
( )
1
x mx
y f x
x
 
 

có đồ thị (C
m
). Tìm m để đường tiệm cận xiên của đồ thị
hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.

6. Tìm m để đồ thị hamd số
2
1
1
x
y
x mx


 
có hai tiệm cận đứng là x=x
1
và x=x
2
thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
 



 


.

7. Cho hàm số
1
1
x
y
x



có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm
cận nhỏ nhất.
8. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x



có đồ thị (H).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (H) tại giao điểm với trục tung.
c. Tìm những điểm N (x
N
>1) thuộc (H) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến  ngắn
nhất.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 21
CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH ĐỒ THỊ CÓ 3 ĐIỂM UẤN THẲNG HÀNG.
VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG.
Hướng dẫn:
Tìm 3 điểm uấn . f’’(x) = 0 => x = x
0
là hoành độ điểm uấn => y
0
=> U(x
0
; y
0
)
Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm uấn (dựa vào VTCP); thay điểm còn lại vào pt đường
thẳng vừa tìm được => đpcm
Một số bài toán mở đầu.
Bài 1: Tìm các khoảng lồi; lõm và điểm Uấn của

a, (C): y = 2x
3
- 5x
2
+ 7x - 1.
b; (C): y = - 2x
3
+ 6x
2
+ 1.
c: (C): y = - x
5
+ 10x
3
- 20x
2
+ 6x + 7.
d: (C): y =
22
3
3ax
x

với a > 0.
e; (C): y = x
3
- 6x
2
+ 12x + 1
g: (C): y = 3x

5
- 5x
4
+ 7x - 2.
h: (C): y =
4
5
32



x
x


Tìm điều kiện tham số để (C): y = f(x) nhận U(x
0
; y
0
)làm điểm uấn
Bài 2: Tìm m để (C): y = 23
2
3


m
m
x
nhận U(1; 0) làm điểm uấn
+ Tìm a; b; c; d để (C): y = x

4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d có 2 điểm uấn là U
1
(1;1); U
2
(3; -7).
+ Tìm m để (C): y = mx
3
+ 3mx
2
+ 4 có điểm uấn U(-1; 2).
+ Tìm a; b để (C): y = ax
3
+ bx
2
+ x + 2 có điểm uấn U(1; -1)
+ Tìm m để (C): y = x
3
+
m
x
2
3
+ 1 có điểm uấn U(-1; 3)
+ Tìm a, b để (C): x
2

y + ax + by = o có điểm uấn U(2;
2
5
)

Chứng minh đồ thị có 3 điểm uấn thẳng hàng, viết pt đường thẳng.

Bài 1: CMR (C): y =
1
12
2


xx
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết ptđt đi qua 3 điểm uấn.
Bài 2: CMR (C): y =
2
2
x
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng Viết ptđt qua 3 điểm uấn của (C).
Bài 3: CMR (C): y =
1
1
2


x
x

có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết PT đường thẳng qua 3 điểm
uấn.
Bài 4: CMR (C): y =
1
12
2


xx
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng, Viết PTđt qua 3 điểm uấn.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 22
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
TUYỂN TẬP CÁC BÀI KHẢO SÁT THI ĐẠI HỌC QUA CÁC NĂM 2005 - 2009
Bài 1: ĐH Khối A/ 2009.
Cho hàm số y =
3
2
2


x
x
. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O. (y = -x - 2)
Bài 2: ĐH khối B/2009.

Cho hàm số y = 2x
4
- 4x
2
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b, Với giá trị nào của m thì phương trình x
2
|x
2
- 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Bài 3: ĐH khối D/2009
Cho hàm số y = x
4
- 3(m+2)x
2
+ 3m. có đồ thị là (Cm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 0.
Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn
2
Bài 4: ĐH khối A/2008
Cho hàm số (C): y =
m
x
xmmx
3
2)23(
22


với m là tham số thực.

a, Khảo sát sự biến thiên của hàm số với m = 1.
b, Tìm các giá trị của m để góc giữa 2 đường tiệm cận của hàm số (C) bằng 45
0
.
Bài 5: ĐH khối B/2008
Cho hàm số y = 4x
3
- 6x
2
+ 1 (1)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
M(-1; - 9)
Bài 6: ĐH khối D/2008.
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4 (1)
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b, Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k>3) đều cắt
đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I;A; B đồng thời I là trung điểm của AB.

Bài 7: ĐH khối A/2007
Cho hàm số y =
2
4)1(2
22



x
mmmx
(1), m là tham số
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.
b, Tìm m để hàm số (10 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành 1 tam giác vuông tại O.




*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 23
Bài 8: ĐH khối B/2007
Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
- 1)x - 3m
2
- 1. (1) m là tham số
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1.
b, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc toạ độ O.

Bài 9: ĐH khối D năm 2007.
Cho hàm số (C):y =
1

2

x
x
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b, Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A; B và
tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.
Bài 10: ĐH khối A/2006.
a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x - 4.
b, Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2| x
3
|- 9x
2
+ 12|x| = m.
Bài 11: ĐH khối B/2006.
Cho hàm số (C): y =
2
1
2


x
xx

. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đt hàm số.
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)
Bài 12: ĐH khối D/2006
Cho hàm số (C): y = x
3
- 3x + 2.
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b, Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng
(d) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Bài 13: ĐH khối A/2005.
Cho (Cm) y = mx +
x
1
(m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =
4
1

b, Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (Cm)
là
2
1

Bài 14: ĐH khối B/2005
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =
1
1)1(
2



x
mxmx
(*) m là tham số
a, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1.
b, Chứng minh rằng với mọi m bất kì, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và
khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 .



*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 24
CHUYÊN ĐỀ BỔ XUNG

TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a. Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm
0 0 0
M (x ;y ) (C)


Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng:

y - y

0
= k ( x - x
0
)

Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm
y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
=f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)

Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 33
3
 xxy tại điểm uốn của nó

`b. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho
trước
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi
0 0
( ; ) ( )
M x y C
 là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Bước 2: Tìm x
0
bằng cách giải phương trình :
'
0
( )
f x k

, từ đó suy ra
0 0
( )
y f x
 =?
Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y
0
= k ( x - x
0
) ta sẽ được pttt cần tìm.


Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến
song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:
Định lý 1: Nếu đường thẳng (


) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của
(

) là:

k a




Định lý 2: Nếu đường thẳng (

) đi qua hai điểm
B A B
( ; ) vaø B(x ; ) vôùi x x
A A B
A x y y
 thì hệ số
góc của (

) là :

B A
B A
y y
k
x x






*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
My Life
Trung tõm gia s Anh Tin - 0986 915 960 Ni no cú ý chớ Ni ú cú con ng 25
\
nh lý 3: Trong mp(Oxy) cho hai ng thng
1 2
( ) vaứ ( )

. Khi ú:


1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
k .k 1





p dng:
Vớ d1: Cho ng cong (C):
3 2
1 1 4
2

3 2 3
y x x x


Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn song song vi ng thng (d):
y = 4x+2.
Vớ d 2: Cho ng cong (C):
1
3
2



x
x
y
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
xy 3:)(




c. Dng 3:
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C): y=f(x) bit tip tuyn i qua im
A(x
A
;y
A
)

Phng phỏp: Ta cú th tin hnh theo cỏc bc sau

Bc 1: Vit phng trỡnh ng thng (

) qua A v cú h s
gúc l k bi cụng thc:

( ) ( )
A A A A
y y k x x y k x x y

(*)
Bc 2: nh k (

) tip xỳc vi (C). Ta cú:

A
'
f(x)=k(x-x )
tieỏp xuực (C) heọ coự nghieọm (1)
f ( )
A
y
x k

Bc 3: Gii h (1) tỡm k. Thay k tỡm c vo (*) ta s c pttt cn tỡm.

p dng:
Vớ d1: Cho ng cong (C): 43
23
xxy
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua im A(0;-1)
Vớ d 2: Cho ng cong (C):
2 5
2
x
y
x




Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua im A(-2;0).

x
y
AAAA

yxxkyxxkyy )()(:
O
);(
AA
yxA
)
(:)( xfyC