đề thi thử tốt nghiệp thpt môn toán - thpt lương thế vinh đề (7)

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 13 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
2 2
( 2) 1
y x
= - -

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:
4 2
4
x x m
- =
.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình:
2
2
log ( 5) log 2 3
x x
- + + =

2) Tính tích phân:

3
ln 2
0
1
x
x
e
I dx
e
+
=
ò

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3 2
1
x
y
x
-
=
+
trên đoạn
[1;4]

Câu III (1,0 điểm):
Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
¢ ¢ ¢

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu
vuông góc của
A
¢
xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên
( )
AA C C
¢ ¢

tạo với đáy một góc bằng
45
o
. Tính thể tích của khối lăng trụ này.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
(0;1; 4), (1;0; 5)
A B
- -
và đường
thẳng
1 4 1
:
1 4 2
x y z
- - -
D = =
- -

1) Viết phương trình đường thẳng AB và chứng minh rằng AB và

D
chéo nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A,B đồng thời song song với đường
thẳng
D
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng
D
và mặt phẳng (P).
Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
12 36
y x x= - + và
2
6
y x x
= -

2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
1 2
1
3 1
: 1 :
1 2 1
2
x t
x y z
y t
z
ì

ï
= +
ï
ï
- -
ï
D = - - D = =
í
ï
-
ï
=
ï
ï
î

1) Chứng minh
1
D
và
2
D
chéo nhau. Viết phương trình mp(P) chứa
1
D
và song song
2
D
.
2) Tìm điểm A trên

1
D
và điểm B trên
2
D
sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Câu Vb (1,0 điểm): Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai
2
0
z Bz i
+ + =
có tổng
bình phương hai nghiệm bằng
4
i
-

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

x
y
y = m + 3
-2
-1
3
2

-1
O
1
BI GII CHI TIT.
Cõu I:
Hm s:
2 2 4 2 4 2
( 2) 1 4 4 1 4 3
y x x x x x
= - - = - + - = - +

Tp xỏc nh:
D
=
Ă

o hm:
3
4 8
y x x
Â
= -
Cho
3 2
0
0 4 8 0 4 ( 2)
2
x
y x x x x
x

ộ
=
ờ
Â
= - = -
ờ
=
ờ
ở

Gii hn:
; lim lim
x x
y y
đ - Ơ đ + Ơ
= + Ơ = + Ơ

Bng bin thiờn
x

2
-
0
2
+

y
Â

0 + 0 0 +

y
+Ơ
3
+Ơ


1 1


Hm s B trờn cỏc khong
( 2;0),( 2; )
- + Ơ
, NB trờn cỏc khong
( ; 2),(0; 2)
- Ơ -

Hm s t cc i
Cẹ
3
y
=
ti
Cẹ
0
x
=
.
Hm s t cc tiu
CT
1

y
= -
ti
CT
2
x = .
Giao im vi trc honh:
Cho
2
4 2
2
1
1
0 4 3 0
3
3
x
x
y x x
x
x
ộ
ộ
=
=
ờ
ờ
= - + =
ờ
ờ

=
=
ờ
ờ
ở
ở

Giao im vi trc tung: cho
0 3
x y
= ị =

Bng giỏ tr: x 2 1 0 1 2
y 3 1 3 1 3
th hm s: nh hỡnh v bờn õy

4 2 4 2
4 4 3 3
x x m x x m
- = - + = +
(*)
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca (C) v d: y = m + 3
Ta cú bng kt qu nh sau:
m m + 3
S giao im
ca (C) v d
S nghim
ca pt(*)
m > 0 m + 3 > 3 2 2
m = 0 m + 3 = 3 3 3

4 < m < 0 1< m + 3 < 3 4 4
m = 4 m + 3 = 1 2 2
m < 4 m + 3 < 1 0 0
Cõu II:

2
2
log ( 5) log 2 3
x x
- + + =
(*)
a
I
M
H
C'
B'
A
B
C
A'
iu kin:
5 0 5
5
2 0 2
x x
x
x x
ỡ ỡ
ù ù

- > >
ù ù
>
ớ ớ
ù ù
+ > > -
ù ù
ợ ợ

Khi ú,
2 2 2
(*) log ( 5) log ( 2) 3 log ( 5)( 2) 3 ( 5)( 2) 8
x x x x x x
- + + = - + = - + =

(nhan)
(loai)
2 2
6
2 5 10 8 3 18 0
3
x
x x x x x
x
ộ
=
ờ
+ - - = - - =
ờ
=

ờ
ở

Vy, phng trỡnh cú nghim duy nht: x = 6

ln 2
3 2 2ln 2 0
ln 2 ln 2
2 ln 2 0
0 0
0
1
( )
2 2 2
x x
x x x
x
e e e e
I dx e e dx e e e
e
- - -
ổ ử ổ ử ổ ử
+
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= = + = - = - - -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ

ữ ữ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ
ũ ũ

Vy,
1
ln 4
ln
2
1 4 1 1
1 1 2
2 2 2 2 2
e
I e
ổ ử
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
= - - - = - - + =
ữ ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

Hm s
3 2 2 3
1 1
x x
y
x x
- - +
= =
+ +
liờn tc trờn on
[1;4]


2
5
0, [1;4]
( 1)
y x
x
-
Â
= < " ẻ
+


1
(1)
2
f

=
v
(4) 1
f
= -

Trong 2 kt qu trờn, s 1 nh nht, s
1
2
ln nht.
Vy,
khi khi
[1;4] [1;4]
1
min 1 4 , max 1
2
y x y x
= - = = =

Cõu III
Gi H,M,I ln lt l trung im cỏc on AB,AC,AM
Theo gi thit,
( ),
A H ABC BM AC
Â
^ ^

Do IH l ng trung bỡnh tam giỏc ABM nờn
||
IH BM IH AC

ị ^
Ta cú,
,
AC IH AC A H AC IA
 Â
^ ^ ị ^

Suy ra gúc gia
( )
ABC
v
( )
ACC A
 Â
l
ã
o
45
A IH
Â
=


o
1 3
.tan 45
2 4
a
A H IH IH MB
Â

= = = =

Vy, th tớch lng tr l:
3
1 1 3 3 3
. . .
2 2 2 2 8
a a a
V B h BM AC A H a
Â
= = = ì ì ì =

(vdt)
THEO CHNG TRèNH CHUN
Câu IVa:
(0;1; 4), (1;0; 5)
A B
- -
và
1 4 1
:
1 4 2
x y z
- - -
D = =
- -

 Đường thẳng AB đi qua điểm
(0;1; 4)
A

-
, có vtcp
(1; 1; 1)
u AB
= = - -
uuur
r

 PTCT của đường thẳng AB là:
1 4
1 1 1
x y z
- +
= =
- -

 Đường thẳng
D
đi qua điểm
(1;4;1)
M , có vtcp
(1; 4; 2)
u
¢
= - -
r

 Ta có,
1 1 1 1 1 1
[ , ] ; ; ( 2;1; 3)

4 2 2 1 1 4
u u
æ ö
- - - -
÷
ç
÷
ç
¢
= = - -
÷
ç
÷
ç
- - - -
÷
÷
ç
è ø
r r

(1;3;5) [ , ]. 1.1 1.3 3.5 13 0
AM u u AM
¢
= Þ = - + - = - ¹
uuuur uuuur
r r

 Vậy, AB và
D

chéo nhau.
 Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A,B đồng thời song song với đường thẳng
D

 Điểm trên mp(P):
(0;1; 4)
A
-

 Vì (P) chứa A,B và song song với
D
nên có vtpt:
[ , ] ( 2;1; 3)
n u u
¢
= = - -
r r r

 PTTQ của (P):
2( 0) 1( 1) 3( 4) 0 2 3 13 0
x y z x y z
- - + - - + = Û - + + =

 Khoảng cách giữa AB và
D
bằng:
2 2 2
2.1 4 3.1 13 14
( ,( )) 14
14

2 ( 1) 3
d M P
- + +
= = =
+ - +

Câu Va: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2
12 36
y x x
= - + và
2
6
y x x
= -

 Cho
2 2 2
12 36 6 2 18 36 0 3, 6
x x x x x x x x
- + = - Û - + = Û = =

 Diện tích cần tìm là:
6 6
2 2
3 3
2 18 36 (2 18 36)
S x x dx x x dx
= - + = - +
ò ò

6
3
2
3
2
9 36 9 9
3
x
x x
æ ö
÷
ç
÷
ç
= - + = - =
÷
ç
÷
è ø
(đvdt)
THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:

1
D
đi qua điểm
1
(1; 1;2)
M -

, có vtcp
1
(1; 1;0)
u = -
r


2
D
đi qua điểm
2
(3;1;0)
M
, có vtcp
2
( 1;2;1)
u = -
r

 Ta có,
1 2
1 0 0 1 1 1
[ , ] ; ; ( 1; 1;1)
2 1 1 1 1 2
u u
æ ö
- -
÷
ç
÷

ç
= = - -
÷
ç
÷
ç
- -
÷
÷
ç
è ø
r r


1 2
(2;2; 2)
M M
= -
uuuuuur

1 2 1 2
[ , ]. 1.2 1.2 1.( 2) 6 0
u u M M
Þ = - - + - = - ¹
uuuuuur
r r

 Suy ra,
1
D

và
2
D
chéo nhau.
 mp(P) chứa
1
D
và song song
2
D
nên đi qua
1
(1; 1;2)
M -
, có vtpt
1 1 2
[ , ] ( 1; 1;1)
n u u= = - -
r r r

 Vậy, PTTQ mp(P):
1( 1) 1( 1) 1( 2) 0 2 0
x y z x y z
- - - + + - = Û + - + =

 Vì
1 2
,A B
Î D Î D
nên toạ độ của chúng có dạng:

(1 ; 1 ;2), (3 ;1 2 ; ) (2 ;2 2 ; 2)
A a a B b b b AB a b a b b
+ - - - + Þ = - - + + -
uuur

 AB ngắn nhất
Û
AB là đường vuông góc chung của
1
D
và
2
D

1
2
. 0 (2 ).1 (2 2 ).( 1) ( 2).0 0
(2 ).( 1) (2 2 ).2 ( 2).1 0
. 0
2 2 2 0 2 3 0 0
2 4 2 4 2 0 3 6 0 0
AB u a b a b b
a b a b b
AB u
a b a b a b a
a b a b b a b b
ì
ï
ì
ï

= - - + + + - + - =
ï
ï
ï
Û Û
í í
ï ï
- - - + + + + - =
=
ï ï
î
ï
î
ì ì ì
ï ï ï
- - - - - = - - = =
ï ï ï
Û Û Û
í í í
ï ï ï
- + + + + + + - = + = =
ï ï ï
î î î
uuur
r
uuur
r

 Vậy,
(1; 1;2), (3;1;0)

A B-
Câu Vb:
2
0
z Bz i
+ + =
có tổng bình phương hai nghiệm bằng
4
i
-

 Giả sử z
1
và z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình trên. Dựa vào công thức nghiệm
phương trình bậc hai, ta suy ra:
va
1 2 1 2
.
2
b c
z z B z z i
a a
+ = - = - = =

 Theo giả thiết,
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 2
4 ( ) 2 4 2 4 2

z z i z z z z i B i i B i
+ = - Û + - = - Û - = - Û = -

2 2
(1 ) (1 )
B i B i
Û = - Û = ± -

 Vậy,
(1 )
B i
= ± -

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH