xác xuất ánh xạ tuyến tính

1
C. V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. ĐỊNH NGHĨA:
a. Định nghĩa:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K.
Một ánh xạ
:
f
EF

 được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
có các tính chất sau:
i.
,()()()
x
xEfxx fx fx
 
  

ii.
() ()
x
EK fxfx


   


 Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian
vectơ.
 Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu

là
(,)
H
om E F
hay
(,)
E
F
L
.
 Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là
phép biến đổi tuyến tính của E.
Ta ghi
()
H
om E thay cho (,)
H
om E E .
 Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.
 Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu
 Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu.
b. Thí dụ:
 Td1: Ánh xạ đồng nhất
:
E
Id E E


là 1 phép biến
đổi tuyến tính của E.

 Td2: Ánh xạ không

0:
0
F
E
F
x



 Td3: Ánh xạ

|
23
:
(, ) ( ,2, 3)
g
x
yxyxxy

  



là một phép biến đổi tuyến tính của
3
 .
2
Vì:



2
(, ), ( , )uxyvxy

  


( ) [( , ) ( , )] [( , )]
g
uv
g
x
y
x
yg
xx
yy


    





= ( ) ( ), 2( ), ( ) 3( )
x
xyyxxxx yy
 

   


(,2,3)( ,2,3)
xy
xx
y
x
y
xx
y

 
    



() ()
g
u
g
v



2
(, )uxy

  

() [(, )]( ,2, 3)
g
u
g
x
y
x
y
xx
y

     
 


(,2,3) ()
x
yxx y gu


 

2. TÍNH CHẤT
a. Mệnh đề 1
:
Cho (,)
f
Hom E F , khi đó:
i)

(0) 0
f
 vì () (0) 0()
f
O
f
O
f
OO

)
ii)
() ()
f
xfx

iii)


11
11
,, ,,
() ()
nn
nn
ii i i
ii
x
xE K
fx fx





 





b. Mệnh đề 2:
Cho
(,)
f
Hom E F .
Nếu f là 1 đẳng cấu thì
1
f

cũng là đẳng cấu (từ F vào E).

c. Mệnh đề 3:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K.

Giả sử
1
, ,
n
aa là 1 cơ sở của E, và
1

, ,
n
bb là n vectơ nào
đó của F.
Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa

()
1, ,
ii
f
ab
in






3
Chứng minh:

1
n
ii
i
x
Ex ta

 


,
đặt
1
()
n
ii
i
f
xtb



. Dễ thấy
(, )
f
Hom E F

.
 Nếu có (,)
g
Hom E F thỏa
()
1, ,
ii
ga b
in






thì :

1
11 1
,
() ( ) ( ) ()
n
ii
i
nn n
ii i i ii
ii i
xEx ta
gx g ta tga tb f x



 


 

Vậy
gf
 .

d. Mệnh đề 4:
Nếu
(, )

f
Hom E F
và
(,)gHomFG

thì
(,)gf HomEG

.

Thí dụ:
Trong không gian vectơ
3

, cho các vectơ
(1,1, 0), (1, 0, 1), (0,1, 2)ab c và
(1, 1,0), ( 1,0,0)uv  .
a)
Chứng minh a,b,c là cơ sở của
3
 .
b)
Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của
3

mà
() , () , ()
f
av
f

buv
f
cu.
Tính
(, ,)
f
x
y
z .
Bài làm:
a) ta có

110 110
101 0 11 10
012012
D 

nên a, b, c độc lập tuyến tính.
Mà
3
dim 3
, nên a, b, c là cơ sở của
3
 .

4
b)

3
(,,)uxyz 

(2)(22)( )ux
y
za x
y
zb x
y
zc       
nên

(, ,) (( 2 ) (2 2 ) ( ))
f
x
y
z
f
x
y
za x
y
zb x
y
zc

(2)( (2 2 ) ) )()()(
x
yz x yz x
f
fczaby

f
       

(2)(22)[]( )
x
yzv x yzuv xyzu        


(2 3 2 , 3 3 3 ,0)
xy
zx
y
z

3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính.

Cho ánh xạ tuyến tính
(, )
f
Hom E F

.
Tập hợp
() {()/ }
f
EfxxE
được gọi là ảnh của ánh xạ
tuyến tính f.
Ký hiệu:

Im
f


Thí dụ:
Im0 {0} 0, Im
E
Id E




Mệnh đề 5:

Im
f
là một không gian con của F.

 Mệnh đề 6:
Cho (, )
f
Hom E F .
Nếu
1
, ,
n
aa là một họ sinh của E thì
1
( ), , ( )
n

f
afa là một
họ sinh của
Im
f
.
Chứng minh:
Hiển nhiên
1
(), ,( )Im
n
f
afa f

.
Ngoài ra,
Im ( )
yf
xE
yf
x  
Vì
x
E nên
1
n
ii
i
x
a





, suy ra

1
() ( )
n
ii
i
yfx fa




.
Vậy
1
( ), , ( )
n
f
afa là một họ sinh của Im
f
.

5
NHẬN XÉT:
f
toàn ánh



Im
f
F




Thí dụ:
Cho phép biến đổi tuyến tính

33
:f 


(, ,) ( 2, , )
xy
zx
yy
zx
y
z



Tìm một cơ sở của
Im
f
.

Giải:
Vì cơ sở tự nhiên

123
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)ee e
là 1 họ sinh của
3

nên

12 3
( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe
là một họ sinh của
Im
f
.
Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
12 3
( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe
sẽ là 1 cơ sở của
Im
f
.
Ta có:

1
2
3
() 1 0 1 101 1 01

() 21 1 011 011
()0 1 1 011 000
fe
fe
fe


 



,

suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
12 3
(),( ), ()
f
efe fe là
12
(),( )
f
efe.
Đây là 1 cơ sở của
Im
f
.

 HẠNG CỦA AXTT:

Cho (, )

f
Hom E F .
Số chiều của Im
f
được gọi là hạng của f.
Ký hiệu rank( )
f
.
Tóm lại:
rank( ) dimIm
ff



b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính.
Cho ánh xạ tuyến tính
(, )
f
Hom E F

.
6
Tập hợp
{/()0}
x
E
f
x
được gọi là hạt nhân của ánh xạ
tuyến tính f.

Ký hiệu:
ker
f

Thí dụ:
i)
ker0
E
 ,
ker 0
E
Id


ii) Cho ánh xạ tuyến tính

32
:
(, ,) ( , )
x
yz x y z y







(0,0,0) (0,0) 0 (0,0,0) ker


 

(1,1,1) (0,0,0) (1,1,1) ker

   

 Mệnh đề 7:

ker
f
là một không gian con của E.

 Mệnh đề 8:
Cho ánh xạ tuyến tính (,)
f
Hom E F

.

f
đơn ánh ker 0
f
.

Chứng minh:
(
):
 0ker
f



ker ( ) 0 (0) 0
x
ffx f x    
. Suy ra
ker 0
f


(
)

,()()()0
x
x E fx fx fx x

   


ker 0 0
x
xf xx xx

  
.

 Hệ quả 9:
Cho (, )
f
Hom E F là một đơn cấu. Nếu

1
, ,
n
aaE độc
lập tuyến tính thì
1
( ), , ( )
n
f
afa
độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Xét
1
()0
n
ii
i
fa




, suy ra

11
()0 ker0
nn
ii ii
ii

fa a f


  


1
00
n
ii i
i
ai




.
7
Vậy
1
( ), , ( )
n
f
afa
độc lập tuyến tính.

 Mệnh đề 10:
Cho
(, )
f

Hom E F

và
dim
E
n

.
Ta có:

Imdi kermdim dim
f
f
E


Chứng minh:
Giả sử
dimker
f
pn và gọi
1
, ,
p
aa
là một cơ sở của ker
f
.
Bổ sung
1

, ,
p
aa
đến một cơ sở
11
, , , , ,
p
pn
aab b

của E.
Ta cần chứng minh
1
( ), , ( )
pn
f
bfb

là cơ sở của
Im
f
.
Thật vậy:
 Vì
11
, , , , ,
p
pn
aab b


là họ sinh của E nên ảnh của
chúng:

11
( ), , ( ), ( ), , ( )
pp n
f
afafb fb

là họ sinh của Im
f
,
nhưng vì
1
() ( )0
p
fa fa 
nên
1
( ), , ( )
pn
f
bfb

sinh
Im
f
.

 Nếu

11
0() ()()
pp nni
f
bfbK


 
thì
11
0( )
p
pnn
f
bb



.
Suy ra

11
11 11
ker
pp nn
pp nn pp
bbf
bbaa












11 1 1
0
pp p p nn
aa b b




   


11
0
pp n




   

Do đó
dimIm dimker dim
ff
nppn E

  .

Mệnh đề 11:
Cho (,)
f
Hom E F và dim dim
E
Fn

 .
Khi đó, 3 điều sau tương đương:
i)
f đơn cấu
ii)
f toàn cấu
iii)
f đẳng cấu.

8
Chứng minh:
Ta biết
dimIm dim dimker
f
Ef
, do đó:

o Nếu f đơn cấu thì
dimker 0
f

dimIm dim Im
f
E
f
F,
vậy f toàn ánh.
o Nếu f toàn ánh thì
Im
f
F dimIm dim
f
Edimker 0
f

, vậy f
đơn ánh.
Thí dụ:
Tìm cơ sở của ker

với

32
:
(, ,) ( , )
x
yz x y z y








Giải:

3
(,,)uxyz 

ker ( , , ) 0uxyz


 

0
0
xy
yz









(,,),
xy
yuyyyy
zy




 





Suy ra một cơ sở của
ker

là
1
( 1,1,1)u


.

4. KHÔNG GIAN VECTƠ ĐẲNG CẤU

a. ĐỊNH NGHĨA:
Không gian vectơ E gọi là đẳng cấu không gian vectơ F nếu
có một ánh xạ đẳng cấu từ E đến F.

Ký hiệu:
E
F

b. TÍNH CHẤT:
E
E
EF FE
E
FFG EG






9
c. Mệnh đề 12:
Cho 2 không gian vectơ E và F.
dim dim
E
FEF 
.

5. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.

a. Định nghĩa:
Cho
(,)
f

EF
L
.
Giả sử
1
( ) : , ,
n
aa a là một cơ sở của E.

1
( ) : , ,
m
bb b
là một cơ sở của F.
Giả sử

1
()
1, ,
m
j
ij i
i
f
atb
jn











Khi đó, ma trận


11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
tt t
tt t
A
tt t












được gọi là ma trận của
f đối với cơ sở
()
a
và cơ sở
()
b
.
Ký hiệu
(,(),())
Mf
ab.

b. Thí dụ :
Cho ánh xạ tuyến tính
32
:
(,,) ( , )
f
x
yz x y zx y






Viết ma trận của f đối với cơ sở

12 3
(1,1,0), (0,2,2), (2,0,2)aa a 
của
3
 và cơ sở

12
(1,1), (1, 1)bb
của
2
 .
Bài làm:
Ta có :
12 3
( ) (2,0), ( ) (4, 2), ( ) (4,2)fa fa fa

 
Và
10

112
212
312
()
() 3
()3
f
abb
f
abb

f
abb




Nên

113
(,( ),( ))
131
ij
Mf a b









c. GHI AXTT BẰNG MA TRẬN

Cho (,)
f
EF
L

và

1
( ) : , ,
n
aa a
là một cơ sở của E,

1
( ) : , ,
m
bb b là một cơ sở của F.
Giả sử ma trận của
f đối với cơ sở ()a và cơ sở ()b là

11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
tt t
tt t
A
tt t














Cho
x
E

và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở ()a là
1
n
x
X
x












Cho
yF có tọa độ đối với cơ sở ()b là

1
m
y
Y
y













Khi đó ta có :


Mệnh đề 13 :


()yfx YAX


Chứng minh
:
11

Với các giả thiết ở trên :

11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
tt t
tt t
A
tt t











,
1
n
x
X
x












 ,
1
m
y
Y
y











 ,
ta có :

111
() ( ) ( )
mnn
ii j j j j
ijj
yb y f x f x a x f a

  



11 11
nm mn
j
ij i j ij i
ji ij
x
tb xt b
 





 




1

, 1, ,
n
ijij
j
yxtim




YAX


.

Thí dụ :
Cho phép biến đổi tuyến tính f của
3
 có ma trận đối với cơ sở
chính tắc của
3
 là :

10 1
21 0
10 0
A









a)
Tính (2,3,1)
f

b)
Xác định (, ,)
f
xyz
c)
Tìm 1 cơ sở của Im
f


Bài làm :
a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là
2
3
1
X







Suy ra tọa độ của
()yfu

đối với csct là

10 12 1
21 0 3 7
10 0 1 2
YAX

  
  
 
  
  
  

12
Vậy
() (1,7,2)
f
u 
.

b)
Tương tự, tọa độ của (, ,)
xy
z đối với cơ sở chính tắc
là
x

Xy
z







Suy ra tọa độ của
(, ,)
f
x
y
z đối với csct là

10 1
21 0 2
10 0
x
xz
YAX y xy
zx




 





Vậy
() ( ,2 ,)
f
uxzx
y
x  .

c)
Họ vectơ

1
2
3
() (1,2,1)
()(0,1,0)
( ) ( 1,0,0)
fe
fe
fe




là họ sinh của
Im
f
.
Và vì

123
(), ( ), ()
f
efe fe
độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của
Im
f
.

d. THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI
TUYẾN TÍNH KHI ĐỔI CƠ SỞ.

Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E.
Xét 2 cơ sở
1
( ) : , ,
n
aa

và
1
( ) : , ,
n
bb

của E.
Giả sử :
o ma trận chuyển từ
()


sang
()

là T
o ma trận của f đối với cơ sở ()

là A.
o ma trận của f đối với cơ sở ()

là B.
Khi đó, ta có :

Mệnh đề 14 :

1
BT AT



13

Thí dụ :
Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính

33
:
(, ,) ( , , )
f
x
yz x y zy z xy


 



đối với cơ sở
12 3
(1,1,2), (1, 1, 1), (0,1,1)aa a.

Bài làm :
Cách 1 :
Ta có :

1
2
3
()(0,2,1)
( ) (1,3,1)
()(0,2,1)
fa
fa
fa




Tọa độ của
(,,)
xy
z đối với cơ sở

123
,,aa a
:


12 3
(, ,) ( ) ( ) ( 3 2)
x
yz z ya x y za x y za   
Do đó :
Vậy
12 1
(,()) 1 1 1
464
Mf a















Cách 2 :

Xét cơ sở chính tắc
12 3
,,ee e
.
Ta có

1
2
3
() (1,1,0)
( ) (1,1,1)
()(1,1,0)
fe
fe
fe




Suy ra


11 1
(,()) 11 1
010
i
Mf e A















Ma trận chuyển từ cơ sở ()
i
e sang cơ sở ()
i
a là
14

110
111
211
T













1
011
11 1
13 2
T






 









Do đó :
1

12 1
(,( )) 1 1 1
464
i
Mf a B T AT







  









6. KHÔNG GIAN VECTƠ
(,)
E
F
L
.
Mệnh đề 15 :

Tập hợp
(,)
E
F
L
có cấu trúc của một không gian vectơ với
2 phép toán sau:


,(,) :
() ()
fg EF f g E F
x
fx gx
  

L


(,) :
()
f
EF K f E F
x
fx


   

L

Mệnh đề 16 :
Cho 2 không gian vectơ
E và F trên trường K, với dim
E
n

,
dim
F
m . Khi đó:

(,) (,)
K
E
FMatmn
L


Chứng minh:
Chọn 1 cơ sở
1
( ) : , ,
n
aa a của E và 1cơ sở
1
( ) : , ,
m
bb b của F.

Ta xét tương ứng:

:(,) (,)
K
E
FMatmn


L

( ,( ),( ))
f
Mf a b
Dễ thấy

là ánh xạ.


là ánh xạ tuyến tính vì
( ,( ),( )) ( ,( ),( )) ( ,( ),( ))
Mf g
ab M
f
ab M
g
ab



 

15

(,)
ij K
A
tMatmn

 


Đặt
1
, 1, ,
m
jiji
i
utbjn



.
Khi đó
!(,)(),
jj
f
EF f a u j  
L
,
Hiển nhiên
(,(),())

Mf
ab A

, nên

()
f
A


. Vậy

song ánh.

Do đó
(, ) (,)
K
E
FMatmn
L



7. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN

a. ĐỊNH NGHĨA 1 :
Cho phép biến đổi tuyến tính
()
f
Hom E


.
Cho vectơ
\0uE và số
K


.
Vectơ
u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị
riêng

nếu ()
f
uu


.

Thí dụ :

 Cho

33
:
(,,) ( , , )
f
x
yz x yy zz x







Ta thấy :

(1,1,1) 0 0(1,1,1)
f

 . Vậy
3
(1,1,1)u  là 1 vectơ
riêng của
f ứng với giá trị riêng 0


.
 Cho

22
:
(, ) ( ,2 2)
g
x
yxyxy





Ta thấy :

(1, 2)v  là 1 vectơ riêng của g vì
( ) (1,2) (3,6) 3(1,2) 3
g
v
g
v. Giá trị riêng tương ứng là
3

 .
16
NHẬN XÉT :
Giả sử
1
( ) : , ,
n
aa a
là 1 cơ sở của E và
(,())
A
M
f
a
.
Nếu
uE
là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng


và
tọa độ của
u đối với
()a
là U, thì

()
f
uu AUU


 


b. ĐỊNH NGHĨA 2 :
Cho ma trận vuông A cấp n trên trường K. Ta gọi vectơ
1
( , , )
n
n
uu u K là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng

nếu :
 0u 

11
nn
uu
KA
uu






 







.


Thí dụ :
Cho
211
020
112
A






, vectơ
3

(1, 1,1)u  
là vectơ
riêng của
A vì :

12 1
1221
12 1
A
 
 
 
 
 
 



MỆNH ĐỀ 17:
Nếu
1
, ,
k
uu là các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác
nhau đôi một
1
, ,
k



thì
1
, ,
k
uu
độc lập tuyến tính.

c. ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN VUÔNG

 Cho ma trận vuông A cấp n. Khi đó :
Đa thức
() det( )
n
PAI



 được gọi là đa thức đặc
trưng của ma trận
A.
17
Thí dụ :
Đa thức đặc trưng của
12
10
A









là
2
12
() 2
1
P






.

 Nếu u là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng


thì

()0
n
AU U A I U



 


.
Vậy hệ phương trình thuần nhất
()0
n
AIU




có
nghiệm không tầm thường (vì 0
u

), suy ra
det( ) 0
n
AI



, nghĩa là


là nghiệm của đa thức đặc
trưng
() det( )
n
P
AI





của A.

d. PHƯƠNG PHÁP TÌM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRị
RIÊNG :

 Tìm giá trị riêng :
o
Tính đa thức đặc trưng ( ) det( )
n
P
AI



 của A.
o
Giải phương trình () 0P


tìm nghiệm thực (nếu
có), đó là các giá trị riêng cần tìm.

 Tìm vectơ riêng :
o
Giả sử



là giá trị riêng của A.
o
Giải hệ thuần nhất
()0
n
AIU




. Nghiệm khác 0
của hệ này là vectơ riêng của
A.
Tất nhiên, ta chỉ cần xác định họ nghiệm cơ bản của
hệ là đủ để xác định tất cả vectơ riêng của
A.

Thí dụ :
Tìm vectơ riêng của
001
010
100
A












.
Giải :
18
Đa thức đặc trưng
2
01
() 0 1 0 ( 1)( 1)
10
p




 

.
Các giá trị riêng là
1


hay
1




.

 1:


Xét hệ phương trình

10 1
000 0()
10 1
x
yI
z









()
xt
Iyr
zt













.

Vậy các vectơ riêng ứng với 1


là
3
(, ,)utrt với

22
0rt.
Một họ nghiệm cơ bản là
12
(1,0,1), (0,1,0)uu


.

 1:


 Xét hệ phương trình

101
020 0()
101
x
yII
z







() 0
x
t
II y
zt












Vậy các vectơ riêng ứng với 1


 là
3
(,0,)utt  với 0t

.
Một họ nghiệm cơ bản là
3
(1, 0, 1)u

 .





19
e. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG

 MA TRẬN ĐỒNG DẠNG :

Hai ma trận vuông A, B cấp n gọi là đồng dạng nếu có
ma trận không suy biến
T sao cho :

1
B

TAT


.
Như vậy 2 ma trận của cùng 1 phép biến đổi tuyến
tính luôn luôn đồng dạng.

 MA TRẬN CHÉO :

Ma trận chéo là một ma trận vuông có dạng


11
22
00
00
00
nn
a
a
a












Thí dụ :


100 2 0 0
010,0 30
001 0 0 0
 
 

 
 
 

 Nếu ma trận A đồng dạng với một ma trận chéo thì ta nói
ma trận
A chéo hóa được, và ma trận chéo đó gọi là dạng
chéo của
A.
 Việc tìm ma trận chéo đồng dạng với A được gọi là chéo
hóa ma trận
A.

 MỆNH ĐỀ 18 :

Nếu trong không gian
n
 có 1 cơ sở gồm toàn vectơ
riêng của A thì A chéo hóa được.


Thí dụ :
Ma trận
001
010
100
A











là chéo hóa được, vì theo trên
20
ta có
12
(1,0,1), (0,1,0)uu


,
3
(1, 0, 1)u



là 3 vectơ
riêng của
A tạo thành 1 cơ sở của
3
 .
Dạng chéo của
A là :


11
22
1
11
22
0
00110 1 10 0
01 0 01001 0 01 0
10010 1 00 1
0
BT AT



   


   

 


   


   




   





21
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1.
Cho E và F là các không gian vectơ trên trường K và ánh xạ
:
f
EF

 .
Chứng minh 3 mệnh đề sau tương đương:
a.
f là ánh xạ tuyến tính.
b.

,,()()()
x
xE K
f
xx
f
x
f
x






    
.
c.
,()()()
x
xE K
f
xx
f
x
f
x




  


2.
Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính:
a.

32
:f 


|
(, ,) ( , )
x
yz x y zx z

 
b.

34
:f 

|
(, ,) (, , , )
x
yz zy z xx y


c.

33
:f 

|
(, ,) ( , , )
x
yz x yy zz x

  

d.

:(2) (2)gMat Mat





|
0
0
ab ab
cd cd

  

  

  

Trong các ánh xạ trên, cái nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu?

3.
Cho các vectơ
12 3 4
(1,1,1), (2, 1,1), (0,3,1), (0,1,1)aa a a 
và
các vectơ
12 3 4
(2,1,1), (5,2,0), ( 1,0,2), (1,2,0)bb b b 
trong
3
 .
Chứng minh có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất
f
của
3

mà:
() , 1,2,3,4
ii
fa b i .

4.
Tìm hạng của các ánh xạ tuyến tính ở câu 2).

5.
Cho ánh xạ
33
:f 

|
(, ,) ( , ,)
x
yz x yx yx 
22
a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính của
3

.
b.
Tìm một cơ sở của Imf và kerf.
c.
Cho
3
(,,)uxyz
. Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để
Imu
f
 . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để keru
f
 .
d.
Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của
3

.
e.
Viết ma trận của f đối với cơ sở
123

( 1,1,0), (0, 1,1), (1,0,1)aa a   
của
3
 .
6.
Cho phép biến đổi tuyến tính f của
4
 . Biết f biến cơ sở chính tắc
1234
,,,ee e e của
4
 thành các vectơ
12
( ) (1,0,1,0), ( ) (1,1,1,1)fe fe ,
3
()(0,1,0,1)fe

và
4
( ) ( 2,1,0,1)fe 
.
a.
Tìm hạng của f.
b.
Cho
4
(,,,)uxyzt
. Hãy xác định
()
f

u
theo ,,,
x
yzt.
c.
Tìm cơ sở của Im
f
và ker
f
.
d.
Cho
4
(,,,)uxyzt
. Tìm điều kiện cần và đủ đối với
,,,
x
yztđể
Imuf
,
keruf

.
e.
Viết ma trận của f đối với cơ sở
123
4
( 1,1,0,0), (0, 1,1,0), (1,0,1,0),
(1,1,0,1)
aa a

a
   

của
4
 .

7.
Cho phép biến đổi tuyến tính

|
(, ,)
33
2
:
(, , )
xyz
f
x
yzxmyzxymz




trong đó m là một tham số thực.
A)
a.
Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của
3


.

b.
Tìm giá trị của m để hạng của f bằng 1.

B)
Trong phần sau, ta cho 1m

 .
a.
Hãy tìm một cơ sở của Im
f
và một cơ sở của ker
f
.
b.
Viết ma trận của f đối với cơ sở
12 3
(1,1,0), (0,1, 2), (0,1, 1)aa a
.
23
8. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ
3

mà ma trận
của f đối với cơ sở chính tắc của
3

là

13 1
35 1
33 1
A






 







.
1. Tính
(, ,)
f
xyz
.

2.
Chứng minh f là một đẳng cấu.
3.
Viết ma trận của f đối với cơ sở
(1,1,1), (1,1,0), (1,0, 3)ab c .

Có nhận xét gì về các vectơ ,,abc ?

9. Cho 2 phép biến đổi tuyến tính f và g của không gian vectơ E thỏa
fg gf
. Chứng minh:
a.

()g Kerf Kerf
và
(Im ) Imgf f
.
b.
Nếu u là vectơ riêng của f và
() 0
g
u

thì
()
g
u
cũng là vectơ
riêng của f.

10.
Xét sự chéo hóa các ma trận sau, nếu được hãy chỉ ra cơ sở mà
trong cơ sở đó ma trận có dạng chéo:
086
187
11411









,
201
110
113






,
51725
2916
159














,
7126
10 19 10
12 24 13













,
011
11()
1
aaaa
aaa




  




 .