Đề mẫu môn phương pháp tính.pdf

Đề mẫu cuối kỳ
ATGroup Page 1
ĐỀ MẪU CUỐI KỲ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH

I. Phương pháp Newton :

 Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]
f (x) f ’’(x)> 0
 Điều kiện Fourier
f ’(x) f ’’(x) < 0 => x
0
= a
f ’(x) f ’’(x) > 0 => x
0
= b
 Tính m:
| '( ) | 0f x m
 

 Tính sai số và nghiệm:
A = ( x
0
)
B = A -
( )
'( )
f A
f A
:
( )f B

m
: A = B


II. Phương pháp Choleski:
11 1
b
 

2
22
1
b




3
33
2
b






III. Phương pháp Gauss – Seidel:

 Khi n = 3:

B = ( x
2
0
) C = ( x
3
0
)
D =
11
1
a
( b
1
– a
12
B – a
13
C ) :
E =
22
1
a
( b
2
– a
21
D – a
23
C ) :
F =

33
1
a
( b
3
– a
31
D – a
32
E ) :
B = E : C = F


IV. Spline bậc 3 ràng buộc:
'( )
g a
 

'( )g b
 

Đề mẫu cuối kỳ
ATGroup Page 2
1 0
0
0 0 0
1 0
2 1
0 0 1 1 1
1 0

1 1 2
2 1
1
3 3
2 0
2( ) 3 3
0 2
3 3
y y
h
h h c
y y
y y
h h h h c
h h
h h c
y y
h
 

 
 
 
  
 


  
  
 

  
 
  
  
 

 
 
 

0 0
a y

1 1
a y

2 1
A y y 

2 1
B x x 

1 0
C y y 

1 0
D x x 


1 0

0
( 2 )
3
c c D
C
b
D
 
 

2 1
1
( 2 )
3
c c B
A
b
B
 
 

1 0
0
3
c c
d
D



2 1
1
3
c c
d
B




g
0
(x) = a
0
+ b
0
(x –x
0
) + c
0
(x-x
0
)
2
+ d
0
(x-x
0
)
3

x

[x
0
, x
1
]
g
1
(x) = a
1
+ b
1
(x –x
1
) + c
1
(x-x
1
)
2
+ d
1
(x-x
1
)
3
x

[x

1
, x
2
]

V. Phương pháp bình phương bé nhất:


g(f) =
min))((
1
2



n
k
kk
yxF


Điểm dừng:
.........
.........
g
A
g
B















=> chuyển vế => giải hệ phương trình 2 ẩn (A, B)

ta cần tính các giá trị:
2
1
n
k
k
x



1
sin
n
k k
k
x x




1
n
k k
k
x y



2
1
sin
n
k
k
x



1
sin
n
k k
k
y x



A=A+X
2
:B=B+XsinX:C=C+XY:D=D+(sinX)
2
:E=E+YsinX
CALC
- Lần đầu nhập A, B, C, D, E là 0 để khởi tạo giá trị.
- Khi thấy X? và Y? thì sẽ nhập x
k
và y
k
tương ứng.
- Lần 2 bỏ qua khi được hỏi A? B? C? D? E?

VI. Đa thức nội suy Newton:
n = số điểm - 1
Đề mẫu cuối kỳ
ATGroup Page 3
x
k
y
k
Δ Δ
2
x
0
y
0
Δ

0
= y
1
– y
0
Δ
2
0
= Δ
1
– Δ
0

x
1
y
1
Δ
1
= y
2
– y
1
…
…

…

… …

N
(1)
n
(x) = y
0
+
!1
0
y

q +
!2
0
2
y

q(q – 1) +…+
!
0
n
y
n

q(q – 1)…(q – n + 1)
q =
h
xx
0


=> y’(x) = [N
(1)
n
(x)]’

VII. Công thức Simpson mở rộng:
 Bài toán: cần xấp xỉ tích phân


b
a
dxxfI
)(

 
7
(4) 4
2
15
( )
16
f ax b a ax b
 

 
 
 
   
 
 

(lấy cận dưới)
)(max
)4(
],[
4
xfM
bax


5
4
4
( )
2880
M b a
m

 
=> m => n = 2m= (lấy lên cho là số chẵn)
0 1 3 2 1 2 4 2 2 2
[ 4( ... ) 2( ... ) ]
3
m m m
b a
I y y y y y y y y
n
 

         

VIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1
Cách giải:
 Trường hợp xấp xỉ tại x
1
= x
0
+ h (

n = 1)
Cách bấm máy:
 Tính K1:
A = hf(X, Y) CALC X? (nhập x
0
) = Y? (nhập y
0
) =
 Tính K2:
► thay A bằng B CALC X? (nhập x
0
+h/2) = Y? (nhập y
0
+A/2) =
 Tính K3:
► thay B bằng C CALC X? (nhập x
0
+h/2) = Y? (nhập y
0
+B/2) =
 Tính K4:

► thay C bằng D CALC X? (nhập x
0
+h) = Y? (nhập y
0
+C) =
 Tính y1:
y
0
+ 1/6(A + 2B + 2C + D) =

IX. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:
Công thức Euler:
 
0 0
' ( , )
,
( )
y f x y
x a b
y x y


 




Đề mẫu cuối kỳ
ATGroup Page 4
Cách giải:

0 0
0 0
( ) ( ) '( )
'( ) '( ) ''( )
x t x t hx t
x t x t hx t
 


 



X. Bài toán biên tuyến tính cấp 2:






bxabyay
xfxyxrxyxqxyxp
;)(;)(
)()()()(')()('')(



b a
n
h


 
h =
p(x) = q(x) = r(x) = f(x) =
y(a) = y(b) =

 Khoảng chia n = 4

x

( )p x

( )q x

( )r x

2
2
k k
p q
h h
 

 
 

2
2
k
k

p
r
h
 

 
 

2
2
k k
p q
h h
 

 
 

( )f x

x
1
=
x
2
=
x
3
=

1 1 1
1
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
3 3 3
3
2 2
2
0
2
2
2 2
2
0
2
p p q
r
h h h
p q p p q
A r
h h h h h
p q p
r
h h h
 
   
 
 

   
   
 
 
     
   
 
     
     
 
 
   
 
 
   
   
 

1 1
1
2
2
3 3
3
2
2
2
p q
f
h h

B f
p q
f
h h
 
 
  
 
 
 
 
 

 
 
 
  
 
 
 
 
Ay = B