Bộ đề luyện thi cấp tốc môn Toán_04

Biờn son: Trn Duy Thỏi
65
2 3
2 2
1
k
x
k
y kx









2
2 5 2
2 2
x x
y
x




Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong
2
2 5 2

2 2
x x
y
x





0,25
VIII. b
Gii phng trỡnh . . .

(1,0 im)
iu kin : x>0
t

2
log
3 1
x

=u,

2
log
3 1
x
v
ta cú pt

u +uv
2
= 1 + u
2
v
2


(uv
2
-1)(u 1) = 0
2
1
1
u
uv






. . . x =1

0,25

0,5
0,25

12

Cõu I. (2 im). Cho hm s
2 1
1
x
y
x



(1).
1) Kho sỏt v v th (C) ca hm s (1).
2) Tỡm im M thuc th (C) tip tuyn ca (C) ti M vi ng thng i qua M v giao im hai
ng tim cn cú tớch h s gúc bng - 9.

Cõu II. (2 im)
1) Gii phng trỡnh sau:
2
1 1
2
2
x
x


.
2) Gii phng trỡnh lng giỏc:
4 4
4
sin 2 os 2
os 4

tan( ).tan( )
4 4
x c x
c x
x x




.
Cõu III. (1 im) Tớnh gii hn sau:

3
2
2
0
ln(2 . os2 ) 1
lim
x
e e c x x
L
x




Cõu IV. (2 im)
Cho hỡnh nún nh S cú di ng sinh l l, bỏn kớnh ng trũn ỏy l r. Gi I l tõm mt cu ni
tip hỡnh nún (mt cu bờn trong hỡnh nún, tip xỳc vi tt c cỏc ng sinh v ng trũn ỏy ca nún gi l
mt cu ni tip hỡnh nún).

1. Tớnh theo r, l din tớch mt cu tõm I;
2. Gi s di ng sinh ca nún khụng i. Vi iu kin no ca bỏn kớnh ỏy thỡ din tớch mt
cu tõm I t giỏ tr ln nht?

Cõu V (1 im) Cho cỏc s thc x, y, z tha món: x
2
+ y
2
+ z
2
= 2.
Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x
3
+ y
3
+ z
3
3xyz.
Cõu VI. (1 im) Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm
1
( ; 0)
2
I

ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm. Tỡm ta cỏc nh ca
hỡnh ch nht ú.

Cõu VII. (1 im) Gii h phng trỡnh :
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái

66

2 2
2
2
3 2
2010
2009
2010
3 log ( 2 6) 2 log ( 2) 1
y x
x
y
x y x y








     



ĐÁP ÁN ĐỀ 12


CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

I.1
Hàm số:
2 1 3
2
1 1
x
y
x x

  
 

+) Giới hạn, tiệm cận:
( 1) ( 1)
2; 2; ;
lim lim lim lim
x x
x x
y y y y
 
 
   
     

- TC đứng: x = -1; TCN: y = 2.
+)
 
2
3
' 0,

1
y x D
x
   


+) BBT:
x -

- 1 +


y' + || +
y  2
||
2 
+) ĐT:
1 điểm
I.2
+) Ta có I(- 1; 2). Gọi
0
2
0 0
3 3
( ) ( ;2 )
1 ( 1)
M I
IM
M I
y y

M C M x k
x x x x


     
  

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:
 
0
2
0
3
'( )
1
M
k y x
x
 


+)
. 9
M IM
ycbt k k  

+) Giải được x
0
= 0; x
0

= -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
1 điểm
II.1
+) ĐK:
( 2; 2) \{0}x  

+) Đặt
2
2 , 0y x y  
Ta có hệ:
2 2
2
2
x y xy
x y
 


 


1 điểm
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5

5 10
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
67
+) Giải hệ đx ta được x = y = 1 và
1 3 1 3
2 2
;
1 3 1 3
2 2
x x
y y
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 

+) Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và
1 3
2
x
 


II.2

+) ĐK:
,
4 2
x k k Z
 
  

4 4 2 2
4 2
) tan( ) tan( ) tan( )cot( ) 1
4 4 4 4
1 1 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2 2 2
2cos 4 os 4 1 0
x x x x
x c x x c x
pt x c x
   
      
    
   

+) Giải pt được cos
2
4x = 1


cos8x = 1

4
x k

 và cos
2
4x = -1/2 (VN)
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x k k Z

 

1 điểm
III 3 3
2 2
2 2
0 0
3
2 2 2
2 2 2
3
2 2 23
0 0
2 2
2 2
ln(2 . os2 ) 1 ln(1 1 os2 ) 1 1
lim lim

ln(1 2 sin 2 ) 1 1 ln(1 2 sin 2 ) 1
lim lim
(1 ) 1 1
2 sin 2 sin
2sin 2sin
1 5
2
3 3
x x
x x
e e c x x c x x
L
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
 
 
       
 
   
   
    
   
   
   
   
   

   
   
  

1 điểm
IV.1
+) Gọi
C
r
là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và cũng là bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB.
Ta có:
2 2
1
( ). .
2
.2
2( )
SAB C C
C
S pr l r r SM AB
l r r l r
r r
l r l r
   
 
  
 

+) S

cầu
=
2 2
4 4
C
l r
r r
l r
 




1 điểm
IV.2
+) Đặt :
2 3
2 2
2
( ) ,0
5 1
2 ( )
2
) '( ) 0
( )
5 1
2
lr r
y r r l
l r

r l
r r rl l
y r
l r
r l

  


 


  

   






+) BBT:
1 điểm
r
l
I
M
S
A B
www.VNMATH.com

Biên soạn: Trần Duy Thái
68
r
0
5 1
2
l


l

y'(r)
y(r) y
max



+) Ta có max S
cầu
đạt

y(r) đạt max

5 1
2
r l



V

+) Ta có

2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
( )( )
( )
( )
2
2 ( ) ( )
( ) 2 ( ) 3
2 2
P x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
P x y z x y z
x y z x y z
P x y z x y z
       
 
    
     
 
 
   
    
       
   
   

+) Đặt x +y + z = t, 6( cov )t Bunhia xki , ta được:
3
1
( ) 3
2
P t t t 

+)
'( ) 0 2P t t   
, P(
6
) = 0;
( 2) 2 2P   
;
( 2) 2 2P 

+) KL:
ax 2 2; 2 2M P MinP  


1 điểm
VI
+)
5
( , )
2
d I AB 


AD =

5
 AB = 2
5
 BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)
2
+ y
2
= 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
2 2
2
1 25
2
( )
( 2;0), (2;2)
2 4
2
2 2 0
0
x
y
x y
A B
x
x y
y
 






  
 

  


 


  








(3;0), ( 1; 2)C D  


VII
2 2
2
2
3 2
2010

2009 (1)
2010
3 log ( 2 6) 2 log ( 2) 1(2)
y x
x
y
x y x y








     


+) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt:
2 2 2 2
2009 2009
log ( 2010) log ( 2010)x x y y    

+) Xét và CM HS
2009
( ) log ( 2010), 0f t t t t   
đồng biến,
từ đó suy ra x
2

= y
2
 x= y, x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log
3
(x +2) = 2log
2
(x + 1) = 6t
Đưa pt về dạng
1 8
1
9 9
t t
   
 
   
   
, cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1
 x = y =7
+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log
3
(y + 6) = 1  y = - 3  x = 3


ĐỀ 13
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH .
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
69
Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x

3
– 3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
2 2
1
m
x x
x
  


Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :
5
2 2 os sin 1
12
c x x

 
 
 
 

2) Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3

x y x y
x y x y

   


    


.
Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân:
/4
2
/4
sin
1
x
I dx
x x




 


Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60
0
.Trên cạnh SA lấy điểm M

sao cho AM =
3
3
a
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng
  
 
  
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y


 5 5 5
4
x y z

PHẦN B ( THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1 HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0CH x y   ,
phân giác trong : 2 5 0BN x y   .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d

2 1
4 6 8
x y z 
 
 
và hai điểm
A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức C:
2
4 3
1 0
2
z
z z z    
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
 yxd
và

06:
2
 yxd
. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
2. (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

D
1
:
2 1
1 1 2
x y z 
 

, D
2
:
2 2
3
x t
y
z t
 








Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của D
1
và D
2

CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng:
0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
...S C C C C C     


ĐÁP ÁN ĐỀ 13


Câu I 2 điểm
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2y x x .  


www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
70
 Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.

 Sự biến thiờn:
2
3 6y' x x. 
Ta có
0
0
2
x

y'
x


 




0,25

   
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .    
0,25
 Bảng biến thiên:
x


0 2


y'



0

0




y

2



 2

0,25
 Đồ thị:

f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2


x
m
xx theo tham số m.

 Ta có
 
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó số nghiệm của phương
trình bằng số giao điểm của
 
 
2
2 2 1y x x x , C'    và đường thẳng
1y m,x . 

0,25
b)
 Vỡ
 
 
 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x


    

 


nờn
 
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x .

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x 
qua Ox.

0,25
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
71

 hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y









0,25
 Dựa vào đồ thị ta có:
+
2m : 
Phương trình vụ nghiệm;
+
2m : 

Phương trình có 2 nghiệm kộp;
+
2 0m :  
Phương trình có 4 nghiệm phõn biệt;
+
0m :
Phương trình có 2 nghiệm phõn biệt.



0,25
2) Đồ thị hàm số y =
2
( 2 2) 1x x x  
, với x

1 có dạng như hình vẽ :

II

1)
5
2 2 os sin 1
12
c x x

 
 
 
 
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
 
 
 
   
 
 
 

 




1+
3

1-
3

- 2
m
1 2
www.VNMATH.com