về đối đồng điều địa phương với giá cực đại và tính catenary của vành noether địa phương

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
oOo







Trần Nguyên An







VÒ ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng víi gi¸ cùc ®¹i
Vμ tÝnh catenary cña vμnh NOETHER ®Þa ph−¬ng




LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀNỘI-2011


VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
oOo




Trần Nguyên An




VÒ ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph−¬ng víi gi¸ cùc ®¹i
Vμ tÝnh catenary cña vμnh NOETHER ®Þa ph−¬ng


Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01


LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC


TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường

2. PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn




HÀNỘI-2011
(R, m) M R
A R A
∗
Ann
R
(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A.
∗
H
i
m
(M)
4
∗
∗
∗ H
i
m
(M)
i M ∗
H

i
m
(M)
R/ Ann
R
M R/p p ∈ Supp(M).
∗
∗
∗
H
i
m
(M)
H
i
m
(M) ∗
H
i
m
(M) M
(R, m) M
R R A
∗
Ann
R
(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R

A.
∗
H
i
m
(M)
∗
∗
∗ H
i
m
(M) i
M ∗ H
i
m
(M)
R/ Ann
R
M
R/p p ∈ Supp(M).
∗
∗
∗
H
i
m
(M)
H
i
m

(M) ∗
H
i
m
(M)
M
∗
∗
∗
(R, m)
M R
dim M = d I R
M i
H
i
m
(M) M I i
H
i
I
(M)
M R
H
i
I
(M)
M

p
I + p/p p
Supp(M) ¨u
M I
M I i
H
i
I
(M)
∗
∗
A ∗
Ann
R
(0 :
A
p) = p p ⊇ Ann
R
A.
∗
H
d
m
(M) ∗
R/ Ann
R
H
d
m
(M)

∗
i
∗
∗
∗
(R, m)
M R dim M = d
A R
∗
∗
R/ Ann
R
M R/p
p ∈ Supp(M).
Psupp
i
R
(M) = {p ∈ Spec R : H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
) = 0}
i M
psd
i
R
(M) = sup{dim R/p : p ∈ Psupp
i

R
(M)}
i M
H
i
m
(M)
∗ i M N-dim
i ≥ 0
H
i
m
(M) ∗
V

Ann
R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i
R
M
psd
i
R
M = psd

i

R

M = N-dim
R
(H
i
m
(M)) = dim R/ Ann
R
H
i
m
(M),
{p ∈ Psupp
i
R
M : dim(R/p) = psd
i
R
M}
= {

p ∩ R :

p ∈ Psupp
i

R


M, dim(

R/

p) = psd
i

R

M}.
R/ Ann
R
M
H
i
m
(M)
∗ i  d
M R
H
i
m
(M) ∗ i?
H
i
m
(M) ∗ i < d
R/p p ∈ Ass M R/ Ann
R

M
(R, m)
p ∈ Spec(R)
R/p
R/p p ∈ Supp M dim R/p ≥ d − 1.
M H
i
m
(M) ∗
i < d. R/p p ∈ Supp M
dim(R/p) ≥ d − 1.
∗
H
d
m
(M)
R/ Ann
R
H
d
m
(M).
A
dim(

R/

p) = dim(

R/ Ann


R
A)

p ∈ min Att

R
A
∗
A A ∗
R/ Ann
R
A dim(R/ Ann
R
A) = dim(

R/ Ann

R
A).
H
i
m
(M)
H
i
m
(M) ∗
R/ Ann
R

(H
i
m
(M))
dim

R/ Ann
R
(H
i
m
(M))

= dim


R/ Ann

R
H
i
m
(M))

.
H
d
m
(M)
dim


R/ Ann
R
(H
d
m
(M))

= dim


R/ Ann

R
H
d
m
(M))

.
∗
∗
H
i
m
(M)
H
i
m
(M)

M
e(q, M) =

p∈Supp M
dim R/p=d

R
p
(M
p
)e(q, R/p).
q R A R
(0 :
A
q) < ∞ 
R
(0 :
A
q
n+1
)
s = N-dim A n
(0 :
A
q
n+1
) =
e(q, A)
d!
n

s
+ s, ∀n  0,
e(q, A) e(q, A) A
q R A
A R
R
e(q, H
i
m
(M)) =

p∈Psupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)


e(q, R/p),
m q R i
H
i
m
(M) q
H
i
m
(M) ∗ i
i ≥ 0 N-dim
R
(H
i
m
(M)) = s.
p ∈ Psupp
i
R
M
T (p) = {

p ∈ Psupp
i

R
(

M) : dim(


R/

p) = dim(R/p),

p ∩ R = p}.
H
i
m
(M) ∗
Psupp
i
R
M
p ∈ Psupp
i
R
M dim(R/p) = s T (p) = ∅

R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)




R

p

H
i−dim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
)

= 
R
p

H
i−dim(R/p)

pR
p
(M
p
)



R

p
(

R

p
/p

R

p
)

p ∈ T (p).
q m R H
i
m
(M) = 0
e(q, H
i

m
(M)) H
i
m
(M) q
e(q, H
i
m
(M)) =

p∈Psupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).

∗
H
i
m
(M)
Att
R
p
(H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)) = {qR
p
| q ∈ Att
R
(H
i
m
(M)), q ⊆ p},
p ∈ Spec(R). R
H
i
m
(M)
(R, m)
2


R 1 H
1
m
(R)
1
H
i
m
(N)
R N i
H
i
m
(M)
H
d
m
(M)
R/ Ann
R
H
d
m
(M)
H
d
m
(M) ∗
H
d−dim R/p

pR
p
(M
p
)
p ∈ Supp(M);
H
d−dim R/p
pR
p
(M
p
) ∗ p ∈ Supp(M).
d
i ≥ 0 R/ Ann
R
M
min Att
R
p
(H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
)) = {qR
p
| q ∈ min Att
R

(H
i
m
(M)), q ⊆
p}, p ∈ Spec(R)
H
i
m
(M) ∗
H
i−dim R/p
pR
p
(M
p
) ∗ p ∈ Supp(M)
∗
H
i
m
(M) M
∗
∗
∗
(R, m)
m I
R V(I) R I
I
I Γ
I

(−) Γ
I
(M) =

n≥0
(0 :
M
I
n
) R M Γ
I
(M) I
M
i ≥ 0 i
Γ
I
(−) H
i
I
(−)
i I M R H
i
I
(−) M
H
i
I
(M) i M
I
m

ˇ
C
R

R M

R

R H
i
IR

(M

)
∼
=
H
i
I
(M

)
i ≥ 0
R

R
R

R

M R R

H
i
I
(M) ⊗
R
R

∼
=
H
i
IR

(M ⊗
R
R

)
i ≥ 0
M
H
i
I
(M)
M R
R H
i
m

(M) i ∈ N
0
M R
dim M = d R H
d
I
(M)
E(k) R
k k = R/m D
R
(−) Hom(−, E(k)) R
M D
R
(M) M
(R, m)
M A R
M D
R
(M)
M
∼
=
D
R
(D
R
(M))
A D
R
(A) A

∼
=
D
R
(D
R
(A))
R
R R
Ext
(R, m)
(R

, m

) n

f : R

−→ R
M R Ext
j
R

(M, R

)
R
H
i

m
(M)
∼
=
D
R
(Ext
n

−i
R

(M, R

)).
q ⊂ p R
q = p
0
⊂ p
1
⊂ . . . ⊂ p
n
= p p
i
= p
i+1
, i =
0, , n − 1 q p
i p
i

p
i+1
. n
R q ⊂ p R
q p
dim R  2 R R R/I
I R R R
p
p R
(R, m)
R
ht p/q = dim R/q − dim R/p q ⊆ p p, q ∈ Spec R;
ht p
3
/p
1
= ht p
3
/p
2
+ ht p
2
/p
1
p
1
⊆ p
2
⊆ p
3

p
1
, p
2
, p
3
∈
Spec R.
R
ht p + dim R/p = dim R
p R.
R
ht p + dim R/p = dim R p R R
R
R p R
ht p + dim R/p = dim R.
R R
S R a
1
, . . . , a
n
∈ S
S = R[a
1
, . . . , a
n
] ϕ : R[x
1
, . . . , x
n

] −→
S R[x
1
, . . . , x
n
] n R
ϕ(x
i
) = a
i
, i = 1, . . . , n. S
R[x
1
, . . . , x
n
]
R
R
R
m

R R dim

R/

p = dim

R

p ∈ min Ass


R. R
dim

R/

p = dim

R

p ∈ Ass

R. R M
R/ Ann
R
M
R
R
R
p
p ∈ Spec R.
I R R/I R/I
R
R[x]
R/p p ∈ Spec R.
2 dim R  1
dim R[x] = dim R + 1  2,
R[x] R
dim R  1
M R A

R R S S = 0
x ∈ R x S
Rad(Ann
R
S) = p S
p N R N
N = S
1
+ . . . + S
n
p
i
S
i
.
N = 0 N N
p
i
S
i
i = 1, . . . , n
N
{p
1
, . . . , p
n
}
N
N Att
R

N S
i
, i = 1, . . . , n
N p
i
Att
R
N S
i
0 −→ N

−→ N −→ N

−→ 0 R
Att
R
N

⊆ Att
R
N ⊆ Att
R
N

∪ Att
R
N

.
N R

N = 0 Att
R
N = ∅
R Ann(N)
Att
R
N.
R A

R
A R
A

R A

R
Att
R
(A) = {

p ∩ R |

p ∈ Att

R
(A)}.
p ∈ Supp M dim R/p = t.
i ≥ 0 q q ⊆ p
qR
p

∈ Att
R
p
(H
i
pR
p
(M
p
)) q ∈ Att
R
(H
i+t
m
(M))
p ∈ Ass M dim R/p = t.
H
t
m
(M) = 0 p ∈ Att
R
H
t
m
(M).
M R
d H
d
m
(M) = 0

Att
R
H
d
m
(M) = {p ∈ Ass
R
M | dim(R/p) = d}.
A R dim
R
R/ Ann
R
A
R/ Ann
R
A
dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p ∈ Att
R
A}.
A, N-dim
R
A,
A = 0, N-dim
R
A = −1. d ≥ 0
N-dim
R
A = d N-dim
R
A < d

A
0
⊆ A
1
⊆ . . . A,
n
0
N-dim
R
(A
n
/A
n+1
) < d n > n
0
.
A = 0 q (0 :
A
q) < ∞
Q(n) 
R
(0 :
A
q
n+1
) = Q(n) n  0
N-dim
R
A = deg(
R

(0 :
A
q
n+1
))
= inf{t ≥ 0 : ∃x
1
, . . . , x
t
∈ m : 
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ∞}.
A N-dim
R
A = 0
dim R/ Ann
R
A = 0, A 0
R/ Ann
R
A