đề thi thử tốt nghiệp thpt môn toán - thpt lương thế vinh đề (20)

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 17 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
2
( 3)
2
x x
y
-
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại giao điểm của
( )
C
với trục hoành.
3) Tìm điều kiện của k để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
3 2
3 0
x x k
- - =

.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình:
( )
2
2 6 6
1
2 2.4
x x
x
+ -
+
=
2) Tính tích phân:
3
3
0
2
1
x
I dx
x
=
+
ò

3) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
5 4 3
3 9
y x x x

= - - +
trên đoạn
[ 2;1]
-
Câu III (1,0 điểm):
Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2,
3
SA a= .
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có toạ độ các
đỉnh:
A(1;1;2), B(0;1;1) và C(1;0;4).
1) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Xác định toạ độ điểm D để bốn điểm A,B,C,D
là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
2) Gọi M là điểm thoả
MB
uuur
= 2
MC
uuur
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng BC. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(P).
Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
2 2
( 1) ,
y x x y x x
= - = +
và

1
x
= -

2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
(1;2;–3)
M và đường
thẳng
d:
3 1 1
2 1 2
x y z
- + -
= =

1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d. Viết phương trình
mặt cầu tâm M, tiếp xúc với d.
2) Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M, song song với d và cách d một khoảng bằng
4.
Câu Vb (1,0 điểm): Cho số phức
1 3
z i
= + . Hãy viết dạng lượng giác của số phức
5
z
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

x
y
y
=
k

-1
2
-2
-1
3O
1
BI GII CHI TIT.
Cõu I:
Hm s:
2 3 2
( 3) 3
2 2
x x x x
y
- -
= =
Tp xỏc nh:
D
=
Ă

o hm:
2
3 6
2
x x
y
-
Â
=
Cho
2
0 3 6 0 0; 2
y x x x x
Â
= - = = =

Gii hn:
; lim lim
x x
y y
đ - Ơ đ + Ơ
= - Ơ = + Ơ

Bng bin thiờn
x

0 2
+ Ơ

y

Â

+ 0 0 +
y

0

+ Ơ


2
Hm s B trờn cỏc khong
( ;0),(2; )
- Ơ + Ơ
, NB trờn khong
(0;2)

Hm s t cc i y
C
= 0 ti
Cẹ
0
x
=

t cc tiu y
CT
= 2 ti
CT
2

x
=
.

3 3 0 1 1
y x x y
ÂÂ
= - = = ị = -
. im un:
(
)
1; 1
I
-

Giao im vi trc honh: hoaởc
3 2
0 3 0 0 3
y x x x x
= - = = =

Giao im vi trc tung: cho
0 0
x y
= ị =

Bng giỏ tr: x 1 0 1 2 3
y 2 0 1 2 0
th hm s: nh hỡnh v bờn õy
Giao im ca

( )
C
vi trc honh: cho
0
0
0
0
0
3
x
y
x
ộ
=
ờ
=
ờ
=
ờ
ở

Vi
0 0 0
0, 0 ( ) 0
x y f x
Â
= = ị =
. Pttt l:
0 0( 0) 0
y x y

- = - =

Vi
0 0 0
9
3, 0 ( )
2
x y f x
Â
= = ị =
. Pttt l:
9 9 27
0 ( 3)
2 2 2
y x y x- = - = -


3 2
3 2 3 2
3
3 2 0 3 2
2
x x
x x k x x k k
-
- - = - = =

S nghim ca pt(*) bng s giao im ca
( )
C

v ng thng :
d y k
=

Da vo th ta thy, pt(*) cú ỳng 1 nghim khi v ch khi:
0
k
>
hoc
2
k
< -

Cõu II:

( )
2
2
2
1
2 6 6
(2 6 6)
1 2( 1) 3 3 2 3
2
2 2.4 2 2.2 2 2
x x
x x
x x x x x
+ -
+ -

+ + + - +
= = =
hoaởc
2 2
3 3 2 3 6 0 3 2
x x x x x x x
+ - = + + - = = - =

Vy, phng trỡnh cú hai nghim:
vaứ
3 2
x x
= - =

D
A
C
B
O
M
A
C
B
S

3 2
3 3
0 0
2 2
.

1 1
x x x
I dx dx
x x
= =
+ +
ũ ũ

t
2
2
1
1
x
t x dt dx
x
= + ị =
+
v
2 2
1
x t
= -

i cn: x 0
3

t 1 2
Vy,
2

3
2
2
1
1
8 1 4
( 1) 2 1
3 3 3 3
t
I t dt t
ổ ử
ổ ử ổ ử
ữ
ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ
ỗ
ữ ữ
= - = - = - - - =
ỗ ỗ
ữ
ữ ữ
ỗ
ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ũ

Hm s

5 4 3
3 9
y x x x
= - - +
liờn tc trờn on
[ 2;1]
-

4 3 2 2 2
5 4 9 (5 4 9)
y x x x x x x
Â
= - - = - -


2 2
9
0 (5 4 9) 0 0; 1;
5
y x x x x x x
Â
= - - = = = - =
(ch loi nghim
9
5
x
=
)

(0) 9

f
=
;
( 1) 10
f - = ;
( 2) 15
f
- = -
v
(1) 6
f
=

Trong cỏc kt qu trờn, s 15 nh nht, s 10 ln nht.
Vy,
khi khi
[ 2;1] [ 2;1]
min 15 2 , max 10 1
y x y x
- -
= - = - = = -

Cõu III
Gi M l trung im on BC, O l trung im on AM.
Do ABC v SBC u cú cnh bng 2a nờn
2 3
2
a
SM AM SA SA M
= = = ị D u

SO AM
^
(1)
Ta cú,
BC SM
BC SO
BC OM
ỡ
ù
^
ù
ị ^
ớ
ù
^
ù
ợ
(2)
T (1) v (2) ta suy ra
( )
SO A BC
^ (do
, ( )
AM BC A BC
è )
Th tớch khi chúp S.ABC
3
1 1 1 1 3. 3 3
3 2
3 3 2 6 2 2

a a
V B h AM BC SO a a
= ì ì = ì ì ì ì = ì ì ì = (vtt)
THEO CHNG TRèNH CHUN
Cõu IVa: A(1;1;2), B(0;1;1) v C(1;0;4)

(1;0; 1)
. 1.2 0.( 1) 1.2 0
(2; 1;2)
AB
AB AC AB AC ABC
AC
ỡ
ù
= -
ù
ù
ị = + - - = ị ^ ị D
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ
uuur
uuur uuur
uuur

vuụng ti A.
Gi

( ; ; ) ( 1; ; 4)
D D D D D D
D x y z CD x y z
ị = - -
uuur

Do
AB AC
^
nờn A,B,C,D l bn nh ca hỡnh ch nht
khi v ch khi t giỏc ABDC l hỡnh ch nht
1 1 2
0 0.
1 4 3
D D
D D
D D
x x
AB CD y y
z z
ỡ ỡ
ù ù
= - =
ù ù
ù ù
ù ù
= = =
ớ ớ
ù ù
ù ù

- = - =
ù ù
ù ù
ợ ợ
uuur uuur
Vy, D(2;0;3)
Gi
( ; ; )
M a b c
thỡ
( ;1 ;1 )
(1 ; ;4 )
MB a b c
MC a b c
ỡ
ù
= - - -
ù
ù
ớ
ù
= - - -
ù
ù
ợ
uuur
uuur

Vỡ
2

MB MC
=
uuur uuur
nờn
2(1 ) 2
1 2( ) 1.
1 2(4 ) 7
a a a
b b b
c c c
ỡ ỡ
ù ù
- = - =
ù ù
ù ù
ù ù
- = - = -
ớ ớ
ù ù
ù ù
- = - =
ù ù
ù ù
ợ ợ
Vy,
(2; 1;7)
M -
mp(P) i qua im
(2; 1;7)
M - v vuụng gúc vi BC nờn cú vtpt

(1; 1;3)
n BC= = -
uuur
r

ptmp (P):
1( 2) 1( 1) 3( 7) 0 3 24 0
x y z x y z
- - + + - = - + - =

Mt cu tõm A(1;1;2), tip xỳc vi mp(P) cú bỏn kớnh
2 2 2
( 1) 1 3.2 24
20
( ,( ))
11
1 ( 1) 3
R d A P
- - + -
= = =
+ - +

Phng trỡnh mt cu cn tỡm:
2 2 2
400
( 1) ( 1) ( 2)
11
x y z+ + - + - =

Cõu Va: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi:

2 2
( 1) ,
y x x y x x
= - = +
v
1
x
= -

Cho
2 2 3 2
( 1) 3 0 0; 3
x x x x x x x x
- = + - = = =
L
Din tớch cn tỡm l:
3 0 3
3 2 3 2 3 2
1 1 0
3 ( 3 ) ( 3 )
S x x dx x x dx x x dx
- -
= - = - + -
ũ ũ ũ

0 3
4 4
3 3
1 0
5 27

8
4 4 4 4
x x
S x x
-
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
= - + - = - + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ố ứ ố ứ
(vdt)
THEO CHNG TRèNH NNG CAO
Cõu IVb:
Gi
M
Â
l hỡnh chiu ca im M lờn d, th thỡ
M d
Â
ẻ
, do ú to ca im
M
Â
l:
(3 2 ; 1 ;1 2 ) (2 2 ; 3 ;4 2 )

M t t t MM t t t
 Â
+ - + + ị = + - + +
uuuuur

ng thng d i qua im
(3; 1;1)
A - , cú vtcp
(2;1;2)
d
u =
r

V ta cũn cú,
MM d
Â
^
nờn
. 0
d
MM u
Â
=
uuuuur
r
(trong ú
d
u
r
l vtcp ca d)

(2 2 ).2 ( 3 ).1 (4 2 ).2 0 9 9 0 1
t t t t t
+ + - + + + = + = = -

Vy, to im
(1; 2; 1)
M
Â
- -
v to vộct
(0; 4;2)
MM
Â
= -
uuuuur

Mt cu tõm M, tip xỳc vi d cú bỏn kớnh
2 2 2
0 ( 4) 2 2 5
R MM
Â
= = + - + =
Vy, pt mt cu:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 20
x y z- + - + + =
mp(P) qua M, cú vtpt
( ; ; ) 0
n a b c
= ạ

r
r
cú pttq:
( 1) ( 2) ( 3) 0
a x b y c z
- + - + + =
(*)
Vỡ
( ) ||
P d
nờn
. 0 2 2 0 2 2
d
n u a b c b a c
= + + = = - -
r r
(1)
V khong cỏch t d n (P) bng 4 nờn khong cỏch t A n (P) cng bng 4, do ú
2 2 2
2 2 2
2 3 4
( ,( )) 4 4 2 3 4 4
a b c
d A P a b c a b c
a b c
- +
= = - + = + +
+ +
(2)
Thay (1) vo (2) ta c:

2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 6 6 4 4 (2 2 ) 4 5 2 5 5 8
2 5 7
16 25 40 20 20 32 4 8 5 0
2
a a c c a a c c a c a c ac
a c b c
a c ac a c ac a ac c
a c b c
+ + + = + + + + = + +
ộ
= ị = -
ờ
+ + = + + - - =
ờ
= - ị = -
ờ
ở

Thay a,b,c (theo c) vo (*) ta c 2 mp:
5 14 2 29 0 ; 2 2 11 0
x y z x y z
- + + = + - - =

Cõu Vb: Ta cú,
1 3
1 3 2 2.(cos .sin )
2 2 3 3
z i i i

p p
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= + = + = +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Do ú,
5 5
5 5
2 .(cos .sin ) 32. cos( ) .sin( )
3 3 3 3
z i i
p p p p
ộ ự
ờ ỳ
= + = - + -
ờ ỳ
ở ỷ