đề thi thử tốt nghiệp thpt môn toán - thpt lương thế vinh đề (5)

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề


I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:
3
2
( ) 2 3
3
x
y f x x x
= = - + -
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
tại điểm trên
( )
C
có hoành độ
0
x
, với
0
( ) 6
f x

¢¢
=
.
3) Tìm tham số m để phương trình
3 2
6 9 3 0
x x x m
- + + =
có đúng 2 nghiệm phân
biệt.
Câu II (3,0 điểm):
1) Giải phương trình:
4 4 2 4
2 17.2 1 0
x x- -
- + =

2) Tính tích phân:
0
(2 1)sin
I x xdx
p
= -
ò

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4 ln(1 )
y x x
= - -

trên đoạn [– 2;0]
Câu III (1,0 điểm):
Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
¢ ¢ ¢
có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt
( )
A BC
¢
tạo với đáy một góc
0
30
và tam giác
A BC
¢
có diện tích bằng
2
3
a
. Tính thể
tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
¢ ¢ ¢
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm
(7;2;1), ( 5; 4; 3)

A B
- - -
và mặt phẳng
( ) : 3 2 6 38 0
P x y z
- - + =

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. Chứng minh rằng, AB ||
( )
P
.
2) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có đường kính AB.
3) Chứng minh
( )
P
là tiếp diện của mặt cầu
( )
S
. Tìm toạ độ tiếp điểm của
( )
P
và
( )
S

Câu Va (1,0 điểm): Cho số phức
1 3

z i
= +
. Tìm số nghịch đảo của số phức:
2
.
z z z
w = +
2. Theo chương trình nâng cao
Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho điểm
(1;3; 2)
I
-
và đường
thẳng
4 4 3
:
1 2 1
x y z
- - +
D = =
-

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và chứa đường thẳng
D
.
2) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng
D
.
3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt
D

tại hai điểm phân biệt A,B
sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 4.
Câu Vb (1,0 điểm): Gọi
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình:
2
2 2 2 2 0
z z i
- + + =
. Hãy
lập một phương trình bậc hai nhận
1 2
,
z z
làm nghiệm.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

x
y
y
=
m
-2/ 3
4

-4/ 3
3
2
O
1
BI GII CHI TIT.
Cõu I:
Hm s:
3
2
( ) 2 3
3
x
y f x x x
= = - + -

Tp xỏc nh:
D
=
Ă

o hm:
2
4 3
y x x
Â
= - + -

Cho
2

0 4 3 1; 3
y x x x x
Â
= - + - = =

Gii hn:
; lim lim
x x
y y
đ - Ơ đ + Ơ
= + Ơ = - Ơ

Bng bin thiờn
x


1 3 +


y
Â

0 + 0
y
+

0

4
3

-

Hm s B trờn khong (1;3), NB trờn cỏc khong (;1), (3;+)
Hm s t cc i
Cẹ
0
y
=
ti
Cẹ
3
x
=
,
t cc tiu
CT
4
3
y
= -
ti
CT
1
x
=

im un:
2
2 4 0 2
3

y x x y
ÂÂ
= - + = = ị = -
.
im un ca th l:
2
2;
3
I
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Giao im vi trc honh: cho
0 0; 3
y x x
= = =

Giao im vi trc tung: cho
0 0
x y
= ị =

Bng giỏ tr: x 0 1 2 3 4

y 0 4/3 2/3 0 4/3
th hm s nh hỡnh v:

0 0 0 0
16
( ) 6 2 4 6 1
3
f x x x y
ÂÂ
= - + = = - ị =


2
0
( ) ( 1) ( 1) 4( 1) 3 8
f x f
 Â
= - = - - + - - = -

Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm:
16 8
8( 1) 8
3 3
y x y x
- = - + = - -


3 2 3 2 3 2
1
6 9 3 0 6 9 3 2 3

3
x x x m x x x m x x x m
- + + = - + = - - + - = (*)
S nghim phng trỡnh (*) bng s giao im ca
( )
C
v :
d y m
=
Da vo th ta thy phng trỡnh (*) cú ỳng 2 nghim phõn bit
0
4
3
m
m
ộ
=
ờ
ờ

ờ
= -
ờ
ở

Cõu II:
30
a
B'
C'

A
C
B
A'

4 4 2 4 2
16 4
2 17.2 1 0 17. 1 0 4 17.4 16 0
16 16
x x
x x x x- -
- + = - + = - + =
(*)
t
4
x
t
=
(K: t > 0) phng trỡnh (*) tr thnh

(nhan)
(nhan)
2
1 4 1 0
17 16 0
16 2
4 16
x
x
t x

t t
t x
ộ
ộ ộ
= = =
ờ
ờ ờ
- + =
ờ
ờ ờ
= =
=
ờ
ờ ờ
ở ở
ở

Vy, phng trỡnh ó cho cú hai nghim: x = 0 v x = 2.


0
(2 1)sin
I x xdx
p
= -
ũ

t
2 1 2.
sin cos

u x dx dx
dv xdx v x
ỡ ỡ
ù ù
= - =
ù ù
ị
ớ ớ
ù ù
= = -
ù ù
ợ ợ
. Thay vo cụng thc tớch phõn tng phn ta c:

0
0
0
(2 1)cos ( 2cos ) (2 1) 1 2sin (2 1) 1 2.0 2 2
I x x x dx x
p
p p
p p p
= - - - - = - - + = - - + = -
ũ

Hm s
2
4 ln(1 )
y x x
= - -

liờn tc trờn on [2;0]

2
4 2 2 4
2
1 1
x x
y x
x x
- + +
Â
= + =
- -

Cho
(nhan)
(loai)
2
1 [ 2;0]
0 2 2 4 0
2 [ 2;0]
x
y x x
x
ộ
= - ẻ -
ờ
Â
= - + + =
ờ

= ẽ -
ờ
ở

; ;
( 1) 1 4ln2 ( 2) 4 4ln 3 (0) 0
f f f
- = - - = - =

Trong cỏc kt qu trờn, s nh nht l:
1 4ln2
-
, s ln nht nht l: 0
Vy,
khi
[ 2;0] [ 2;0]
min 1 4ln 2 1 ; max 0
y x y
- -
= - = - =
khi x = 0
Cõu III
Do
BC AB
BC A B
BC AA
ỡ
ù
^
ù

Â
ị ^
ớ
Â
ù
^
ù
ợ
(hn na,
( )
BC ABB A
 Â
^
)
V
ã
( )
( )
( ) ( )
BC AB ABC
BC AB A BC A BA
BC ABC A BC
ỡ
ù
^ è
ù
ù
ù
 Â
^ è ị

ớ
ù
ù
Â
= ầ
ù
ù
ợ
l gúc gia
( )
ABC
v
( )
A BC
Â

Ta cú,
2
2.
1 2. 3
. 2 3
2
A BC
A BC
S
a
S A B BC A B a
BC a
Â
D

Â
D
 Â
= ị = = =

ã
ã
0
0
.cos 2 3.cos 30 3
.sin 2 3.sin 30 3
AB A B ABA a a
AA A B ABA a a
 Â
= = =
  Â
= = =

Vy,
l.truù
3
1 1 3 3
. . 3 3
2 2 2
ABC
a
V B h S AA AB BC AA a a a
 Â
= = = ì ì ì = ì ì ì =
(vtt)

THEO CHNG TRèNH CHUN
Câu IVa:
(7;2;1), ( 5; 4; 3)
A B
- - -

 Đường thẳng AB đi qua điểm
(7;2;1)
A , có vtcp
( 12; 6; 4)
u AB
= = - - -
uuur
r
nên có ptts
7 12
: 2 6
1 4
x t
AB y t
z t
ì
ï
= -
ï
ï
ï
= -
í
ï

ï
= -
ï
ï
î
(1)
 Thay (1) vào phương trình mp(P) ta được:
3(7 12 ) 2(2 6 ) 6(1 4 ) 38 0 0. 49 0 0 49
t t t t t
- - - - - + = Û + = Û = -
: vô lý
 Vậy,
|| ( )
AB P

 Tâm của mặt cầu
( )
S
:
(1; 1; 1)
I
- -
(là trung điểm đoạn thẳng AB)
 Bán kính của
( )
S
:
2 2 2
(1 7) ( 1 2) ( 1 1) 7
R IA

= = - + - - + - - =

 Phương trình mc
2 2 2
( ) :( 1) ( 1) ( 1) 49
S x y z- + + + + =
 Ta có,
2 2 2
3.1 2.( 1) 6.( 1) 38
( ,( )) 7
3 ( 2) ( 6)
d I P R
- - - - +
= = = Þ
+ - + -
( )
P
tiếp xúc với
( )
S
.
 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mp(P).
Khi đó PTTS của d:
1 3
1 2
1 6
x t
y t
z t
ì

ï
= +
ï
ï
ï
= - -
í
ï
ï
= - -
ï
ï
î
. Thay vào ptmp(P) ta được :
3(1 3 ) 2( 1 2 ) 6( 1 6 ) 38 0 49. 49 0 1
t t t t t
+ - - - - - - + = Û + = Û = -

 Tiếp điểm cần tìm là giao điểm của d và (P), đó là điểm
( 2;1;5)
H -
Câu Va: Với
1 3
z i
= +
, ta có

2 2 2 2 2
. (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 1 9 2 6
z z z i i i i i i i

w
= + = + + + - = + + + - = +


2 2
1 1 2 6 2 6 2 6 1 3
2 6 (2 6 )(2 6 ) 40 10 10
2 36
i i i
i
i i i
i
w
- - -
= = = = = -
+ + -
-

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu IVb:
 Đường thẳng
D
đi qua điểm
(4;4; 3)
M
-
, có vtcp
(1;2; 1)
u
= -

r

 Mặt phẳng
( )
P
đi qua điểm
(1;3; 2)
I
-

 Hai véctơ:
(3;1; 1)
IM
= -
uuur

(1;2; 1)
u
= -
r

Vtpt của mp(P):
1 1 1 3 3 1
[ , ] ; ; (1;2;5)
2 1 1 1 1 2
n IM u
æ ö
- -
÷
ç

÷
ç
= = =
÷
ç
÷
ç
- -
÷
÷
ç
è ø
uuur
r r

 PTTQ của mp
( ) : 1( 1) 2( 3) 5( 2) 0
P x y z
- + - + + =
2 5 3 0
x y z
Û + + + =

H
C
I
A
B
 Khoảng cách từ đểm A đến
D

:
2 2 2
2 2 2
[ , ]
1 2 5 30
( , ) 5
6
1 2 ( 1)
IM u
d d I
u
+ +
= D = = = =
+ + -
uuur
r
r

 Giả sử mặt cầu
( )
S
cắt
D
tại 2 điểm A,B
sao cho AB = 4
( )
S
Þ có bán kính R = IA
 Gọi H là trung điểm đoạn AB, khi đó:
IH AB IHA

^ Þ D
vuông tại H
 Ta có,

2 ; ( , ) 5
HA IH d I= = D =

2 2 2 2 2 2
( 5) 2 9
R IA IH HA
= = + = + =

 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

2 2 2
( ) :( 1) ( 3) ( 2) 9
S x y z
- + - + + =

Câu Vb:
 Với
1 2
,
z z
là 2 nghiệm của phương trình
2
2 2 2 2 0
z z i
- + + =

thì
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
. 2 2 2
. 2 2 2
b
z z
z z
a
c
z z i
z z i
a
ì
ï
ï
ì
+ = - =
ï
ï + =
ï
ï
ï ï
Þ
í í
ï ï

= -
ï ï
= = +
ï
î
ï
ï
ï
î

 Do đó,
1 2
,
z z
là 2 nghiệm của phương trình
2
2 2 2 2 0
z z i
- + - =

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH