đề thi thử tốt nghiệp thpt môn toán - thpt lương thế vinh đề (16)

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 04 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
-
=
-

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình:
2 2
2 4
log log (4 ) 5 0
x x
- - =

2) Tính tích phân:
3
0
sin cos
cos
x x
I dx
x
p
+
=
ò

3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu tại điểm
0
2
x
=

3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= - + - +

Câu III (1,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B,
·
BAC
= 30

0
,SA = AC = a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính V
S.ABC
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ
( , , , )
O i j k
r
r r
, cho
3 2
OM i k
= +
uuur
r
r
, mặt cầu
( )
S
có phương trình:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 9
x y z
- + + + - =

1) Xác định toạ độ tâm I và bán kính của mặt cầu
( )

S
. Chứng minh rằng điểm M nằm
trên mặt cầu, từ đó viết phương trình mặt phẳng
( )
a
tiếp xúc với mặt cầu tại M.
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu, song song với mặt phẳng
( )
a
, đồng thời vuông góc với đường thẳng
1 6 2
:
3 1 1
x y z
+ - -
D = =
-
.
Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau đây trên tập số phức:
2
2 5 0
z z
- + - =

2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ các
đỉnh là
A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1)
1) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Câu Vb (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
ln
y x
=
, trục hoành và x = e
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

x
y
1
2
2,5
3
3
2
-1
O
1
BI GII CHI TIT.
Cõu I:

2 1
1
x
y
x

-
=
-

Tp xỏc nh:
\ {1}
D = Ă

o hm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x
-
Â
= < " ẻ
-

Hm s ó cho NB trờn cỏc khong xỏc nh v khụng t cc tr.
Gii hn v tim cn:
;
lim 2 lim 2 2
x x
y y y
đ - Ơ đ + Ơ
= = ị =
l tim cn ngang.
;

1 1
lim lim 1
x x
y y x
- +
đ đ
= - Ơ = + Ơ ị =
l tim cn ng.
Bng bin thiờn
x


1 +


y
Â


y
2



+



2

Giao im vi trc honh:
1
0 2 1 0
2
y x x
= - = =

Giao im vi trc tung: cho
0 1
x y
= ị =

Bng giỏ tr: x 1 0 1 2 3
y 3/2 1 || 3 5/2
th hm s nh hỡnh v bờn õy:

2 1
( ) :
1
x
C y
x
-
=
-

Tip tuyn cú h s gúc bng 4 nờn
0
( ) 4
f x

Â
= -

0 0
2
0
2
0
0 0
1 3
1
1 1
2 2
4 ( 1)
1 1
4
( 1)
1
2 2
x x
x
x
x x
ộ ộ
ờ ờ
- = =
-
ờ ờ
= - - =
ờ ờ

ờ ờ
-
- = - =
ờ ờ
ở ở

Vi
3
2
0 0
3
2
2. 1
3
4
2 1
x y
-
= ị = =
-
.pttt l:
3
4 4 4 10
2
y x y x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - - = - +

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Vi
1
2
0 0
1
2
2. 1
1
0
2 1
x y
-
= ị = =
-
. pttt l:
1
0 4 4 2
2
y x y x
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- = - - = - +
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ

Vy, cú 2 tip tuyn tho món ycbt l :
4 2
y x
= - +
v
4 10
y x
= - +

Cõu II:
iu kin: x > 0. Khi ú, phng trỡnh ó cho tng ng vi
2 2 2
2 4 4 2 2
log (log 4 log ) 5 0 log log 6 0
x x x x
- + - = - - =
(*)
t
2
log
t x
=
, phng trỡnh (*) tr thnh
a
a
A

B
C
S
3
2 2
2
2
3 log 3 2
6 0
2 log 2
2
t x x
t t
t x
x
-
ộ
ộ ộ
= = =
ờ
ờ ờ
- - =
ờ
ờ ờ
= - = -
=
ờ
ờ ờ
ở ở
ở

(nhn c hai nghim)
Vy, phng trỡnh ó cho cú hai nghim :
8
x
=
v
1
4
x
=


3 3 3 3
0 0 0 0
sin cos sin cos sin
1.
cos cos cos cos
x x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
p p p p
ổ ử
+
ữ
ỗ
ữ
= = + = +
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
ũ ũ ũ ũ

Vi
3
1
0
sin .
cos
x dx
I
x
p
=
ũ
, ta t
cos sin . sin .
t x dt x dx x dx dt
= ị = - ị = -

i cn: x 0
3
p

t 1
1
2

Thay vo:
1

2
1
1 1
2
1
1
1
2
1
ln ln 1 ln ln 2
2
dt dt
I t
t t
ổ ử
-
ữ
ỗ
ữ
= = = = - =
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ ũ

Vi
3
3
0

2
0
1.
3
I dx x
p
p
p
= = =
ũ

Vy,
1 2
ln 2
3
I I I
p
= + = +


3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= - + - +
cú TX
D
=
Ă

2 2
3 6 1
y x mx m
Â
= - + -


6 6
y x m
ÂÂ
= -
Hm s t cc tiu ti
2 2
0
(2) 0
3.2 6 .2 1 0
2
(2) 0
6.2 6 0
f
m m
x
f
m
ỡ
ỡ
ù
Â
ù
=

- + - =
ù
ù
ù
=
ớ ớ
ÂÂ
ù ù
>
- >
ù ù
ợ
ù
ợ

hoac
2
1 11
12 11 0
1
2
12 6 0
m m
m m
m
m
m
ỡ
ỡ
ù

ù
= =
- + =
ù
ù
ù
=
ớ ớ
ù ù
<
- >
ù ù
ợ
ù
ợ

Vy, vi m = 1 thỡ hm s t cc tiu ti
0
2
x
=

Cõu III Theo gi thit,
, ,
SA AB BC AB BC SA
^ ^ ^

Suy ra,
( )
BC SAB

^
v nh vy
BC SB
^

Ta cú,
0
3
.cos30
2
a
AB AC= =
v
0
.sin 30
2
a
BC AC
= =

2
2 2 2
3 7
4 2
a a
SB SA AB a= + = + =


2 3
.

1 1 3 3 1 3
.
2 2 2 2 8 3 24
ABC S ABC ABC
a a a a
S AB BC V SA S
D D
= = ì ì = ị = ì =


2
1 1 7 7
.
2 2 2 2 8
SBC
a a a
S SB BC
D
= = ì ì =


3
.
.
2
3
1 3 8 21
( ,( )). ( ,( )) 3
3 24 7
7

S ABC
S ABC SBC
SBC
V
a a
V d A SBC S d A SBC
S
a
D
D
= ị = = ì ì =
THEO CHNG TRèNH CHUN
Cõu IVa:

3 2 (3;0;2)
OM i k M= + ị
uuur
r
r
v
2 2 2
( ) : ( 1) ( 2) ( 3) 9
S x y z
- + + + - =

Mt cu cú tõm
(1; 2;3)
I -
v bỏn kớnh
3

R
=

Thay to im M vo phng trỡnh mt cu:
2 2 2
(3 1) (0 2) (2 3) 9
- + + + - =
l
ỳng
Do ú,
( )
M S
ẻ


( )
a
i qua im M, cú vtpt
(2;2; 1)
n IM
= = -
uuur
r

Vy, PTTQ ca
( )
a
l:
2( 3) 2( 0) 1( 2) 0 2 2 4 0
x y z x y z

- + - - - = + - - =

im trờn d:
(1; 2;3)
I -


( )
a
cú vtpt
(2;2; 1)
n
= -
r
v
D
cú vtcp
(3; 1;1)
u
D
= -
r
nờn d cú vtcp
2 1 1 2 2 2
[ , ] ; ; (1; 5; 8)
1 1 1 3 3 1
u n u
D
ổ ử
- -

ữ
ỗ
ữ
ỗ
= = = - -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
- -
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
r r r

Vy, PTTS ca d l:
1
2 5 ( )
3 8
x t
y t t
z t
ỡ
ù
= +
ù
ù
ù
= - - ẻ

ớ
ù
ù
= -
ù
ù
ợ
Ă

Cõu Va:
2
2 5 0
z z
- + - =
(*)
Ta cú,
2 2
2 4.( 1).( 5) 16 (4 )
i
D = - - - = - =

Vy, pt (*) cú 2 nghim phc phõn bit
1
2 4
1 2
2
i
z i
- -
= = +

-
v
2
2 4
1 2
2
i
z i
- +
= = -
-

THEO CHNG TRèNH NNG CAO
Cõu IVb:
Ta cú,
(0;1;0)
AB =
uuur
v
(1;1; 1)
CD
= -
uuur

Gi M,N ln lt l im nm trờn AB v CD thỡ to ca M,N cú dng
(1;1 ;1), (1 ;1 ;2 )
( ; ; 1)
M t N t t t
MN t t t t
  Â

+ + + -
  Â
ị = - - -
uuuur

MN l ng vuụng gúc chung ca AB v CD khi v ch khi
. 0 0
1
1 0
2
. 0
AB MN t t
t t
t t t t
CD MN
ỡ
ù
ỡ
Â
ù
= - =
ù
ù
ù
Â
= =
ớ ớ
  Â
ù ù
- + - - + =

=
ù ù
ợ
ù
ợ
uuur uuuur
uuur uuuur

 Vậy,
3 3 3 3 1 1
1; ;1 , ; ; ;0;
2 2 2 2 2 2
M N MN
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷
Þ = - -
ç ç ç
÷ ÷ ÷
ç ç ç
è ø è ø è ø
uuuur
hay
(1;0;1)
u =
r
là vtcp của d cần
tìm
PTCT của đường vuông góc chung cần tìm là:

1
3
( )
2
1
x t
y t
z t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
ï
í = Î
ï
ï
ï
= +
ï
ï
î
¡

 Phương trình mặt cầu
( )
S
có dạng:
2 2 2

2 2 2 0
x y z ax by cz d
+ + - - - + =

 Vì A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) thuộc
( )
S
nên:
3 2 2 2 0 2 2 2 3 2 2 2 3 6
6 2 4 2 0 2 4 2 6 2 3 3 / 2
6 2 2 4 0 2 2 4 6 2 2 0 3
9 4 4 2 0 4 4 2 9 2 2 2 3
a b c d a b c d d a b c d
a b c d a b c d b b
a b c d a b c d b c c
a b c d a b c d a b c
ì ì ì
ï ï ï
- - - + = + + - = = + + - =
ï ï ï
ï ï ï
ï ï ï
- - - + = + + - = - = - =
ï ï ï
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
- - - + = + + - = - = =
ï ï ï

ï ï ï
ï ï ï
- - - + = + + - = - - + = -
ï ï ï
ï ï ï
î î î
/ 2
3 / 2
a
ì
ï
ï
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
î

 Vậy, phương trình mặt cầu là:
2 2 2
3 3 3 6 0
x y z x y z

+ + - - - + =

Câu Vb: Cho
ln 0 1
y x x
= = Û =

 Diện tích cần tìm là:
1 1
ln ln
e e
S x dx xdx
= =
ò ò

 Đặt
1
lnu x
du dx
x
dv dx
v x
ì
ï
ì
ï
ï
=
=
ï

ï
ï
Þ
í í
ï ï
=
ï ï
=
î
ï
ï
î
. Thay vào công thức tính S ta được:
1 1
1
ln ln 1ln1 0 1 1
e
e e
S x x dx e e x e e
= - = - - = - - + =
ò
(đvdt)
 Vậy, diện tích cần tìm là: S = 1 (đvdt)