Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Nguyên hàm-Tích phân-Ứng dụng pdf

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

1. NGUN HÀM
1.1 Định nghĩa:
Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K, nếu
"x Ỵ K

F ' ( x) = f ( x)
Khi đó ta viết:

ị f ( x)dx = F ( x) + C , "C Ỵ ¡

1.2 Tính chất của ng un hàm:

ị f ( x)dx = f ( x) + C
ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx ( k là hằng số khác 0)
ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx
'

1.
2.
3.

1.3 Bảng nguyên hàm của một số hàm sơ cấp và hàm số hợp
Nguyên hàm của hàm số hợp
(với u = u ( x) )

Nguyên hàm của hàm sơ cấp

ò 0dx = C
ò dx = x + C

a
ò x dx =

ò 0du = C
ò du = u + C

xa +1
+ C (a ¹ 0)
a +1

1

a
ị u dx =

u a +1
+ C (a ¹ 0)
a +1

1

ị x dx = ln x + C

ò u du = ln u + C

ò e dx = e

ò e du = e

x

x
ò a dx =

x

+C

ax
+ C ( a ¹ 1, a > 0)
ln a

ị cos xdx = sin x + C
ò sin xdx = - cos x + C
1

ò cos

2

2

1

x

ò

1

dx = - cot x + C

ò sin

1

1
dx = arctan x + C
+1
1
dx = arcsin x + C
1 - x2

2

www32.websamba.com/toan30ctu

u

+C

au
+ C ( a ¹ 1, a > 0)
ln a

ò cos udu = sin u + C
ò sin udu = - cos u + C
ò cos

ò ax + bdx = a ln ax + b + C

òx

u
ò a du =

dx = tan x + C

x

1

ò sin

u

2

u

1
2

1

u

du = tan u + C

du = - cot u + C
1

ò au + bdu = a ln au + b
ò f ( x)dx = F ( x) + C Þ ò f (ax + b)dx = F (ax + b) + C

1


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

1.4 P hương pháp tín h ngun hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu

ị f (u )du = F (u) + C và u = u ( x) là hàm có đạo hàm liên tục thì
ị f (u ( x))u ( x)dx = F (u ( x)) + C
'

Hệ quả: nếu u = ax + b ,( a ¹ 0) thì ta có

f (ax + b) dx =

1
F ( ax + b) + C
a

b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u = u ( x) và v = v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì

ị u ( x)v ( x)dx = u( x)v( x) + ò v( x)u ( x)dx
'

'

Hay ngắn gọn dễ nhớ hơn: ò udv = uv + ò vdu
Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được áp dụng cho những ngun hàm có
dạng sau:

ị P( x) ln xdx; ò P( x)e

ax

dx; ò P( x) sin axdx; ò P ( x) cos axdx; ò eax cos bxdx; ị eax sin bxdx

Trong đó P( x) là một đa thức và a, b là những hằng số khác 0.
b) Một vài cách tính nguyên hàm khác thường gặp

P( x)
dx trong đó P( x), Q ( x) là những đa thức theo biến x
Q( x )
P( x)
T ( x)
Nếu bậc của P( x) ³ Q( x) thì phân tích
= R( x) +
rồi tìm cách tính.
Q( x )
Q( x )
Nếu bậc của P( x) < Q( x) :
Ak
Ak -1
P( x)

A1
Nếu Q( x) = ( x - a ) k ( k Ỵ N , k > 1) thì
=
+
+ .. +
( Ak là hằng số)
k
k
k -1
( x - a)
( x - a) ( x - a )
( x - a)
a x + bk
a x + b1
P( x)
Nếu Q( x) = ( x 2 + px + q ) k (k Ỵ N , k ³ 1)
= 2 k
+ .. + 2 1
( a k , bk là hằng)
k
Q( x) ( x + px + q )
x + px + q
x
ĐỔI BIẾN CHO HÀM LƯỢNG GIÁC: Khi cần ta có thể đặt t = tan Khi đó ta có:
2
2
2t
1- t
2
sin x =

, cos x =
,
dx =
dt
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2

HÀM HỮU TỈ : ò

Bài Áp Dụng
1. Tìm ng uyên hàm của các hàm số sa u:
a) f ( x) = ( x + 3)5
d) f ( x) =

1
2x +1

2
( x - 3) 2
1 - cos 2 x
e) f ( x) =
cos 2 x
b) f ( x) =

www32.websamba.com/toan30ctu

c) f ( x) =

x

1 - x2
2x + 1
f) f ( x) = 2
x + x +1
2


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng
g) f ( x) = 3 x 2 +

x
2

h) f ( x) = 2 x3 - 5 x + 7

1

1
1
- x2 2
x
3

k) f ( x) = 10 2 x

j) f ( x ) = x 3
2 . Tìm

a) ị ( x + 3 x )dx

i) f ( x) =

b) ò

x x+ x
dx
x2

c) ò 4sin 2 xdx

d) ị

1 + cos 4 x
dx
2

3. Tính các nguyên hà m sau bằ ng phương pháp đổi biến số :
a) ò x 2 3 1 + x 3 dx

b) ò xe - x dx
2

x
dx
dx
e) ò
2 2
(1 + x )

(1 - x) x
sin x
h) ò
i) ò cos x sin 3 xdx
dx
3
2
cos x
dx
9x2
l) ò
m) ò
( hd : u = 5 x + 4)
dx ( HD : u = 1 - x3 )
5x - 4
1 - x3
4. Áp dụng phương phá p tính tích phân từng phần hã y tính
d) ị

1
1
sin dx
2
x
x
2
(ln x)
g) ò
dx
x

dx
k) ò x - x
e -e
c) ò

n) ò x 4 1 - x 2 dx( hd : u = 1 - x 2 )

a) ò (1 - 2 x)e x dx

b) ò xe - x dx

c) ò x ln(1 - x) dx

d) ò x sin 2 xdx

e) ò ln( x + 1 + x 2 ) dx

g) ò x ln 2 xdx

x
h) ị x sin dx
2
5. Tính các nguyên hà m sau:

i) ò x 2 cos xdx

f) ò xe x dx

a) ò x(3 - x5 ) dx

b) ò (2 x - 3x ) 2 dx

c) ò x 2 - 5 xdx

d) ò

ln(sin x )
dx
cos 2 x

e) ò

dx
dx
( x - 1)( x + 1)

g) ò 3 x 7 - 3 x 2 dx

h) ò cos(3x + 4)dx

x
x
cos dx
3
3
3 x
m) ò x e dx

x3
- 1)5 dx

18
3 x -9
n) ò e
dx

j) ò sin 5

p) ò x ln xdx

x +1
dx
( x - 2)( x + 3)
dx
i) ò
2
cos (3 x + 2)
f) ò

1
1
1
sin cos dx
2
x
x
x
2
o) ò x cos 2 xdx

k) ò x 2 (

l) ò

q) ò sin 4 x cos xdx

r) ò x cos( x 2 )dx

6. Bằng cách biến đổi các hàm lượng giác hãy tính:
a) ị sin 4 x
d) ị sin 4 x cos 4 xdx

1
dx
sin 3 x
dx
e) ò
cos x sin 2 x

b) ò

www32.websamba.com/toan30ctu

c) ò sin 3 x cos 4 xdx
g) ò

1 + sin x
dx
1 + cos x
3

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

2. TÍCH PHÂN
2.1 Định nghĩa
Hàm số f ( x) liên tục trên [a; b] . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [a; b] . Hiệu số
F (b) - F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f ( x) . Kí hiệu là

b

ị f ( x)dx
a

b

Tóm lại ta có:

ị f ( x)dx = F ( x)
a

b
a

= F (b) - F ( a )

Chú ý:
b

a

a

a

Nếu a = b Þ ò f ( x) dx = ò f ( x) dx = 0
b

a

a

b

Nếu a > b Þ ị f ( x)dx = - ị f ( x)dx
Tích phân khơng phụ thuộc vào chữ dùng làm biến dưới dấu tích phân, có nghĩa là:
a

ị
a

a

a

a

a

f ( x)dx = ị f (t )dt = ò f (u ) du = ... = F (b) - F (a )

2.2 Tính chất của tích phân
b

a
b

1.
2.

b

a

ò kf ( x)dx = k ò f ( x)dx , (k = const )
b

ò [ f ( x) ± g ( x)]dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx
a
b

3.

b

a

a

c

b

a
c1

c
c2

b

a

c1

cn

,a < c
ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx
a

b

ò
a

f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x) dx + ... + ò f ( x) dx

, a < c1 < c2 < ... < cn

2.3 P hương pháp tín h tích p hân
a)Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Giả sử hàm số x = j (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b ] sao cho j (a ) = a, j ( b ) = b và
a £ j (t ) £ b , "t Ỵ [a ; b ] Khi đó:
b

ị
a

b

f ( x)dx = ị f (j (t ))j ' (t )dt
a

Định lí 2: Giả sử u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b ] sao cho a £ u ( x) £ b , "x Ỵ [a; b] . Nếu
f ( x) = g (u ( x))u ' ( x) , "x Ỵ [ a; b] trong đó g (u ) liên tục trên đoạn [a ; b ] thì
b

u (b)

a

u (a )

ò f ( x)dx = ò

g (u ) du

b) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí: Nếu u ( x) và v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
www32.websamba.com/toan30ctu

4


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng
b

b

b

ị u ( x)v ( x)dx = [u( x)v( x)]| - ò v( x)u ( x)dx
'

a

a

b

Hay dễ nhớ hơn:

'

a

b

b

ò udv = uv| - ò vdu
a

a

a

Bài tập
7. Tính các tích phân sa u:
1

a) ò ( y 3 + 3 y 2 - 2)dy
0

4

1 1
b) ò (t +
- 2 ) dt
t t
1
p
3

1

e) ò cos 3 xdx +

d) ò (3s - 2 s ) ds

0

0

3p
2

ò

p
2

c) ò (2 cos x - sin 2 x ) dx
0

3

cos 3 xdx

p
3

g) ị x 2 - x - 2 dx
0

8. Tính các tích phân sa u bằng phương phá p đổi biến số:
ln 2

2

a) ò x(1 - x)5 dx

b)

d) ò

-1

2x +1
x + x +1
2

2

dx

1

g) ò x + 1dx
0

1+ x
1
dx ( HD : t = )
4
x
x

2

e) ò
1

p
2

tan x
h) ò
dx
cos 2 x
0
3

1

4x
5x
k) ò
dx
dx
2
2
( x + 4)
x2 + 1
0
0
9. Áp dụng phương phá p tích phân từ ng phầ n tính:
j) ị

p
2

a) ị x cos 2 xdx

ln 2

b)

0

3

d) ò [ln( x - 1) - ln( x + 1)]dx
2
2

g) ò x 5 ln xdx
1

ò

xe-2 x dx

0

2

1 x+ 1

e) ò (1 + x - )e x dx
x
1
2
1

h) ò ( x + 1)e x dx

www32.websamba.com/toan30ctu

0

9

c) ò x 3 1 - xdx
1

0

1

1

ò

e x - 1dx

p

x sin x

dx
1 + cos 2 x
0

f) ò
1

i) ò t 3 (1 + t 4 )3 dt
0
p
6

l) ò (1 - cos 3 x)sin 3xdx
0

1

c) ò ln(2 x + 1) dx
0

p
2

f) ò x cos x sin 2 xdx
0

p

i) ò e x cos xdx
0

5


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
3.1 Diện tích hình phẳ ng
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường
b
thẳng x = a , x = b được tính theo cơng thức: S = f ( x) dx
a

ị

y = f ( x)

c1
x=b

x=a

Chú ý: để tính được diện tích trên, ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Cụ
thể, như hình trên ta có: S =

c1

ị

f ( x) dx +

a

b

ị f ( x)dx

c1

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và giới hạn bởi
b

hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo cơng thức:

S = ị f1(x)- f2(x) dx
a

f1 ( x)

f2 ( x)
c1
c2
c3
x=a
x=b
Chú ý: Ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân. Cụ thể, đầu tiên ta giải phương
trình f1 ( x) - f 2 ( x) = 0 . Giả sử ta tìm được các nghiệm của nó là: c1 , c2 , c3 và thỏa
a < c1 < c2 < c3 < b ( loại những nghiệm không thỏa điều kiện này). Khi đó:
b

c1

c2

c3

cb

a

a

c1

c2

c3

S = ị f1(x) - f2(x) dx = ò[ f1(x) - f2(x)]dx + ò[ f1(x) - f2(x)]dx + ò[ f1(x) - f2 (x)]dx + ò[ f1(x) - f2(x)]dx

www32.websamba.com/toan30ctu

6


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

3.2 Thể tích vật thể
Một vật thể v được giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục hồnh tại hai điểm có hồnh độ
x = a, x = b , (a £ b ) . S ( x) là diện tích thiết diện của hình V. Khi đó ta có:

b

V = ị S ( x)dx
a

3.3 Thể tích khối trịn xoay
Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục Ox và hai
đường thẳng x = a , x = b quay quanh trục Ox được tính bởi cơng thức:
b

Vx = p ị [ f ( x)]2 dx
a

Nếu đổi vai trò của x và y cho nhau (tức là quay xung quanh Oy) ta có:
d

Vy = p ị [ g ( y)]2 dx
c

Bài tập
10 . Tính diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi cá c đường sau:
a) y = 2 x - x 2 , x + y = 2
d) y =

1
1
,y=
2
1+ x
2

b) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1

c) y = x3 - 12 x, y = x 2

e) y = x3 - 1 và tiếp tuyến với y = x3 - 1 tại điểm (-1;-2)

f) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x + 1 , trục hoành và hai đường thẳng
7p
x=0 và x =
.
6
g) Đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = p
h) Đồ thị hàm số y = x và

y=3 x

i) Đồ thị hàm số y = 2 x 2 và y = x 4 - 2 x2 trong miền x ³ 0
j) Đồ thị hàm số y = x 2 - 4, y = - x 2 - 2 x và hai đường thẳng x = 3, x = -2
k) Đồ thị hàm số y = x 2 - 4 và y = - x 2 - 2 x
l) Đồ thị hàm số y = x3 - 4 x , trục hoành, đường thẳng x=-2 và đường thẳng x=4
11 . Tính thể tích của vậ t thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và x = 1 . Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là
một hình vng.
b) Có đáy là một hình trịn giới hạn bởi x 2 + y 2 = 1. Mỗi thiết diện vng góc với trục Ox là một
hình vng.
www32.websamba.com/toan30ctu

7

Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng
12 . Tính thể tích khối trịn xo ay khi qua y hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 - x 2 , y = 1 ,quanh trục Ox

b) y = 2 x - x 2 , y = x ,quanh trục Ox

1

c) y = (2 x + 1) 3 , x = 0, y = 3 , quanh trục Oy . d) y = ln x, y = 0, x = e quanh trục Oy
e) y = x 2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x 2 + 1 tại điểm (1;2), quanh trục Ox

Bài Tập Tổng Hợp
13 . Tính các ngun hàm sau:
a) ị (2x - 3) x -3dx(HD : u = x - 3) b) ị
dx
sin x - sin a
14 . Tích các tích phân sau:

d) ò
1

a) ò ( y - 1) 2 ydy( hd : t = y )
0

1

3
2

1
2

c) ò t (t + 1) dt ,(hd : u = t )
0

p
2

f) ò x 2 sin 2 xdx
0

xdx

, (hd : u = x + 1) c) ò
3
2

(1 + x 2 ) 2

e) ò x sin xdx(hd : t = x )
2

e x dx
( hd : u = e2 x + 1)
-x
x
e +e

g) ò x ln

x
dx
1+ x

2

b) ò ( z 2 + 1)( z - 1) 3 dz (hd : u = 3 z - 1
1

p
2

d) ò (cos5 j - sin 5 j )dj
0

2

g) ò x(2 x 2 + 1) dx
1

p

e) ò cos3 a cos 3a da
0

3

h) ò ( x - 1)e x

2

-2 x

dx

2

15 . Tính diện tích các hình phẳng giới hạ n bởi các đường sau:
a) y = x - 1 +

ln x
, y = x - 1 và x = e
x

1
b) y = x 3 - x 2 , y = ( x - 1)
9

c) y = 1 - 1 - x 2 , y = x 2

d) Đồ thị hàm số y = 4 - x 2 , y = - x + 2
e) Các đường cong có phương trình x = 4 - 4 y 2 , y = 1 - y 4
16 . Tính diện tích hình phẳ ng giới hạn bởi:
a) Parabol y = x 2 - 2 x + 2 tiếp tuyến của nó tại điểm M(3;5) và trục tung.
b) Parabol y = - x 2 + 4 x - 3 và tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0;3);
17 . Tính thể tích các khối trị n xoay tạ o thà nh khi qua nh hình phẳ ng xá c định bởi:
2

2

a) y = x 3 , x = 0 và tiếp tuyến với đường y = x 3 tại điểm có hồnh độ x=1, quanh Oy.
b) y =

1
- 1, y = 0, y = 2 x quanh Ox
x

c) y = 2 x - x 2 , y = 0, x = 3 quanh trục Ox; quanh trục Oy.

www32.websamba.com/toan30ctu

8


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng
d) Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=-1 và x=1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x ( -1 £ x £ 1 ) là một hình vng cạnh
2 1 - x2
e) Thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x = p , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi
mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x (0 £ x £ p ) là một tam giác đều cạnh là
2 sin x
f) Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y=0, x=4 và y = x - 1 . Tính thể tích của khối trịn xoay
tạo thành khi quay hình A quanh trục hồnh.
g) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x =

2
, y = 1, y = 4 . Tính thể tích của khối trịn xoay khi
y

quay hình B quanh trục tung.
h) Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 5 y 2 , x = 0, y = -1, y = 1 . Tính thể tích khối trịn xoay
tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Bài Tập Nâng Cao
Tính các tích phân sau:
p
2

sin x
dx
(sin x + cos x) 3
0

1) I = ũ
p
2

x
ổ
ử
4) I = ũ ỗ 2 cos 2 + x cos x ÷esin x dx
2
ø
0è
2

7) I = ị
1

p
2

p
2

ỉ 1 + sin x ử x
2) I = ũ ỗ
ữ e dx
1 + cos x ø
0è

sin xdx
3
0 (sin x + 3.cos x )

3) I = ị

1
é 1
ù
1
( x - x3 ) 3
ex
ỉ x
ửỳ
5) I = ũ ờ 2 + x ỗ
+ 2 tan x ÷ dx 6) I = ị
dx
2

ê
x4
è cos x
øú
3p x
1
ê
ú
û
4 ë
3

p

p
2

1

sin 2 xdx
1 + cos 4 x
0

dx

8) I = ò

x 1 + x3
1

x3
dx
(1 + x 2 )3
0

10) I = ò

p
3

11) I = ò
p
4

tan x
cos x. 1 + cos 2 x

9) I = ò -3 x2 + 6 x + 1dx
0
p
2

dx

cos3 x
dx
cos 4 x - 3cos 2 x + 3
0

12) I = ò

p
p

2
cos 2 x
sin 2 x
13) Cho biết I = ò
dx và J = ò
dx
2 cos x + 3sin x
2 cos x + 3sin x
0
0
a) Hãy tính 9I-4J và I+J
b) Từ đó suy ra kết quả I, J

www32.websamba.com/toan30ctu

9


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN THIẾT
1. Công thức lượng giác cơ bản nên nh ớ
sin 2 a + cos 2 a = 1
1
p
1 + tan 2 a =

, a ¹ + kp , k ẻ Â
2
cos a
2
1
1 + cot 2 a =
, a ạ kp , k ẻ Â
sin 2 a
p
tan a .cot a = 1, a ạ k , k ẻ Â
2

sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a )(1 - sin a cos a )
sin3 a - cos 3 a = (sin a - cos a )(1 + sin a cos a )
sin 4 a + cos 4 a = 1 - 2sin 2 a cos 2 a
sin 4 a - cos 4 a = sin 2 a - cos 2 a = - cos 2a
sin 6 a + cos6 a = 1 - 3sin 2 a cos 2 a
sin 6 a - cos6 a = - cos 2a (1 - sin 2 a cos 2 a )

2. Giá trị lượ ng giác c ủa cung có liên q uan đặc biệt
Cung đối nhau: a và -a
cos( -a ) = cos a

Cung hơn kém p : a và p - a

p
-a
2

ổp

ử
sin ỗ - a ữ = cos a
ố2
ứ
ổp
ử
cos ç - a ÷ = sin a
è2
ø
ỉp
ư
tan ç - a ữ = cot a
ố2
ứ
ổp
ử
cot ỗ - a ữ = tan a
2
è
ø

sin(p - a ) = sin a

sin(a + p ) = - sin a

cos(p - a ) = - cos a
tan(p - a ) = - tan a
cot(p - a ) = - cot a

sin(-a ) = - sin a

tan( -a ) = - tan a
cot(-a ) = - cot a

Cung phụ nhau: a và

Cung bù nhau: a và p - a

cos(a + p ) = - cos a
tan(a + p ) = tan a
cot(a + p ) = cot a

Cung hn kộm

p
p
: a v a +
2
2

pử
ổ
sin ỗ a + ữ = cos a
2ứ
ố
pử
ổ
cos ỗ a + ữ = - sin a
2ứ
ố
pử

ổ
tan ỗ a + ữ = - cot a
2ứ
ố
pử
ổ
cot ç a + ÷ = - tan a
2ø
è

3. Cơng thức lượng giác
Công thức cộng
cos( a - b) = cos a cos b + sin a sin b
cos( a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
tan a - tan b
tan( a - b) =
1 + tan a tan b
tan a + tan b
tan( a + b) =
1 - tan a tan b
www32.websamba.com/toan30ctu

Công thức nhân đôi, nhân ba
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1 - 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1 - tan 2 a

sin 3a = 3sin a - 4sin 3 a
cos 3a = 4cos3 a - 3cos a
tan 3a =

3 tan a - tan 3 a
1 - 3tan 2 a
10


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng
Cơng thức hạ bậc

Cơng thức biến tích thành tổng
1
[cos(a - b) + cos(a + b)]
2
1
sin a sin b = [cos(a - b) - cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin( a - b) + sin( a + b)]
2
cos a cos b =

1 + cos 2a
3cos a + cos 3a
cos 2 a =
; cos3 a =
2
4

1 - cos 2a
3sin a - sin 3a
sin 2 a =
; sin 3 a =
2
4
1 - cos 2a
tan 2 a =
1 + cos 2a
Công thức biến đổi tổng thành tích

p
sin a + cos a = 2 sin(a + )
4
p
= 2 cos(a - )
4
p
sin a - cos a = 2 sin(a - )
4
p
= - 2 cos(a + )
4

a+b
a -b
cos
2
2
a+b

a -b
cos a - cos b = -2sin
sin
2
2
a +b
a -b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
a +b
a -b
sin a - sin b = 2 cos
sin
2
2
cos a + cos b = 2cos

BẢNG ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
( xa ) ' = a xa -1

(ua )' = a u a -1.u '
'

'

1
ổ1ử
ỗ ữ =- 2

x
ốxứ

1
ổ1ử
ỗ ữ =- 2
u
ốu ứ

(C ) ' = 0 (C là hằng số)

(ku ) ' = k .u ' (k là hằng số)

(sin x) ' = cos x
(cos x) ' = - sin x
1
(tan x) ' =
cos 2 x
1
(cot x) ' = - 2 = -(1 + cot 2 x)
sin x

( x ) = 21x
'

(sin u ) ' = cos u . u '
(cos u ) ' = - sin x . u '
1
(tan u ) ' =
.u '

cos 2 u
1
(cot u ) ' = - 2 . u ' = -(1 + cot 2 u ).u '
sin u

(ln | x |) ' =

1
x

(log a | x |) ' =

( u ) = 2 1u .u '
'

1
(ln | u |) ' = .u '
u
1
x ln a

(e x ) ' = e x , ( a x ) ' = a x ln a
www32.websamba.com/toan30ctu

(log a | u |) ' =

1
.u '
u ln a

(eu ) ' = eu .u ' , ( a u ) ' = a u ln a.u '
11


Tóm tắt lý thuyết-Bài tập-Ngun hàm-Tích phân-Ứng dụng

BẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
(u + v + w) ' = u '+ v '+ w '

(au ) ' = a.u ' (a là hằng số)

(uv) ' = u ' v + uv '

u
u ' v - uv '
( )' =
v
v2
f ( x0 ) ' = lim
x ® x0

f ( x) - f ( x0 )
x - x0

(Tính đạo hàm theo định nghĩa)
f ( x0 + Dx) » f ( x0 ) + f '( x0 ) Dx0
(Cơng thức tính vi phân)

MỘT VÀI CƠNG THỨC NGUN HÀM MỞ RỘNG
1)

2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)

1

ị ax + b dx = ln | ax + b | +C
1 (ax + b)a +1
+ C (a ¹ -1, a ¹ 0)
a (a + 1)
x
1
1
ò x 2 + a 2 dx = a arctan a + C
1 ax + b
ax + b
ò e dx = a e + C
1
a x+ b
a x+ b
ò a dx = a ln a a + C (0 < a ¹ 1)
1
ị cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
1
ò sin(ax + b)dx = - a cos(ax + b) + C

1
1
2
ò [1 + tan (ax + b)]dx = ò cos2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C
1
1
2
ò [1 + cot (ax + b)]dx = ò sin 2 (ax + b) dx = - a cot(ax + b) + C
a
ò (ax + b) dx =

10)

òx

11)

ò

1
1
x-a
dx =
ln
+ C ( a > 0)
2
-a
2a x + a
1
x

dx = arcsin + C ( a > 0)
a
a 2 - x2

2

www32.websamba.com/toan30ctu

12