Bài tập đại số sơ cấp - Chương 6 docx

64

2 2
2 2 2
4 .4 8.2
3 log log log ( ).
x y xy
x y x y m

=


+ + = + +



V.21. Cho hệ phương trình
2
2lg 3
3lg 1
x y m
x y

+ =


− =



1) Giải hệ phương trình với

1;
m
=

2) Tìm các giá trị của
m
để hệ phương trình có nghiệm
( ; ); 1.
x y x
≥

V.22. Tìm các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất
2 2
lg lg 1
lg .
x y
x
m
y

+ =


=



V.23. Tìm các giá trị của

m
để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất
2 2
2 3 1
2 3 .
x y
x y
m

+ =


+ =



Tìm nghiệm đó.
V.24. Tìm các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
2
2 4 2
2 4 2 1 .
x y
x y x y
m
+

+ =



+ − = −



V.25. Tìm các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
( )
2 2
2 2 1 2
2 2 16
2 2 2 2 2 2 .
x y
x y x y x y
m m
+ =

+ =


+ + + + =



V.26. Tìm các giá trị của
m
để hệ phương trình sau có một nghiệm duy nhất
2 2 2

3 2
2
3 2
log log 4
log 2log 10
x y m
x y

+ =


+ =



CHƯƠNG VI.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Ta quy ước các biểu thức trong các công thức sau đều có nghĩa.
1. Công thức cộng
1)cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
+ = −

65

2)cos( ) cos cos sin sin
a b a b a b
− = +

3)sin( ) sin cos cos sin
4)sin( ) sin cos cos sin
tan tan
5)tan( )
1 tan tan
tan tan
6) tan( ) .
1 tan tan
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+ = +
− = −
+
+ =
−
−
− =
+

2. Công thức nhân
2.1. Công thức nhân đôi
2 2
2

1)cos2 cos sin
2)sin 2 2sin cos
2 tan
3) tan 2 .
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
= −
=
=
−

2.1.1. Công thức hạ bậc
2
2
1 cos 2
1)cos
2
1 cos2
2)sin .
2
a
a
a
a
+
=

−
=

2.1.2. Công thức tính theo
cos2
a

2
2
2
1
1)cos (1 cos 2 )
2
1
2)sin (1 cos 2 )
2
1 cos 2
3) tan .
1 cos 2
a a
a a
a
a
a
= +
= −
−
=
+

2.1.3. Công thức tính theo tan
2
a
t
=

2
2
1
1)cos
1
t
a
t
−
=
+

2
2
2
2)sin
1
2
3) tan .
1
t
a
t
t

a
t
=
+
=
−

2.2. Công thức nhân ba
3
3
1)cos3 4cos 3cos
2)sin3 3sin 4sin
a a a
a a a
= −
= −

66

3
2
3tan tan
3) tan 3 .
1 3tan
a a
a
a
−
=
−

3. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
1)cos cos [cos( ) cos( )]
2
1
2)sin sin [cos( ) cos( )]
2
1
3)sin cos [sin( ) sin( )].
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
= − + − −
= + + −

4. Công thức biến đổi tổng thành tích
1)cos cos 2cos cos
2 2
2)cos cos 2sin sin
2 2
3)sin sin 2sin cos
2 2
4)sin sin 2cos sin .
2 2
a b a b
a b
a b a b

a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =

Một số công thức quen thuộc
1)cos sin 2 cos( )
4
a a a
π
+ = −

2)cos sin 2 sin( )
4
a a a
π
+ = +

3)cos sin 2 cos( )
4
4)cos sin 2 sin( )

4
a a a
a a a
π
− = +
π
− = − −

4 4 2 2
5)cos sin 1 2sin cos
a a a a
+ = −
6 6 2 2
6)cos sin 1 3sin cos .
a a a a
+ = −
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình
sin
x a
=
(1)

· Nếu
1
a
>
thì phương trình (1) vô nghiệm.
· Nếu
1

a
≤
thì phương trình (1) có nghiệm.
Gọi
α
là số đo của góc sao cho
sin
a
α =

67

Ta có
(
)
1 sin sin
x
⇔ = α

( )
2
, .
2
x k
k
x k
= α + π

⇔ ∈



= π − α + π

ℤ

(nếu
α
cho bằng radian).
Hay
( ) ( )
0
0 0
.360
1 , .
180 .360
x k
k
x k

= α +

⇔ ∈

= − α +

ℤ

(nếu
α
cho bằng độ).

Các trường hợp đặc biệt
·
( )
sin 1 2 , .
2
x x k k
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ

·
( )
sin 1 2 , .
2
x x k k
π
= − ⇔ = − + π ∈
ℤ

·
(
)
sin 0 , .
x x k k= ⇔ = π ∈
ℤ

2. Phương trình
cos
x a
=

(2)

· Nếu
1
a
>
thì phương trình (2) vô nghiệm.
· Nếu
1
a
≤
thì phương trình (2) có nghiệm.
Gọi
α
là số đo góc sao cho
cos
a
α =

Ta có
(
)
2 cos cos
x
⇔ = α

( )
2
, .
2

x k
k
x k
= α + π

⇔ ∈


= −α + π

ℤ

(nếu
α
cho bằng radian).
Hay
( ) ( )
0
0
.360
2 , .
.360
x k
k
x k

= α +

⇔ ∈


= −α +

ℤ

(nếu
α
cho bằng độ).
Các trường hợp đặc biệt
·
(
)
cos 1 2 , .
x x k k= ⇔ = π ∈
ℤ

·
(
)
cos 1 2 , .
x x k k= − ⇔ = π + π ∈
ℤ

·
( )
cos 0 , .
2
x x k k
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ

3. Phương trình
(
)
tan 3
x a=
68

(3) xác định với mọi
( )
, .
2
x k k
π
≠ + π ∈
ℤ

Gọi
α
là số đo góc sao cho
tan ,
a
α =
thì
(
)
3 tan tan
x
⇔ = α

(
)
, .
x k k⇔ = α + π ∈
ℤ

(nếu
α
cho bằng radian).
Hay (3)
(
)
0
.180 , .
x k k⇔ = α + ∈
ℤ

(nếu
α
cho bằng độ).
Chú ý. Nếu phương trình ban đầu dạng
(
)
tan tan *
u v
=
Thì điều kiện là
2
u k
π

≠ + π
,
( )
, .
2
v k k
π
≠ + π ∈
ℤ

Khi đó (*)
(
)
, .
u v k k⇔ = + π ∈
ℤ

4. Phương trình
(
)
cot 4
x a=
(4) xác định với mọi
(
)
,x k k≠ π ∈
ℤ
.
Gọi
α

là số đo góc sao cho
cot ,
a
α =
thì
(
)
4 cot cot
x
⇔ = α

(
)
, .
x k k⇔ = α + π ∈
ℤ

(nếu
α
cho bằng radian).
Hay (4)
(
)
0
.180 , .
x k k⇔ = α + ∈
ℤ

(nếu
α

cho bằng độ).
Chú ý. Nếu phương trình ban đầu dạng
(
)
cot cot **
u v=
thì điều kiện là
u k
≠ π
,
(
)
, ,
v k k≠ π ∈
ℤ
khi đó (**)
(
)
, .
u v k k⇔ = + π ∈
ℤ

III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
Cách giải.
+ Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi ngay về
phương trình lượng giác cơ bản.
+ Đối với các phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ,
sau đó giải phương trình theo ẩn phụ.
Chú ý. Nếu đặt

cos
t x
=
hay
sin
t x
=
thì điều kiện
1.
t
≤

2. Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x

69

Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x
là phương trình có dạng
sin cos (1), , ,a x b x c a b c
+ = ∈

ℝ

Cách giải.
Cách 1. Chia hai vế của (1) cho
2 2
,
a b
+ ta được

( )
2 2 2 2 2 2
sin cos 2
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +

Đặt
2 2 2 2
cos ,sin
a b
a b a b
β = β =
+ +

Khi đó (2) trở thành
2 2
cos sin sin cos
c

x x
a b
β + β =
+

Hay
( ) ( )
2 2
sin 3
c
x
a b
+ β =
+

(3) có nghiệm
2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
⇔ ≤ ⇔ + ≥
+

Cách 2. Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt
tan
b
a
= α

Ta được sin tan cos
c
x x
a
+ α =

( )
sin cos sin cos cos *
c
x x
a
⇔ α + α = α
( )
sin cos
c
x
a
⇔ + α = α

Đây là phương trình đã xét trong §1.
Chú ý rằng (*) có nghiệm khi và chỉ khi
cos 1.
c
x
a
≤

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với
sin

x
và
cos
x

Đó là phương trình dạng

(
)
2 2
sin sin cos cos 0 2 , , ,a x b x x c x a b c
+ + = ∈
ℝ

Cách giải.
· Xét
2
x k
π
= + π
xem có phải là một nghiệm của phương trình không.
· Xét
,
2
x k
π
≠ + π
khi đó
2
cos 0,

x
≠
chia hai vế của phương trình cho
2
cos 0
x
≠
ta được

2
tan tan 0
a x b x c
+ + =
.
70

Đây là phương trình bậc hai đối với
tan
x
ta đã biết cách giải.
Chú ý.
· Nếu phương trình với vế phải khác 0

2 2
sin sin cos cos
a x b x x c x d
+ + =

Ta viết phương trình dạng

(
)
2 2 2 2
sin sin cos cos cos sin
a x b x x c x d x x
+ + = +
rồi chuyển vế phải sang vế trái.
· Cũng có thể giải phương trình (2) bằng cách biến đổi về phương trình bậc nhất đối với
sin 2
x
và
cos2 ,
x
nhờ các công thức
2
1 cos 2
cos ;
2
x
x
+
=
2
1 cos 2
sin ;
2
x
x
−
=

1
sin cos sin 2 .
2
x x x
=
· Đối với phương trình thuần nhất bậc ba đối với
sin
x
và
cos
x


3 2 2 3
cos cos sin sin cos sin 0
a x b x x c x x d x
+ + + =

Ta cũng biến đổi đưa về phương trình bậc ba đối với
tan .
x

4. Phương trình đối xứng đối với
sin
x
và
cos
x

Phương trình đối xứng đối với

sin
x
và
cos
x
là phương trình dạng

(
)
(
)
sin cos sin cos 0 3 , , ,a x x b x x c a b c
+ + + = ∈
ℝ

Cách giải. Đặt
sin cos 2 sin ,
4
t x x x
π
 
= + = +
 
 
điều kiện:
2.
t ≤
Khi đó
2
1 2sin cos

t x x
= +
Suy ra
2
1
sin cos .
2
t
x x
−
= Thay vào phương trình (3) ta được
(
)
2
1
0
2
b t
at c
−
+ + =
hay
(
)
2
2 2 0.
bt at c b
+ + − =
(*)
Giải phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa

2.
t ≤
Chú ý. Phương pháp giải đã trình bày ở trên cũng có thể áp dụng cho phương trình
(
)
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
− − + =

bằng cách đặt
sin cos 2 sin ;
4
t x x x
π
 
= − = −
 
 
điều kiện:
2.
t ≤
71

Khi đó
2
1
sin cos .
2
t
x x

−
=
IV. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Có nhiều phương trình lượng giác mà để giải chúng, ta cần sử dụng các phép biến đổi
lượng giác để đưa về các phương trình đã xét ở trên.
1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
2. Dạng phân thức
Chú ý. Khi giải các phương trình có chứa ẩn dưới mẫu, ta phải đặt điều kiện cho mẫu khác
không.
3. Dạng chứa
tan
x
và
cot
x

Chú ý. Đối với các phương trình chứa
tan
x
và
cot ,
x
ta phải đặt điều kiện cho
tan
x
và
cot
x
xác định.
4. Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt

Ngoài các phương pháp cơ bản giải phương trình lượng giác đã nêu ở các mục trên,
chúng ta còn có một số cách giải đặc biệt, sử dụng các kết quả sau:
·
2 2
0
0
0
A
A B
B
=


+ = ⇔

=


·
A m
A m
B m
B m
A B
≤

=


 

≥ ⇔
 
=



=


·
1
1
1
1
1 1
A A
A A
B B
B B
A B A B
≤

=


 
≤ ⇔
 
=
 


+ = +



B. BÀI TẬP
VI.1. Giải các phương trình
1)
3
sin
x
– cos
x
=
2;

2) cos
x
+ 2cos2
x
= 1;
3) cos4
x
+ 2cos
2
x
= 0;
4)
2
2cos

x
+ 4cos
x
= 3sin
2
;
x

5) cos
x
– sin
x
+ 3sin2
x
– 1 = 0;
6) 2sin2
x

−
3
3
(sin
x
+ cos
x
) +
3 3
= 0;
7) sin2
x

+
2
sin(
x
–
4
π
) = 1;
8) sin
2
x
+ 2sin
x
coss
x
– 2cos
2
x
=
1
2
;
9) cos
x
+ sin
x
=
cos2
;
1 sin 2

x
x
−

10) sin
3
x
– cos
3
x
= 1 + sin
x
cos
.
x

72

VI.2. Giải các phương trình
1) 2cos
2
x
– 1 = sin3
x
;
2)
1 tan
1 tan
x
x

+
−
= (sin
x
+ cos
x
)
2
;
3) 1 + tan2
x
=
2
1 sin 2
cos 2
x
x
−
;
4) tan3
x
– tan
x
= sin2
x
;
5) (sin
x
– sin2
x

)(sin
x
+ sin2
x
) = sin
2
3
x
;
6) sin
x
+ sin3
x
+ 4cos
3
x
= 0;
7) sin2
x
= 1 +
2
cos
x
+ cos2
x
;
8) 2cos
6
x
+ sin

4
x
+ cos2
x
= 0;
9)
2 2 2 2
2cos 3 cos cos 3 sin 1 0
x x x x
− + − =
.
VI.3. Giải các phương trình
1) sin
x
+ cot
2
x
= 2;
2) sin2
x
+ cos2
x
+ tan
x
= 2;
3)
(
)
2
2

3 1 tan
cos4 + 2 = 0;
1+ tan
x
x
x
−
−
4)
tan 1
cot 2 0,(0 );
tan 1
x
x x
x
−
+ = < < π
+

5)
3
2
1 3
tan 1 3cot( ) 3,( );
cos 2 2
x x x
x
π π
π
− + − − = < <

6) cos
3
x
sin
x
– sin
3
x
cos
x
=
2
8
;
7) sin
2
3
x
– cos
2
4
x
= sin
2
5
x
– cos
2
6
x

;
8) cos3
x
– 4cos2
x
+ 3cos
x
– 4 = 0,
x
∈ [0,14];
9) sin
4
x
+ sin
4
(
2 8
x
π
+
) + cos
4
x
=
1
2
sin
2
2
x

;
10)
1
2cos 2 8cos 7
cos
x x
x
− + = .
VI.4. Giải các phương trình
1)
cos3 sin 3
5 sin cos2 3, (0; 2 );
1 2sin 2
x x
x x x
x
+
 
+ = + ∈ π
 
+
 

73

2)
sin 2 .cos tan3 .sin( ) cos 2 .sin
6
x x x x x x
π

= + − ;
3)
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
− = + −
+
;
4)
2
sin 4 sin 2 sin 9 sin 3 cos
x x x x x
+ = ;
5)
2 4
cos sin cos2 2cos (sin cos ) 1
x x x x x x
+ = + −
;
6)
3 cos 4 sin 4 2cos3 0
x x x
+ − =
;
7)
2 2

4cos 2cos 2 1 cos4
x x x
− = + ;
8)
2 2
2sin ( ) 2sin tan
4
x x x
π
− = − ;
9)
cos3 2cos2 1 2sin sin 2
x x x x
+ = −
;
10)
(2sin 1)(2cos sin ) sin 2 cos ;
x x x x x
− + = −

11)
3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0;
x x x x
− − =

12)
(
)
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sin .

x x x x x x
+ + = +
VI.5. Giải các phương trình
1)
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ = ;
2)
4 4
sin cos 1
5sin 2 2
x x
x
+
=
cot
1
2
8sin 2
x
x
− ;

3)
1 sin cos sin 2 cos2 0
x x x x
+ + + + =
;
4)
2 2
1
2cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x
π π
− + − − − =
;
5)
cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
x x x
+ + =
;
6)
6 6
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=

−
;
7)
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ − − =
;
8)
13 18tan 6 tan 3;
x x
− = −

9)
4 4
cos sin cos sin ;
x x x x
− = +
10)
13 14
cos sin 1.
x x
+ =

VI.6. Giải các phương trình
1)
2
tan cot 4cos 2 ;
x x x
= +
74

2)
2
sin 2 sin ;
4 4 2
x x
π π
   
− = − +
   
   

3)
(
)
(
)
2
3 2cos cos 2 3 2cos sin 0;
x x x x
+ − + − =

4)
( )
2
1 2cos3 sin sin 2 2sin 2 ;
4
x x x x
π
 

+ + = +
 
 

5)
2 2
1 sin sin cos sin 2cos ;
2 2 4 2
x x x
x x
π
 
+ − = −
 
 

6)
2 2
1
cos ( ) sin ( ) 2sin ;
3 6 4
x x x
π π
+ + + = −

7)
sin 3 4cos 3
6
0;
sin 3 1

x x
x
π
 
− − −
 
 
=
−

8)
3 3
2 3 2
cos3 cos sin 3 sin ;
8
x x x x
+
− =
9)
2
4sin 3 sin 4cos 3 cos cos 2 1 0;
4 4 4
x x x x x
π π π
     
+ − + − + + =
     
     

10)

sin 3 3cos3 cos2 3 sin 2 sin 3 cos ;
x x x x x x
+ + − = +
11)
(
)
(
)
2
sin 1 tan 3sin cos sin 3;
x x x x x
+ = − +

12)
sin 2 cos 2
tan cot ;
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
13)
1 1 7
4sin ;
3
sin 4
sin
2
x
x

x
π
 
+ = −
 
π
 
 
−
 
 

14)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cos ;
x x x x x x
− = −
15)
(
)
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos ;
x x x x
+ + = +
16)
(
)
( )( )
1 2sin cos
3.
1 2sin 1 sin

x x
x x
−
=
+ −

VI.7. Giải các phương trình
1)
11 5 7 3
cos sin 2 sin
4 2 4 2 2 2
x x x
π π π
     
− + − = +
     
     
;
2)
( )
2 sin
4
1 sin 2 1 tan ;
cos
x
x x
x
π
 
−

 
 
+ = +
75

3)
(
)
3 3
sin cos cos 2 2cos sin
x x x x x
+ = − ;
4)
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 
 
;
5)
2 2
1 1
cos sin
4 3 2 2
x x
+ = ;

6)
1
3 sin cos
cos
x
x
+ = ;
7)
2 2
3tan 4 tan 4cot 3cot 2 0;
x x x x
+ + + + =

8)
2 2
sin tan cos cot sin 2 1 tan cot ;
x x x x x x x
+ − = + +
9)
(
)
4 4 2
sin 2 cos 2 1 cos 4 sin6
x x x x
+ = + ;
10)
(
)
(
)

2
3 2cos cos 2 sin 3 2cos 0;
x x x x
+ − + − =

11)
tan tan sin 3 sin sin 2 ;
6 6
x x x x x
π π
   
− + = +
   
   

12)
(
)
(
)
1 tan 1 sin 2 1 tan ;
x x x
− + = +
13)
sin 2 cos2
tan cot ;
cos sin
x x
x x
x x

− = −
14)
5 3
sin cos 2 cos ;
2 4 2 4 2
x x x
π π
   
− − − =
   
   

15)
(
)
2
2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cos .
x x x x x
+ + = +

VI.8. Tìm các giá trị của tham số
m
để các phương trình cho sau đây có nghiệm
1)
2 2
tan cot (tan cot ) 2 0;
x x m x x m
+ + + + =

2)

(sin cos ) sin 2 1 0;
m x x x m
+ + + − =

3)
4(cos sin ) sin 2 .
x x x m
− + =

VI.9. Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có nghiệm thỏa
2 2
x
π π
− < <

(
)
2
cos 2 cos 4 1 0.
x m x m
− + − =

VI.10. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số
m

2 2
sin 2sin cos 2cos .
x x x x m

+ − =

VI.11. Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình:
2
cos 2 2sin 2 2 0
m x x m
− + − =
có
nghiệm trong khoảng
0; .
4
π
 
 
 