tính chẻ ra của môđun đối đồng điều địa phương và ứng dụng

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
oOo







Phạm Hùng Quý







TÍNH CHẺ RA CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG




LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀNỘI-2013



VIN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGH VIT NAM
VIN TOÁN HỌC
oOo




Phạm Hùng Quý




TÍNH CHẺ RA CỦA MÔĐUN ĐI ĐNG ĐIU ĐỊA PHƠNG
VÀ ỨNG DỤNG


Chuyên ngành: Đại s và lý thuyt s
Mã s: 62. 46. 01. 04


LUẬN ÁN TIN SĨ TOÁN HỌC


TẬP THỂ HỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TSKH. Nguyn Tự Cờng





HÀNỘI-2013

R a R M
R
H
i
a
(•)
Ext
1
R
(•, •)
0 → A → B → C → 0
0 Ext
1
R
(C, A)
H
i
a
(M) i < t
(R, m)
x ∈ b(M)
3

b(M) = ∩
d
x
;i=1
Ann(0 : x
i
)
M/(x
1
, ,x
i−1
)M
,
x
= x
1
, , x
d
M
M
a
R a R M R
H
i
a
(•)
R Ext(•, •)
0 → A → B → C → 0
Ext
1

R
(C, A)
H
i
a
(M) i < t
t
(R, m)
x ∈ b(M)
3
b(M) = ∩
d
x
;i=1
Ann(0 : x
i
)
M/(x
1
, ,x
i−1
)M
,
x
= x
1
, , x
d
M
M a

Ext(C, A)
Ext(H
i+1
a
(M), H
i
a
(M))
R
a R
H
i
a
(•) a
i Γ
a
(•) Γ
a
(M) = 0 :
M
a
∞
=

n≥1
(0 :

M
a
n
)
M R
H
i
a
(M)
M a
x ∈ a M
0 → M
x
→ M → M/xM → 0.
H
i
a
(•)
··· → H
i
a
(M) → H
i
a
(M) → H
i
a
(M/xM) → H
i+1
a

(M) → ··· .
0 → H
i
a
(M) → H
i
a
(M/xM) → H
i+1
a
(M) → 0,
H
i
a
(M/xM)
∼
=
H
i
a
(M) ⊕ H
i+1
a
(M).
(R, m)
M R d M
q M
ℓ(M/qM) = e(q; M)
H
i

m
(M) = 0 i < d M
I
M
(q) := ℓ(M/qM) − e(q; M) > 0
I
M
(q)
I
M
(q)
M H
i
m
(M) i < d
n
0
m
n
0
H
i
m
(M) = 0 i < d
n
0
= 1 H
i
m
(M)

R/m M
x M
0 → M/H
0
m
(M)
x
→ M → M/xM → 0
0 → H
i
m
(M) → H
i
m
(M/xM) → H
i+1
m
(M) → 0
i < d −1 M/xM
R/m
H
i
m
(M/xM)
∼
=
H
i
m
(M) ⊕ H

i+1
m
(M) i < d − 1
M x
M
0 → H
i
m
(M) → H
i
m
(M/xM) → H
i+1
m
(M) → 0
i < d − 1
M/xM
x ∈ m
2
M
M/xM
H
i
m
(M/xM)
∼
=
H
i
m

(M)⊕H
i+1
m
(M) i < d−1 M
x
n
n ≫ 0
M d > 0
n
x M m
n
H
i
m
(M/xM)
∼
=
H
i
m
(M) ⊕ H
i+1
m
(M)
i < d −1
a
H
i
a
(M) i

t x ∈ a a M
x /∈ p p ∈ AssM, a  p
a R M
R t H
i
a
(M)
i < t
n a x a
n
H
i
a
(M/xM)
∼
=
H
i
a
(M) ⊕ H
i+1
a
(M) i < t −1
M R a
R t n
0
a
n
0
H

i
a
(M) = 0
i < t a x ∈ a
2n
0
M
H
i
a
(M/xM)
∼
=
H
i
a
(M) ⊕ H
i+1
a
(M),
i < t −1
0 :
H
t−1
a
(M/xM )
a
n
0
∼

=
H
t−1
a
(M) ⊕ 0 :
H
t
a
(M)
a
n
0
.
N M
N q M
q M
qM M N
R
(q, M) = dim
R/m
Soc(M/qM)
Soc(N)
∼
=
0 :
N
m
∼
=
Hom

R
(R/m, N) R N
M
N
R
(q, M) M M
n N
R
(q, M)
q m
n
B
∼
=
A ⊕ C Hom
R
(D, B)
∼
=
Hom
R
(D, A) ⊕ Hom
R
(D, C)
A, B, C, D
M d > 0
(R, m) n
0
m
n

0
H
i
m
(M) = 0 i < d q
M m
2n
0
k ≤ n
0
ℓ
R

(qM :
M
m
k
)/qM

ℓ
R

(qM :
M
m
k
)/qM

=
d


i=0

d
i

ℓ
R
(0 :
H
i
m
(M)
m
k
).
N
R
(q, M)
N
R
(q, M) =
d

i=0

d
i

dim

R/m
Soc(H
i
m
(M)).
M
R a R t n
0
a
n
0
H
i
a
(M) = 0 i < t
a x ∈ a
n
0
0 → M/H
0
a
(M)
x
→ M → M/xM → 0
0 → H
i
a
(M) → H
i
a

(M/xM) → H
i+1
a
(M) → 0
i < t −1
H
i+1
a
(M) H
i
a
(M)
Ext(H
i+1
a
(M), H
i
a
(M))
t
U M
M = M/U
x (♯) 0 :
M
x = U
0 →
M
x
→ M → M/xM → 0
0 → H

i
a
(M) → H
i
a
(M/xM) → H
i+1
a
(
M) → 0
i < t − 1 x (♯)
E
i
x
Ext(H
i+1
a
(M), H
i
a
(M))
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t

a
(M)
0 → H
t−1
a
(M) → H
t−1
a
(M/xM) → 0 :
H
t
a
(
M)
x → 0.
b x ∈ b F
t−1
x
Ext(0 :
H
t
a
(
M)
b, 0 :
H
t−1
a
(M)
b)

0 → 0 :
H
t−1
a
(M)
b → 0 :
H
t−1
a
(M/xM )
b → 0 :
H
t
a
(
M)
b → 0.
(♯)
t U
M
M = M/U x y (♯)
0 :
M
(x + y) = U
x+y (♯) E
i
x+y
= E
i
x

+E
i
y
i < t−1
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t
a
(M) F
t−1
x
, F
t−1
y
F
t−1
x+y
F
t−1
x+y
= F
t−1
x
+ F

t−1
y
t U
M
M = M/U x y R x
(♯) 0 :
M
xy = U
xy (♯) E
i
xy
= yE
i
x
i < t − 1
H
t
a
(M)
∼
=
H
t
a
(M) F
t−1
x
F
t−1
xy

F
t−1
xy
= yF
t−1
x
H
t
a
(
M)
∼
=
H
t
a
(M) yH
i
a
(M) = 0 i < t
E
i
xy
= 0 i < t −1 F
t−1
xy
F
t−1
xy
= 0

xy
(R, m) a b
p
1
, , p
n
ab  p
j
j ≤ n
x ab x /∈ p
j
j ≤ n
a
1
, , a
r
∈ a b
1
, , b
r
∈ b
x = a
1
b
1
+ ··· + a
r
b
r
a

i
b
i
/∈ p
j
a
1
b
1
+ ··· + a
i
b
i
/∈ p
j
i ≤ r, j ≤ n
H
i
m
(M)
(R, m) M
M
F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M
ℓ(M

0
) < ∞, dim M
0
< dim M
1
< ··· < dim M
t
= d
M
i
/M
i−1
i = 1, 2, , t
M
F
x
= x
1
, , x
d
M M
F M
i
∩(x
d
i
+1
, , x
d
)M = 0 i = 0, 1, , t−1, d

i
= dim M
i
M
F x
= x
1
, , x
d
M F
I
F,M
(x
) = ℓ(M/(x)M) −

t
i=0
e(x
1
, , x
d
i
; M
i
)
I
F
(M) = sup
x
I

F,M
(x) x = x
1
, , x
d
M F
I
F
(M) = ℓ(H
0
m
(M/M
0
))
+
t−1

i=0
d
i+1
−1

j=1

d
i+1
− 1
j

−


d
i
− 1
j

ℓ(H
j
m
(M/M
i
)).
M d
M U
M
(0) c
t−1
= A nnM
t−1
n
0
m
n
0
H
j
m
(M/M
i
) = 0 i ≤ t −1

j ≤ d
i+1
− 1
H
j
m
(M/(xM + M
i
))
∼
=
H
j
m
(M/M
i
) ⊕ H
j+1
m
(M/U
M
(0))
i ≤ t − 1 j < d − 1 x M
m
3n
0
c
t−1
0 :
H

d−1
m
(M/(M
i
+xM))
m
∼
=
(0 :
H
d−1
m
(M/M
i
)
m) ⊕ (0 :
H
d
m
(M)
m)
i ≤ t−1 x M m
2n
0
+1
c
t−1
M
F : M
0

⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M
t
= M
x
= x
1
, , x
d
M F
m
n
, n ≫ 0 I
F,M
(x
)
I
F,M
(x
) = ℓ(H
0
m
(M/M
0
))
+
t−1

i=0

d
i+1
−1

j=1

d
i+1
− 1
j

−

d
i
− 1
j

ℓ(H
j
m
(M/M
i
)).
M
F : M
0
⊆ M
1
⊆ ··· ⊆ M

t
= M
x
= x
1
, , x
d
M F
m
n
, n ≫ 0 (x
) M
N
R
((x
), M) = dim
R/m
Soc(H
0
m
(M))
+
t−1

i=0
d
i+1

j=1


d
i+1
j

−

d
i
j

dim
R/m
Soc(H
j
m
(M/M
i
)).
(R, m)
i < d a
i
(M) = AnnH
i
m
(M)
a(M) =

d−1
i=0
a

i
(M)
b(M) = ∩
d
x
;i=1
Ann(0 : x
i
)
M/(x
1
, ,x
i−1
)M
,
x
= x
1
, , x
d
M
a(M) ⊆ b(M) ⊆ a
0
(M) ∩ ··· ∩ a
d−1
(M)
(R, m)
M a(M) b(M)
0 :
M

x = U
M
(0) I
R t = d − dim R/I x ∈ b(M)
3
I R x ∈ b(M)
3
M
M = M/U
M
(0) t = d −dim R/I
H
i
I
(M/xM)
∼
=
H
i
I
(M) ⊕ H
i+1
I
(M/U
M
(0))
i < t −1 H
t
I
(M)

∼
=
H
t
I
(
M)
0 :
H
t−1
I
(M/xM )
b(M)
∼
=
H
t−1
I
(M) ⊕ (0 :
H
t
I
(M)
b(M)).
x
= x
1
, , x
d
M

x
i
∈ b(M/(x
i+1
, , x
d
)M)
3
i ≤ d 1 ≤ i ≤ d
U
M/(x
i+1
, ,x
d
)M
(0) x
0 ≤ i ≤ d − 1 U
i
(M)
x = x
1
, , x
d
M x
i
∈ b( M/(x
i+1
, , x
d
)M)

3
i ≤ d U
i
(M)
∼
=
U
M/(x
i+2
, ,x
d
)M
(0) 0 ≤ i ≤ d − 1
U
i
(M)
M m I udeg(I, M) M
I d e g(I, M) M
I
udeg(I, M) = d e g(I, M) +
d−1

i=0

deg(I, U
i
(M)),

deg(I, U
i

(M)) = deg(I, U
i
(M)) dim U
i
(M) = i 0
udeg(I, •)
R
udeg(I, M) = u d e g(I, M/H
0
m
(M))+ℓ(H
0
m
(M))
udeg(I, M) ≥ udeg(I, M/xM) x ∈ I \ mI
M
udeg(I, M) = d e g(I, M) M
a
R
AssH
i
a
(M)
M i ≥ 0
R
AssH
t
a
(M)
H

i
a
(M) i < t supp( H
i
a
(M))
i < t
a R M R
t H
i
a
(M)
supp(H
i
a
(M)) i < t Ass
R
(H
t
a
(M))
M R
M a
f
a
(M) = inf{i ∈ N
0
|H
i
a

(M) }.
Ass
R
(H
f
a
(M)
a
(M))
Ass
R
(H
f
a
(M)
a
(M))
a R M R
t = f
a
(M) a
1
, , a
t
a
√
a =

(a
1

, , a
t
)

n
1
, ,n
t
∈N
Ass M/(a
n
1
1
, , a
n
t
t
)M
R
Ext
1
R
(•, •)
0 Ext
1
R
(•, •)
Ext
1
R

(•, •)
Ext
i
R
(•, •)
R a
H
i
a
(•) i
Γ
a
(•)
M R a
M
Γ
a
(M) = 0 :
M
a
∞
=

n≥1
(0 :
M
a
n
).
Γ

a
(M) = Γ
b
(M) M
√
a =
√
b
Γ
a
(•)
R
0 → M
′
→ M → M
′′
→ 0
0 → Γ
a
(M
′
) → Γ
a
(M) → Γ
a
(M
′′
).
H
i

a
(•)
i Γ
a
(•) R
M M
I
•
: 0
d
−1
→ I
0
d
0
→ I
1
d
1
−→ ···
d
i−1
−→ I
i
d
i
−→ I
i+1
d
i+1

−→ ··· .
Γ
a
(•) I
•
0
Γ
a
(d
−1
)
−→ Γ
a
(I
0
)
Γ
a
(d
0
)
−→ Γ
a
(I
1
)
Γ
a
(d
1

)
−→ ···
Γ
a
(d
i−1
)
−→ Γ
a
(I
i
)
Γ
a
(d
i
)
−→ Γ
a
(I
i+1
)
Γ
a
(d
i+1
)
−→ ··· .
i ∈ N
0

i M a
H
i
a
(M) := Ker(Γ
a
(d
i
))/Im(Γ
a
(d
i−1
)).
R
0 → L → M → N → 0.
a R
0 → H
0
a
(L) → H
0
a
(M) → H
0
a
(N) → H
1
a
(L) → ···
→ H

i
a
(L) → H
i
a
(M) → H
i
a
(N) → ··· .
Hom
R
(R/a, M)
∼
=
0 :
M
a
Γ
a
(M)
∼
=
lim
→
Hom
R
(R/a
n
, M)
a R

M R i ∈ N
0
Φ
i
a
: H
i
a
(M)
∼
=
lim
−−→
n∈N
Ext
i
R
(R/a
n
, M).
˘
C a