KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH VẬT LÝ " PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP ĐIỆN ĐỘNG LỰC VĨ MÔ " pptx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ
---

LÊ THỊ MỸ DUYÊN
LỚP: DH5L

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÀNH VẬT LÝ

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TẬP ĐIỆN ĐỘNG LỰC VĨ MÔ

Giảng viên hướng dẫn:

Th.S VŨ TIẾN DŨNG

Long Xuyên, Tháng 5 năm 2008


Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường Đại Học An Giang, Ban chủ
nhiệm Khoa Sư Phạm và các giáo viên trong Tổ Bộ Môn Vật Lý đã tạo điều kiện để
tơi được làm khóa luận.
Đặc biệt, tơi xin cảm ơn giáo viên Th.s Vũ Tiến Dũng đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn
để tơi có thể hồn thành khóa luận.
Ngồi ra, tơi xin cảm ơn những người bạn, người thân đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian tơi làm khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong q
thầy cơ cùng các bạn đọc nhận xét, góp ý thêm.

Phần một: Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
Bài tập vật lý có vai trị đặc biệt quan trọng trong quá trình nhận thức và phát
triển năng lực tư duy của người học, giúp cho người học ôn tập đào sâu mở rộng kiến
thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng vật lý vào thực tiễn, góp phần phát triển tư
duy sáng tạo. Vì vậy, phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập vật lý là việc làm
rất quan trọng và cần thiết đối với sinh viên sư phạm.
Vật lý học hình thành bằng con đường thực nghiệm nên tính chất cơ bản của nó
là thực nghiệm. Và để biểu diễn các quy luật vật lý, trình bày nó một cách chính xác,
chặt chẽ trong những quan hệ định lượng phải dùng phương pháp toán học. Vật lý lý
thuyết là sự kết hợp giữa phương pháp thực nghiệm và tốn học. Như vậy, vật lý lý
thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Điện động lực học là một môn
học của vật lý lý thuyết, nên cũng có những đặc điểm đó. Điện động lực vĩ mô
nghiên cứu và biểu diễn những quy luật tổng quát nhất của trường điện từ và tương
quan của nó với nguồn gây ra trường.
Sau khi học xong học phần Điện động lực, tôi cảm thấy đây là môn học tương
đối khó. Ngun nhân, đây là mơn học mới, có nhiều hiện tượng, khái niệm, định
luật,… mới. Ngồi ra, muốn làm được bài tập Điện động lực, chúng ta phải biết được
quy luật, bản chất vật lý và phải biết sử dụng phương pháp tốn học (phương trình,
hàm số, phép tính vi tích phân, các tốn tử, phương pháp gần đúng,…). Trong khi
vốn kiến thức về tốn học thì hạn chế. Nên việc tìm ra một phương pháp giải cho bài
tập Điện động lực là khó khăn.
Với mục đích tìm hiểu sự tương ứng giữa những hiện tượng vật lý có tính quy
luật (được biểu diễn dưới dạng những bài tập) với những mơ hình tốn học cụ thể, để
qua đó xây dựng khả năng đốn nhận ý nghĩa vật lý của các mơ hình tốn học trong
Điện động lực học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung mà tôi đã chọn đề tài:
”Phân loại và phương pháp giải bài tập Điện động lực học vĩ mô”.

II. Đối tượng nghiên cứu
Hệ thống các bài tập Điện động lực vĩ mơ và các mơ hình tồn học tương ứng

với các mức độ nhận thức.

III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
1. Mục đích nghiên cứu
• Trang bị cho bản thân nội dung lý thuyết về quy luật nhận thức.
• Phân loại bài tập dựa theo mức độ nhận thức.
• Tìm phương pháp giải cho các loại bài tập.
• Soi sáng nội dung lý thuyết, áp dụng thực tế.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu các quy luật của q trình nhận thức và mức độ nhận thức.
• Sưu tầm hệ thống bài tập liên quan nội dung lý thuyết được học.
• Xác định nội dung lý thuyết tương ứng với các mức độ nhận thức.

1


• Xây dựng các tiêu chí để phân loại bài tập.
• Đưa ra phương pháp giải chung và áp dụng phương pháp chung cho một số
bài tập.
• Một số bài tập đề nghị.

IV. Phạm vi nghiên cứu
Hệ thống các bài tập thuộc ba chương (Trường tĩnh điện, Trường tĩnh từ,
Trường chuẩn dừng) của Điện động lực vĩ mô thuộc học phần Điện động lực học.

V. Giả thuyết khoa học
Căn cứ vào mức độ nhận thức, nếu phân loại và đề ra phương pháp giải bài tập
Điện động lực học phù hợp với chương trình đào tạo giáo viên trung học phổ thơng
thì giúp nâng cao được chất lượng học tập của sinh viên.

VI. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp đọc sách và nghiên cứu tài liệu.
2. Phương pháp lấy ý kiến của chuyên gia.
3. Phương pháp gần đúng.
4. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.

VII. Đóng góp của đề tài
•

Xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ nhận thức phần Điện động lực vĩ mơ.

• Làm tài liệu tham khảo cho sinh viên đặc biệt là sinh viên ngành vật lý. Nhằm
nâng cao chất lượng học tập học phần Điện động lực học của sinh viên.

VIII. Cấu trúc khóa luận
Phần I: Mở đầu.
I. Lý do chọn đề tài.
II. Đối tượng nghiên cứu.
III. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
IV. Phạm vi nghiên cứu.
V. Giả thuyết khoa học.
VI. Phương pháp nghiên cứu.
VII. Đóng góp của đề tài.
VIII. Cấu trúc khóa luận.
IX. Kế hoạch nghiên cứu.
Phần II: Nội dung.
Chương I: Cơ sở lý luận của đề tài.
Chương II: Phân loại phương pháp giải.
Phần III: Kết luận.

2


IX. Kế hoạch nghiên cứu
•

7- 12/10/2007: Lựa chọn đề tài và nhận nhiệm vụ từ giảng viên hướng dẫn.

•

13- 20/10/2007: Sưu tầm tài liệu cho đề tài.

•

21- 26/10/2007: Xây dựng tiêu chí để phân loại bài tập.

•

27/10- 2/11/2007: Xây dựng đề cương chi tiết.

•

3- 16/11/2007: Hồn thành đề cương chi tiết.

•

17/11/2007-5/5/2008: Hồn thành khóa luận.

3

Phần hai: Nội dung
Chương I Cơ sở lý luận của đề tài
1. Lý luận về hoạt động nhận thức
1.1. Khái niệm hoạt động nhận thức
Hoạt động nhận thức là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan và bản
thân con người thông qua các giác quan và dựa trên kinh nghiệm hiểu biết của bản
thân.
Việc nhận thức thế giới có thể đạt những mức độ khác nhau: từ đơn giản đến
phức tạp, từ thấp đến cao. Vì thế, hoạt động nhận thức chia thành: nhận thức cảm
tính và nhận thức lý tính.
1.2. Nhận thức cảm tính: là mức độ nhận thức đầu tiên, thấp nhất của con
người. Trong đó con người phản ánh những thuộc tính bên ngồi, những cái đang
trực tiếp tác động đến giác quan của họ. Nhận thức cảm tính bao gồm: cảm giác và
tri giác.
• Cảm giác: là q trình nhận thức phản ánh từng thuộc tính riêng lẻ, bề ngồi
của sự vật, hiện tượng và trạng thái bên trong của cơ thể khi chúng đang trực tiếp tác
động vào giác quan của ta.
• Tri giác: là quá trình nhận thức phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính của
sự vật, hiện tượng khi chúng trực tiếp tác động vào các giác quan của ta.
1.3. Nhận thức lý tính: là mức độ nhận thức cao ở con người, trong đó con
người phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có tính quy luật của
hiện thực khách quan một cách gián tiếp. Nhận thức lý tính bao gồm: tư duy và
tưởng tượng.
• Tư duy: tư duy là một q trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
• Tưởng tượng: là một quá trình nhận thức phản ánh những cái chưa từng có
trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng hình ảnh mới trên cơ sở những
biểu tượng đã có.

2. Lý luận về bài tập vật lý
2.1. Khái niệm bài tập vật lý
Bài tập vật lý là một vấn đề đặt ra đòi hỏi người học phải giải quyết nhờ những
suy luận logic, những phép tính tốn và những thí nghiệm dựa trên cơ sở các định
luật và các phương pháp vật lý.
2.2 Tác dụng của bài tập vật lý
• Bài tập vật lý giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
• Bài tập vật lý là điểm khởi đầu để dẫn tới kiến thức mới.
• Giải bài tập vật lý có tác dụng rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết
vào thực tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái qt.
• Giải bài tập vật lý có tác dụng rèn luyện cho người học làm việc tự lực.

4


• Giải bài tập vật lý có tác dụng phát triển tư duy sáng tạo của người học.
• Giải bài tập vật lý có tác dụng kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của người
học.
3. Lý luận về phân loại bài tập vật lý
Có nhiều kiểu phân loại bài tập vật lý: phân loại theo mục đích, phân loại theo
nội dung, phân loại theo cách giải, phân loại theo mức độ nhận thức…Tùy theo mục
đích sử dụng mà ta chọn cách phân loại phù hợp.
Phân loại theo nội dung: có thể phân ra làm 4 loại.
o Phân loại theo phân môn vật lý: chia các bài tập theo các đề tài của tài liệu
vật lý. Bài tập về cơ học, bài tập về nhiệt học, bài tập về điện học,… Sự phân chia có
tính quy ước.
o Phân loại theo tính chất trừu tượng hay cụ thể của nội dung bài tập. Nét đặc
trưng của những bài tập trừu tượng là nó tập trung làm nổi bản chất vật lý của vấn đề
cần giải quyết, bỏ qua những yếu tố phụ khơng cần thiết. Những bài tốn như vậy dễ
dàng giúp người học nhận ra là cần phải sử dụng cơng thức hay định luật hay kiến

thức vật lý gì để giải. Các bài tập có nội dung cụ thể, là nó gắn với cuộc sống thực tế
và có tính trực quan cao. Khi giải các bài tập vật lý này người học nhận ra tính chất
vật lý của hiện tượng qua phân tích hiện tượng thực tế, cụ thể của bài tốn.
o Phân loại theo tính chất kỹ thuật: đó là các bài tốn có nội dung chứa đựng
các tài liệu về sản xuất công nghiệp, nông nghiệp, về giao thông, vận tải, thông tin
liên lạc…
o Phân loại theo tính chất lịch sử: đó là những bài tập chứa đựng những kiến
thức có đặc điểm lịch sử: những dữ liệu về các thí nghiệm vật lý cổ điển, về những
phát minh, sáng chế hoặc về những câu chuyện có tính chất lịch sử.
Phân loại theo cách giải: có thể phân ra làm 4 loại.
o Bài tập câu hỏi (bài tập định tính): là loại bài tập mà việc giải khơng địi hỏi
phải làm một phép tính nào hoặc chỉ phải làm những phép tính đơn giản có thể tính
nhẩm được. Muốn giải bài tập này phải dựa vào những khái niệm, những định luật
vật lý đã học, xây dựng những suy luận logic, để xác lập mối liên hệ phụ thuộc về
bản chất giữa các đại lượng vật lý.
o Bài tập tính tốn (bài tập định lượng): là loại bài tập mà việc giải đòi hỏi
phải thực hiện một loạt các phép tính. Được phân làm hai loại: bài tập tập dượt và bài
tập tổng hợp.Bài tập tập dượt là loại bài tập tính tốn đơn giản, muốn giải chỉ cần vận
dụng một vài định luật, một vài công thức. Loại này giúp củng cố các khái niệm vừa
học, hiểu kỷ hơn các định luật các công thức và cách sử dụng chúng, rèn luyện kỹ
năng sử dụng các đơn vị vật lý và chuẩn bị cho việc giải các bài tập phức tạp hơn.
Bài tập tổng hợp là loại bài tập tính tốn phức tạp, muốn giải phải vận dụng nhiều
khái niệm, nhiều cơng thức có khi thuộc nhiều bài, nhiếu phần khác nhau của chương
trình. Loại bài tập này có tác dung đặc biệt trong việc mở rông, đào sâu kiến thức
giữa các thành phần khác nhau của chương trình và bài tập này giúp cho người học
biết tự mình lựa chọn những định luật, nhiều cơng thức đã học.
o Bài tập thí nghiệm: là những bài tập địi hỏi phải làm thí nghiệm mới giải
được bài tập. Những thí nghiệm mà bài tập này địi hỏi phải tiến hành được ở phịng
thí nghiệm hoặc ở nhà với những dụng cụ thí nghiệm đơn giản mà người học có thể

5


tự làm, tự chế. Muốn giải phải biết cách tiến hành thí nghiệm và biết vận dụng các
cơng thức cần thiết để tím ra kết quả. Loại bài tập này kết hợp được cả tác dụng của
các loại bài tập vật lý nói chung và các loại bài thí nghiệm thực hành. Có tác dụng
tăng cường tính tự lực của người học.
o Bài tập đồ thị: là loại bài tập trong đó các số liệu được dùng làm dữ liệu để
giải, phải tìm trong các đồ thị cho trước hoặc ngược lại, địi hỏi người học phải biểu
diễn q trình diễn biến của hiện tượng nêu trong bài tập bằng đồ thị.
Phân loại theo mức độ nhận thức: dựa vào thang đo nhận thức Bloom, ta có
thể phân loại bài tập theo các mức độ:
o Bài tập vận dụng, tái hiện tái tạo: là khả năng ghi nhớ và nhận diện thông
tin.
o Bài tập hiểu áp dụng: là khả năng hiểu, diễn dịch, diễn giải, giải thích hoặc
suy diễn.
o Bài tập vận dụng linh hoạt: là khả năng sử dụng thông tin và kiến thức từ
một sự việc này sang sự việc khác.
o Bài tập phân tích, tổng hợp: phân tích là khả năng nhận biết chi tiết, phát
hiện và phân biệt các bộ phận cấu thành của thông tin hay tình huống; tổng hợp là
khả năng hợp nhất nhiều thành phần để tạo thành vật lớn, khả năng khái quát.
o Bài tập đánh giá: là khả năng phán xét giá trị hoặc sử dụng thơng tin theo
các tiêu chí thích hợp.
4. Lý luận về phương pháp giải bài tập vật lý
4.1 Phương pháp giải bài tập vậy lý
Xét về tính chất của các thao tác tư duy khi giải các bài tập vật lý, người ta
thường dùng phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp.
• Giải bài tập bằng phương pháp phân tích
Theo phương pháp này xuất phát điểm của suy luận là đại lượng cần tìm.
Người giải phải tìm xem đại lượng chưa biết có liên quan gì với những đại lượng vật

lý nào, và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương
ứng. Nếu một vế của công thức là đại lượng cần tìm cịn vế kia chỉ gồm những dữ
kiện của bài tập thì cơng thức ấy cho ta đáp số của bài tập. Nếu trong công thức cịn
những đại lượng khác chưa biết thì đối với mỗi đại lượng, cần tìm một biểu thức liên
hệ nó với các đại lượng vật lý khác, cứ làm như thế cho đến khi nào biểu diễn được
hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải
xong. Như vậy theo phương pháp này ta có thể phân tích một bài tốn phức tạp thành
những bài toán đơn giản hơn rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lượt giải
các bài tập đơn giản này, từ đó tìm ra lời giải của bài tập phức tạp trên.
• Giải bài tập bằng phương pháp tổng hợp
Theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà bắt đầu
từ các đại lượng đã biết, có nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các đại lượng
này với các đại lượng chưa biết, ta đi dần tới công thức cuối cùng, trong đó chỉ có
một đại lượng chưa biết là đại lượng cần tìm.
Nhìn chung giải bài tập vật lý ta phải dùng chung hai phương pháp phân tích và
tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để hiểu đề bài,

6


phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra lại mức độ đúng đắn của các sự phân
tích ấy. Muốn lập được kế hoạch giải phải đi sâu phân tích nội dung vật lý của bài
tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy luật vật lý đã biết, ta mới xây
dựng được lời giải và kết quả cuối cùng. Vậy ta đã dùng phương pháp phân tích và
tổng hợp.
4.2 Trình tự giải bài tập vật lý
• Bước 1: Tìm hiểu đề bài
- Đọc, ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và các vần đề phải tìm.
- Mơ tả lại tình huống đã nêu trong đề bài, vẽ hình minh họa.
- Nếu đề bài cần thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu được các dữ

liệu cần thiết.
• Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và các cái
phải tìm.
- Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất vật lý của
những tình huống đã cho để nghĩ đến các kiến thức, các định luật, các công thức có
liên quan.
- Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể các dữ liệu xuất phát và các vấn đề
phải tìm.
- Tìm kiếm lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy được mối
liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra vấn đề cần tìm.
• Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm
Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính tốn để rút ra kết
quả cần tìm.
• Bước 4: Kiểm tra, xác nhận kết quả để có thể xác lập kết quả cần tìm, cần kiểm
tra lại việc giải theo một hoặc một số cách sau:
- Kiểm tra xem đã tính tốn đúng chưa.
- Kiểm tra xem thứ ngun có phù hợp khơng.
- Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp khơng.
- Giải bài tốn theo cách khác xem có cho cùng kết quả khơng.
4.3 Lựa chọn bài tập vật lý
Lựa chọn một hệ thống bài tập thỏa mãn các yêu cầu sau:
• Các bài tập phải từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học nắm
được phương pháp giải các bài tập điển hình.
• Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập. Bài tập giả tạo và bài tập
có nội dung thực tế, bài tập luyện tập, bài tập sáng tạo, bài tập thừa hoặc thiếu dữ
kiện, bài tập có tính chầt ngụy biện và nghịch lý, bài tập có nhiều cách giải khác
nhau, bài tập có nhiều lời giải tùy thuộc những điều kiện cụ thể của bài tập.
• Lựa chọn chuẩn bị các bài tập nêu vấn đề để sử dụng trong tiết dạy nghiên cứu
tài liệu mới nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy của người học.

7


• Lựa chọn những bài tập nhằm củng cố, bổ sung, hoàn thiện những kiến thức cụ
thể đã học, cung cấp cho học sinh những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan
với kiến thức lý thuyết.
• Lựa chọn, chuẩn bị các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận
dụng kiến thức đã học để giải những loại tốn cơ bản, hình thành phương pháp chung
để giải các bài tập đó.
5. Tóm tắt nội dung lý thuyết
5.1. Trường điện từ
Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật chất. Nó có tính hai mặt là liên tục
dưới dạng sóng và gián đoạn dưới dạng lượng tử (hạt photon). Trường điện từ thể
hiện sự tồn tại và vận động qua tương tác với các hạt mang điện đứng yên hay chuyển
động những lực phụ thuộc khoảng cách và vận tốc của chúng.
Tính liên tục của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc sóng. Trong chân không
trường điện từ lan truyền với vận tốc không đổi độc lập với tần số của trường và có
giá trị bằng vận truyền của ánh sáng trong chân khơng.
Tính gián đoạn của trường điện từ thể hiện ở cấu trúc lượng tử (hay hạt).
Trường điện từ có tính hai mặt là sóng và hạt đồng thời, nhưng tùy thuộc phạm
vi khơng gian khảo sát nghiên cứu nó mà đặc tính này hay đặc tính kia thể hiện rõ rệt
hơn. Trong phạm vi vĩ mơ thì trường điện từ thể hiện đặc tính sóng là chính. Cịn
trong phạm vi vi mơ đặc tính hạt của trường điện từ lại nổi trội.
Trường điện từ biểu hiện rõ ở hai dạng là điện trường và từ trường khác nhau
nhưng liên quan chặt chẽ với nhau. Điện trường biến đổi sinh ra từ trường và ngược
lại từ trường biến đổi sinh ra điện trường.
5.2. Tính chất của trường điện từ
Trường điện từ là trường vectơ và có thể biểu diễn qua các đường sức của
trường.
Trường điện từ mang năng lượng.

5.3. Nguồn của trường điện từ: là điện tích và dịng điện được đặc trưng bởi
đại lượng: điện tích Q hoặc mật độ điện tích ρ, dịng điện I hoặc mật độ dịng điện J .
5.4. Các đại lượng vật lý đặc trưng cho trường điện từ
5.4.1. Vectơ cường độ điện trường E
Trường do các điện tích đứng n hoặc chuyển động (dịng điện) sinh ra. Để
đặc trưng cho trường điện từ về dạng trường, người ta dùng đại lượng vật lí là: vectơ
cường độ điện trường E . Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích
đặc trong trường theo biểu thức:

F = q E (1)
F là lực tác dụng của điện trường có cường độ E lên điện tích q đặt trong trường tại
một điểm nào đó, q là điện tích thử.

Nếu điện tích thử là dương và có giá trị bằng một đơn vị điện tích (q=1C) thì:

8


E=

F
=F
q

Cường độ điện trường E tại một điểm nào đó là một đại lượng vectơ có trị số bằng
lực tác dụng lên một điện tích dương đặt ở điểm đã cho.
Từ biểu thức (1) và định luật Coulomb ta xác định được cường độ điện trường
E do điện tích điểm Q tạo ra:
E=

Q ro
F
=
q 4πε o r 2

Quy ước: Điện tích Q là dương thì đường sức của điện trường E của nó sẽ
hướng theo bán kính vectơ đơn vị ro từ điểm đặt nguồn ra ngồi, cịn khi Q âm thì
hướng của E sẽ đổi chiều ngược lại.
Trong chân khơng hay khơng khí, có N điện tích điểm riêng rẽ, thì theo ngun
lí chồng chất điện trường:
N

1

k =1

4πε o

E = ∑ Ek =

N

Qk

∑r
k =1

rok .

k

Điện trường do các dây, mặt và thể tích tích điện được tính:

El =
ES =
EV =

1
4πε o

1
4πε o
1
4πε o

∫
l

∫
S

∫

V

ρ l dl
r2

ro

ρ S dS
r2

ρV dV
r2

ro
ro

5.4.2. Vectơ cảm ứng điện D

Trong chân không vectơ cường độ điện trường E đủ để mô tả trạng thái của
điện trường. Nhưng trong các môi trường vật chất ảnh hưởng của chúng đối với điện
trường cần phải được tính đến. Do vậy ngoài vectơ cường độ điện trường người ta
r
đưa vào vectơ điện cảm hay cảm ứng điện D
Nếu điện trường tồn tại trong mơi trường vật chất thì dưới tác dụng của trường
sẽ xảy ra hai hiện tượng:
- Sự xê dịch các điện tích liên kết trong phạm vi phân tử và nguyên tử hay
mạng tinh thể vật chất.
- Sự chuyển động có hướng của các điện tích tự do.

r
Điện trường trong điện môi được đặc trưng bởi vectơ điện cảm D có dạng :
r
r
r
D = ε o ε / E = εE

9

Với: ε = ε o ε / là độ thẩm tuyệt đối hay hằng số điện môi tuyệt đối của môi trường.

ε / là độ điện thẩm tương đối của môi trường.
r

εE là vectơ điện cảm trong chân không hoặc trong khơng khí.
5.4.3. Vectơ cảm ứng từ B

Từ trường được tạo ra bởi các điện tích chuyển động hay dịng điện. Từ trường
r
được đặc trưng bởi đại lượng vật lý và vectơ từ cảm hay cảm ứng từ B . Vectơ từ
r
cảm B đặc trưng cho tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển động hay dịng
điện theo định lực Loren sau:

[ ]

F = q v× B

Trong đó: v là vectơ vận tốc chuyển động của điện tích q trong từ trường có vectơ từ
r
cảm B .
r
F là lực tác dụng của từ trường lên điện tích có hướng vng góc với các
r
đường sức từ trường B và vectơ vận tốc v .
Nếu có một đơn vị điện tích (q =1c) dương chuyển động vng góc với đường
r

r
sức từ trường B với vận tốc v =1 m/s thì giá trị của vectơ từ cảm B bằng độ lớn của
r
r r
từ lực F tác dụng lên điện tích này. Chiều của 3 vectơ F , B , v được xác định theo
quy tắc bàn tay trái.
Từ trường do yếu tố dòng điện Id l tạo ra đặc trong chân khơng được xác định
bởi định luật thực nghiệm Biơxava có dng :

dB =

[

ào I
d l ì ro
4r 2

]

Trong ú: r là khoảng cách từ điểm tính trường với từ cảm d B đến yếu tố dòng điện
Id l .
r
r o là vectơ đơn vị của r hướng từ yếu tố Id l đến điểm tính trường.

µ o là hằng số từ môi tuyệt đối hay độ từ thẩm tuyệt đối của chân khơng.
r
Vậy từ trường chân khơng có vectơ từ cảm B do dòng điện I chảy trong dây
dẫn l to ra trong chõn khụng:
B=

[

ào I
d l ì ro
4 r 2
l

]

5.4.4. Vectơ cường độ từ trường H
r
Trong chân không vectơ từ cảm B đủ để mô tả trạng thái của từ trường. Nhưng
trong môi trường vật chất ta phải tính đến ảnh hưởng của chúng lên từ trường. Cũng
r
giống như với điện trường người ta dùng vectơ cường độ từ trường H đặt trưng cho
từ các môi trường vật chất.

10


r
r
B
H= /

µ µo

=

r

B

µ

Trong đó: µ là độ từ thẩm tuyệt đối hay hằng số từ môi tuyệt đối của môi trường.

µ ' là độ từ thẩm tương đối hay hằng số từ môi tương đối của môi trường.
5.5. Các định luật và lý thuyết biểu diễn trường điện từ
5.5.1. Định luật Ohm dạng vi phân

Trong môi trường dẫn điện dưới tác dụng của điện trường các điện tích tự do
chuyển động định hướng tạo nên dòng điện gọi là dòng điện dẫn.Cường độ dòng điện
dẫn I chảy qua mặt S đặt vng góc với nó bằng lượng điện tích Q dịch chuyển qua
mặt S trong một đơn vị thời gian. Theo định nghĩa ta có:
I=-

dQ
dt

Ở đây, dấu (-) chỉ dịng I được xem là dương khi điện tích Q giảm. Dịng dẫn I
là một đại lượng vơ hướng. Để mơ tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện
r
trong môi trường dẫn, người ta đưa ra khái niệm mật độ dịng điện dẫn J . Nó là một
vectơ được xác định bởi biểu thức sau:

J = Nev = ρ v = σ E : biểu thức định luật Ohm dạng vi phân.
Dòng điện dẫn I qua mặt S nào đó có thể viết dưới dạng sau:

I = ∫ J d S = ∫ σ Ed S
S

S

5.5.2. Định luật bảo tồn điện tích

Điện tích có thể phân bố gián đoạn hay liên tục. Nó khơng tự sinh ra và cũng
khơng tự mất đi. Nó có thể dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác tạo nên dòng
điện dẫn. Điện tích tn theo định luật bảo tồn. Định luật bảo tồn điện tích được
phát biểu như sau: Lượng điện tích đi ra khỏi một mặt kín S bao quanh thể tích V
trong một khoảng thời gian nào đó bằng lượng điện tích ở trong thể tích này giảm đi
trong khoảng thời gian ấy.
Giả sử trong thể tích V tuỳ ý của mơi trường vật chất được bao bởi mặt kín S
tại thời điểm t chứa một lượng điện tích là Q với mật độ khối ρ . Ta có:

Q = ∫ ρdV (1)
V

Sau một khoảng thời gian dt lượng điện tích trong thể tích V giảm đi một lượng
là dQ. Theo định luật bảo tồn điện tích lượng điện tích giảm đi trong V bằng lượng
điện tích đi khỏi V qua mặt S trong khoảng thời gian dt để tạo ra dòng điện dẫn I.
Từ I = −

dQ
và (1), ta có:
dt

I =−

d
∫ ρdV

dt V

11


Vì thể tích V đứng n và áp dụng biểu thức I = ∫ J d S , nên ta được:
S

∂ρ

∫ J d S = − ∫ ∂t dV
S

V

là biểu thức dạng tích phân của định luật bảo tồn điện tích.
Hay

∂ρ

∫ J d S = ∫ div J dV − ∫ ∂t dV
S

V

V

Vì thể tích V là tuỳ ý nên:
div J +

∂ρ
=0
∂t

là biển thức dạng vi phân của định luật bảo tồn điện tích hay cịn gọi là phương
trình liên tục.
5.5.3. Định luật cảm ứng điện từ

* Phát biểu: Sức điện động cảm ứng xuất hiện trong một vòng dây kim loại kín
về số trị bằng tốc độ biến thiên của từ thơng đi qua điện tích của vịng dây.
ecu = −

dφ
dt

Dấu (-) nói lên rằng sức điện động cảm ứng e cu trong vịng dây sinh ra dịng
điện có chiều sao cho từ trường của nó chống lại sự biến thiên của từ thông. Ở
đây, φ là từ thông tức thông lượng của vectơ cảm ứng từ B qua mặt S bao bởi vịng
dây:

φ = ∫ Bd S
S

Ta có thể biểu diễn sức điện động cảm ứng e cu xuất hiện trong vịng dây như là
r
lưu thơng của vectơ cường độ điện trường E do dòng cảm ứng sinh ra dọc theo
vịng dây kín dạng: ecu = ∫ Ed l
l

→ ∫ Ed l = − ∫

l

S

∂B
d S : là biểu thức của định luật cảm ứng điện từ.
∂t

5.5.4. Định luật Gauxơ

r
Thông lượng của vectơ điện cảm D qua một mặt S nào đó là một đại lượng vơ
hướng được xác định bởi tích phân sau:

φ = ∫ Dd S
S

Trong đó: d S là yếu tố vi phân diện tích của S hướng theo pháp tuyến ngoài.

12


Giả sử một mặt kín S dạng tuỳ ý nào đó bao quanh điện tích điểm q.Ta hãy tính
r
thơng lượng của vectơ điện cảm D do điện tích q tạo ra qua mặt kín S.
dφ = Dd S =

(

)

(

)

qdS cos D, d S
q
=
dΩ
2
4π
4πr

r
Trong đó: dS cos D, d S là hình chiếu của yếu tố dS lên phương của vectơ D
d Ω là vi phân góc đặt từ điện tích q nhìn bao tồn diện tích dS.
r
Thơng lượng của vectơ điện cảm D qua tồn mặt S tính được:

φ = ∫ Dd S =
S

1
∫ qdΩ = q
4π Ω

Nếu trong thể tích V bao bởi mặt kín S có các điện tích điểm khác nhau là
q1 , q 2 ,..., q n thì vectơ điện cảm của các điện tích trên là chồng chất các vectơ điện
cảm do từng điện tích tạo ra. Ta có:
n

D = ∑ Dk
k =1

n

n

Nên thơng lượng được tính: φ = ∫ Dd S = ∑ ∫ Dk d S = ∑ q k = Q∑ (1)
k =1 S

S

k =1

Vậy thông lượng của vectơ điện cảm qua mặt kín S bất kỳ bằng điện lượng
tổng cộng của các điện tích nằm trong thể tích V bao bởi mặt kín này.
Chú ý: Vì tổng (1) là tổng đại số các điện tích nên thơng lượng φ có thể nhận
giá trị âm hoặc dương .
Nếu điện tích trong thể tích V bao bởi mặt S với mật độ khối ρ thì tổng ở vế
phải (1) được thay bằng tích phân theo thể tích ρ . Ta có:

φ = ∫ Dd S = ∫ ρdV = Q
S

V

Biểu thức (1) và (2) là các biểu thức của định luật Gauxơ.
5.5.5. Định luật dịng tồn phần

r
* Phát biểu: lưu thơng của vectơ cường độ từ trường H dọc theo một đường
cong kín bất kỳ bằng đại số các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường cong
này.
* Biểu thức:

n

∫ Hd l = ∑ I k = I
l

k =1

Nếu dòng điện chảy qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dịng j thì định
luật dịng tồn phần được viết:

∫ H d l = ∫ jd S
l

S

13


5.5.6. Các phương trình Maxwell

* Phương trình Maxwell thứ nhất:
- Phương trình dạng tích phân: ∫ H d l = ∫ jd S + ∫
l

S

S

∂D
d S (*)
∂t

r r
Phương trình (*) mô tả mối quan hệ giữa các vectơ của trường điện từ ( H , D )
trong một vịng kín bất kỳ và các dòng điện (dẫn và dịch) chảy qua nó. Để mơ tả
quan hệ giữa chúng ở từng điểm trong không gian ta cần dẫn ra dạng vi phân của
phương trình này.

∫ H d l = ∫ rot H d S = ∫ jd S + ∫
l

S

S

S

∂D
dS
∂t

Vì mặt S là tùy ý nên nhận được phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân:
rot H = j +

∂D
∂t

Nếu môi trường có độ dẫn điện riêng σ = o (điện mơi tưởng và chân khơng) thì
r
r
do J = ∂E =0 nên:
r
r ∂D
rot H =
(2)
∂t
Phương trình (2) chỉ ra rằng: dịng điện dịch hay điện trường biến thiên cũng
tạo ra từ trường xốy tương đương như dịng điện dẫn.
* Phương trình Maxwell thứ hai:
- Phương trình dạng tích phân:

∂B

∫ Ed l = − ∫ ∂t d S
l

(3)

S

Nếu áp dụng định lý Grin Stơc cho vế trái của phương trình (3) với S là tùy ý ta
nhận được phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân là:
r
r

∂B
rot E = (4)
∂t
Phương trình (4) chỉ ra rằng từ trường biến thiên tạo ra điện trường xốy.
* Phương trình Maxwell thứ ba và thứ tư:
- Phương trình dạng tích phân:
r
Dd S = ∫ ρdV = Q
∫
S

S

∫ Bd S = 0
S

Áp dụng định lý Ơtstrơgrats ki- Gauxơ ta được:
r
∫ divDdV = ∫ ρdV =Q
V

V

14


r

∫ diVBdV = 0

V

Vì thể tích V là tùy ý nên ta nhận được các phương trình Maxwell thứ ba và thứ
tư dạng vi phân sau:
div D = ρ (5)
div B = 0(6)
Phương trình (5) chỉ ra rằng: điện tích là nguồn của điện trường. Khi ρ ≠ 0
đường sức điện trường khơng khép kín. Nó xuất phát từ điện tích dương và kết thúc
ở điện tích âm. Khi ρ = 0 điện trường sinh ra chỉ do từ trường biến thiên nên đường
sức của nó hoặc khép kín hoặc tiến ra vơ cùng. Phương trình (6) mơ tả trong tự nhiên
khơng tồn tại từ tích. Đường sức của từ trường là khép kín hoặc tiến ra vơ cùng.
5.5.7. Năng lượng trường điện từ

Trường điện từ là một dạng đặc biệt của vật lý. Nó mang năng lượng và cũng
như các dạng năng lượng khác năng lượng trường điện từ tuân theo định luật bảo
toàn. Năng lượng của trường điện từ bao gồm năng lượng điện (điện năng) và năng
lượng từ (từ năng) phân bố trong khơng gian thể tích V theo biểu thức:
⎛ε E2 µH 2 ⎞
⎟dV = (w + w )dV
W = We + W M = ∫ ⎜
+
∫ e M
⎜ 2
2 ⎟
V⎝
V
⎠
We, WM là điện năng và từ năng trong thể tích V.
we, wM là mật độ khối điện năng và mật độ khối từ năng.
Năng lượng của trường điện từ có thể biến từ dạng điện sang dạng từ và ngược

lại, hoặc biến sang các dạng năng lượng khác và dịch chuyển trong không gian.
6. Các cơng thức tốn học giải tích vectơ

Gradien của một hàm vô hướng: grad = no
mặtψ = const hướng theo chiều tăng của ψ .

dψ
, no là vectơ pháp tuyến của
dn

∂ψ
∂ψ
∂ψ
+ yo
+ zo
∂z
∂x
∂y

•

Trong hệ tọa độ Đêcac: gradψ = xo

•

Trong hệ tọa độ trụ: gradψ = ro

∂ψ
1 ∂ψ
∂ψ

+ ϕo
+ zo
r ∂ϕ
∂z
∂r

•

Trong hệ tọa độ cầu: gradψ = ro

∂ψ
1 ∂ψ
1 ∂ψ
+ θo
+ ϕo
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ

Divecgence của một vectơ A : div A = lim

∆V →0

∆V .

∫ Ad s
S

∆V

, S là mặt kín bao thể tích

15


•

Trong hệ tọa độ Đêcac: div A =

•

Trong hệ tọa độ trụ: div A =

•

∂Ax ∂Ay ∂a z
+
+
∂x
∂y
∂z

Trong hệ tọa độ cầu:
div A =

∂A
1 ∂
(rAr ) + 1 ϕ + ∂Az
r ∂r
r ∂ϕ

∂z

∂Aϕ
1 ∂ 2
1
∂
(sin θAθ ) + 1
r Ar +
2
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r

(

)

Rot của một vectơ A : rot n A = l im

∆S →0

∫ Adl
L

∆S

•

xo
∂

Trong hệ tọa độ Đêcac: rot A =
∂x
Ax

yo
∂
∂y
Ay

•

ro
1 ∂
Trong hệ tọa độ trụ: rot A =
r ∂r
Ar

•

ro
∂
1
Trong hệ tọa độ cầu: rot A = 2
r sin θ ∂r
Ar

rϕ o
∂
∂ϕ
rAϕ

zo
∂
∂z
Az
zo
∂
∂z
Az
rθ o
∂
∂θ
rAθ

r sin θ ϕ o
∂
∂ϕ
r sin θAϕ

Toán tử Hamintơn hay Nabla trong hệ tọa độ cong trực giao

∇ = q 01

1 ∂
1 ∂
1 ∂
+ q 02
+ q 03
h1 ∂q1
h2 ∂q 2

h3 ∂q3

Toán tử vi phân bậc hai Laplace của một hàm vơ hướng
•

Trong tọa độ Đêcac: ∇ 2ψ =

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

•

Trong hệ tọa độ trụ: ∇ 2ψ =

1 ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ 1 ∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
⎜r
⎟+
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2

•

Trong hệ tọa độ cầu:
∇ 2ψ =

1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞
1
∂ ⎛

∂ψ ⎞
1
∂ 2ψ
⎜r
⎟+ 2
⎜ sin θ
⎟+ 2
∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂ϕ 2
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝

Các định lý

16


•

Định lý Ơtstrơgratski- Gauxơ: ∫ div AdV = ∫ Ad S
V

S

Trong đó, S là mặt kín bao thể tích V, d S = no dS , no là vectơ đơn vị pháp
tuyến ngồi của mặt S.

•

Định lý Grin- Stơc: ∫ rot Ad S = ∫ Ad l
S

L

Trong đó, l là chu vi kín bao diện tích S, chiều đi dọc theo chu vi kín L được
lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ đầu cuối của vectơ pháp tuyến no của diện
tích S.
Chương II Phân loại và phương pháp giải bài tập
1. Cơ sở phân loại bài tập
1.1. Đặc điểm của môn học

Điện động lực học, là một môn học thuộc bộ mơn vật lý lý thuyết. Vì vậy nó có
những đặc điểm chung của ngành vật lý lý thuyết. Một trong những đặc điểm nổi bật
đó là vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp tốn học. Vì vậy, Động lực
học nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung có hai nhiệm vụ chính:
Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thành lập mối
liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm, xây dựng những lý
thuyết tổng quát bao gồm nhiều sự vật, hiện tượng thuộc một hoặc nhiều lĩnh vực của
điện, từ và giải thích được một phạm vi rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý.
o Lý thuyết điện từ của Maxwell đã thống nhất hai mặt tương tác cơ bản
tương tác điện và từ trên cơ sở quan điểm về tính liên tục của các phân bố điện tích,
dịng điện và khơng gian tồn tại của trường, ở đó bỏ qua cấu trúc phân, nguyên tử của
các vật thể và tính gián đoạn của các điện tích.
o Thuyết electron, cũng là lý thuyết và các hiện tượng điện từ nhưng ở đó
có xét đến cấu trúc gián đoạn của điện tích và cấu trúc phân ngun tử của khơng
gian.
o Thuyết tương đối là thuyết tổng quát hơn cho phép chúng ta hiểu được
thực chất của điện động lực học và các mô tả của chúng gần với thực tiễn tồn tại của
chúng hơn.

Dùng phương pháp toán học để diễn tả và biển diễn các hiện tượng, quy luật
vật lý và hơn thế nữa, bằng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới,

những quy luật tổng quát hơn các quy luật đã biết, dự đoán được những mối quan hệ
mới giữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa chứng minh được.
Phương pháp toán học trong điện động lực học cũng có những đặc điểm riêng,
một trong những đặc điểm đáng lưu ý nhất đó là tính gần đúng của các nghiệm vật lý
trong phương trình toán học, sự vật và hiện tượng tồn tại trong nhiều mối quan hệ
ràng buộc phức tạp, do đó cần phải lựa chọn những tương quan chủ yếu để lựa chọn
nghiệm vật lý phù hợp.
Khi giải một bài tốn thơng thường là một trường hợp riêng, cá biệt đó là một
q trình chuyển hố từ cái tổng qt, trừu tượng về cái cụ thể, đơn lẻ, từ cái chung

17


đến cái riêng là mn hình mn vẽ, nó thể thiện trình độ nhận thức của người giải.
Vì vậy trong khố luận này, một trong những tiêu chí để chúng tôi phân loại bài tập
là theo mức độ nhận thức, dựa vào thang đo Bloom, bao gồm:
o Hiểu: Đòi hỏi người giải hiểu đúng hiện tượng, biết mô tả và biển diễn
các đại lượng, hiểu các quan hệ giữa chúng để giải quyết được nhiệm vụ cụ thể đặt
ra. Thông thường các quan hệ liên quan trực tiếp tới các dữ kiện, giả thiết đã cho.
o Vận dụng: Đòi hỏi người giải phải xác định đúng các diễn biến của các
hiện tượng, qua đó xác định mối quan hệ giữa các mặt trong hiện tượng đó. Từ đó,
xác định mối quan hệ chíng giữa cac hiện tượng để thiết lập các tương quan tốn học
giữa chúng, thơng thương các tương quan không liên hệ trực tiếp với giả thiết của bài
tốn.
o Phân tích tổng hợp: Địi hỏi người giải phải phân tích các thơng tin mơ tả
trong bài tốn, từ đó chỉ ra các hiện tượng, các nguyên nhân có tính bản chất của các
hiện tượng để xây dựng quy luật vật lý, thiết lập các quy luật tổng quát hơn, để biển
diễn bằng các mệnh đề toán học tổng quát, việc giải nó cho kết quả là một họ
nghiệm, lựa chọn nghiệm phù hợp.
1.2. Cấu trúc nội dung môn học

Căn cứ vào nội dung, chương trình mơn học điện động lực ở trường Đại học An
Giang, chúng tôi phân loại theo cấu trúc nội dung môn học bao gồm:
1.2.1. Trường tĩnh điện.
1.2.2. Trường tĩnh từ.
1.2.3. Trường chuẩn dừng.
1.3. Căn cứ vào mục tiêu bài tập

Mối quan hệ cơ bản của các bài tốn trong Điện động lực, đó là quan hệ giữa
nguồn và trường bao gồm hai mặt tương tác và năng lượng. Vì vậy có thể xây dựng 4
loại bài tập cơ bản:
1.3.1. Cho biết trường, tìm quy luật phân bố của nguồn.
1.3.2. Cho biết phân bố của nguồn, xác định quy luật của trường.
1.3.3. Tương tác và trao đổi năng lượng giữa các trường, giữa trường với
các điện tích và dịng điện khác đặt trong trường.
1.3.4. Sự chuyển hoá giữa các mặt của cùng một trường.
2. Phân loại và giải bài tập
2.1. Trường tĩnh điện
2.1.1. Cơ sở lý thuyết

Trường tĩnh điện là trường của các điện tích đứng yên đối với không gian tồn
tại của trường. Quy luật phân bố của trường phụ thuộc vào quy luật phân bố của điện
tích và chịu ảnh hưởng của khơng gian tồn tại của trường. Do đó, để giải các bài tập
trong chương này cần xác định được:
Quy luật phân bố điện tích với tư cách như là nguồn của trường.

18


Ảnh hưởng của phân bố đến không gian về mặt tích điện theo các nguyên tắc

cảm ứng.
Quy luật phân bố của trường trong chân không và trong điện môi và khi
chuyển từ điện môi này sang điện môi khác. Quy luật phân bố của trường trên cả hai
lĩnh vực động lực và năng lượng.
Sự chồng chất của nguồn của trường và trường.
Cơ sở là lý thuyết của Maxwell về điện từ trường.
Theo tư tưởng đó có thể phân các bài tập thành các loại:
Tìm trường với các nguồn phân bố khác nhau: rời rạc, liên tục, đối xứng

• Phân bố rời rạc: là hệ bao gồm một hay nhiều điện tích điểm đặt cách
nhau những khoảng rất lớn so với kích thước các điện tích, hoặc là hệ các vật tích
điện khác nhau.
• Phân bố liên tục: Các điện tích được coi là phân bố liên tục khi bỏ qua
kích thước khoảng cách giữa các điện tích trên vật.
- Phân bố dạng sợi chỉ: có tiết diện đều và rất nhỏ, có chiều dài rất dài.

λ=

dq
dl

λ: mật độ điện tích dài, khi λ= const, thì phân bố đó là phân bố đều.
- Phân bố mặt: Sự có mặt điện tích trên một lớp mỏng h<< so với kích thước
mặt của lớp a.

σ=

dq
dS

σ: đại lượng đặc trưng cho phân bố mặt, gọi là mật độ điện mặt. Nếu σ = const đối
với khơng gian thì phân bố này gọi là phân bố đều. Nếu σ khơng phụ thuộc thời gian
thì phân bố này là phân bố dừng.
- Phân bố khối: Sự có mặt điện tích trong tồn bộ thể tích của vật.

ρ=

dq
dV

ρ: mật độ điện khối. Nếu ρ = const thì phân bố này gọi là phân bố đều. Nếu không
phụ thuộc thời gian thì phân bố này là phân bố dừng.
•

Phân bố đối xứng: có 3 loại:

- Đối xứng phẳng: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ ρ là
một hàm của tọa độ. Nếu mặt phẳng xOy là mặt phẳng đối xứng của D thì:
ρ(x,y,z)=ρ(x,y,-z), phân bố đang xét có tính chất đối xứng phẳng qua mặt phẳng
xOy.
- Đối xứng trụ: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ
ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,z). Nếu ρ(r,θ,z)=ρ(r), thì D có tính chất đối xứng trụ.
- Đối xứng cầu: Một phân bố điện tích D trong thể tích V, với mật độ
ρ(x,y,z)=ρ(r,θ,ϕ). Nếu ρ(r,θ,ϕ)=ρ(r), thì D có tính chất đối xứng cầu.

19


Tìm lực tương tác và năng lượng của trường.
Trường và điện mơi.

2.1.2. Một số phương pháp giải các bài tốn điện tĩnh
a) Phương pháp ảnh điện

Phương pháp này dùng cho những bài tốn tìm trường của một hay một số
điện tích điểm khi có các mặt biên. Nội dung của phương pháp này là chọn các điện
tích điểm tưởng tượng ở phía bên kia mặt biên (điện tích ảnh), sao cho các điện tích
này cùng với điện tích đã gây ra điện trường giống như điện trường do điện tích thật
và mặt biên gây ra.
Ví dụ 1: Tính thế ϕ của một điện tích điểm nằm cách mặt phẳng dẫn có thế ϕ=0
một khoảng d.
Giải:

p

P
R

r'
d

q

q'

d

d

ϕ=0

r

R

q

b)

a)
Hình 1-1

Điện tích q nằm bên cạnh mặt phẳng dẫn (hình 1-1a) gây ra điện trường tương
đương với điện trường do hai điện tích q và q’ gây ra (hình 1-1b).

ϕ(P ) =

1 ⎛ q q' ⎞
1 ⎛ q
q'
⎜
+
⎜ + ⎟=
4πε ⎝ r r ' ⎠ 4πε ⎜ R − d R + d
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

(1.1)

Vì ϕ =0 tại mặt phẳng d = 0 nên từ (1.1)suy ra
q’ = - q

(1.2)

Thay (1.2) vào (1.1) ta được

ϕ(P ) =

q ⎛ 1
1
⎜
−
4πε ⎜ R − d R + d
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

(1.3)

Ví dụ 2: Tính thế ϕ của một điện tích điểm nằm cách tâm một mặt cầu dẫn điện
nối đất (ϕ = 0 ) một khoảng bằng d. Bán kính của hình cầu là R.
Giải: Điện tích q nằm cạnh mặt cầu dẫn điện gây ra điện trường tương đương
ứng với điện trường do hai điện tích q và q’ gây ra (q nằm tại điểm A và q’ nằm tại
điểm A’).

Điện thế ϕ tại điểm pháp tuyến (hình 1.2) bằng:

20


ϕ(P ) =

⎞
1 ⎛ q q' ⎞ 1 ⎛
q
q'
⎟
+
⎜ + ⎟= ⎜
4πε ⎝ r r ' ⎠ 4 ⎜ ro − OA ro − OA' ⎟
⎠
⎝

(1.4)

P
ro
R

λ’

O

r

r’

q A

d

Hình 1.2
thì:

Nếu n và n’ là các vectơ đơn vị dọc theo ro và d (ở đây OA = d và OA’ = d’)

ϕ(P ) =

1 ⎛
⎜
4πε ⎜
⎝

⎛
⎜
⎞
q
q'
1 ⎜
q
q'
⎟=
+
+
⎟ 4πε ⎜

ro n − dn ' ro n − d ' n ' ⎠
⎜ r n − d n ' d ' n '− ro n
⎜ o
d'
ro
⎝
q
q'
=−
R
d'

Tại mặt cầu ro = R thế ϕ = 0 nên ta có thể đặt
n−

⎞
⎟
⎟
⎟ (1.5)
⎟
⎟
⎠

d
R
n ' = n '− n '
R
d'

(1.6)

Từ đó suy ra:

R
q'
d'
R2
d'=
d

q' = −

(1.7)

Thay (1.7) vào (1.4) ta được:

ϕ(P ) =

1 ⎛ R
d3
⎜
+ 2
4πεR ⎜ ro − d d ro − R 2 d
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

(1.8)

b) Phương pháp nghịch đảo

Cơ sở của phương pháp này là nếu ta biết nghiệm của một bài tốn điện tĩnh
này thì ta có thể tìm được nghiệm của một bài tốn điện tĩnh khác bằng một phép
biến đổi thích hợp, miễn là phép biến đổi đó khơng làm thay đổi dạng của phương
trình Laplace.
Trong hệ toạ độ cầu phương trình Laplace có dạng:

21


∂ ⎛
∂ϕ ⎞
∂ 2ϕ
1
1
1 ∂ ⎛ 2 ∂ϕ ⎞
=0
⎜r
⎟+ 2
⎜ sin θ ⎟ + 2
∂θ ⎠ r sin 2 θ ∂α 2
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝

Có thể thấy dễ dàng rằng, phương trình này bảo tồn dạng của nó nếu ta thực
hiện phép biến đổi

r' =

a2
, θ '= θ, α'= α
r

(1.9)

Phép biến đổi như thế gọi là phép biến đổi nghịch đảo, α là một hằng số có thứ
nguyên độ dài gọi là bán kính nghịch đảo
Nếu ta thay hàm ϕ bằng

ϕ' =

a
ϕ
r'

(1.10)

Và nếu ta thay hàm ϕ thỗ mãn phương trình Laplace thì hàm
ϕ' (r ') =

a ⎛ a2
ρ⎜
r' ⎜ r'2
⎝

⎞
r'⎟
⎟

⎠

(1.11)

Cũng là nghiệm của phương trình đó.
Khi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo thì cả điện tích lẫn kích thước của các
vật thể ở trong điện trường tĩnh đều thay đổi. Ta có thể lấy ví dụ sau: cho một điện
tích điểm q và vật dẫn được nối đất (thế ϕ của nó bằng khơng) và ở vơ cực thì ϕ = - ϕ
= const.
Sau khi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, điều kiện biên khơng thay đổi vì
khi ϕ = 0 thì ϕ’ cũng bằng khơng, điện tích nằm tại điểm ro chuyển sang điểm.
⎛ a2
r'o = ⎜ 2
⎜r
⎝ o

⎞
⎟ro
⎟
⎠

Theo phép biến đổi (1.9) và có điện tích là q’.
Khi r → ro thế ϕ(r) sẽ tiến đến vô cực theo định luật ϕ =
Lấy vi phân của hệ thức r =
Chúng ta được (δr ) =
2

q
4πε r − ro

a2
r'
r'2

a4
(δr')2
ro'4

Ở đây δr = r − ro , δr ' = ro'
Theo (1.10) khi r’ → r’o hàm ϕ’ tiến đến vô cực theo định luật

ϕ' =

qr '
a' q
= o
ro' δr a δr '

Tương ứng với điện tích q ' =

qr q.a
=
a
ro

(1.12)

22

Ở gốc toạ độ r’ = 0 tương ứng với r → ∞.
Nhưng khi r → ∞ thì hàm ϕ(r) → (-ϕ0) . Do đó khi r’ → 0 thì hàm ϕ’ → ∞
a
theo định luật ϕ' = ϕ 0
r'
Điều đó có nghĩa là tại r’ = 0 có điện tích: qo = - αϕo (1.13)
Sau đay ta xét hình dạng hình học của vật dẫn thay đổi như thế nào sau phép
biến đổi nghịch đảo. Trường hợp riêng ta xét một mặt cầu bán kính R có tâm tại điểm
2
Ro . Mặt cầu đó được cho bởi phương trình. (r − R o ) = R 2
(1.14)
Thực hiện biến đổi nghịch đảo, ta thu được phương trình:
2

⎛ a2
⎞
⎜ 2 r '− R o ⎟ = R 2
⎜ r'
⎟
⎝
⎠

(1.15)

Nhân hai vế với r’2 và thực hiện một số phép biến đổi, ta đưa phương trình về
dạng:

(r '−R 'o )2
Ở đây, R ' o =

= R '2

(1.16)

a2
Ra 2
R o ; R' = 2
2
2
R2 − Ro
R − Ro

(1.17)

Như vậy trong toạ độ mới chúng ta lại thu được hình cầu khác có bán kính R’
và tâm tại Ro’. Nếu hình cầu đầu tiên đi qua gốc toạ độ (R=Ro) thì R’ = ∞ và hình
cầu biến thành một mặt phẳng. Mặc khác từ (1.15) khi thay R = Ro ta suy ra phương
trình:
⎛
a2
⎜ r '−
⎜ 2R
o
⎝

⎞
n ⎟n = 0
⎟
⎠

(1.18)

Ở đây Ro = Rn , nghĩa là mặt phẳng đó vng góc với Ro và cách gốc toạ độ
một khoảng
a2
a2
=
2R o 2R

(3.9.19)

Như vậy sau phép biến đổi nghịch đảo, điện tích q biến thành q’ (công thức
(1.12)); ở gốc toạ độ (tâm nghịch đảo) xuất hiện điện tích qo (cơng thức (1.13)) và
mặt cầu dẫn điện biến thành mặt phẳng tương ứng phương trình (1.18). Nếu chúng ta
có hai mặt cầu giao nhau thì sau biến đổi nghịch đảo hai mặt cầu đó sẽ biến thành hai
mặt phẳng giao nhau và với các mặt phẳng đó ta có thể giải bằng phương pháp ảnh
điện.
c) Phương pháp ánh xạ bảo giác

Trường chỉ phụ thuộc vào hai toạ độ Descartes (x,y) gọi là trường phẳng. Cơng
cụ sắc bén để giải các bài tốn điện tĩnh phẳng là lý thuyết hàm biến phức. Cơ sở để
ứng dụng lý thuyết này như sau:

23