Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p10 pps

Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Thế vào điều kiện biên suy ra
g
a
(x) = u
a
(x, 0) = g
1
(x) - g
1
(0) -
l
x
(g
1
(l) - g
1
(0))
g
c
(x) = u
c
(x, d) = g
3
(x) - g
3
(0) -
l
x
(g

3
(l) - g
3
(0))
g
b
(y) = u
b
(l, y) = g
2
(y) - g
2
(0) -
d
y
(g
2
(d) - g
2
(0))
g
d
(y) = u
d
(0, y) = g
4
(y) - g
4
(0) -
d

y
(g
4
(d) - g
4
(0)) (8.7.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức
u(x, y) = u
0
(x, y) +

+
=








+

1k
kk
x
l
k
siny

l
k
shc)yd(
l
k
sha

+

+
=









+

1k
kk
y
d
k
sin)xl(
d
k

shdx
d
k
shb
(8.7.12)

Định lý
Cho các hàm g
1
, g
3
C
1
([0, l], 3) và g
2
, g
4
C
1
([0, d], 3) thoả mn
g
4
(0) = g
1
(0), g
1
(l) = g
2
(0), g
2

(d) = g
3
(l), g
3
(0) = g
4
(d)
Chuỗi hàm (8.7.12) với hàm u
0
(x, y) xác định theo các công thức (8.7.9) - (8.7.10) và
các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định theo các công thức (8.7.5) - (8.7.8) trong đó các hàm
g
a
, g
b
, g
c
và g
d
xác định theo công thức (8.7.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài
toán DE2.

Đ8. Bài toán Neumann

Bài toán NE1
Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm h C([0, 2], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
u
r
1
r
u
r
rr
1


+

= 0 với (r, ) D
0
(8.8.1)
và điều kiện biên
r
u


(R,

) = h(

) (8.8.2)


Tìm nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến
u(r,

) = V(r)

(

)
Click to buy NOW!
P
D
F

-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.

c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151
Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân
() + () = 0
r
2
V(r) + rV(r) - V(r) = 0, 3 (8.8.3)

Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập
u
0
= a
0
, u
k
(r, ) = r
k
(a
k
cosk + b

k
sink) với a
k
= C
k
A
k
, b
k
= C
k
B
k
, k
*


Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm
u(r, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(r
(8.8.4)

Thế vào điều kiện biên (8.8.2)
r
u


(R, ) =

+
=

+
1k
kk
1k
)ksinbkcosa(kR
= h()
Nếu hàm h có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
a
0
= u(0, )
a
k
=





2
0

1k
dkcos)(h
Rk
1
, b
k
=





2
0
1k
dksin)(h
Rk
1
(8.8.5)

Định lý Cho h C
1
([0, 2], 3) thoả mn h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số
a
k
và b
k
tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1.

Lập luận tơng tự nh các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây

Bài toán NE2b
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h
b
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
2
y
u
x
u


+


= 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0,
x
u

(l, y) = h
b
(y)

Định lý Cho hàm h
b
C
1
([0, d], 3). Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác
định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sinx
d
k
shb
với b
k
=

d
0
b
ydy
d
k
sin)y(h
d
lk
chk
2
(8.8.6)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 152 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Bài toán NE2d
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h
d
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0,
x
u


(0, y) = h
d
(y)

Định lý
Cho hàm h
d
C
1
([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác
định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=





d
0
d
ydy
d
k
sin)y(h
d
lk

chk
2
(8.8.7)

Bài toán NE2
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g
1
, g
3
C([0, l], 3) và h
2
, h
4
C([0, d], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, 0) = g
1
(x), u(x, d) = g
3
(x) và
x
u


(l, y) = h
2

(y),
x
u


(0, y) = h
4
(y)

Tìm nghiệm của bài toán NE2 dới dạng
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
a
(x, y) + u
b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y) (8.8.8)
Trong đó các hàm u
a
(x, y) và u
c
(x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm
u
b
(x, y) và u
d

(x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm
u
0
(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9)
là nghiệm của bài toán DE sao cho u

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật

Lập luận tơng tự nh bài toán DE2 suy ra
A = g
1
(0) B =
l
)0(g)l(g
11


C =
d
)0(g)0(g
13

D =
ld
)0(g)0(g)l(g)l(g
1313
+
(8.8.10)
Thế vào điều kiện biên suy ra
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153
g
a
(x) = g
1
(x) - g
1
(0) -
l
x
(g
1
(l) - g
1
(0))
g

c
(x) = g
3
(x) - g
3
(0) -
l
x
(g
3
(l) - g
3
(0))
h
b
(y) = h
2
(y) - (B + Dy)
= h
2
(y) -
l
)0(g)l(g
11

-
l
)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y

1313
+

h
d
(y) = h
4
(y) - (B + Dy)
= h
4
(y) -
l
)0(g)l(g
11

-
l
)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y
1313
+
(8.8.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức
u(x, y) = u
0
(x, y) +

+

=








+

1k
kk
x
l
k
siny
l
k
shc)yd(
l
k
sha

+

+
=

+

1k
kk
y
d
k
sin)xl(
d
k
shdx
d
k
shb
(8.8.12)

Định lý
Cho các hàm g
1
, g
3
C
1

([0, l], 3) và g
2
, g
4
C
1
([0, d], 3) thoả mn
a
g

(0) = h
d
(0),
a
g

(l) = h
b
(0) và
c
g

(0) = h
d
(d),
c
g

(l) = h
b

(d)
Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u
0
(x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và
các hệ số a
k
và c
k
xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số b
k
và d
k

xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm g
a
, g
c
, h
b
và h
d
xác định theo
công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2.




Bài tập chơng 8

Giải các bài toán Cauchy

1.
t
u


= a
2
2
2
x
u


u

t=0
=
2
x
xe


2.
t
u


= a
2
2

2
x
u


+ 3xt
2
u

t=0
= sinx
3.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
-t
u

t=0
= cosx

4.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= sinx

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D

F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

.
c
o
m
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Giải các bài toán giả Cauchy
5.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xsint u

t=0
= sinx, u(0, t) = 0
6.
t
u


= a

2
2
2
x
u


+ tsinx u

t=0
= xcosx, u(0, t) = e
t

7.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= cosx ,
x
u


(0, t) = sint
8.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
-t
u

t=0
= sinx ,
x
u

(0, t) = cost

Giải các bài toán hỗn hợp sau đây
9.
t
u


= a
2
2
2
x
u


u

t=0
= x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 0
10.
t
u


= a
2
2
2
x

u


+ tsinx u

t=0
= sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0
11.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ tcosx u

t=0
= cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t
12.
t
u


= a

2
2
2
x
u


+ 3xt
2
u

t=0
= 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint
13.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ (1 - x)e
t
u

t=0
= 1, u(0, t) = e
t
, u(l, t) = 0
14.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
t
u

t=0
= 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = e
t


Giải bài toán Dirichlet trong hình tròn
15. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u

r=2

= x
2
- xy + 2
16. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u(2, ) = A + Bsin
17. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = sin
3

18. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = cos
4

19. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, 2] và u(R, ) = 0

Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khăn

20. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = A, u(2, ) = B
21. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = 1 + cos
2
, u(2, ) = sin
2

22. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, ] và u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A


Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r

a
c
k
.
c
o
m