Chương 2: Đại số tuyến tính

CHNG2:ĐISTUYNTÍNH

§1.CÁCPHNGTRÌNHĐISTUYNTÍNH
1.Hphngtrìnhđyđ:TaxéthphngtrìnhAx=B.Đtìmnghimca
htadùnglnhMATLAB:
 x=inv(A)*B
hay:
 x=A\B

2.Hphngtrìnhcóít
phngtrìnhhnsn(underdetermined):Khigii
htrêntađãdùngnghchđomatrn.Nhvytachnhnđcktqukhi
matrnAvuông(sphngtrìnhbngsnsvàđnhthcc
aAphikhác
không).HcósphngtrìnhíthnsnhayđnhthccamatrnAca
hđyđbng0gilàhunderdetermined.Mthnhvycóthcóvôs
nghimvimthaynhiubinphthucvàocácbincònli.Vimthnh
vyphngphápCramerhayphngphápmatrnnghchđokhôngdùng
đc.Khisphng
trìnhnhiuhnsnphngphápchiatráicũngcho
nghim vi mt vàin s đc cho bng 0. Mt ví dđn gin là phng
trìnhx+3y=6.Phngtrìnhnàycór
tnhiunghimtrongđócómtnghim
làx=6vày=0:
 a=[13];
 b=6;
 x=a\b
 x=
6
0
Snghimvôhncóthtnti

ngayckhisphngtrìnhbngsn.Điu
này xy ra khi det(A) = 0. Vi h này ta không dùngđc phng pháp
Cramer và phng pháp ma trn nghchđo và phng pháp chia trái cho
thông
báolà matrnAsuy bin.Trongtrnghp nhvytacóthdùng
phng pháp gi nghchđođtìmđc mt nghimgilànghimchun
minimum.
Víd:Chohphngtrình 
 x+2y+z=8
 0x+y+0z=2
 x+y+z=6

29
Khidùngphépchiatráitanhnđc:
 y=a\b
 Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.
y=
  Inf
  Inf
  Inf
Nutadùngphngphápginghchđothìcó:
 a=[121;010;111]
b=[8;2;6]

x=pinv(a)*b
 x=
  2.00000000000000
  2.00000000000000
  2.00000000000000
 Mthcũngcóthcóvôsnghimkhicóđsphngtrình.Vídta

cóh:
 2x4y+5z=4
4x2y+3z=4
 2x+6y8z
=0
Tronghnàyphngtrìnhth3làtngcahaiphngtrìnhtrênnênhtht
schcó2phngtrình.
 Tómlimthmuncónghimduynhtphicócácph
ngtrìnhđc
lp.Vicxácđnhcácphngtrìnhtronghcóđclphaykhôngkhákhó,
nht làđi vi h có nhiu phng trình. Tađa ra mt phng pháp cho
phépxácđnhhph
ngtrìnhcónghimvàliunghimđócóduynhthay
không.Phngphápnàyđòihishiubitvhngcamatrn.
 Taxemxétđnhthccamatrnsau:


⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
379

2106
143
Nutaloitrmthàngvàmtctcamatrnchúngtacònlimatrn2×2.
Tutheohàngvàctbloitacó9matrncon.Đnhthccacácmatrnnày
gilàđnhthccon.Vídnutabhàng1vàct1tacó:

44
37
210
=
−


30
Cácđnh thcconcóthdùngđxácđnhhngcamatrn.Hngcama
trnđcđnhnghĩanhsau:
MtmatrnAm
×
ncóhngr
≥
1nuvàchnu
đnhthccaAchamtđnhthcr
×
rvàmiđnhthcconvuôngcór+1hàng
hayhnbng0.

Đxácđnhhngcamatrntacólnhrank
Víd: 

a=[341;6102;973];

 rank(a)
 ans=
2

HphngtrìnhAx=Bcómphngtrìnhvànncónghimnuvàchnu
rank(A)=rank([AB]).GihngcaAlàr,nur=nthìnghimlàduynht.
N
ur<nthìhcóvôsnghimvàrncóthbiudinnhlàthptuyn
tínhcanrncònlimàgiátrcóthchnbtkì.
Víd:Giihphngtrình
 3x2y+8z=48
6x+5y+z=12
 9x+4y+2z=24
Tavit:

a=[328;651;942];
 b=[48;12;24];
 rank(a)
 ans=
3
 rank([ab])
 ans=
3
Vyhcónghimduynht:
 x=a\b
 x=
2
1
5


Víd:Giih
 2x4y+5z=4
6x2y+3z=4
 2x+6y8z=0

31
Tavit:

a=[245;623;268];
 b=[4;4;0];
 rank(a)
 ans=
2
 rank([ab])
 ans=
2

Vyhcóvôsnghim.Mttrongcácnghimlà:
x=pinv(a)*b
x=
1.21481481481481
0.20740740740741
0.14814814814815

3. Hphng trìnhoverdetermined: H phng trình trongđó s phng
trìnhđc lp nhiu hn s n gi là h overdetermined.Đi vi h này
phngphápCramervàphngphápnghchđomatrnkhôngdùngđc.
Tuynhiênmtshchonghimđúngxácđnhbngphépchiatrái.Đivi
các h khác không có nghim chính xác. Khi r = rank(a) = rank([a b]) h có
nghimvànur=nnghimlàduynht.Khirank(a)

≠rank([ab])hkhôngcó
nghim.
Víd:Giimchđingm3nhánhnisongsong:nhánh1cótngtrZ1=
5+2jvàngune=100sin(314t+30
0
),nhánh2cótngtrZ2=3+4jvànhánh3
cótngtr5+6j.Tavitphngtrìnhcamchđintheodòngnhánh.Sauđó
rútramatrnAvàB.CáclnhMATLAB:
a=[111;5+2*i3+4*i0;0(3+4*i)5+6*i]
e=100*exp(i*(30*pi/180))
b=[0;e;0];
i=a\b
i=
25.25569272231586+19.27124163998603i
15.6348277775095011.44276084484129i
9.620864944806367.82848079514474i




32
§2.NISUY
1.Nisuyhàmmtbin:MATLABdùng2kiunisuy:nisuyđathcvà
nisuytrêncsbinđiFourriernhanh,
 a.Nisuyđathc:MATLABdùnghàminterp1(x,y,xi,<phngpháp>)
vix,làgiátrcahàmtinhngđimđãchovàxilàgiátrmàtiđótacn
nisuyragiátryi.<phngpháp>cóthlà
mttrongcácgiátrsau:
 ‘nearest’ phng pháp nàyđt giá tr ni suy vào giá tr đã cho gn
nht,Phngphápnàynhanhnhngktqukémchínhxácnht

Víd: x=[12345];
y=[5.543.1128290.7498.4];
yi=interp1(x,y,1.6,nearest)
yi=
43.1000
 ‘linear’ phng pháp này coiđng congđi qua 2đim cho trc là
đngthng.
Víd: yi=interp1(x,y,1.6,linear)
yi=
28.0600

 ‘spline”dùngphngphápnisuyspline
Víd: yi=interp1(x,y,1.6,spline)
yi=
24.9782

 ‘cubic’phngphápnàycoiđngcongqua2đimlàđngcongbc
3
Víd: yi=interp1(x,y,1.6,cubic)
yi=
22.3840
 b.NisuyFTT:Hàminterpftthchinnisuyhàmmtbinsdng
phngphápFFT(FastFourrierTransform).Phngphápnàytínhtoánbin
điFourriermtvectchacácgiátrcamthàmchukì.
Nhvyphng
phápnàytínhbinđiFourrierngcsdngnhiuđim.Dnghàmlà:
 y=interpft(x,n)
Víd: y=interpft(x,4)
y=
1.00002.62363.00005.3764



33