skkn 05. giới hạn dãy số trong các đề thi hs giỏi ( nguyễn văn giáp - thpt nguyễn trung ngạn

Nguyn Vn Giỏp - THPT Nguyn Trung Ngn: Gii hn dóy s trong
cỏc thi HS gii.
M U
1. Lý do chn ti
Dóy s l mt lnh vc khú v rt rng, trong cỏc thi hc sinh gii quc
gia, quc t cng thng xut hin cỏc bi toỏn v dóy s. gii c cỏc bi
toỏn v dóy s ũi hi ngi lm toỏn phi cú kin thc tng hp v s hc, i
s, gii tớch. Cỏc vn liờn quan n dóy s cng rt a dng v cng cú nhiu
ti liu vit v vn ny, cỏc ti liu ny cng thng vit khỏ rng v cỏc vn
ca dóy s, cỏc vn c quan tõm nhiu hn l cỏc tớnh cht s hc v
tớnh cht gii tớch ca dóy s.
Tớnh cht s hc ca dóy s th hin nh tớnh chia ht, tớnh nguyờn, tớnh
chớnh phng , tớnh cht gii tớch cú nhiu dng nhng quan trng l cỏc bi
toỏn tỡm gii hn dóy s. Cỏc bi toỏn v dóy s thng l cỏc bi toỏn hay v
khú, tỏc gi ó su tm, chn lc v phõn loi theo tng ch
Sỏng kin kinh nghim vi ti Gii hn dóy s trong cỏc thi hc
sinh gii cú mc ớch trỡnh by mt cỏch h thng, chi tit gii hn dóy s.
ti c trỡnh by vi 2 chng.
Chng 1. Mt s kin thc chun b. Chng ny h thng li kin thc
c bn nht v dóy s, s hc, phng phỏp sai phõn s c dựng gii quyt
cỏc bi toỏn trong chng 2.
Chng 2. Gii hn ca dóy s. Chng ny cp n mt s bi toỏn
v gii hn dóy s nh: Gii hn ca tng, dóy con v s hi t ca dóy s, dóy
s xỏc nh bi phng trỡnh cựng vi phng phỏp gii c th cho tng dng
toỏn.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT
Rèn luyện kỹ năng gii cỏc bi toỏn v gii hn dóy s
Tìm hiểu thực trạng của vic hc dóy s trong chng trỡnh mụn toỏn
ca trng THPT

Tìm hiểu bài toán khú v gii hn dóy s trong cỏc thi hc sinh gii
Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng tng
hp kin thc i vi hc sinh gii
Gợi ý cách vận dụng hệ thống bài tập điển hình trong việc rèn luyện kỹ
năng giải toán nói chung, góp phần phát triển trí tuệ cho hc sinh.
3. Phơng pháp nghiên cứu
a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu một số giáo trình phơng pháp dạy học môn toán, SGK phổ
thông, Sách bồi dng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí về giáo
dục liên quan đến đề tài.
b) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi
kinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trng THPT. Từ đó xây
dựng đợc hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn
luyện kỹ năng tỡm gii hn hm s
c) Phơng pháp quan sát, điều tra:
Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán v dóy s đối với học
sinh lớp 11 v 12, qua đó nắm bắt đc nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng gii
toỏn v dóy s ca hc sinh
4. i tng v phm vi nghiờn cu
ti c nghiờn cu i vi hc sinh cỏc lp 11A1, 11A2, 11A3 v
hc sinh trong i tuyn hc sinh gii toỏn lp 12 trng THPT Nguyn Trung
Ngn.
5. Thi gian nghiờn cu.
ti c nghiờn cu trong cỏc nm hc 2009 2010, 2010 2011,
2011- 2012
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.DÃY SỐ
1.1.1.Định nghĩa

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một
dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N*
→
R
n
a
u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển
u
1
, u
2
, u
3
,…, u
n
, …
Trong đó u
n
= u(n) và gọi u
1
là số hạng đầu, u
n
là số hạng thứ n và là số hạng
tổng quát của dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m
∈
N* được gọi là
một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó là u
1
, u
2
, u
3
,…,u
m
trong đó u
1
là số hạng đầu, u
m
là
số hạng cuối.
• Dãy số (u
n
) được gọi là:
- Dãy đơn điệu tăng nếu u
n+1
> u
n
, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn không giảm nếu u
n+1

≥
u
n
, với moi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu giảm nếu u

n+1
< u
n
, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu không tăng nếu u
n+1

≤
u
n
, với mọi n = 1, 2, …
• Dãy số (u
n
) được gọi là
- Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u
n
< M, với mọi n = 1, 2,
…
- Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u
n
> m, với mọi n = 1, 2,
…
- Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới
• Dãy số (u
n
) được gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu u
n + k
= u
n
, với

∀
n
∈
¥
• Dãy số (u
n
) được gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N
0
sao cho u
n
= C
với mọi n
≥
N
0
, (C là hằng số, gọi là hằng số dừng)
1.1.2. Cách cho một dãy số
- Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ:
1 1 5 1 1 5
2 2
5 5
n n
n
u
   
+ −
= −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

   
- Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ: Dãy số (u
n
) được xác định bởi:
1 2
1 1
1, 50
4 5 1975 2,3,4
n n n
u u
u u u n
+ −
= =


= + − =

- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
Ví dụ: Cho a
1
= 19, a
2
= 98. Với mỗi số nguyên n
≥
1, xác định a
n +2
bằng
số dư của phép chia a
n

+ a
n +1
cho 100.
1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt
a) Cấp số cộng.
Định nghĩa. Dãy số u
1
, u
2
, u
3
, … được gọi là một cấp số cộng với công
sai d (d
≠
0) nếu u
n
= u
n – 1
+ d với mọi n = 2, 3, …
Tính chất
u
n
=u
1
+ (n – 1)d
u
k
=
1 1
2

k k
u u
− +
+
với mọi k =2, 3, …
Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u
1
, u
2
, …, u
n
thì
u
1
+ u
n
= u
k
+ u
n – k
với mọi k = 2, 3, …, n – 1.
S
n
= u
1
+ u
2
+ … + u
n
=

( )
1 1
( ) 2 1
2 2
n
n n
u u u n d+ = + − 
 
b)Cấp số nhân.
Định nghĩa Dãy số u
1
, u
2
, u
3
, … được gọi là một cấp số nhân với công
bội q (q
≠
0, q
≠
1) nếu u
n
= u
n – 1
q với mọi n = 2, 3, …
Tính chất.
u
n
= u
1

q
n – 1

với mọi n = 2, 3, …
2
1 1k k k
u u u
− +
=
với mọi k = 2, 3, …
S
n
= u
1
+ u
2
+ … + u
n
=
1
( 1)
1
n
u q
q
−
−
c)Dãy Fibonacci.
Định nghĩa. Dãy u
1

, u
2
,… được xác định như sau:
1 2
1 2
1, 1
3,4
n n n
u u
u u u n
− −
= =


= + ∀ =

được gọi là dãy Fibonacci.
Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy
là:
1 1 5 1 1 5
2 2
5 5
n n
n
u
   
+ −
= −
 ÷  ÷
 ÷  ÷

   
1.1.4 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn
nếu với mọi số dương
ε
(có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n
0
∈
N (n
0
có thể phụ
thuộc vào
ε
và vào dãy số (u
n
) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n
∈
N, n
≥
n
0
ta
luôn có
n
u a
ε
− <
.Khi đó kí hiệu

lim
n
n
u a
→+∞
=
hoặc limu
n
= a và còn nói rằng dãy
số (u
n
) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì
Định lý 1. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Định lý 3. Nếu (u
n
)
→
a và (v
n
)
⊂
(u
n
), (v
n
)

≠
C thì (v
n
)
→
a
Định lý 4.(Định lý kẹp giữa về giới hạn)
Nếu với mọi n
≥
n
0
ta luôn có u
n

≤
x
n

≤
v
n
và limu
n
= limv
n
= a thì limx
n
=
a
Định lý 5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;

b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c
∈
(a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) =
f’(c)(b – a)
Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro)
Nếu dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng
1 2

n
u u u
n
+ + +
 
 ÷
 
cũng có giới hạn là a
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Định lý Stolz
Nếu
( )
1
lim
n n
n
u u a
+
→+∞
− =

thì
lim
n
n
u
a
n
→+∞
=
Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp a = 0
Vì
( )
1
lim
n n
n
u u a
+
→+∞
− =
nên với mọi
ε
> 0 luôn tồn tại N
0
sao cho với mọi n
≥
N
0
, ta
có

1n n
u u
ε
+
− <
. Khi đó, với mọi n > N
0
ta có
( )
( )
0 0 0 0
1 1 0
1 1
.
n
N N N n n N
u
u u u u u u n N
n n n n
ε
+ −
≤ + − + + − < + −
Giữ N
0
cố định, ta có thể tìm được N
1
>N
0
sao cho
0

1
1
N
N u
ε
<
Khi đó với mọi n>N
1
ta sẽ có
2
n
u
n
ε
<
. Vậy nên
lim 0
n
n
u
n
→+∞
=
Định lý 7: Cho f: D
→
D là hàm liên tục. Khi đó
1) Phương trình f(x) = x có nghiệm
⇔
phương trình f
n

(x) = x có nghiệm
2) Gọi
,
α β
là các mút trái, mút phải của D. Biết
lim [ ( ) ]
x
f x x
α
+
→
−
và
lim [ ( ) ]
x
f x x
β
−
→
−
cùng dương hoặc cùng âm. Khi đó phương trình f(x) = x
có nghiệm duy nhất
⇔
phương trình f
n
(x) = x có nghiệm duy nhất
Trong đó f
n
(x) =
ân

( ( ( ( ) )
n l
f f f x
1 4 4 2 4 4 3
Chứng minh
1) a) Nếu x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = x thì x
0
cũng là nghiệm
của phương trình f
n
(x) = x
b) Nếu phương trình f(x) = x vô nghiệm thì f(x) – x > 0 hoặc f(x) – x <
0 với mọi x
∈
D do đó f
n
(x) – x > 0 hoặc f
n
(x) – x < 0 với mọi x
∈
D
nên phương trình f
n
(x) = x cũng vô nghiệm
2) a)Giả sử phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất là x
0
thì đây cũng
là một nghiệm của phương trình f

n
(x) = x. Đặt F(x) = f(x) – x do F(x) liên tục
trên (x
0
;
β
) và
( )
0
; x
α
nên F(x) giữ nguyên một dấu.
Nếu
lim [ ( ) ]
x
f x x
α
+
→
−
và
lim [ ( ) ]
x
f x x
β
−
→
−
cùng dương thì F(x) > 0 trong
khoảng (x

0
;
β
) và
( )
0
; x
α
suy ra f(x) > x với mọi x
∈
D\{x
0
}
Xét x
1
∈
D\{x
0
} suy ra f(x
1
) > x
1

⇒
f(f(x
1
)) > f(x
1
)> x
1

. Từ đó f
n
(x
1
) > x
1
nên x
1
khônglà nghiệm của phương trình f
n
(x) = x. Vậy phương trình f
n
(x) = x có
nghiệm duy nhất x = x
0
.
Nếu
lim [ ( ) ]
x
f x x
α
+
→
−
và
lim [ ( ) ]
x
f x x
β
−

→
−
cùng âm chứng minh tương tự.
b)Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f(x) = x đều là nghiệm của
phương trình f
n
(x) = x, do đó nếu phương trình f
n
(x) = x có nghiệm duy nhất thì
phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất.
Định lý 8. Cho hàm f: D
→
D là hàm đồng biến, dãy (x
n
) thỏa mãn x
n+1
= f(x
n
),
*x N∀ ∈
. Khi đó:
a) Nếu x
1
< x
2
thì dãy (x
n
) tăng
b) Nếu x
1

> x
2
thì dãy (x
n
) giảm
Chứng minh
a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có x
1
< x
2
mệnh đúng
Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k
≥
1) tức u
k
< u
k +1
khi đó f(u
k
) < f(u
k+1
) suy
ra u
k+1
< u
k+2
(đpcm)
b) Chứng minh tương tự
Định lý 9.Cho hàm f: D

→
D là hàm nghịch biến, dãy (x
n
) thỏa mãn
x
n+1
= f(x
n
),
*x N∀ ∈
. Khi đó:
a) Các dãy (x
2n+1
) và (x
2n
) đơn điệu, trong đó một dãy tăng, một dãy giảm
b) Nếu dãy (x
n
) bị chặn thì
α
∃
= limx
2n
và
β
=limx
2n+1
.
c) Nếu f(x) liên tục thì
α

,
β
là nghiệm của phương trình f(f(x)) = x (1).
Vì vậy nếu phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì
α
=
β
và limx
n
=
α
=
β
Chứng minh
a) Vì f(x) là hàm nghịch biến nên f(f(x)) đồng biến. Áp dụng định lý 2 ta có
điều phải chứng minh.
b) Suy ra từ a)
c) Ta có f(f(x
2n
) = f(x
2n+1
) = x
2n+2
và limf(f(x
2n
) =limx
2n+2
=
α
, limx

2n
=
α
do
f(x) liên tục nên f(f(
α
) =
α
Chứng minh tương tự ta có f(f(
β
) =
β
Vậy
α
,
β
là nghiệm phương trình f(f(x)) = x
1.2.SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
1. Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, Đặt x
k
= x
0
+ kh (k
∈
N*) với x
0
∈
R, h
∈
R bất kì, cho trước. Gọi y

k
= f(x
k
), khi đó hiệu số
1
:
k k k
y y y
+
∆ = −
(k
∈
N*) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x)
Hiệu số
2
1
: ( )
k k k k
y y y
+
∆ = ∆ − ∆ = ∆ ∆
(k
∈
N*) được gọi là sai phân cấp 2
của hàm số f(x). Tổng quát
1 1 1
1
: ( )
i i i i
k k k k

y y y
− − −
+
∆ = ∆ −∆ = ∆ ∆
(k
∈
N*) được gọi là
sai phân cấp i của hàm số f(x) (i = 1, 2, …, n, …)
Mệnh đề. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm
số: y
0
, y
1
, y
2
, …, y
n
, …
2.Định nghĩa 2. Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính
chứa sai phân cấp k
( )
2
, , , , 0
k
n n n n
f y y y y∆ ∆ ∆ =
(1)
Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên ta có thể
viết phương trình dạng
a

0
y
k+1
+ a
1
y
n+k-1
+ … +a
k
y
k
= f(n) (2)
trong đó a
0
, a
1
, …., a
k
, f(n) là các giá trị đã biết, còn y
n
, y
n+1
, …, y
n+k
là các giá trị
chưa biết.
Hàm số y
n
biến n thỏa mãn (2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân
tuyến tính (2)

3. Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính
Phương trình a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k-1
+ …+ a
k
y
n
= f(n) được gọi là phương trình sai phân
tuyến tính cấp k.
Giải
• Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
- Giải phương trình đặc trưng
1
0 1 1
0
k k
k k
a a a a
λ λ λ
−
−
+ + + + =
(*)
-Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

+ Nếu (*) có k nghiệm thực khác nhau là
1 2
, , ,
k
λ λ λ
thì nghiệm tổng quát
là
$
1 1 2 2

n n n
n k k
y c c c
λ λ λ
= + + +
(1)
Trong đó c
1
, c
2
, …, c
k
là các hằng số tùy ý
+Nếu trong (*) có nghiệm thực
j
λ
bội s thì nghiệm tổng quát là
$
1
1 1,

s k
i n n
n j i j i i
i i i j
y c n c
λ λ
−
+
= = ≠
 
= +
 ÷
 
∑ ∑
+Nếu phương trình (*) có nghiệm phức đơn
( os isin )
j
r c
λ θ θ
= +
thì cũng
có nghiệm
( os isin )
j
r c
λ θ θ
= −
Đặt
1j j
λ λ

+
=
. Để thu được công thức tổng quát, trong công thức (1) ta
thay bộ phận
1 1
n n
j j j j
c c
λ λ
+ +
+
bởi bộ phận tương ứng
1
osn r sinn
n n
j j
c r c c
θ θ
+
+
+Nếu phương trình (*) có nghiệm phức bội s
1 1
( os isin )
j j j s
r c
λ λ λ θ θ
+ + −
= = = = +
Thì (*) cũng có nghiệm phức bội s liên hợp với
j

λ
là
j
λ
mà ta đặt là
1 2 1
( os isin )
j s j s j s
r c
λ λ λ θ θ
+ + + + −
= = = = −
Trong trường hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong
công thức (1) ta thay bộ phận
1 1 2 1 2 1

n n n
j j j j j s j s
c c c
λ λ λ
+ + + − + −
+ + +
bởi bộ phận tương ứng
1 1
0 0
os sin
s s
i n i n
j i j s i
i i

c n r c c n r n
θ θ
− −
+ + +
= =
   
+
 ÷  ÷
   
∑ ∑
• Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k.
Nghiệm
tổng quát có dạng
$
*
nn n
y y y= +
Trong đó + y
n
là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k
+
$
n
y
là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
tương ứng
+
*
n
y

là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
Chương 2.
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
2.1.GIỚI HẠN CỦA TỔNG
Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân
tích hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có
thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa x
n
, sau đó tìm
limx
n
.
Bài 1.
Cho dãy số (x
n
) (n = 1, 2, …) được xác định như sau:
x
1
= 1 và
1
( 1)( 2)( 3) 1
n n n n n
x x x x x
+
= + + + +
với n = 1, 2, …
Đặt
1
1
2

n
n
i
i
y
x
=
=
+
∑
(n = 1, 2, ….). Tìm
lim
n
n
y
→∞
Lời giải
Ta có x
2
= 5 và x
n
> 0 với mọi n = 1, 2, …
( ) ( )
2 2 2
1
( 1)( 2)( 3) 1 3 3 2 1 3 1
n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x
+
= + + + + = + + + + = + +

(1)
Từ đó suy ra
x
n+1
+1 =
2
3 2
n n
x x+ +
= (x
n
+ 1)(x
n
+ 2)
( ) ( )
1
1 1 1 1
1 1 2 1 2
n n n n n
x x x x x
+
= = −
+ + + + +

1
1 1 1
2 1 1
n n n
x x x
+

⇒ = −
+ + +
Do đó
1
1
2
n
n
i
i
y
x
=
=
+
∑
=
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1
n
i
i i n n
x x x x x
=
+ + +
 
− = − = −
 ÷

+ + + + +
 
∑
Từ (1) x
k+1
=
2 1
3 1 3 3.3 3
k k
k k k
x x x
−
+ + > ≥ =
Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp x
n
> 3
n-1
(2)
Nên
1
lim
2
n
n
y
→∞
=
(vì do (2) x
n+1
> 3

n
)
. Ta có thể chứng minh limx
n
=
+∞
với cách khác:
Dễ thấy (x
n
) là dãy tăng, giả sử limx
n
= a (a
≥
1)
Nên ta có
( 1)( 2)( 3) 1a a a a a= + + + +
Suy ra a
2
= a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a
4
+ 6a
3
+ 10a
2
+ 6a +1 = 0
Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a
≥
1. Vậy limx
n
=

+∞

Bài 2. (HSG QG năm 2009)
Cho dãy (x
n
) (n = 1, 2, …) xác định bởi:
1
2
1 1 1
1
2
4
( 2,3, )
2
n n n
n
x
x x x
x n
− − −

=



+ +

= =



Chứng minh rằng dãy (y
n
) (n = 1, 2, …) với
2
1
1
n
n
i
i
y
x
=
=
∑
có giới hạn hữu
hạn, tìm giới hạn đó.
Lời giải
Từ giả thiết ta có x
n
> 0
1n∀ ≥
Ta có x
n
– x
n-1
=
2
1 1 1
4

2
n n n
x x x
− − −
+ +
- x
n-1
=
2
1 1 1
4
2
n n n
x x x
− − −
+ −
> 0
2n
∀ ≥
Do đó dãy (x
n
) tăng. Giả sử limx
n
= a thì a > 0 và
2
4
2
a a a
a
+ +

=

⇔
a = 0 (vô lý)
Vậy limx
n
=
+∞
Từ x
n
=
2
1 1 1
4
2
n n n
x x x
− − −
+ +

2n
∀ ≥
suy ra
2
1
( 1)
n n n
x x x
−
= +

2
1
1 1 1
n n n
x x x
−
⇒ = −

2n
∀ ≥
Do đó
2 2 2
1
1 1 2 2 3 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6
n
n
i
i n n n n
y
x x x x x x x x x x x x
=
−
   
 
= = + − + − + + − = + − = −
 ÷  ÷
 ÷

 
   
∑
2n
∀ ≥
Suy ra y
n
< 6
1n
∀ ≥
và dãy (y
n
) tăng vì y
n
= y
n-1
+
1
n
x
> y
n-1
Vậy (y
n
) có giới hạn hữu hạn và limy
n
= 6
Bài 3.
Xét dãy số (x
n

) (n = 1, 2, 3, …) xác định bởi:
x
1
= 2 và
2
1
1
( 1)
2
n n
x x
+
= +
với mọi n = 1, 2,3, ….
Đặt
1 2
1 1 1

1 1 1
n
n
S
x x x
= + + +
+ + +
Tìm
lim
n
n
S

→+∞
Lời giải
Ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau:
Cho dãy (u
n
) thỏa mãn
1
2 2
1
( )
n n
n
u a
u b c u c
u
b c
+
=



− + +
=

−

Ta chứng minh
1
1 1
1 1 1

n
n
i
i n
S
u b u c u c
=
+
= = −
+ + +
∑
Thật vậy.
Ta có
2 2
1
( )
n n
n
u b c u c
u
b c
+
− + +
=
−
suy ra
2
1
( ) ( )( )
n n n n

n
u b c u bc u b u c
u c
b c b c
+
− + + + +
+ = =
− −
Từ đó
1
1 1 1
n n n
u c u c u b
+
= −
+ + +

1
1 1 1
n n n
u b u c u c
+
⇒ = −
+ + +
Khai triển và ước lượng được
1 1 2
1 1 1
u b u c u c
= −
+ + +

2 2 3
1 1 1
u b u c u c
= −
+ + +
…………………….
1
1 1 1
n n n
u b u c u c
+
= −
+ + +
Do đó
1 1
1 1
n
n
S
u c u c
+
= −
+ +
Từ đó vận dụng vào bài toán trên với b =1, c = - 1 ta có
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
n
n n

S
x x x
+ +
= − = −
− − −
Mà x
n+1
– x
n
=
( )
2
1
1
2
n
x −
> 0
*n N
∀ ∈
nên dãy (x
n
) là dãy tăng. Giả sử
lim
n
n
x a
→+∞
=
(a > 2). Thì 2a = a

2
+ 1 suy ra a = 1. Vô lý.
Vậy
lim
n
n
x
→+∞
= +∞
. Do đó
lim 1
n
n
S
→+∞
=
Nhận xét. Trong các bài toán tổng quát ta có thể thay các giá trị của a, b, c
khác nhau để được các bài toán mới. Chẳng hạn:
Cho dãy số (u
n
) thỏa mãn:
1
2
1
3
9
5
n n
n
u

u u
u
+
=



− +
=


Đặt
1 2
1 1 1

2 2 2
n
n
S
u u u
= + + +
+ + +
Tìm limS
n
Bài 4.
Cho dãy số (x
n
) được xác định bởi: x
1
= 1;

2012
1
(2 1)
2012
n
n n
x
x x
+
+
= +
. Với n là
số nguyên dương.
Đặt
2011 2011
2011 2011
3
1 2
2 3 3 1
(2 1) (2 1)
(2 1) (2 1)

2 1 2 1 2 1 2 1
n
n
n
x x
x x
u
x x x x

+
+ +
+ +
= + + + +
+ + + +
Tìm limu
n
Lời giải
Ta có x
n+1
– x
n
=
2012
(2 1)
2012
n
x +
,
1n
∀ ≥
Suy ra
2011
1
1 1 1
2( ) (2 1)
1 1
2 1 2 1 (2 1)(2 1) 1006(2 1)
n n n
n n n n n

x x x
x x x x x
+
+ + +
− +
− = =
+ + + + +

⇒

2011
1 1
1 1 1 1
(2 1)
1 1 1 1
1006 1006
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n
i
i i
i i i n
x
x x x x x
= =
+ + +
   
+
= − = −
 ÷  ÷
+ + + + +

   
∑ ∑
Mặt khác: x
n + 1
– x
n

≥
0 nên dãy (x
n
) là dãy số tăng
1n∀ ≥
. Nếu (x
n
) bị chặn thì
limx
n
tồn tại.
Đặt limx
n
= a
⇒

1a
≥
và
2012
( 1)
2012
a

a a
+
= +
(vô lý). Suy ra (x
n
) không bị
chặn trên hay limx
n
=
+∞
suy ra lim
1
1
2 1
n
x
+
+
=0
Suy ra
1006
lim
3
n
n
u
→+∞
=
Bài 5
Cho dãy số (x

n
) với n = 1, 2, … được xác định bởi:
x
1
= a, (a > 1), x
2
= 1.
x
n+2
= x
n
– lnx
n
(n
∈
N*)
Đặt
1
2 1
1
( )ln ( 2)
n
n k
k
S n k x n
−
−
=
= − ≥
∑

Tìm
lim
n
n
S
n
→+∞
 
 ÷
 
Lời giải
Nhận xét rằng x
2n
= 1, n =1, 2, … do ln1 = 0 suy ra
2
lim 1
n
n
x
→+∞
=
Tiếp theo ta chứng minh dãy (x
2n+1
) cũng có giới hạn là 1.
Xét hàm số f(x) = x – lnx liên tục và đồng biến trong (1; +
∞
) vì f’(x) = 1-
1
x
> 0

với mọi x > 1
Trước hết ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp, dãy (x
2n+1
) bị chặn
dưới bởi 1. Theo giả thiết thì x
1
= a > 1, giả sử x
2k+1
> 1 thì f(x
2k+1
) > f(1) > 1 nên
hiển nhiên x
2k+3
>1 tức dãy (x
2n+1
) bị chặn dưới bởi 1.
Tiếp theo ta chứng minh dãy (x
2n+1
) là dãy giảm. Thật vậy, do x
2n+1
> 1 nên
lnx
2n+1
> 0 vì thế x
2n+3
– x
3n+1
= - lnx
2n+1
< 0, tức dãy (x

2n+1
) là dãy giảm
Từ đó suy ra (x
2n+1
) có giới hạn
2 1
lim
n
n
c x
+
→+∞
=
Chuyển qua giới hạn dãy số ta được c = c – lnc
⇔
c=1
Vậy dãy số (x
n
) có giới hạn là 1.
Theo định lý Cessaro, ta có
1 2 2

lim 1
2
n
n
x x x
n
→+∞
+ + +

 
=
 ÷
 
hay
1 3 2 1 2 4 2
( ) ( )
lim 1
2
n n
n
x x x x x x
n
+
→+∞
+ + + + + + +
 
=
 ÷
 
⇔
1 1 3 2 3
( 1)ln ( 2)ln ln
lim 1
2
n
n
nx n x n x x n
n
−

→+∞
− − − − − − +
 
=
 ÷
 
⇔
1
lim 1
2 2
n
x
S
a
n
→+∞
 
− + =
 ÷
 
hay
1
lim
2
n
x
S
a
n
→+∞

−
 
=
 ÷
 
2.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ
Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thường sử dụng các định lý về tính
đơn điệu và bị chặn, nếu dãy không đơn điệu thì xét dãy với chỉ số chẵn, chỉ số
lẻ. Tuy nhiên có những dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trong trường hợp
như thể ta thường xây dựng các dãy số phụ đơn điệu, chứng minh các dãy số
phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn, các dãy số
phụ phải được xây dựng từ dãy số chính
Nhận xét: Mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và ngược lại nếu limx
2n
=
limx
2n+1
= a thì limx
n
= a
Một cách tổng quát ta có
Cho số nguyên m
≥
2 nếu limx
mn+i
= a
i
∀
= 0, 1, 2, …, m – 1 thì limx
n

= a
Bài 1.
Dãy số (x
n
) được xác đinh bởi công thức:
0 1
2 1
1
5 2
n n n
x x
x x x
+ +
= =


= +

Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ
Lời giải
Xét dãy số (a
n
) được xác định bởi a
0
= 1,
1
2
3

n
n
a
a
+
=
, dễ thấy (a
n
) giảm dần về 0.
Ta chứng tỏ max{x
2n
, x
2n+1
}
≤
a
n
,
n∀
(1)
Thật vậy, (1) đúng với n = 0 và n = 1. Giả sử (1) đúng với n và do (a
n
) là dãy
giảm nên
5x
2n+2
= x
2n
+ 2x
2n+1

≤
3a
n

⇒
x
2n+2

≤
a
n+1
Và 5x
2n+3
= x
2n+1
+ 2x
2n+2

≤
a
n
+ 2a
n+1
≤
3a
n

⇒
x

2n+3

≤
a
n+1
Như vậy (1) đúng với n + 1 hay (1) đúng
n∀
= 0, 1, 2, …
Dễ thấy x
n
> 0
n∀
và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limx
2n
= limx
2n+1
= 0 suy ra
limx
n
=0
Nhận xét:
Việc đưa vào dãy phụ (a
n
) có tác dụng chặn cả hai dãy con (x
2n
) và (x
2n+1
)
và làm chúng cùng hội tụ về một điểm
Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm được số hạng tổng quát

1 2
1 6 1 6
5 5
n n
n
x C C
   
− +
= +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Thay các giá trị của x
0
, x
1
để tìm C
1
, C
2
từ đó tìm được limx
n
=0
Bài 2.
Dãy (x
n
) được xác định bởi:
( )
0 1 2
2 2

3 2
, , 0;1
3
n n n
x x x
x x x
+ +
∈



= +


Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ
Lời giải
Ta xét dãy số (a
n
) xác định bởi:
a
0
= max{x
0
, x
1
, x
2
},

2
1
2
3
n
n
a
a
+
=
Dễ thấy dãy số (a
n
) giảm dần về 0. Ta chứng tỏ max{x
3n
, x
3n+1
, x
3n+2
}
≤
a
n
,
n
∀

(1)
Thật vậy, (1) đúng với n = 0, 1, 2, …, Giả sử (1) đúng với n và do (a
n
) là dãy

giảm nên ta có:
3x
3n+3
=
2 2 2
3 3 2 3 3 1
2
n n n n n
x x a x a
+ + +
+ ≤ ⇒ ≤
3x
3n+4
=
2 2 2 2 2
3 1 3 3 1 3 4 1
2
n n n n n n n
x x a a a x a
+ + + + +
+ ≤ + ≤ ⇒ ≤
và 3x
3n+5
=
2 2 2 2 2
3 2 3 4 1 3 5 1
2
n n n n n n n
x x a a a x a
+ + + + +

+ ≤ + ≤ ⇒ ≤
Như vậy, (1) đúng với n + 1, theo nguyên lý quy nạp, (1) được chứng
minh. Dễ thấy x
n
> 0 Từ đó theo nguyên lý kẹp giữa ta có limx
3n+i
= 0 (i = 0, 1, 2)
do đó limx
n
= 0
Từ các cách chọn dãy số phụ như trên ta có các dãy số sau đều hội tụ về 0
với x
0
, x
1
, x
2
, x
3
đều thuộc (0; 1)
2
3 1 2
3
n n n n
x x x x
+ + +
= +
,
2
3 1

3
n n n n
x x x x
+ +
= +
2 2
2
2
3 1
3
2
n n
n n
x x
x x
+
+ +
+
= +

2
4 1 2 1
6 2
n n n n n n
x x x x x x
+ + + +
= + +
…
Bài 3.
Dãy (x

n
) được xác định bởi:
0 1 2
3 2
, , 0
n n n
x x x
x x x
+ +
>



= +


Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ
Lời giải
Ta xây dựng hai dãy (a
n
) và (b
n
) như sau:
0 0 1 2
1
ax{ , , ,2}
2
n n

a m x x x
a a
+
=



=


0 0 1 2
1
min{ , , ,2}
2
n n
b x x x
b b
+
=



=


Dãy (a
n
) là dãy giảm dần về 2, dãy (b
n
) tăng dần về 2.

Bằng quy nạp dễ chứng minh được
1 3 3 1 3 2 3 3 1 3 2
min{ , , } ax{ , , }
n n n n n n n n
b x x x m x x x a n
+ + + + +
≤ ≤ ≤ ∀
Từ đó, dẫn đến limx
3n
=limx
3n+1
= limx
3n+2
= 2 suy ra limx
n
= 2
Bài 4.
Cho dãy (x
n
) (n = 0, 1, 2…) được xác định như sau:
x
0
, x
1
, x
2
là các số dương cho trước
2 1 1n n n n
x x x x
+ + −

= + +
với mọi n
≥
1
Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ và tìm giới hạn của dãy
Lời giải
Ta xây dựng hai dãy (a
n
) và (b
n
) như sau:
0 0 1 2
1
ax{ , , ,9}
3 0,1,2,
n n
a m x x x
a a n
+
=



= =


0 0 1 2
1

min{ , , ,9}
3 0,1,2,
n n
b x x x
b b n
+
=



= =


Dãy (a
n
) là dãy giảm dần về 9, dãy (b
n
) tăng dần về 9 suy ra
lim lim 9
n n
n n
a b
→+∞ →+∞
= =
Ta chứng minh
1 3 3 1 3 2 3 3 1 3 2
min{ , , } ax{ , , }
n n n n n n n n
b x x x m x x x a n
+ + + + +

≤ ≤ ≤ ∀
(1)
Thật vậy, với n = 0 thì (1) hiển nhiên đúng
Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó với n = k + 1 ta có
1 3 3 3 2 3 1 3 1
3 3
n n n k k k k n n n
b b b x x x x a a a
+ + + + +
≤ = ≤ = + + ≤ = ≤
1 3 4 3 3 3 2 3 1 1
3 3
n n n k k k k n n n
b b b x x x x a a a
+ + + + + +
≤ = ≤ = + + ≤ = ≤
1 3 5 3 4 3 3 3 2 1
3 3
n n n k k k k n n
b b b x x x x a a
+ + + + + +
≤ = ≤ = + + ≤ =
Vậy (1) cũng đúng với n = k + 1
Theo nguyên lý quy nạp thì (1) đúng với mọi số tự nhiên n
Từ đó theo định lý kẹp ta có

3 3 1 3 2
lim lim lim lim lim 9
n n n n n
n n n n n

x x x a b
+ +
↔+∞ ↔+∞ ↔+∞ →+∞ →+∞
= = = = =
Nên
lim 9
n
n
x
↔+∞
=
Dưới đây là một số bài toán tìm giới hạn dãy số dạng x
n+1
= f(x
n
)(dãy số
xác định như vậy gọi là cho dưới dạng lặp). Đây là dạng toán thường gặp nhất
trong các bài toán về tìm giới hạn dãy số, dãy số hoàn toàn được xác định khi
biết f và giá trị ban đầu x
0
. Do vậy sự hội tụ của dãy số phụ thuộc vào tính chất
của f(x) và x
0
. Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là
giới hạn của dãy số thì a là nghiệm của phương trình x = f(x).
Bài 5.
Cho dãy số (x
n
) được xác định như sau:
x

1
= 0, x
n + 1
=
1
27
n
x
 
 ÷
 
với mọi n
∈
N*
Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Nhận xét rằng x
n

≥
0,
∀
n
∈
N*. Xét hàm số f(x) =
1
27
x

 
 ÷
 
nghịch biến
trong khoảng [0; +
∞
). Khi đó x
n+1
= f(x
n
) ,
∀
n
∈
N* và f(x)
≤
f(0) nên 0
≤
x
n
≤
1
Ta có x
1
= 0, x
2
= 1, x
3
=
1

27
nên x
1
≤
x
3
và x
4
= f(x
3
)
≤
f(x
1
)=x
2
Bây giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp x
2n – 1

≤
x
2n + 1
, và x
2n+2
≤
x
2n
với n
∈
N*

Thật vậy, giả sử có x
2n-1

≤
x
2n + 1
thì f(x
2n-1
)
≥
f(x
2n+1
) nên x
2n
≥
x
2n+2
và vì vậy
f(x
2n
)
≤
f(x
2n+2
) suy ra x
2n+1

≤
x
2n+3

.
Tương tự, giả sử có x
2n

≥
x
2n+2
thì f(x
2n
)
≤
f(x
2n+2
) suy ra x
2n+1

≤
x
2n+3
vì vậy
f(x
2n+1
)
≥
f(x
2n+3
) suy ra x
2n+2

≥

x
2n+4
Vậy dãy (x
2n-1
) là dãy tăng và dãy (x
2n
) là dãy giảm và đều thuộc [0; 1] nên
có giới hạn hữu hạn:
2
lim
n
n
x a
→+∞
=
,
2 1
lim ( )
n
n
f x b
−
→+∞
=
Và a =
2 2 2 1
lim lim ( )
n n
n n
x f x

+ +
→+∞ →+∞
= =
2
lim ( ( )) ( ( ))
n
n
f f x f f a
→+∞
=
Nên
1
27
1
27
a
a
 
 ÷
 
 
=
 ÷
 
suy ra a =
1
3
Tương tự ta cũng tìm được b =
1
3

. Vậy a = b =
1
3
nên
1
lim
3
n
n
x
→+∞
=
Bài 6. (HSG QG 2008)
Cho dãy số thực (x
n
) xác định như sau:
x
1
= 0, x
2
= 2 và x
n+2
=
1
2
2
n
x−
+
với mọi n= 1, 2, 3, …

Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Lời giải
Xét hàm số f(x) =
1
2
2
x−
+
xác dịnh trên R.
Với mỗi n
∈
N*, ta có x
n+4
= f(x
n+2
) = f(f(x
n
)) hay x
n+4
= g(x
n
), trong đó g là hàm
số xác định trên R và g(x) = f(f(x))
x R∀ ∈
(1)
Dễ thấy hàm số f giảm trên R, do đó hàm số g tăng trên R. Vì thế từ (1)
suy ra với mỗi k
∈

{1; 2; 3; 4}, dãy (x
4n+k
), n
∈
N là dãy đơn điệu, Hơn nữa, từ
cách xác định dãy (x
n
) dễ thấy 0
2
n
x≤ ≤
,
n
∀ ∈
N*. Do đó với mỗi k
∈
{1; 2; 3;
4}, dãy (x
4n+k
) là dãy hội tụ
Với mỗi k
∈
{1; 2; 3; 4}, đặt
4
lim
n k k
x
x a
+
→+∞

=
ta có 0
2
k
a≤ ≤
. Hơn nữa, do
hàm số g liên tục trên R nên từ (1) suy ra g(a
k
) = a
k
(2)
Xét hàm số h(x) = g(x) – x trên [0; 2]. Ta có h’(x) = 2
- (f(x) + x)
.(ln2)
2
– 1 < 0
[0;2]x∀ ∈
(do f(x) + x > 0
[0;2]x∀ ∈
)
Suy ra, hàm số h giảm trên [0; 2]. Vì thế có nhiều nhất một điểm
[0;2]x ∈

sao cho h(x) = 0 hay g(x) = x. Mà g(1) = 1 nên từ (2) ta được a
k
= 1 với mọi k
∈
{1; 2; 3; 4}.
Từ đây, vì dãy (x
n

) là hợp của bốn dãy con (x
4n+k
) nên dãy (x
n
) hội tụ và
lim 1
n
x
x
→+∞
=
Bài 7.
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước thì phương trình
x
2n+1
= x + 1 có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm đó là x
n
. Tính
n
n
x
+∞→
lim
.
Lời giải: Nếu x < -1 thì x
2n+1
< x < x+1. Nếu – 1 ≤ x ≤ 0 thì x
2n+1
– x = (-x)(1-
x

2n
) < 1 suy ra x
2n+1
< x + 1. Nếu 0 < x ≤ 1 thì x
2n+1
≤ x < x + 1. Vậy nếu x là
nghiệm của phương trình x
2n+1
= x + 1 thì ta phải có x > 1. Đặt f
n
(x) = x
2n+1
– x –
1. Ta có f
n
’(x) = (2n+1)x
2n
– 1 > 0 trên [1, +∞) suy ra hàm f tăng trên nửa
khoảng này. Vì f(1) = - 1 < 0 và f(2) = 2
2n+1
– 3 > 0 nên phương trình này có
nghiệm x
n
thuộc (1, 2). Theo lý luận trên, nghiệm này là suy nhất.
Xét f
n+1
= x
2n+3
– x – 1. Ta có f
n+1

(1) = - 1 < 0 và f
n+1
(x
n
) = x
n
2n+3
– x
n
– 1 = x
n
2n+3
–
x
n
2n+1
> 0. Từ đó ta suy ra 1 < x
n+1
< x
n
. Dãy {x
n
} giảm và bị chặn dưới bởi 1, suy
ra dãy (x
n
) có giới hạn hữu hạn a, hơn nữa a ≥ 1. Ta chứng minh a = 1. Thật vậy,
giả sử a > 1. Khi đó x
n
≥ a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: x
n

2n+1
≥
a
2n+1
> 3. Trong khi đó ta có x
n
+ 1 < x
1
+ 1 < 3. Mâu thuẫn vì f
n
(x
n
) = 0.
Bài 8.
Cho dãy số thực (x
n
) xác định bởi:





≥∀
−
+=
=
+
1
1
3

2007
2
1
1
n
x
x
x
x
n
n
n
1/ Chứng minh dãy số (x
n
) bị chặn.
2/ Chứng minh dãy số (x
n
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Hiển nhiên x
n
>
3

1
3
2
1
−
+=

+
n
n
n
x
x
x
=
23
1
1
13
2
+<
−
++
n
x
1≥∀n
Vậy x
n
≤

2007 với mọi n
⇒
dãy bị chặn
Cách 1:
Hàm f(x) =
1
3

2
−
+
x
x
=
1
1
13
2
−
++
x
nghịch biến trên (
+∞;3
) nên chứng
minh được các dãy con (x
2n
) và (x
2n+1
) là đơn điệu. Theo 1/các dãy đó bị chặn
nên có limx
2n
=a; limx
2n+1
=b; Từ
1
3
2
1

−
+=
+
n
n
n
x
x
x
qua giới hạn ta có :







−
+=
−
+=
1
3
1
3
2
2
a
a
b

b
b
a
Suy ra
11
22
−
+=
−
+
b
b
b
a
a
a

g(x) =
1
2
−
+
x
x
x
có g’(x) = 1 -
1)1(
1
22
−− xx

> 0
3≥∀x
nên g(x) đồng biến
từ đó a = b hay limx
2n
=limx
2n+1
⇒

∃
limx
n
= a= b.
Lúc đó a là nghiệm pt
1
3
2
−
+=
x
x
x

⇔
x =
2
153 +

⇒
lim x

n
=
2
153 +
Cách 2
f(x) =
1
3
2
−
+
x
x

⇒
f’(x) = -
32
)1(
1
−x

⇒

22
1
)(' <xf
khi x >
3
.
Có f(x) = x

⇔
1
3
2
−
+=
x
x
x

⇔

1
)3(
2
2
2
−
=−
x
x
x


⇔

03)3(2)3(
222
=−−−− xxxx





=−
−=−
⇔
33
)(13
2
2
xx
lxx
⇔
x =
2
153 +
=a
Áp dụng định lý Lagrang có:
0)
22
1
(
22
1
)(')()(
11
 →−<<−<−=−=−
∞→
+
n

n
nnnnn
axaxaxfafxfax
θ

Do đó limx
n
= a =
2
153 +
.
Bài 9.
Cho dãy số (x
n
) thỏa mãn:
1
1
, 2
*
n n
x a a
x a a x n N
+

= >


= − + ∀ ∈



Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn
Lời giải
• Bằng quy nạp chứng minh được rằng 0
≤
x
n

≤
a

*n N∀ ∈
• Xét hàm f(x) =
a a x− +
,
0;x a
 
∀ ∈
 
có x
n+1
= f(x
n
) và
1
'( ) 0
4
f x
a a x a x

−
= <
− + +
,
0;x a
 
∀ ∈
 
Suy ra f(x) là hàm nghịch biến
Do đó dãy (x
n
) được tách thành hai dãy con (x
2n
) và (x
2n+1
), trong đó một dãy
tăng và một dãy giảm, mặt khác lại có dãy (x
n
) bị chặn nên tồn tại limx
2n
= α,
limx
2n+1
=
β
, trong đó α,
β
là nghiệm của phương trình:
f(f(x)) = x
a a a a x x⇔ − + − + =

Xét hàm F(x) =
a a a a x x− + − + −
, với
0;x a
 
∈
 
1
'( ) 1F x
a a a a x a a a x a a x a x
= −
− + − + + − + − + +
với
0;x a
 
∈
 
, ta có
2 2
1
4
1 1 3 1 3
2 2 0,12 0,3
2 2 4 2 4
a a x a x a a a a a a a a
a a a a a
− + + ≥ − + > − + +
   
= − − = − − > − − > >
 ÷  ÷

   
Thay vai trò của x bởi
a a x− +
chứng minh tương tự ta có

0,3a a a a x a a a x− + − + + − + >
Suy ra F’(x) < - 0,9 < 0 nên F(x) là hàm nghịch biến, lại có F(0) > 0, F(
a
) < 0
nên phương trình F(x) bằng 0 có nghiệm duy nhất. Do đó
α β
=
Suy ra limx
2n
= limx
2n+1
= limx
n

Vậy có limx
n
= T với T thỏa mãn f(f(T)) = T
2.3.DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI PHƯƠNG TRÌNH
Dãy số có mối quan hệ chặt chẽ với phương trình điều này thấy rõ qua
hai nội dung cơ bản là phương trình sai phân tuyến tính được giải bằng phương
trình đặc trưng, giới hạn của dãy số cũng thường được giải ra từ phương trình.
Đây là một trong các nội dung quan trọng nhất của phần dãy số.
Với dạng toán tìm giới hạn của dãy số có liên quan đến phương trình ta
thường xét tính đơn điệu của hàm số, áp dụng định lý Lagrange và định lý về
giới hạn kẹp giữa.

Bài 1.
Giả sử x
n
thuộc khoảng (0; 1) là nghiệm của phương trình
1 1 1
0
1x x x n
+ + + =
− −
Chứng minh dãy (x
n
) hội tụ. Tìm giới hạn đó.
Nhận xét: x
n
được xác định duy nhất vì hàm số
nxxx
xf
n
−
++
−
+=
1

1
11
)(
liên
tục và đơn điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể
của x

n
. Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ của x
n
, ta không cần đến điều
đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn là hiển
nhiên vì 0< x
n
< 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý một chút đến mối liên hệ giữa
fn(x) và f
n+1
(x): f
n+1
(x) = f
n
(x) +
1
1
)()(
1
−−
+=
+
nx
xfxf
nn
. Đây chính là chìa khoá
để chứng minh tính đơn điệu của x
n
.
Lời giải

x
n
được xác định duy nhất vì hàm số
1 1 1
( )
1
n
f x
x x x n
= + + +
− −
liên tục và đơn
điệu trên (0; 1)
Để chứng minh dãy hội tụ ta chứng minh dãy (x
n
) bị chặn và đơn điệu,
hiển nhiên dãy bị chặn vì 0 < x
n
< 1. Bây giờ ta chứng minh dãy (x
n
) đơn điệu
Ta thấy 0 < x
n
< 1 nên
1
1 1
( ) ( ) 0
1 1
n n n n
n n

f x f x
x n x n
+
= + = <
− − − −
Trong khi đó f
n+1
(0
+
) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0; x
n
) có
ít nhất một nghiệm của f
n+1
(x). Nghiệm đó chính là x
n+1
. Suy ra x
n+1
< x
n
. Tức dãy
số (x
n
) giảm, do dãy số này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn
Ta chứng minh dãy số trên có giới hạn bằng 0. Ta dễ dàng chứng minh
kết quả sau:
1 1 1
1 ln
2 3
n

n
+ + + + >
(Có thể chứng minh bằng cách đánh giá
1 1
ln 1
n n
 
+ <
 ÷
 
)
Thật vậy, giả sử
lim 0
n
n
x a
→+∞
= >
. Khi đó do dãy (x
n
) giảm nên ta có x
n
a n≥ ∀
Do
1 1 1
1
2 3 n
+ + + + → +∞
khi
n → +∞

, nên tồn tại N sao cho với mọi n
≥
N ta có
1 1 1 1
1
2 3 n a
+ + + + >
Khi đó với mọi n
≥
N thì
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0
1 1 2
n n n n
x x x n x n a a
= + + + < + + + + < − =
− − − − −
Điều này mâu thuẫn. Vậy phải có
lim 0
n
n
x
→+∞
=
Bài 2. (HSG QG 2007)
Cho số thực a > 2. Đặt f
n
(x) = a
10
x

n+10
+ x
n
+ … + x + 1 (n = 1, 2, …)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f
n
(x) = a luôn
có đúng một nghiệm x
n

(0; )∈ +∞
và dãy số (x
n
) có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
Lời giải.
Với mỗi n, đặt g
n
(x) = f
n
(x) – a, khi đó g
n
(x) là hàm liên tục, tăng trên [0; +
∞
).
Ta có g
n
(0) = 1 – a < 0; và g
n
(1) = a

10
+ n + 1 – a > 0 nên g
n
(x) = 0 có nghiệm
duy nhất x
n
trên (0; +
∞
).
Để chứng minh tồn tại giới hạn
lim
n
n
x
→+∞
, ta chứng minh dãy (x
n
) (n = 1, 2,
…) tăng và bị chặn.
Ta có
10 1 9
10 9
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
n n
n
a

g a a a a
a a a a
a
+ +
 
− −
 ÷
 
       
 
− = − + − = − − −
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
       
 
=
( )
( )
1
9
1
1 1 1 0
n
a a
a
+
 
− − − >
 ÷

 
Suy ra
1
1
n
x
a
< −
, n = 1, 2, …
Mặt khác, từ
g
n
(x
n
) =
10 10
1 0
n n
n n
a x x a
+
+ + + − =
, suy ra
x
n
g
n
(x
n
) =

10 11 1
0
n n
n n n n
a x x x ax
+ +
+ + + − =
⇒
g
n+1
(x
n
) = x
n
g
n
(x
n
) + 1 + ax
n
– a = ax
n
+ 1 – a < 0 do
1
1
n
x
a
< −
.

Vì g
n+1
là hàm tăng và 0 = g
n+1
(x
n+1
) > g
n+1
(x
n
) nên x
n
< x
n+1
. Vậy dãy (x
n
) (n = 1,
2, …) tăng và bị chặn, nên tồn tại
lim
n
n
x
→+∞
Nhận xét. Ta có thể chứng minh
1
lim 1
n
n
x
a

→+∞
= −
bằng cách chứng minh bất
đẳng thức
( )
( )
1
9
1 1 1
1 1 1 1 1
n
n
a a x
a a a
+
 
− − − − − < < −
 ÷
 
Thật vậy, ta có
10 2
10 10 10
1 1 1
1 1 1 1 1
n n
n n
n n n n
a a x x x a x
a a a
+

+
     
= + + + + < − + − + + − + +
 ÷  ÷  ÷
     
Suy ra
10 2 1
10
1 1 1
1 1 1 1
n n
n
a a a x
a a a
+ +
 
     
< − + − − − + +
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
     
 
Từ đó
( )
( )
1
9
1 1
1 1 1 1

n
n
x a a
a a
+
 
> − − − − −
 ÷
 
Cách khác chứng minh
1
lim
n
n
a
x
a
→+∞
−
=
Đặt c
1a
a
−
=
< 1 ta có
f
n
(c) – f
n

(x
n
) = kc
n
(với k = (a – 1)((a – 1)
9
– 1) > 0)
Theo định lý Lagrang thì
f
n
(c) – f
n
(x
n
) = f’(
ξ
)(c – x
n
) với
ξ
∈
(x
n
; c)
Nhưng f’(
ξ
) = (n + 10)a
10
ξ
n+9

+ n
ξ
n-1
+ …+ 1 > 1 nên kc
n
> c – x
n

Từ đó c – kc
n
< x
n
< c suy ra
lim
n
n
x
→+∞
=c
Bài 3. (HSG QG 2002)
Xét phương trình

2 2
1 1 1 1 1

1 4 1 1 1 2x x k x n x
+ + + + + =
− − − −
trong đó n nguyên dương
1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất

nghiệm lớn hơn 1, kí hiệu nghiệm đó là x
n
2)Chứng minh rằng dãy số (x
n
) có giới hạn bằng 4 khi
n → +∞
Lời giải
Kí hiệu f
n
(x) =
2 2
1 1 1 1 1

1 4 1 1 1 2x x k x n x
+ + + + + −
− − − −
1).Dễ thấy, với mỗi n
∈
N*, hàm số f
n
(x) liên tục và nghịch biến trên
khoảng
( )
1;+∞
. Hơn nữa f
n
(x)
→ +∞
khi x
→

1
+
và f
n
(x)
1
2
→ −
khi
x → +∞
. Từ
đó suy ra với mỗi
*n N∈
phương trình f
n
(x) có nghiệm duy nhất x
n
> 1
2).Với mỗi
*n N∈
, ta có
2 2 2 2
1 1 1 1 1
(4)
2 2 1 4 1 (2 ) 1 (2 ) 1
n
f
k n
= − + + + + + +
− − − −

1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1k k n n
 
= − + − + − + + − + + −
 ÷
− + − +
 
1
0 ( )
2(2 1)
n n
f x
n
= − < =
+
Từ đó, do hàm f
n
(x) nghịch biến trên
( )
1;+∞
suy ra x
n
< 4 với mọi
*n N∈
(1)
Mặt khác, với mỗi
*n N∈
, hàm f
n

(x) khả vi trên [x
n
; 4] nên theo định lý
Lagrange, với mỗi
*n N∈
tồn tại t
∈
(x
n
; 4) sao cho
2
'
2 2 2 2
(4) ( )
1 4 1
( )
4 ( 1) (4 1) ( 1) 9
n n n
n
n
f f x
n
f t
x t t n t
−
− − −
= = + + + < −
− − − −
với mọi
*n N∈

Suy ra
1 1
2(2 1)(4 ) 9
n
n x
−
< −
+ −
với mọi
*n N∈
⇒

9
4
2(2 1)
n
x
n
> −
+
(2)
Từ (1) và (2) ta được
9
4 4
2(2 1)
n
x
n
− < <
+

với mọi
*n N∈
Từ đó, theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta có điều phải chứng minh
Bài 4.
Cho dãy số (u
n
) (n = 0, 1, 2, …) được xác định như sau:
u
0
= a và u
n+1
= sin
2
(u
n
+11) –2007 với mọi số tự nhiên n, trong đó a là số
thực cho trước. Chứng minh rằng
a).Phương trình sin
2
(x + 11) – x = 2007 có nghiệm duy nhất. Kí hiệu
nghiệm đó là b
b).limu
n
= b
Lời giải
a)Từ giả thiết ta thấy ngay u
n

≥
- 2007

n∀ ∈
N*
Xét hàm số f(x) : = sin
2
(x + 11) – 2007, x
∈
R
Ta thấy
f’(x) = 2sin(x +11)cos(x + 11) = sin2(x + 11) và u
n+1
= f(u
n
)