ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN 2011 - ĐỀ SỐ 17 docx

Biên soạn: Trần Duy Thái
95

Phương trình cho
2 1 2009 1004
n n
    

VIb 1

Lập pt cạnh AD

:3 4 0
AD CD AD x y C
    

ABCD
là hình vuông nên
( , ) ( , )
d M AD d N CD

tức là
| 6 12 | | 4 3 4 |
13; 23.
5 5
C
C
   
    

ĐS: PT

:3 4 13 0;3 4 23 0
AD x y x y
     

0.25
0.25
0.25

0.25
2

Viết pt mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc (Q).


+ Tâm I của mặt cầu thuộc đt d qua K và vuông góc với (P).
+ Ptts của d là:
1 3
2 2
3 2
x t
y t
z t
 


  


 


+ Mặt khác:
( ) 1 3 2 2 3 2 5 0
1 ( 2; 4;1)
I Q t t t
t I
        
     

+ Bán kính mặt cầu:
     
2 2 2
66 ( ) : 2 4 1 66
R IM pt S x y z
        

0.25

0.25




0.25

0.25
VIIb


Tính xác suất

- Chọn tuỳ ý 5 cây từ bộ bài 52 cây có
5
52
C
cách
- Chọn 2 cây đầu tiên từ 1 bộ (trong 13 bộ) có
2
4
13
C
cách
- Chọn tiếp 2 cây nữa, từ 1 trong 12 bộ còn lại có
2
4
12
C
cách
- Chọn nốt cây cuối cùng, từ 1 bộ trong 11 bộ còn lại có
1
4
11
C
cách
- Đáp số
2 2 1
4 4 4
5
52
13 .12 .11

( )
C C C
p A
C

0.25
0.25


0.25

0.25





ĐỀ 17
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số
4 2
5 4,
y x x
  
có đồ thị (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m để phương trình
4 2
2
| 5 4 | log

x x m
  
có 6 nghiệm phân biệt.
Câu II (2.0 điểm).
1. Giải phương trình
1 1
sin 2x sin x 2cot 2x
2sin x sin 2x
    .
2. Tìm m để phương trình


2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)
     
có nghiệm x
0; 1 3
 
 
 
.
Câu III (1.0 điểm). Tính tích phân
dx. .cos.sin.
3
2
0
sin
2
xxe
x




Câu IV (1.0 điểm).
Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1

2a 5

và
o
120BAC 

. Gọi M là
trung điểm của cạnh CC
1
. Chứng minh MB  MA
1
và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt
phẳng (A
1
BM).
A

B

D

C

N

M

K

M

I

www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
96

Câu V (1.0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương dương. Chứng minh rằng
3 2 4 3 5
x y z xy yz zx
     .
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
1. Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a. (2.0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
( 1; 3; 0), (1; 3; 0) à M(0; 0; a)
B C v

với a
> 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC).
1. Cho
3
a 
. Tìm góc giữa mặt phẳng (NBC) và mặt phẳng (OBC).
2. Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất.
Câu VII.a. (1.0 điểm).
Giải hệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
( , )
2 2 3 1
y
x
x x x
x y
y y y



    



    




.
2. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b. (2.0 điểm).
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) và mặt phẳng
(P): 2x - y + z + 1 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp(P).
2. Tìm tọa độ điểm M  (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Câu VII. b. (1.0 điểm).
Giải bất phương trình:
2
x 4 2
(log 8 log x )log 2x 0
 
.

ĐÁP ÁN ĐỀ 17
Câu I:
9
4
4
12
9
log 12 144 12
4
m m   

Câu II:
1. Giải phương trình :
1 1
sin 2x sin x 2cot g2x

2sin x sin 2x
   
(1)
(1)   cos
2
2x  cosxcos2x = 2cos2x và sin2x  0

   
2
cos2x 0 v 2 cos x cos x 1 0(VN)

 cos2x = 0 
  
     
2x k x k
2 4 2

2. Đặt
2
t x 2x 2
  
 t
2
 2 = x
2
 2x
Bpt (2) 

    


2
t 2
m (1 t 2),dox [0;1 3]
t 1

Khảo sát
2
t 2
g(t)
t 1



với 1  t  2
g'(t)
2
2
t 2t 2
0
(t 1)
 
 

. Vậy g tăng trên [1,2]
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
97

Do đó, ycbt


bpt
2
t 2
m
t 1



có nghiệm t  [1,2]



 

  
t 1;2
2
m max g(t) g(2)
3

Câu III Đặt
  
2
t sin x dt 2sin x cos xdx
; Đổi

Câu IV (Các em tự vẽ hình)
Chọn hệ trục Oxyz sao cho: A  0,




C 2a, 0,0
,
1
A (0,0,2a 5)


 

 
 
 
a a 3
A(0;0;0), B ; ;0
2 2
và

M( 2a,0,a 5)

 
    
 
 
 
 
1
5 3
BM a ; ; 5 , MA a(2;0; 5)
2 2

Ta có:      
 
2
1 1
BM.MA a ( 5 5) 0 BM MA
Ta có thể tích khối tứ diện AA
1
BM là :


   
   
   
    
3
2
1 BMA 1
1
1 a 15 1
V A A . AB,AM ; S MB,MA 3a 3
6 3 2

Suy ra khoảng cách từ A đến mp (BMA
1
) bằng
 
3V a 5
d .
S 3

Cách khác:
+ Ta có
  
2 2 2 2
1 1 1 1
A M A C C M 9a
;
   
2 2 2 0 2
BC AB AC 2AB.AC.cos120 7a


  
2 2 2 2
BM BC CM 12a
;
    
2 2 2 2 2 2
1 1 1
A B A A AB 21a A M MB



MB
vuông góc với
1
MA

+ Hình chóp MABA
1

và CABA
1
có chung đáy là tam giác ABA
1
và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng
nhau.
    
3
MABA CABA 1 ABC
1 1
1 1
V V V AA .S a 15
3 3
   
1
MBA 1
1
3V 6V a 5
d(A,(MBA ))
S MB.MA 3

Câu V. Theo BĐT Cauchy

     
1 3 5
; 3 ; 5
2 2 2
x y xy y z xy z x xy
     
.

Cộng các vế ta có điều phải chứng minh
Câu VI.b.
1. Ta có
AB ( 2,4, 16)
  

cùng phương với
  

a ( 1,2, 8)

mp(P) có PVT
n (2, 1,1)
 


Ta có
 
[ n ,a]
= (6 ;15 ;3) cùng phương với (2;5;1)
Phương trình mp chứa AB và vuông góc với (P) là :
2(x + 1) + 5(y  3) + 1(z + 2) = 0
 2x + 5y + z  11 = 0
2. Tìm M  (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Vì khoảng cách đại số của A và B cùng dấu nên A, B ở cùng phía với
Mp (P). Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (P) ;
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
98

Pt AA' :
x 1 y 3 z 2
2 1 1
  
 


AA' cắt (P) tại H, tọa độ H là nghiệm của ;
   


 
   
 


2x y z 1 0
H(1,2, 1)
x 1 y 3 z 2
2 1 1

Vì H là trung điểm của AA' nên ta có :
H A A '
H A A '
H A A'
2x x x
2y y y A '(3,1,0)
2z z z
 



  


 


Ta có
A'B ( 6,6, 18)
  

(cùng phương với (1;-1;3) )
Pt đường thẳng A'B :
 
 

x 3 y 1 z
1 1 3

Vậy tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình
   


 
 
 



2x y z 1 0

M(2,2, 3)
x 3 y 1 z
1 1 3

Câu VII.b.
Điều kiện x > 0 , x  1
(1)
 
  
 
 
4 2
8
1 1
2 log x log 2x 0
log x 2

 
 
 
   
 
 
 
2 2
2
1
log x log x 1 0
1
log x

3

 
 
    
 
 
       
2
2 2
2
2 2
2 2
log x 1 log x 1
(log x 3) 0 0
log x log x
1
log x 1v log x 0 0 x ;x 1
2

ĐỀ 18
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I : ( 2 điểm )Cho hàm số
3 2
7
2
3 2 3
x x
y x
    

( 1) .
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (1)
2) Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng d có phương trình:
5 61
4 24
x
y  
để từ đó kẻ đến đồ thị
(C) của hàm số (1) ba tiếp tuyến tương ứng với ba tiếp điểm có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thỏa:
1 2 3
0
x x x
  
.
Câu II : ( 2 điểm ) 1) Giải phương trình :
2 3 24
77 3 2 0
x x
    
.
2)Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x

      

Câu III : ( 1 điểm ) Tính tích phân






6
4
4
tan
1
x
x
I dx
e
.
Câu IV : ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có cạnh AB = a, cạnh AD = b,
góc

0
60
BAD

. Cạnh SA = 4a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
www.VNMATH.com