đại số tuyến tính hạng của hệ véc to hạng của ma trân

Bài 4.
Bài 4.
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VÉC TƠ,
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VÉC TƠ,
HẠNG CỦA MA TRẬN
HẠNG CỦA MA TRẬN

4.1. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ.
4.1. Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ.
4.2. Hạng của ma trận.
4.2. Hạng của ma trận.
4.3. Cách tìm hạng của ma trận.
4.3. Cách tìm hạng của ma trận.

4.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
4.1 Hạng của một hệ hữu hạn véc tơ
a. Định nghĩa.
a. Định nghĩa.
Cho một hệ gồm m véc tơ của không gian
Cho một hệ gồm m véc tơ của không gian
véc tơ V, m≥1. Số véc tơ của hệ con độc
véc tơ V, m≥1. Số véc tơ của hệ con độc
lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của
lập tuyến tính tối đại được gọi là hạng của
hệ véc tơ đã cho.
hệ véc tơ đã cho.



Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

Hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Cho hệ
Cho hệ


S
S
gồm m véc tơ(m≥ 1) của không
gồm m véc tơ(m≥ 1) của không
gian véc tơ V trên trường K. Hệ
gian véc tơ V trên trường K. Hệ
T
T
gồm r
gồm r
véc tơ của hệ
véc tơ của hệ
S
S
được gọi là hệ con độc
được gọi là hệ con độc
lập tuyến tính tối đại nếu
lập tuyến tính tối đại nếu
T
T
độc lập tuyến
độc lập tuyến
tính và mọi véc tơ của hệ
tính và mọi véc tơ của hệ
S

S
đều biểu thị
đều biểu thị
tuyến tính được qua hệ
tuyến tính được qua hệ
T
T
.
.

b. Hệ quả.
b. Hệ quả.
-
Hệ quả 1. Nếu thêm vào một hệ hữu hạn
Hệ quả 1. Nếu thêm vào một hệ hữu hạn
véctơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ
véctơ đã cho một tổ hợp tuyến tính của hệ
thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã
thì hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã
cho.
cho.
-
Hệ quả 2. Hai hệ hữu hạn véc tơ tương
Hệ quả 2. Hai hệ hữu hạn véc tơ tương
đương có cùng hạng.
đương có cùng hạng.

Định nghĩa: Hai hệ hữu hạn véc tơ của một
Định nghĩa: Hai hệ hữu hạn véc tơ của một
không gian véc tơ V được gọi là tương

không gian véc tơ V được gọi là tương
đương nếu mỗi véc tơ của hệ này biểu thị
đương nếu mỗi véc tơ của hệ này biểu thị
tuyến tính được qua hệ kia.
tuyến tính được qua hệ kia.

4.2. Hạng của ma trận
4.2. Hạng của ma trận
a. Định nghĩa 1.
a. Định nghĩa 1.
Cho ma trận A kiểu (m,n),
Cho ma trận A kiểu (m,n),
Coi mỗi dòng của ma trận như một vectơ trong
Coi mỗi dòng của ma trận như một vectơ trong
không gian véc tơ K
không gian véc tơ K
n
n
. Thì hạng của hệ véc
. Thì hạng của hệ véc
tơ dòng
tơ dòng
là hạng của ma trận A. Ký hiệu hạng(A)
là hạng của ma trận A. Ký hiệu hạng(A)















=
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
A




21
22221
11211
( )
( )
aaa
aaa
aaa
mnmmm
n

n
, ,,

, ,,
), ,,(
21
222212
112111
=
=
=
α
α
α

b. Định nghĩa 2. Cho ma trận A kiểu (m,n).
b. Định nghĩa 2. Cho ma trận A kiểu (m,n).
Chọn k dòng và k cột của nó. Các phần tử
Chọn k dòng và k cột của nó. Các phần tử
nằm ở giao của k dòng và k cột này lập
nằm ở giao của k dòng và k cột này lập
thành một ma trận vuông cấp k. Định thức
thành một ma trận vuông cấp k. Định thức
của ma trận vuông này được gọi là một
của ma trận vuông này được gọi là một
định thức con cấp k của ma trận A.
định thức con cấp k của ma trận A.

c. Định lý.
c. Định lý.

Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của
Hạng của ma trận bằng cấp cao nhất của
các định thức con khác 0 của nó.
các định thức con khác 0 của nó.
d. Hệ quả. Hạng của ma trận bằng hạng của
d. Hệ quả. Hạng của ma trận bằng hạng của
hệ vec tơ cột của nó.
hệ vec tơ cột của nó.

4.3. Cách tìm hạng của ma trận
4.3. Cách tìm hạng của ma trận
Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0
Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0
-
Giả sử đã tìm được định thức con D cấp s khác
Giả sử đã tìm được định thức con D cấp s khác
0.
0.
-
Xét tất cả các định thức con cấp s+1 chứa D.
Xét tất cả các định thức con cấp s+1 chứa D.
-
Nếu tất cả các định thức này đều bằng 0 thì
Nếu tất cả các định thức này đều bằng 0 thì
hạng của ma trận bằng s.
hạng của ma trận bằng s.
-
Nếu có một định thức con cấp s+1 khác 0 thì ta
Nếu có một định thức con cấp s+1 khác 0 thì ta
lại tiếp tục làm như trên cho tới khi tìm được một

lại tiếp tục làm như trên cho tới khi tìm được một
định thức con cấp r mà tất cả các định thức con
định thức con cấp r mà tất cả các định thức con
cấp r+1 đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.
cấp r+1 đều bằng 0 thì hạng của ma trận bằng r.

Ví dụ: Bài 16. Tìm hạng của ma trận
Ví dụ: Bài 16. Tìm hạng của ma trận
d.
d.














−
−
=
4220
0112
1101

6341
D

0
112
101
707
112
101
341
=
−
−
−
=
−
−

010
01
107
012
101
1007
012
101
641
≠−=
−
−

−=
−
−
=−

0
20
10
2
211
200
100
2
211
1277
744
2
4220
12770
7440
6341
4220
0112
1101
6341
=
−
−
−=−
−

−=−=
−−−
=
−
−

Vậy hạng(D)= 3
Vậy hạng(D)= 3