BỘ ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN 2011 doc

Biên son: Trn Duy Thái
2




S GD & T Tin Giang
 THI TH I HC MÔN TOÁN
Trng THPT Gò Công ông Môn: Toán - Thi gian: 180 phút

 1
I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH
Câu I (2 đim) Cho hàm s y =
2 3
2
x
x


có đ th là (C)
1) Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s trên.
2) Tìm trên (C) nhng đim M sao cho tip tuyn ti M ca (C) ct 2 tim cn ca (C) ti A,
B sao cho AB ngn nht.
Câu II (2 đim)
1) Gii phng trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
      

2) Gii phng trình:



2
2 2
1 5 2 4;
x x x x R
    

Câu III (1 đim) Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
 
 

 


Câu IV (1 đim) Mt hình nón đnh
S
, có tâm đng tròn đáy là
.
O

,
A B
là hai đim trên đng tròn đáy sao
cho khong cách t
O
đn đng thng
AB
bng
a
,


0
60
ASO SAB
 
. Tính theo
a
chiu cao và
din tích xung quanh ca hình nón
Câu V (1 đim) Cho hai s dng
,
x y
tha mãn:
5
x y
 
.
Tìm giá tr nh nht ca biu thc:
4 2

4
x y x y
P
xy
 
 

II. PHN RIÊNG
: Thí sinh ch làm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trình chun
.
Câu VI (2 đim)
1) Trong mt phng ta đ
Oxy
cho đng thng
( )
d
có phng trình :
0
x y
 
và đim
(2;1)
M
. Tìm
phng trình đng thng

ct trc hoành ti
A
ct đng thng

( )
d
ti
B
sao cho tam giác
AMB

vuông cân ti
M

2) Trong không gian ta đ
Oxyz
, lp phng trình mt phng



đi qua hai đim


0; 1;2 ,
A 


1;0;3
B
và tip xúc vi mt cu


S
có phng trình:

2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2
x y z
     

Câu VII (1 đim) Cho s phc
z
là mt nghim ca phng trình:
2
1 0
z z
  
.
Rút gn biu thc
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1
P z z z z
z z z z
       
       
       
       

2. Theo chng trình nâng cao
.
Câu VI (2 đim)
1) Trong mt phng ta đ
Oxy

cho đng tròn


C
có phng trình
 
2
2
: 4 25
x y
  
và đim
(1; 1)
M

. Tìm phng trình đng thng

đi qua đim
M
và ct đng tròn


C
ti 2 đim
,
A B
sao
cho
3
MA MB



2) Trong không gian ta đ
Oxyz
cho mt phng


P
có phng trình:
1 0
x y
  
. Lp phng trình
mt cu


S
đi qua ba đim






2;1; 1 , 0;2; 2 , 1;3;0
A B C  và tip xúc vi mt phng


P

B  LUYN THI CP TC MÔN TOÁN 2011
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
3

Câu VII (1 đim) Gii bt phng trình:
 
 
2
1 2
2
2
1
2
3
log 1 log 1 6
2
log 1
2 log ( 1)
x x
x
x
 
   
 
 
 
 

ÁP ÁN  1

1) y=
2 3
2
x
x


(C)
D= R\ {2}
lim 2 : 2
x
y TCN y

  

2 2
lim ; lim
x x
y y
 
 
    
TC x = 2
y’ =
2
1
0; 2
( 2)
x
x


  


BBT


2) Gi M(x
o
;
0
0
2 3
2
x
x


) (C) .
Phng trình tip tuyn ti M: () y =
2
0 0
2 2
0 0
2 6 6
( 2) ( 2)
x x
x
x x
 



 

( )  TC = A (2;
0
0
2 2
2
x
x


)
( )  TCN = B (2x
0
–2; 2)
0
0
2
(2 4; )
2
AB x
x

 


 AB =
2

0
2
0
4
4( 2) 2 2
( 2)
cauchy
x
x
 



 AB min =
2 2

0
3 (3;3)
1 (1;1)
o
x M
x M
 


 


II 1.
2 3 4 2 3 4

sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
      

1,0
TX: D =R
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
      
 
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
 

      

   





0,25
+ Vi
sin 0 ( )

4
x cosx x k k Z


     


0,25
+ Vi
2 2(sin ) sin . 0
x cosx x cosx
   
, đt t =
sin (t 2; 2 )
x cosx
 
  
 

đc pt : t
2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
 




 





0.25
-2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
4

t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z

x m
 


 


 

  


Vy :
( )
4
2 ( )
2
2
x k k Z
x m m Z
x m


 



  



  


  










0,25
Câu II.2
(1,0 đ)



2
2 2
1 5 2 4;
x x x x R
    

t
2 2 4 2
2 4 2( 2 )
t x x t x x

    
ta đc phng trình
2
2
1 5 2 8 0
2
t
t t t
      

4
2
t
t
 






+ Vi t =

4 Ta có
2
4 2 4 2
0 0
2 4 4
2( 2 ) 16 2 8 0
x x

x x
x x x x
 
 
    
 
    
 


2
0
2
2
x
x
x


   




+ Vi t = 2 ta có
2
4 2 4 2
0 0
2 4 2
2( 2 ) 4 2 2 0

x x
x x
x x x x
 
 
   
 
    
 


2
0
3 1
3 1
x
x
x



   

 



S: phng trình có 2 nghim
2, 3 1
x x

   



0,25




0,25







0,25








0,25

III
2
1
ln
ln
1 ln
e
x
I x dx
x x
 
 
 

 


I
1
=
1
ln
1 ln
e
x
dx
x x



, t t =
1 ln
x

,… Tính đc I
1
=
4 2 2
3 3





0.5


 
2
2
1
ln
e
I x dx


, ly tích phân tng phn 2 ln đc I
2
= e – 2
I = I

1
+ I
2
=
2 2 2
3 3
e  



0.25


0.25


www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
5

Câu IV
(1,0 đ)

Gi I là trung đim ca
AB
, nên
OI a


t

OA R



0
60
SAB SAB
  
đu

1 1 1
2 2 2
3
sin
OA R
IA AB SA
ASO
   
Tam giác
OIA
vuông ti
I
nên
2 2 2
OA IA IO
 

2
2 2
6

3 2
R a
R a R    
2
SA a
 

Chiu cao:
2
2
a
SO 
Din tích xung quanh:
2
6
2 3
2
xq
a
S Rl a a
  
  




0,25

0,25



0,25



0,25

Câu V
(1,0 đ)

Cho hai s dng
,
x y
tha mãn:
5
x y
 
.
4 2 4 1 4 1
4 2 4 4 2 2
x y x y x y y x y
P
xy y x y x
 
          

Thay
5
y x
 
đc:
4 1 5 4 1 5 4 1 5 3
2 . 2 .
4 2 2 4 2 4 2 2
y x x y y
P x x
y x y x y x

             

P
bng
3
2
khi
1; 4
x y
 
Vy Min P =
3
2

Lu ý:

Có th thay
5

y x
 
sau đó tìm giá tr bé nht ca hàm s
3 5 3 5
( )
(5 ) 4
x x
g x
x x
 
 





0,25



0,50



0,25

Câu
AVI.1
(1,0 đ)

A
nm trên
Ox
nên


;0
A a
,
B
nm trên đng thng
0
x y
 
nên
( ; )
B b b
,
(2;1)
M
( 2; 1), ( 2; 1)
MA a MB b b
      
 

Tam giác ABM vuông cân ti M nên:
2 2 2
( 2)( 2) ( 1) 0
. 0
( 2) 1 ( 2) ( 1)

a b b
MA MB
MA MB
a b b
    



 

 

     




 
,
do
2
b

không tha mãn vy
2
2 2 2
2 2
1
2 , 2
1

2 , 2
2
2
1
( 2) 1 ( 2) ( 1)
1 ( 2) ( 1)
2
b
a b
b
a b
b
b
b
a b b
b b
b


  



  

 

 

 

 
     
    

 


 


2 2
2
2
1
2 , 2
1
2
1
4
( 2) ( 1) . 1 0
( 2)
3
a
b
a b
b
b
a
b b
b

b





  





 

 


 



 
    

 
  


 







0,25




0,25














S

O

A

B

I

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
6

Vi:
2
1
a
b





đng thng

qua AB có phng trình
2 0
x y
  

Vi
4
3
a

b





đng thng

qua AB có phng trình
3 12 0
x y
  


0,25



0,25


 2
I. PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH
Câu I (2 đim) Cho hàm s
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
     
có đ th (C
m

).
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s khi m = 0.
2. Tìm m đ hàm s đng bin trên khong


;2

Câu II (2 đim) a) Gii phng trình:
1)12cos2(3cos2


xx

b) Gii phng trình :
3
2
3
512)13(
22
 xxxx

Câu III (1 đim) Tính tích phân



2ln3
0
23
)2(
x

e
dx
I

Câu IV (1 đim) Cho hình lng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đu cnh a, hình chiu vuông góc ca A’ lên mt
phng (ABC) trùng vi tâm O ca tam giác ABC. Tính th tích khi lng tr ABC.A’B’C’ bit khong cách gia
AA’ và BC là
a 3
4

Câu V (1 đim)
Cho x,y,z tho mãn là các s thc:
1
22
 yxyx
.Tìm giá tr ln nht ,nh nht ca biu thc

1
1
22
44



yx
yx
P

II. PHN RIÊNG
: Thí sinh ch làm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)

Dành cho thí sinh thi theo chng trình chun
Câu VIa (2 đim)
a) Cho hình tam giác ABC có din tích bng 2. Bit A(1;0), B(0;2) và trung đim I ca AC nm trên đng
thng y = x. Tìm to đ đnh C.
b) Trong không gian Oxyz, cho các đim A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm ta đ đim O’ đi xng vi
O qua (ABC).
Câu VIIa(1 đim) Gii phng trình:
10)2)(3)((
2
 zzzz
,

z
C.
Dành cho thí sinh thi theo chng trình nâng cao
Câu VIb (2 đim)
a. Trong mp(Oxy) cho 4 đim A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm to đ đim M thuc đng thng
( ) :3 5 0
x y
   
sao cho hai tam giác MAB, MCD có din tích bng nhau
b.Trong không gian vi h ta đ Oxyz, cho hai đng thng:

2
5
1
1
3
4
:

1







zyx
d

1
3
3
1
2
:
2
zyx
d 




Vit phng trình mt cu có bán kính nh nht tip xúc vi c hai đng thng d
1
và d
2

Câu VIIb (1 đim) Gii bt phng trình:

2log9)2log3(
22
 xxx


www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
7

ÁP ÁN  2

Câu I
a)
 th Hc sinh t làm

0,25

3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
     
)1(6)12(66'
2
 mmxmxy

y’ có
01)(4)12(
22
 mmm

0,5






1
0'
mx
mx
y

Hàm s đng bin trên


;2


0'

y

2


x

21



m

1

m

0,25

b)

0,25

Câu II a)

Gii phng trình:
1)12cos2(3cos2


xx

1 đi
m
PT

1)1cos4(3cos2
2
xx

1)sin43(3cos2

2
 xx

0,25

Nhn xét
Zkkx


,

không là nghim ca phng trình đã cho nên ta có:
1)sin43(3cos2
2
 xx

xxxx sin)sin4sin3(3cos2
3


xxx sin3sin3cos2


xx sin6sin


0,25










26
26
mxx
mxx










7
2
7
5
2


m
x
m

x
;
Zm


0,25



Xét khi

5
2

m

k

2m=5k

m
t5

,
Zt


Xét khi
7
2

7


m

=

k

1+2m=7k

k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3,
Zl


Vy phng trình có nghim:
5
2

m
x  (
tm 5

);
7
2
7


m

x  (
37


lm
)
trong đó
Zltm

,,



0,25

Gii phng trình :
3
2
3
512)13(
22
 xxxx

1 đi
m
PT

631012)13(2
22
 xxxx

232)12(412)13(2
222
 xxxxx
. t
)0(12
2
 txt

Pt tr thành
0232)13(24
22
 xxtxt

Ta có:
222
)3()232(4)13('  xxxx

0,25

b)

Pt tr thành
0232)13(24
22
 xxtxt

Ta có:
222
)3()232(4)13('  xxxx

0,25

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
8

T đó ta có phng trình có nghim :
2
2
;
2
12




x
t
x
t

Thay vào cách đt gii ra ta đc phng trình có các
nghim:










7
602
;
2
61
x



0,5

Tính tích phân



2ln3
0
2
3
)2(
x
e
dx
I
1 đi
m
Ta c ó




2ln3
0 2
33
3
)2(
xx
x
ee
dxe
I
=
t u=
3
x
e

dxedu
x
3
3 
;
22ln3;10







uxux

0,25

Ta đc:



2
1
2
)2(
3
uu
du
I
=3
du
u
uu














2
1
2
)2(2
1
)2(4
1
4
1

0,25


=3
2
1
)2(2
1
2ln
4
1
ln
4
1











u
uu

0,25

Câu III

8
1
)
2
3
ln(
4
3


Vy I
8
1
)
2

3
ln(
4
3


0,25



Câu IV

0,5
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
M
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
9

Gi M là trung đim BC ta thy:





BCOA

BCAM
'
)'( AMABC



K
,'AAMH

(do
A

nhn nên H thuc trong đon AA’.)
Do
BCHM
AMAHM
AMABC






)'(
)'(
.Vy HM là đan vông góc chung ca
AA’và BC, do đó
4
3
)BC,A'( aHMAd  .

Xét 2 tam giác đng dng AA’O và AMH, ta có:
AH
HM
AO
OA

'


suy ra
3
a
a3
4
4
3a
3
3a
AH
HM.AO
O'A 
Th tích khi lng tr:
12
3a
a
2
3a
3
a

2
1
BC.AM.O'A
2
1
S.O'AV
3
ABC


0,5
1.Cho a, b, c là các s thc dng tho mãn
3



cba
.Chng minh
rng:

134)(3
222
 abccba


1 đi
m
t
2
;134)(3),,(

222
cb
tabccbacbaf



*Trc ht ta chng minh:
),,(),,( ttafcbaf

:Tht vy
Do vai trò ca a,b,c nh nhau nên ta có th gi thit
cba



33





cbaa
hay a
1





),,(),,( ttafcbaf

134)(3134)(3
2222222
 atttaabccba

=
)(4)2(3
2222
tbcatcb 

=
















22
22
4
)(

4
4
)(2
3
cb
bca
cb
cb
=
2
2
)(
2
)(3
cba
cb



= 0
2
))(23(
2

 cba
do a
1


0,5
*Bây gi ta ch cn chng minh:
0),,(

ttaf
vi a+2t=3
Ta có
134)(3),,(
2222
 atttattaf

=
13)23(4))23((3
2222
 ttttt

=
0)47()1(2
2
 tt
do 2t=b+c < 3
Du “=” xy ra
10&1









cbacbt
(PCM)
0,5
Câu V
2. Cho x,y,z tho mãn là các s thc:
1
22
 yxyx
.Tìm giá tr ln nht
,nh nht ca biu thc

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
10



1
1
22
44



yx
yx
P

T gi thit suy ra:

xyxyyx
xyxyxyyxyx
33)(1
21
2
22



T đó ta có
1
3
1
 xy
.


0,25

M¨t kh¸c
xyyxyxyx  11
2222

nªn
12
2244
 xyyxyx
.®¨t t=xy
Vëy bµi to¸n trë thµnh t×m GTLN,GTNN cña

1
3
1
;
2
22
)(
2



 t
t
tt
tfP



0.25

TÝnh










)(26
26
0
)2(
6
10)('
2
lt
t
t
tf



0.25

Do hàm s liên tc trên
 
1;
3
1

nên so sánh giá tr ca
)
3
1
(

f

,
)26( f
,
)1(f
cho ra kt qu:
626)26(  fMaxP ,
15
11
)
3
1
(min  fP



0.25

Câu VIa

1 đi
m
(Hc sinh t v hình)
Ta có:


1;2 5
AB AB   

. Phng trình ca AB là:
2 2 0

x y
  
.




: ;
I d y x I t t
  
. I là trung đim ca AC:
)2;12( ttC




0,5
a)
Theo bài ra: 2),(.
2
1


ABCdABS
ABC

446. t








3
4
0
t
t


T đó ta có 2 đim C(-1;0) hoc C(
3
8
;
3
5
) tho mãn .



0,5

1 đi
m
*T phng trình đon chn suy ra pt tng quát ca mp(ABC) là:2x+y-z-2=0

0.25

b)

*Gi H là hình chiu vuông góc ca O l ên (ABC), OH vuông góc vi
(ABC) nên
)1;1;2(// nOH
;


H ABC


Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phng trình( ABC) có t=
3
1
suy ra
)
3
1
;
3
1
;
3
2
( H


0,25

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
11

*O’ đi xng vi O qua (ABC)

H là trung đim ca OO’

)
3
2
;
3
2
;
3
4
(' O

0,5
Gii phng trình:
10)2)(3)((
2
 zzzz
,

z
C.
1 đi
m
PT







10)3)(1)(2( zzzz 0)32)(2(
22
 zzzz

t
zzt 2
2

. Khi đó phng trình (8) tr thành:

0,25

t
zzt 2
2

. Khi đó phng trình (8) tr thành

0103
2
 tt


0,25

CâuVIIa













61
1
5
2
z
iz
t
t

Vy phng trình có các nghim:
61z
;
iz



1

0,5
Câu VIb
a)

1 đi
m
Vit phng trình đng AB:
4 3 4 0
x y
  
và
5
AB


Vit phng trình đng CD:
4 17 0
x y
  
và
17
CD 


0,25

im M thuc


có to đ dng:
( ;3 5)
M t t
 
Ta tính đc:

13 19 11 37
( , ) ; ( , )
5
17
t t
d M AB d M CD
 
 


0,25


T đó:
( , ). ( , ).
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD
  


7
9
3

t t
    


Có 2 đim cn tìm là:
7
( 9; 32), ( ;2)
3
M M 
0,5

1 đi
m
Gi s mt mt cu S(I, R) tip xúc vi hai đng thng d
1
, d
2
ti hai đim A
và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥


1 2
,
d d d
du bng xy ra khi I là
trung đim AB và AB là đon vuông góc chung ca hai đng thng d
1
, d
2

0, 25

Ta tìm A, B :
'
AB u
AB u







 
 
Ad
1
, Bd
2
nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)
0,25


AB

(….)…


A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)

I(2; 1; -1)
0,25

b)


Mt cu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=
6

Nên có phng trình là:
 
2
2 2
2 ( 1) ( 1) 6
x y z
     


0,25

CâuVIIb

Gii bt phng trình
2log9)2log3(
22
 xxx

1 đi

m
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
12


iu kin:
0

x

Bt phng trình

)1(2log)3(3
2
 xxx

Nhn thy x=3 không là nghim ca bt phng trình.

0.25

TH1 Nu
3

x
BPT

3
1
log

2
3
2



x
x
x

Xét hàm s:
xxf
2
log
2
3
)( 
đng bin trên khong


;0


3
1
)(



x

x
xg nghch bin trên khong


;3

*Vi
4

x
:Ta có





3)4()(
3)4()(
gxg
fxf

Bpt có nghim
4

x

* Vi
4

x

:Ta có





3)4()(
3)4()(
gxg
fxf

Bpt vô nghim


0,25

TH 2 :Nu
30


x
BPT

3
1
log
2
3
2




x
x
x


xxf
2
log
2
3
)( 
đng bin trên khong


;0


3
1
)(



x
x
xg
nghch bin trên khong



3;0

*Vi
1

x
:Ta có





0)1()(
0)1()(
gxg
fxf

Bpt vô nghim
* Vi
1

x
:Ta có





0)1()(

0)1()(
gxg
fxf

Bpt có nghim
10


x



0,25

Vy Bpt có nghim





10
4
x
x

0,25



Câu V Cho x , y , z là ba s thc tha mãn : 5

-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chng minh rng :

  
 
  
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y


 
5 5 5
4
x y z

t 5
x
= a , 5
y
=b , 5
z
= c . T gi thit ta có : ab + bc + ca = abc
Bt đng thc cn chng minh có dng :
2 2 2

4
a b c a b c
a bc b ca c ab
 
  
  
( *)
( *)

3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c
a abc b abc c abc
 
  
  






0,25đ



0,25đ

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
13




3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
 
  
     

Ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c
a
a b a c
 
  
 
( 1) ( Bt đng thc Cô si)
Tng t
3
3
( )( ) 8 8 4

b b c b a
b
b c b a
 
  
 
( 2)

3
3
( )( ) 8 8 4
c c a c b
c
c a c b
 
  
 
( 3) .
Cng v vi v các bt đng thc ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điu phi chng minh


0,25đ



0,25đ
Phn B. (Thí sinh ch đc làm phn I hoc phn II)
Phn I. (Danh cho thí sinh hc chng trình chun)
1. Chng trình Chun.
Cõu Ph

n
Ni dung im
CâuVI
a.
(1,0)
1(1,
0)
+ Do
AB CH

nn AB:
1 0
x y
  
.
Gii h:
2 5 0
1 0
x y
x y
  


  

ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó:
( 4;3)
AB BN B
  

.
+ Ly A’ đi xng A qua BN th
'
A BC

.
- Phng trình đng thng (d) qua A và
Vung gúc vi BN là (d):
2 5 0
x y
  
. Gi
( )
I d BN
 
. Gii h:
2 5 0
2 5 0
x y
x y
  


  

. Suy ra: I(-1; 3)
'( 3; 4)
A
  

+ Phng trình BC:
7 25 0
x y
  
. Gii h:
7 25 0
1 0
x y
x y
  


  


Suy ra:
13 9
( ; )
4 4
C
 
.
+
2 2
450
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC       ,
2 2
7.1 1( 2) 25

( ; ) 3 2
7 1
d A BC
  
 

.
Suy ra:
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
ABC
S d A BC BC  





0,25đ



0,25đ




0,25đ

0,25đ

Câu
VIIA

1) Véc t ch phng ca hai đng thng ln lt là:
1
u

(4; - 6; - 8)

2
u

( - 6; 9; 12)
+)
1
u

và
2
u

cùng phng


0,25đ


+) M( 2; 0; - 1)

d

1
; M( 2; 0; - 1)

d
2

Vy d
1
// d
2

0,25đ


*) Véc t pháp tuyn ca mp (P) là
n

= ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2)
AB

= ( 2; - 3; - 4); AB // d
1

Gi A
1
là đim đi xng ca A qua d
1 .
Ta có: IA + IB = IA

1
+ IB

A
1
B
IA + IB đt giá tr nh nht bng A
1
B
Khi A
1
, I, B thng hàng

I là giao đim ca A
1
B và d



0,25đ
B

C

A

H

N

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
14

Do AB // d
1
nên I là trung đim ca A
1
B.
*) Gi H là hình chiu ca A lên d
1
. Tìm đc H
36 33 15
; ;
29 29 29
 
 
 



A’ đi xng vi A qua H nên A’
43 95 28
; ;
29 29 29
 

 
 

I là trung đim ca A’B suy ra I
65 21 43
; ;
29 58 29
 
 
 
 



0,25đ









Cõu Ni dung im
Câu VIIa
(1,0)
Cõu VII.a (1 đim): Gii phng trình sau trn tp s phc C:
2
4 3
1 0
2
z

z z z
    
(1)


Nhn xét z=0 không là nghim ca phng trình (1) vy z
0


Chia hai v PT (1) cho z
2
ta đc : ( 0
2
1
)
1
()
1
2
2

z
z
z
z (2)

0.25đ

t t=z-
z

1
Khi đó
2
1
2
22

z
zt 2
1
2
2
2
 t
z
z

Phng trình (2) có dng : t
2
-t+
0
2
5

(3)
2
99
2
5
.41 i

PT (3) có 2 nghim t=
2
31 i

,t=
2
31 i







0.25đ

Vi t=
2
31 i

ta có
02)31(2
2
311
2


 ziz
i

z
z
(4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii 

PT(4) có 2 nghim : z=
i
ii




1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(





iii

0.25đ

Vi t=
2
31 i

ta có
02)31(2
2
311
2


 ziz
i
z
z
(4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii 

PT(4) có 2 nghim : z=
i
ii





1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(






iii

Vy PT đã cho có 4 nghim : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1

i
; z=
2
1


i

0.25đ
Phn II.
Câu VIb. 1)
I

d
1
H

A

B

A
1
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
15

Ta có:
Idd
21

. To đ ca I là nghim ca h:












2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vy






2
3
;
2
9
I
Do vai trò A, B, C, D nên gi s M là trung đim cnh AD
OxdM
1


Suy ra M( 3; 0)

0,25đ

Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
















Theo gi thit:

22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD

Vì I và M cùng thuc đng thng d
1

ADd
1


ng thng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc vi d
1
nhn
)1;1(n
làm VTPT nên có PT:
03yx0)0y(1)3x(1









. Li có:
2MDMA 





0,25đ

To đ A, D là nghim ca h PT:
 







2y3x
03yx
2
2

   



















13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2







1y

2x
hoc





1y
4x
. Vy A( 2; 1), D( 4; -1)



0,25đ

Do






2
3
;
2
9
I là trung đim ca AC suy ra:






213yy2y
729xx2x
AIC
AIC

Tng t I cng là trung đim ca BD nên ta có B( 5; 4)
Vy to đ các đnh ca hình ch nht là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

0,25đ

Cõu Phn Ni dung im
CâuVIb.
(1,0)
2.a)
Các véc t ch phng ca D
1
và D
2
ln lt là
1
u

( 1; - 1; 2)
và
2
u


( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)

D
1
; N( 2; 3; 0)

D
2

0,25đ


Xét
1 2
; .
u u MN
 
 
  
= - 10

0
Vy D
1
chéo D
2

0,25đ

Gi A(2 + t; 1 – t; 2t)

D
1
B(2 – 2t’; 3; t’)

D
2


1
2
. 0
. 0
AB u
AB u








 



1
3

' 0
t
t

 








A
5 4 2
; ;
3 3 3
 

 
 
; B (2; 3; 0)
ng thng

qua hai đim A, B là đng vuông góc chung ca D
1

và D
2
.

Ta có

:
2
3 5
2
x t
y t
z t
 


 







0,25đ






0,25đ

www.VNMATH.com

Biên son: Trn Duy Thái
16

PT mt cu nhn đon AB là đng kính có
dng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
     
     
     
     

0,25đ

CâuVIIb
(1,0)

Ta có:
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009
(1 ) i C iC i C    


0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009

( )
C C C C C C
C C C C C C i
      
     

Thy:
1
( )
2
S A B
 
, vi
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
A C C C C C C      


0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
B C C C C C C     

+ Ta có:
2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2
i i i i i
       
.
ng nht thc ta có A chnh là phn thc ca
2009

(1 )
i

nn
1004
2
A

.
+ Ta có:
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 ) x C xC x C x C     

Cho x=-1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C      

Cho x=1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2
C C C C C C       
.
Suy ra:
2008
2
B


.
+ T đó ta có:
1003 2007
2 2
S  
.




0,25đ



0,25đ





0,25đ
0,25đ



 3
I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7,0 đim)
Câu I (2,0 đim). Cho hàm s y =
1
2


x
x
.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ( C ) ca hàm s.
2. Tìm các giá tr ca m đ đng thng y = mx – m + 2 ct đ th ( C ) ti hai đim phân bit A,B và
đon AB có đ dài nh nht.
Câu II (2,0 đim)
1. Gii phng trình


 
2
cos . cos 1
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x

 


2. Gii phng trình
2 2
7 5 3 2 ( )
x x x x x x      


Câu III (1,0 đim). Tính tích phân

3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

.
Câu IV (1,0 đim). Cho t din đu ABCD có cnh bng 1. Gi M, N là các đim ln lt di đng trên các
cnh AB, AC sao cho




DMN ABC

. t AM = x, AN = y. Tính th tích t din DAMN theo x và y. Chng
minh rng:
3 .
x y xy
 

Câu V (1,0 đim). Cho x, y, z
0

tho mãn x+y+z > 0. Tìm giá tr nh nht ca biu thc
 

3 3 3
3
16
x y z
P
x y z
 

 

II. PHN RIÊNG (3,0 đim): Thí sinh ch đc làm mt trong hai phn (phn A hoc B).
A. Theo chng trình Chun:
Câu VI.a (2,0 đim)
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
17

1. Trong mt phng to đ Oxy, cho hình ch nht ABCD có phng trình đng thng AB: x – 2y + 1 = 0,
phng trình đng thng BD: x – 7y + 14 = 0, đng thng AC đi qua M(2; 1). Tìm to đ các đnh ca hình
ch nht.
2. Trong không gian to đ Oxyz, cho mt phng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đng thng
d
1
:
1 1 2
2 3 1
x y z
  
 
, d

2
:
2 2
1 5 2
x y z
 
 


Vit phng trình đng thng d vuông góc vi (P) đng thi ct hai đng thng d
1
và d
2
.
Câu VII.a (1,0 đim). Tìm phn thc ca s phc z = (1 + i)
n
, bit rng n  N tha mãn phng trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
B. Theo chng trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 đim)
1. Trong mt phng to đ Oxy cho tam giác ABC, có đim A(2; 3), trng tâm G(2; 0). Hai đnh B và C ln lt
nm trên hai đng thng d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x + 2y – 7 = 0. Vit phng trình đng tròn có tâm C và

tip xúc vi đng thng BG.
2. Trong không gian to đ cho đng thng d:
3 2 1
2 1 1
x y z
  
 

và mt phng (P): x + y + z + 2 = 0. Gi M
là giao đim ca d và (P). Vit phng trình đng thng

nm trong mt phng (P), vuông góc vi d đng
thi tho mãn khong cách t M ti

bng
42
.
Câu VII.b (1,0 đim). Gii h phng trình

 
1 4
4
2 2
1
log log 1
( , )
25
y x
y
x y

x y

  




 



ÁP ÁN  3

Câu Ni dung im

I HS tu lam 2,0
II

2.0
1
Gii phng trình


 
2
cos . cos 1
2 1 sin .
sin cos
x x
x

x x

 


1.0
K:
sin cos 0
x x
 
0.25
Khi đó








2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
PT x x x x x
     





1 sin 1 cos sin sin .cos 0

x x x x x
     








1 sin 1 cos 1 sin 0
x x x
    

0.25
sin 1
cos 1
x
x
 



 

(tho mãn điu kin)
0.25

2
2

2
x k
x m


 

  



 





,k m


Vy phng trình đã cho có nghim là:
2
2
x k


   và
2
x m
 

 



,k m 


0.25
2
Gii phng trình:
2 2
7 5 3 2 ( )
x x x x x x      


1.0
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
18

2
2 2
3 2 0
7 5 3 2
x x
PT
x x x x x

  




     



0.25

2
3 2 0
5 2( 2)
x x
x x x

  



   



0.25

3 1
0
2
5 2.
x
x

x
x
x


  

 




  


 
 
2
2 0
1 16 0
x
x x
  




  



0.25


1
x
  

Vy phng trình đã cho có mt nghim x = - 1.
0.25
III
Tính tích phân
3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

.
1.0
t u =
2
1 1 2
x u x udu dx
     
; đi cn:

0 1
3 2
x u
x u
  


  


0.25
Ta có:
3 2 2 2
3
2
0 1 1 1
3 2 8 1
(2 6) 6
3 2 1
3 1 3
x u u
dx du u du du
u u u
x x
 
   
  
  
   

0.25

 
2
2
1
2
6 6ln 1
1
u u u   
0.25


3
3 6ln
2
  

0.25
IV

1.0

Dng
DH MN H
 

Do







DMN ABC DH ABC
  
mà
.
D ABC
là
t din đu nên
H
là tâm tam giác đu
ABC
.





0.25
Trong tam giác vuông DHA:
2
2 2 2
3 6
1
3 3
DH DA AH
 
    

 
 
 

Din tích tam giác
AMN
là
0
1 3
. .sin 60
2 4
AMN
S AM AN xy
 
0.25

Th tích t din
.
D AMN
là
1 2
.
3 12
AMN
V S DH xy
 

0.25
D
A

B
C
H
M
N
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
19

Ta có:
AMN AMH AMH
S S S 
0 0 0
1 1 1
.sin 60 . .sin30 . .sin 30
2 2 2
xy x AH y AH  

3 .
x y xy
 


0.25
V

1.0
Trc ht ta có:
 
3

3 3
4
x y
x y

  (bin đi tng đng)
   
2
0
x y x y
    

0.25
t x + y + z = a. Khi đó
   
 
3 3
3 3
3
3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
   
    
(vi t =
z

a
,
0 1
t
 
)
0.25
Xét hàm s f(t) = (1 – t)
3
+ 64t
3
vi t


0;1
 . Có
 
 
2
2
1
'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t
 
      
 

Lp bng bin thiên
0.25

 
 
0;1
64
inf
81
t
M t

  
GTNN ca P là
16
81
đt đc khi x = y = 4z > 0
0.25
VI.a

2.0
1

1.0
Do B là giao ca AB và BD nên to đ ca B là nghim ca h:
21
2 1 0
21 13
5
;
7 14 0 13
5 5

5
x
x y
B
x y
y



  


 
 
 
 
  
 






0.25
Li có: T giác ABCD là hình ch nht nên góc gia AC và AB bng góc gia AB và
BD, kí hiu
(1; 2); (1; 7); ( ; )
AB BD AC
n n n a b

 
  
(vi a
2
+ b
2
> 0) ln lt là VTPT ca các
đng thng AB, BD, AC. Khi đó ta có:




os , os ,
AB BD AC AB
c n n c n n
   

2 2 2 2
3
2 7 8 0
2
7
a b
a b a b a ab b
b
a
 


        


 


0.25

- Vi a = - b. Chn a = 1

b = - 1. Khi đó Phng trình AC: x – y – 1 = 0,
A = AB  AC nên to đ đim A là nghim ca h:
1 0 3
(3;2)
2 1 0 2
x y x
A
x y y
   
 
 
 
   
 

Gi I là tâm hình ch nht thì I = AC  BD nên to đ I là nghim ca h:
7
1 0
7 5
2
;
7 14 0 5

2 2
2
x
x y
I
x y
y



  


 
 
 
 
  
 






Do I là trung đim ca AC và BD nên to đ
 
14 12
4;3 ; ;
5 5

C D
 
 
 

0.25
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
20


- Vi b = - 7a (loi vì AC không ct BD)
0.25

2 1.0
Phng trình tham s ca d
1
và d
2
là:
1 2
1 2 2
: 1 3 ; : 2 5
2 2
x t x m
d y t d y m
z t z m
    
 
 

    
 
 
   
 

0.25
Gi s d ct d
1
ti M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và ct d
2
ti N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m)
MN


(3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t).
0.25
Do d  (P) có VTPT
(2; 1; 5)
P
n
 

nên :
p
k MN kn
  
 
3 2 2
3 5 3

2 2 5
m t k
m t k
m t k
  


    


    

có nghim
0.25

Gii h tìm đc
1
1
m
t






Khi đó đim M(1; 4; 3)

Phng trình d:
1 2

4
3 5
x t
y t
z t
 


 


 

tho mãn bài toán



0.25
VII.a
Tìm phn thc ca s phc z = (1 + i)
n
, bit rng n  N tha mãn phng trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
1.0
iu kin:
3

n N
n






Phng trình log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3  log
4
(n – 3)(n + 9) = 3
0.25
 (n – 3)(n + 9) = 4
3
 n
2
+ 6n – 91 = 0
7
13
n
n




 



Vy n = 7.
0.25
Khi đó z = (1 + i)
n
= (1 + i)
7
=
     
3
2
3
1 . 1 1 .(2 ) (1 ).( 8 ) 8 8
i i i i i i i
 
        
 

0.25

Vy phn thc ca s phc z là 8. 0.25
VI.b 2.0
1 1.0
Gi s
1 2
( ; ) 5; ( ; ) 2 7
B B B B C C C C
B x y d x y C x y d x y
         

Vì G là trng tâm nên ta có h:
2 6
3 0
B C
B C
x x
y y
  


  


0.25
T các phng trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1)
0.25

Ta có
(3;4) (4; 3)
BG
BG VTPT n
 
 
nên phng trình BG: 4x – 3y – 8 = 0

0.25
(tho mãn)
(không tho mãn)
www.VNMATH.com

Biên son: Trn Duy Thái
21

Bán kính R = d(C; BG) =
9
5


phng trình đng tròn: (x – 5)
2
+(y – 1)
2
=
81
25

0.25
2

1.0
Ta có phng trình tham s ca d là:
3 2
2
1
x t
y t
z t
 



  


  


 to đ đim M là nghim ca h
3 2
2
1
2 0
x t
y t
z t
x y z
 


  


  


   

(tham s t)
(1; 3;0)
M
 

0.25
Li có VTPT ca(P) là
(1;1;1)
P
n

, VTCP ca d là
(2;1; 1)
d
u


.
Vì

nm trong (P) và vuông góc vi d nên VTCP
, (2; 3;1)
d P
u u n

 
  
 
  

Gi N(x; y; z) là hình chiu vuông góc ca M trên

, khi đó
( 1; 3; )

MN x y z
 

.
Ta có
MN

vuông góc vi
u


nên ta có phng trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
Li có N

(P) và MN =
42
ta có h:
2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1) ( 3) 42
x y z
x y z
x y z

   

   



    


0.25

Gii h ta tìm đc hai đim N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5)
0.25

Nu N(5; -2; -5) ta có pt
5 2 5
:
2 3 1
x y z
  
  


Nu N(-3; -4; 5) ta có pt
3 4 5
:
2 3 1
x y z
  
  



0.25
VII.b
Gii h phng trình

 
1 4
4
2 2
1
log log 1
( , )
25
y x
y
x y
x y

  




 



1.0
iu kin:
0
0
y x
y
 






0.25
H phng trình
 
4 4 4
2 2 2 2 2 2
1 1
log log 1 log 1
4
25 25 25
y x y x
y x
y y y
x y x y x y
 
  
      
  
  
  
  
     
  

0.25
2
2 2 2 2

3
3 3
25
25 9 25
10
x y
x y x y
y
x y y y


 
 

  
  

   
 



0.25

 
 
15 5
; ;
10 10
15 5

; ;
10 10
x y
x y

 


 
 



 
  

 

 


Vy h phng trình đã cho vô nghim.
0.25
(không tha mãn đk)
(không tha mãn đk)
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
22

 4
I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7,0 đim)
Câu I:(2,0 đim) Cho hàm s
3
(3 1)
y x x m
  
(C ) vi m là tham s.
1. Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s (C) khi
1
m

.
2. Tìm các gíá tr ca m đ đ th ca hàm s (C) có hai đim cc tr và chng t rng hai đim
cc tr này  v hai phía ca trc tung.
Câu II:(2,0 đim)
1. Gii phng trình:
3 3
17
8cos 6 2 sin 2 3 2cos( 4 ).cos2 16cos
2
x x x x x

   
.
2. Tính tích phân :
  
1
2
1

1 1
x
dx
I
e x


 

.
Câu III:(2,0 đim)
1. Tìm các giá tr ca tham s m đ phng trình:
2
4
2
1
x
x
m e e
  
có nghim thc .
2. Chng minh:
 
1 1 1
12
x y z
x y z
 
    
 

 
vi mi s thc x , y , z thuc đon


1;3
.
Câu IV:(1,0 đim) Cho hình chóp S.ABC có chân đng cao là H trùng vi tâm ca đng tròn ni
tip tam giác ABC và AB = AC = 5a , BC = 6a . Góc gia mt bên (SBC) vi mt đáy là
0
60
.Tính
theo a th tích và din tích xung quanh ca khi chóp S.ABC.
II. PHN RIÊNG (3,0 đim). Thí sinh ch đc làm mt trong hai phn: A hoc B.
A. Theo chng trình chun
Câu Va:(1,0 đim) Trong mt phng ta đ (Oxy) , cho tam giác ABC vuông cân ti A vi


2;0
A và


1 3
G ;
là trng tâm . Tính bán kính đng tròn ni tip tam giác ABC.
Câu VI.a:(2,0 đim)
1. Gii phng trình:


3
log 4.16 12 2 1

x x
x
  
.
2. Tìm giá tr nh nht ca hàm s


1
y x ln x
  .
B. Theo chng trình nâng cao
Câu Vb:(1,0 đim) Trong mt phng ta đ (Oxy) , cho tam giác ABC vi


0 1
A ;
và phng
trình hai đng trung tuyn ca tam giác ABC qua hai đnh B , C ln lt là
2 1 0
x y
   
và
3 1 0
x y
  
. Tìm ta đ hai đim B và C.
Câu VI.b:(2,0 đim)
1. Gii phng trình:
3 3
log 1 log 2

2 2
x x
x
 
 
.
2. Tìm gii hn:


2
ln 2
lim
1
1
x
x
x



.
ÁP ÁN  4

Câu Ý NI DUNG
im
Câu I Ý 1
Khi m =1


3

3 1
y x x
  
. Tp xác đnh D=R .
0,25 đ

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
23

Gii hn:
lim ; lim
x x
y y
 
   
.
y’= 3x
2
– 3 ; y’=0
1
x
  
.
0,25 đ


Bng bin thiên .
Hàm s đng bin trên khong





; 1 , 1;
   
và nghch bin
trên khong


1;1
 .
Hàm s đt C ti x = -1 ; y
C
= 3 và đt CT ti x = 1 ; y
CT
= -1 .

0,25 đ

(1,0 đ)


im đc bit: T ct Oy ti (0 ; 1) và qua (-2 ; -1) ; (2 ; 3).
 th ( không cn tìm đim un) .

0,25 đ

y’ = 0

3x

2
– 3m = 0 ;
' 9
m
 
.
0,25 đ

0
m

: y’ không đi du

hàm s không có cc tr .
0,25 đ


0
m

: y’ đi du qua 2 nghim ca y’=0

hàm s có 2 cc tr.
KL:
0
m

.

0,25 đ

(2,0đ)


Ý 2
(1,0 đ)

0
m



0
P m
   
đpcm.
0,25 đ

Bin đi:
3
4cos 3 2 sin 2 8cos
x x x
 


0,25 đ

2
2cos .(2cos 3 2 sin 4) 0
x x x

   

0,25 đ

2
cos 0 2sin 3 2 sin 2 0
x v x x
    
. 0,25 đ

Ý 1
(1,0 đ)


2
2
4
3
2
4
x k
x k
x k








 



  



 

, k
Z


KL:
0,25 đ


Khi x = 2y


1
y
  
2
1
x
y






;
2
1
x
y
 


 

(loi) .

0,25 đ

âu II
(2,0 đ)

Ý 2
(1,0 đ)

Khi y=2x

-3 x
2
= 3 : VN .
KL: nghim h PT là



2;1
.
0,25 đ

Câu III
(2,0 đ)
Ý 1
(1,0 đ)

t
2
x
t e

K: t > 0 .
PT tr thành:
44
1
m t t
  
.
0,25 đ

www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
24


Xét

44
( ) 1
f t t t
  
vi t > 0 .
3
4
4
4
'( ) 1 0
1
t
f t
t
 
  
 

 

hàm s NB trên


0;
 
.
0,50 đ

  
4 4 2
4
1
lim ( ) lim 0
1 1
t t
f t
t t t t
 
 
   
; f(0) = 1.
KL: 0< m <1.

0,25 đ

Ta có:
  
2
3
1 3 1 3 0 4 3 0 4
t t t t t t
t
            
.
0,25 đ

Suy ra :
3 3 3

4 ; 4 ; 4
x y z
x y z
     

 
1 1 1
3 12
Q x y z
x y z
 
       
 
 

0,50 đ

Ý 2
(1,0 đ)


   
1 1 1 1 1 1
3 6 12
2
Q
x y z x y z
x y z x y z
   
           

   
   

0,25 đ


Gi M là trung đim BC

A , M , H thng hàng
0
BC SM 60
BC AM SMH     
.

0,25 đ

AM=4a
2
3
12 ; 8
2
ABC
ABC
S
a
S a p a r
p
      =MH .
0,25 đ

3
.
3 3
6 3
2
S ABC
a
SH V a   
.
0,25 đ

Câu IV
(1,0 đ)

H HN , HP vuông góc vi AB và AC
;
AB SN AC SP
  

HM = HN = HP
2
3 3 24
XQ
SM SN SP a S ap a
       .

0,25 đ

t AB = a



2
2 2
2 ;
2 2
ABC
a
a
BC a S p

     .
0,50 đ


2 2
ABC
S
a
r
p
  

.
0,25 đ

Câu Va
(1,0 đ)




1; 3 2 3 3 2
AG AG AM a       



3 2 1
r
  
.
0,25 đ

Câu VIa

(2,0 đ)

Ý 1
(1,0 đ)

PT
2 1 2 2
4.16 12 3 4.4 4 .3 3.3
x x x x x x x

     
.
Chia 2 v cho
2
3 0
x


, ta có:
2
4 4
4 3 0
3 3
x x
   
  
   
   
.
0,50đ
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
25


t
4
3
x
t
 

 
 
. K:
2
3
0 ; 4 3 0 1( ); ( )

4
t t t t kth t th
       
.
0,25 đ


Khi
3
4
t

, ta có:
1
4 3 4
1
3 4 3
x
x

   
    
   
   
.
0,25 đ

TX:



0;D
  
;
1
' ln
x
y x
x

 
.
0,25 đ

y’= 0
1
x
 
; y(1) = 0 vì
1
ln
x
y x
x

 
là HSB
0,50 đ

Ý 2
(1,0 đ)

Khi 0 < x < 1
' 0
y
 
; khi x > 1
' 0
y
 
.
KL: miny = 0
1
x
 
.
0,25 đ

Ta đ trng tâm tam giác ABC là
2 1
4 1
;
3 1
7 7
x y
G
x y
 

 



 
 
 

.

0,25 đ

Gi


1
;2 1 ( )
B b b d
  ;


2
1 3 ; ( )
C c c d
 
Ta có:
5 2
3
7 7
3 1
2
7 7
b c b

b c c
 
  
 
 

 
 
   
 
 
.
0,50 đ

Câu Vb
(1,0 đ)
KL:
2 3 10 1
; ; ;
7 7 7 7
B C
   
 
   
   
.
0,25 đ

K: x > 0 . t
3

log 3
t
t x x
  
.
0,25 đ

Ta có:
2
1 9 2 4 2
2.2 2 3 .2 3
4 4 3 9 3
t
t t t t t
   
      
   
   
.
0,50 đ

Ý 1
(1,0 đ)

Khi t = 2 thì
3
log 2 9
x x
  
(th)

KL: nghim PT là
9
x

.

0,25 đ


t
1. : 1 0
t x Suyra x t
    
.
0,25 đ

Gii hn tr thành:


 
0
ln 1
lim
2
t
t
t t








 
0
ln 1
1 1
lim .
2 2
t
t
t t

 

  
 
.

0,50đ

Câu VIb

(2,0 đ)
Ý 2
(1,0 đ)

KL:



2
1
ln 2
1
lim
1 2
x
x
x


 

.
0,25đ

 5
PHN CHUNG CHO TT C CÁC THÍ SINH (7 đim)
Câu I (2 đim) Cho hàm s
2 4
1
x
y
x



.
1). Kho sát và v đ th



C
ca hàm s trên.
2). Gi (d) là đng thng qua A( 1; 1 ) và có h s góc k. Tìm k sao cho (d) ct ( C ) ti hai đim M, N và
3 10
MN 
.
Câu II (2 đim) :
www.VNMATH.com
Biên son: Trn Duy Thái
26

1). Gii h phng trình:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y

   


 



2). Gii phng trình :
0

1
cos
sin
2
sin
sin
2
2

x
x
x
x
.
Câu III (1 đim): Tính tích phân:
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
I dx
x x






Câu IV (1 đim) Cho hình chóp ct tam giác đu ngoi tip mt hình cu bán kính r cho trc. Tính th tích hình

chóp ct bit rng cnh đáy ln gp đôi cnh đáy nh.
Câu V (1 đim) Tìm m đ phng trình sau có 2 nghim phân bit :

x10
1).12(48
22
 xxmx
.
PHN RIÊNG
(3 đim): Thí sinh ch làm mt trong hai phn (Phn 1 hoc phn 2)
1. Theo chng trình chun
.
Câu VI.a (2 đim)
1. Cho

ABC có đnh A(1;2), đng trung tuyn BM:
2 1 0
x y
  
và phân giác trong CD:

1 0
x y
  
. Vit phng trình đng thng BC.
2. Cho đng thng (D) có phng trình:
2
2
2 2
x t

y t
z t
  


 


 

.Gi

là đng thng qua đim A(4;0;-1)
song song vi (D) và I(-2;0;2) là hình chiu vuông góc ca A trên (D). Trong các mt phng qua

, hãy vit
phng trình ca mt phng có khong cách đn (D) là ln nht.
Câu VII.a (1 đim) Cho x, y, z là 3 s thc thuc (0;1]. Chng minh rng
1 1 1 5
1 1 1
xy yz zx x y z
  
    

2. Theo chng trình nâng cao
.
Câu VI.b (2 đim)
1).Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho đng tròn hai đng
tròn
2 2

( ) : – 2 – 2 1 0,
C x y x y  
2 2
( ') : 4 – 5 0
C x y x
  
cùng đi qua M(1; 0). Vit phng trình
đng thng qua M ct hai đng tròn
( ), ( ')
C C
ln lt ti A, B sao cho MA= 2MB.
2). Trong không gian vi h ta đ Oxyz cho hai đng thng d và d’ ln lt có phng trình : d :
z
y
x 



1
2
và d’ :
1
5
3
2
2





z
y
x
.
Vit phng trình mt phng
)(

đi qua d và to vi d’ mt góc
0
30

Câu VII.b (1 đim) Cho a, b, c là ba cnh tam giác. Chng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
    
 
     
 


ÁP ÁN  5

Câu Phn Ni dung
I
(2,0)

1(1,0)
Làm đúng, đ các bc theo S đ kho sát hàm s cho đim ti đa.
2(1,0)
T gi thit ta có:
( ): ( 1) 1.
d y k x
  
Bài toán tr thành: Tìm k đ h phng trình sau
có hai nghim
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
x y x y
phân bit sao cho
   
2 2
2 1 2 1
90(*)
x x y y   

www.VNMATH.com