Bài giảng Ma trận nghịch đảo Nguyễn thị Hồng Nhung

(Học phần Đại số tuyến tính)
Ngày giảng :4/11/2010
Tiết thứ: 2
Tiết theo chương trình: 47
Lớp dạy: CĐSP toán tin K30
Giảng viên: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Đại số tuyến tính (90 tiết)
VI. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương
V. Ma trận
VI. Hệ phương trình tuyến tính
II. Không gian véc tơ
I. Định thức

VII. Quy hoạch tuyến tính
III. Ánh xạ tuyến tính
Chương V. Ma trận
1. Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính
2. Các phép toán trên ma trận
3. Ma trận nghịch đảo
4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ
sở khác nhau
Tiết 47, 48: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
2. Cách tìm ma trận nghịch đảo
3. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo
- Kiến thức: hiểu được khái niệm ma trận nghịch đảo, các
điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo, cách tìm ma trận
nghịch đảo bằng công thức và bằng phép biến đổi sơ cấp.
1. Mục tiêu tiết học
- Thái độ: Yêu thích học toán, rèn khả năng tư duy biện
chứng về sự phát triển của nội dung môn toán từ toán

THCS đến toán cao cấp.
- Kĩ năng: Xây dựng khái niệm, tìm điều kiện tồn tại ma
trận nghịch đảo, thực hiện tốt việc tìm ma trận nghịch
đảo bằng 2 phương pháp: Tìm ma trận nghịch đảo dựa
vào công thức và phép biến đổi sơ cấp.
2. Phương pháp
- Phát hiện và giải quyết vấn đề,
- Thuyết trình
3. Phương tiện
- Dạy: Máy chiếu, bảng.
- Học: Giáo trình đại số tuyến tính,
Nguyễn Duy Thuận, nxb Giáo dục 2006
giấy A1, máy tính.
4. Tài liệu tham khảo
Kiểm tra bài cũ
Bài toán 1. Tìm các ma trận sao cho :
3 5 1 0
.
1 2 0 1
a b
c d
−
     
=
 ÷ ÷  ÷
−
     
a.
b.
b) Vô nghiệm

a) a=2, b=5, c=1, d=3
Đáp số:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
4 2 8 1 0 0
6 3 12 . . 0 1 0
1 5 9 0 0 1
a a a
a a a
a a a
− −
     
 ÷  ÷  ÷
− =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
−
     
Với giả thiết nào của
ma trận đã cho để
bài toán có nghiệm
3 5 1 0
.
1 2 0 1
3 1 1 3 0
,
5 2 0 5 2 1
2 1
,

5 3
a b
c d
a b c d
a b c d
a c
b d
−
     
=
 ÷ ÷  ÷
−
     
− = − =
 
⇔
 
− + = − + =
 
= =
 
⇔
 
= =
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 31 12 22 32 1
11 21 31 12 22 32

11 21 31 12 22 32
4 2 8 1 0 0
6 3 12 . . 0 1 0
1 5 9 0 0 1
4 2 8 1 4 2 8 0 4
6 3 12 0, 6 3 12 1 ,
1 5 9 0 1 5 9 0
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
− −
     
 ÷  ÷  ÷
− =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
−
     
− + − = − + − = −
 
 
⇔ − + = − + =
 
 
− + = − + =
 
3 23 33

13 23 33
13 23 33
2 8 0
6 3 12 1
1 5 9 0
a a
a a a
a a a
+ − =


− + =


− + =

Các hệ trên đều vô nghiệm vì hạng của ma trận hệ số =2 ,
khác hạng của ma trận bổ sung = 3.
1
X A
−
=
2 5 3 5 1 0
.
1 3 1 2 0 1
−
     
=
 ÷  ÷  ÷
−

     
X A
I
Nói: Ma trận vuông A là ma trận khả nghịch,
X là ma trận nghịch đảo của ma trận A
Kí hiệu :
×
=
A X
I
×
=
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
ĐỊnh nghĩa
Ví dụ 1.
1
1 0 1 0
0 1 0 1
−
   
=
 ÷  ÷
   
M
a

t
r
Ë
n

n
g
h
Þ
c
h

®
¶
o

c
ã

d
u
y

n
h
Ê
t

k
h
«
n
g

?
Ví dụ 2.
C
ã

p
h
¶
i

m
ä
i

m
a

t
r
Ë
n

v
u
«
n
g

®
Ò

u

c
ã

n
g
h
Þ
c
h

®
¶
o

?
1
3 5 2 5
1 2 1 3
−
−
   
=
 ÷  ÷
−
   
1
2 5 3 5
1 3 1 2

−
−
   
=
 ÷  ÷
−
   
Ma trận nghịch đảo là duy nhất !
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi detA khác 0!
2. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Ma trËn nghÞch ®¶o lµ duy nhÊt !
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi detA khác 0!
11 21 1
12 22 2
1
1 2


1
.
det

n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A
A A A

ữ
ữ
=
ữ
ữ

Cú th tỡm ma
trn nghch o
bng cụng thc
nh th no?

Bước 1: Tính định
thức:Det A

Bước 2: Tìm các phần
bù đại số

Bước 3:Thiết lập ma
trận nghịch đảo
11 21 1
12 22 2
1
1 2


1
.
det

n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A
A A A
−
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Cách 1: Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức
3. Cách tìm ma trận nghịch đảo
11, 21, 1
12, 22, 2
1 , 2 ,
,
,

,
n
n
n n nn
A A A

A A A
A A A
Ví dụ 3. Tìm ma trận nghịch đảo

Bước 1: Tính định
thức:Det A

Bước 2: Tìm các phần
bù đại số

Bước 3:Thiết lập ma
trận nghịch đảo
11 21 31
12 22 32
13 23 33
11 15 3
3 5 1
6 8 2
A A A
A A A
A A A
= = − = −
= − = =
= − = =
1 3 0
0 2 1
3 1 5
A
 
 ÷

= −
 ÷
 ÷
 
det A= 2
1
11 15 3
2 2 2
3 5 1
2 2 2
3 4 1
A
−
− −
 
 ÷
 ÷
−
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
Cách 1: Tìm ma trận nghịch đảo bằng công thức
Cách 2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép
biến đổi sơ cấp (PP Gauss Jordan)
( )

1
| ( | )A I I A
−
→
Bước 1: Viết ma trận I bên phải ma trận A
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng để
đưa ma trận A về ma trận đơn vị I, đồng thời cũng dùng
phép biến đổi đó với ma trận phía bên phải
Bước 3: Khi ma trận A được biến đổi thành ma trận đơn vị I
thì ma trận I cũng được biến đổi thành ma trận nghịch đảo
của A.
Ví dụ 4. Tìm ma trận nghịch đảo
1 1
2 3
A
 
=
 ÷
 
Cách 2: Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo
1 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 1 1
A
 
 ÷
 ÷
=

 ÷
 ÷
 
Hết giờ
Bắt đầu
Cách 3: Tìm ma trận nghịch đảo bằng máy tính bỏ túi
và máy tính điện tử
- Máy tính bỏ túi Casio-fx-570 MS: chỉ áp dụng
cho ma trận cấp 2,3
- Máy tính điện tử sử dụng ngôn ngữ lập trình:
Theo Mathematica 5.2
Nghiên
cứu
sách
giáo
trình
Ma trận nghịch đảo là duy nhất !
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi detA khác 0!
Cỏch 1: Tỡm ma trn nghch o bng nh thc
Bc 1: Tớnh nh thc:Det A
Bc 2: Tỡm cỏc phn bự i s
Bc 3: Thit lp ma trn nghch o
Cỏch 2: Tỡm ma trn nghch o bng bin i s cp
( )
1
| ( | )A I I A


Bi hc cn ghi nh
Nhiệm vụ về nhà


Luyện tập tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận
bằng phương pháp định thức và phương pháp biến đổi
sơ cấp.

Tìm hiểu ứng dụng của ma trận nghịch đảo