ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN 2011 - ĐỀ SỐ 13 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (442.05 KB, 10 trang )
Biên soạn: Trần Duy Thái
68
r
0
5 1
2
l
l
y'(r)
y(r) y
max
+) Ta có max S
cầu
đạt
y(r) đạt max
5 1
2
r l
V
+) Ta có
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
( )( )
( )
( )
2
2 ( ) ( )
( ) 2 ( ) 3
2 2
P x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
P x y z x y z
x y z x y z
P x y z x y z
+) Đặt x +y + z = t,
6( cov )
t Bunhia xki
, ta được:
3
1
( ) 3
2
P t t t
+)
'( ) 0 2
P t t
, P(
6
) = 0;
( 2) 2 2
P
;
( 2) 2 2
P
+) KL:
ax 2 2; 2 2
M P MinP
1 điểm
VI
+)
5
( , )
2
d I AB
AD =
5
AB = 2
5
BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)
2
+ y
2
= 25/4
+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:
2 2
2
1 25
2
( )
( 2;0), (2;2)
2 4
2
2 2 0
0
x
y
x y
A B
x
x y
y
(3;0), ( 1; 2)
C D
VII
2 2
2
2
3 2
2010
2009 (1)
2010
3 log ( 2 6) 2 log ( 2) 1(2)
y x
x
y
x y x y
+) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt:
2 2 2 2
2009 2009
log ( 2010) log ( 2010)
x x y y
+) Xét và CM HS
2009
( ) log ( 2010), 0
f t t t t
đồng biến,
từ đó suy ra x
2
= y
2
x= y, x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log
3
(x +2) = 2log
2
(x + 1) = 6t
Đưa pt về dạng
1 8
1
9 9
t t
, cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1
x = y =7
+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log
3
(y + 6) = 1 y = - 3 x = 3
ĐỀ 13
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH .
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
69
Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
2 2
1
m
x x
x
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :
5
2 2 os sin 1
12
c x x
2) Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
.
Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân:
/4
2
/4
sin
1
x
I dx
x x
Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh
SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60
0
.Trên cạnh SA lấy điểm M
sao cho AM =
3
3
a
, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y
5 5 5
4
x y z
PHẦN B ( THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1 HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao
: 1 0
CH x y
,
phân giác trong
: 2 5 0
BN x y
.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d
2 1
4 6 8
x y z
và hai điểm
A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức C:
2
4 3
1 0
2
z
z z z
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
yxd
và
06:
2
yxd
. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
2. (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
D
1
:
2 1
1 1 2
x y z
, D
2
:
2 2
3
x t
y
z t
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của D
1
và D
2
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng:
0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
S C C C C C
ĐÁP ÁN ĐỀ 13
Câu I 2 điểm
a)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x .
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
70
Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.
Sự biến thiờn:
2
3 6
y' x x.
Ta có
0
0
2
x
y'
x
0,25
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .
0,25
Bảng biến thiên:
x
0 2
y'
0
0
y
2
2
0,25
Đồ thị:
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
x
m
xx theo tham số m.
Ta có
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
Do đó số nghiệm của phương
trình bằng số giao điểm của
2
2 2 1
y x x x , C'
và đường thẳng
1
y m,x .
0,25
b)
Vỡ
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
nờn
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x .
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x
qua Ox.
0,25
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
71
hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,25
Dựa vào đồ thị ta có:
+
2
m :
Phương trình vụ nghiệm;
+
2
m :
Phương trình có 2 nghiệm kộp;
+
2 0
m :
Phương trình có 4 nghiệm phõn biệt;
+
0
m :
Phương trình có 2 nghiệm phõn biệt.
0,25
2) Đồ thị hàm số y =
2
( 2 2) 1
x x x
, với x
1 có dạng như hình vẽ :
II
1)
5
2 2 os sin 1
12
c x x
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
1+
3
1-
3
- 2
m
1
2
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
72
1)
0.25
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
0.25
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13 312 12
2 2
12 12
4
x k
x k
x k
x k
x k
0.5
2.)
Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
.
Điều kiện: x+y>0, x-y>0
2 8
2 2 2 2 2 2 2 2
log 3log (2 ) 2
1 3 1 3
x y x y x y x y
x y x y x y x y
0,25đ
Đặt:
u x y
v x y
ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
0,25đ
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)
2
u v uv
u v uv
uv
. Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0
uv uv uv uv uv uv uv
.
0,25đ
Kết hợp (1) ta có:
0
4, 0
4
uv
u v
u v
(vỡ u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0,25đ
Câu III 1 Tính tích phân :
/4
2
/4
sin
1
x
I dx
x x
/4 /4 /4
2
1 2
2
/4 /4 /4
sin
1 sin sin
1
x
I dx x xdx x xdx I I
x x
Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì
1
0
I
, tích phân từng phần
2
I
được kết quả.
0.5đ
Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì
1
0
I
, tích phân từng phần
2
I
được kết quả.
0.5đ
Câu IV :
S
M
N
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
73
Tính thể tích hình chóp SBCMN
( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
Ta có :
BC AB
BC BM
BC SA
. Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao
Ta có SA = AB tan60
0
= a
3
,
3
3
2
3
2 3
3
a
a
MN SM MN
AD SA a
a
Suy ra MN =
4
3
a
. BM =
2
3
a
Diện tích hình thang BCMN là :
S =
2
4
2
2 10
3
2 2
3 3 3
a
a
BC MN a a
BM
Hạ AH
BM . Ta có SH
BM và BC
(SAB)
BC
SH . Vậy SH
( BCNM)
SH là đường cao của khối chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
AB AM
SB MS
=
1
2
.
Vậy BM là phân giác của góc SBA
0
30
SBH
SH = SB.sin30
0
= a
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V =
1
.( )
3
SH dtBCNM
=
3
10 3
27
a
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng :
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y
5 5 5
4
x y z
Đặt 5
x
= a , 5
y
=b , 5
z
= c . Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng :
2 2 2
4
a b c a b c
a bc b ca c ab
( *)
( *)
3 3 3
2 2 2
4
a b c a b c
a abc b abc c abc
3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c a b c
a b a c b c b a c a c b
0,25đ
0,25đ
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
74
Ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a a b a c
a
a b a c
( 1) ( Bất đẳng thức Cô si)
Tương tự
3
3
( )( ) 8 8 4
b b c b a
b
b c b a
( 2)
3
3
( )( ) 8 8 4
c c a c b
c
c a c b
( 3) .
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh
0,25đ
0,25đ
Phần B. (Thí sinh chỉ được làm phần I hoặc phần II)
Phần I. (Danh cho thí sinh học chương trình chuẩn)
1. Chương trình Chuẩn.
Cõu Ph
ần
Nội dung Điểm
CâuVI
a.
(1,0)
1(1,
0)
+ Do
AB CH
nờn AB:
1 0
x y
.
Giải hệ:
2 5 0
1 0
x y
x y
ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó:
( 4;3)
AB BN B
.
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ
'
A BC
.
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và
Vuụng gúc với BN là (d):
2 5 0
x y
. Gọi
( )
I d BN
. Giải hệ:
2 5 0
2 5 0
x y
x y
. Suy ra: I(-1; 3)
'( 3; 4)
A
+ Phương trình BC:
7 25 0
x y
. Giải hệ:
7 25 0
1 0
x y
x y
Suy ra:
13 9
( ; )
4 4
C
.
+
2 2
450
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC ,
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
d A BC
.
Suy ra:
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
ABC
S d A BC BC
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu
VIIA
1) Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là:
1
u
(4; - 6; - 8)
2
u
( - 6; 9; 12)
+)
1
u
và
2
u
cùng phương
0,25đ
+) M( 2; 0; - 1)
d
1
; M( 2; 0; - 1)
d
2
Vậy d
1
// d
2
0,25đ
*) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là
n
= ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2)
AB
= ( 2; - 3; - 4); AB // d
1
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua d
1 .
Ta có: IA + IB = IA
1
+ IB
A
1
B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A
1
B
Khi A
1
, I, B thẳng hàng
I là giao điểm của A
1
B và d
Do AB // d
1
nên I là trung điểm của A
1
B.
0,25đ
B
C
A
H
N
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
75
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d
1
. Tìm được H
36 33 15
; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’
43 95 28
; ;
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I
65 21 43
; ;
29 58 29
0,25đ
Cõu Nội dung Điểm
Câu VIIa
(1,0)
Cõu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trờn tập số phức C:
2
4 3
1 0
2
z
z z z
(1)
Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z
0
Chia hai vế PT (1) cho z
2
ta được : (
0
2
1
)
1
()
1
2
2
z
z
z
z
(2)
0.25đ
Đặt t=z-
z
1
Khi đó
2
1
2
22
z
zt 2
1
2
2
2
t
z
z
Phương trình (2) có dạng : t
2
-t+
0
2
5
(3)
2
99
2
5
.41 i
PT (3) có 2 nghiệm t=
2
31 i
,t=
2
31 i
0.25đ
Với t=
2
31 i
ta có 02)31(2
2
311
2
ziz
i
z
z (4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii
PT(4) có 2 nghiệm : z=
i
ii
1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(
iii
0.25đ
Với t=
2
31 i
ta có 02)31(2
2
311
2
ziz
i
z
z (4)
Có
222
)3(696816)31( iiiii
PT(4) có 2 nghiệm : z=
i
ii
1
4
)3()31(
,z=
2
1
4
)3()31(
iii
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1
i
; z=
2
1
i
0.25đ
Phần II.
Câu VIb. 1)
I
d
1
H
A
B
A
1
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
76
Ta có:
Idd
21
. Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vậy
2
3
;
2
9
I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD
OxdM
1
Suy ra M( 3; 0)
0,25đ
Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
Theo giả thiết: 22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1
ADd
1
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d
1
nhận
)1;1(n
làm VTPT nên có PT:
03yx0)0y(1)3x(1
. Lại có:
2MDMA
0,25đ
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
2y3x
03yx
2
2
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2
1y
2x
hoặc
1y
4x
. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0,25đ
Do
2
3
;
2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0,25đ
Cõu Phần Nội dung Điểm
CâuVIb.
(1,0)
2.a)
Các véc tơ chỉ phương của D
1
và D
2
lần lượt là
1
u
( 1; - 1; 2)
và
2
u
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)
D
1
; N( 2; 3; 0)
D
2
0,25đ
Xét
1 2
; .
u u MN
= - 10
0
Vậy D
1
chéo D
2
0,25đ
Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t)
D
1
B(2 – 2t’; 3; t’)
D
2
1
2
. 0
. 0
AB u
AB u
1
3
' 0
t
t
A
5 4 2
; ;
3 3 3
; B (2; 3; 0)
Đường thẳng
qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của D
1
và D
2
.
Ta có
:
2
3 5
2
x t
y t
z t
0,25đ
0,25đ
www.VNMATH.com
Biên soạn: Trần Duy Thái
77
PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có
dạng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
0,25đ
CâuVIIb
(1,0)
Ta có:
2009 0 1 2009 2009
2009 2009 2009
(1 ) i C iC i C
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 3 5 7 2007 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( )
C C C C C C
C C C C C C i
Thấy:
1
( )
2
S A B
, với
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
A C C C C C C
0 2 4 6 2006 2008
2009 2009 2009 2009 2009 2009
B C C C C C C
+ Ta có:
2009 2 1004 1004 1004 1004
(1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2
i i i i i
.
Đồng nhất thức ta có A chớnh là phần thực của
2009
(1 )
i
nờn
1004
2
A
.
+ Ta có:
2009 0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
(1 ) x C xC x C x C
Cho x=-1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C C
Cho x=1 ta có:
0 2 2008 1 3 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
( ) ( ) 2
C C C C C C
.
Suy ra:
2008
2
B
.
+ Từ đó ta có:
1003 2007
2 2
S
.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
ĐỀ 14
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số
mxxmxy 9)1(3
23
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
m
.
2. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
xx
.
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: )
2
sin(2
cossin
2sin
cot
2
1
x
xx
x
x .
2. Giải phương trình:
)12(log1)13(log2
3
5
5
xx
.
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân
5
1
2
13
1
dx
xx
x
I
.
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều
'''. CBAABC
có
).0(',1
mmCCAB
Tìm
m
biết
rằng góc giữa hai đường thẳng
'
AB
và
'BC
bằng
0
60
.
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm
z
y
x
,
,
thoả mãn
3
222
zyx
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
zyx
zxyzxyA
5
.
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b).
a. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
,Oxy
cho tam giác
ABC
có
)6;4(A
, phương trình các
đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh
C
lần lượt là
0132
yx
và
029136
yx
.
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
www.VNMATH.com
