bai tap dai so 11 chuong 3

TÀI LIỆU THAM KHẢO
LỚP 11
BÀI TẬP
ĐẠI SỐ 11
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ

GV:Võ Hoàng Tân
2

I. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng
với mọi giá trò nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
•
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
•
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k
≥
1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số
nguyên dương n
≥
p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương
bất kì n = k
≥
p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:
a) 1 + 2 + … + n =
( 1)
2

n n +
b)
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + =
c)
2
3 3 3
( 1)
1 2 ...
2
n n
n
 
+
+ + + =
 
 
d)
2
1.4 2.7 ... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + = +
e)
( 1)( 2)
1.2 2.3 ... ( 1)
3

n n n
n n
+ +
+ + + + =
f)
1 1 1
...
1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =
+ +
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:
a)
2 2 1
n
n> +
(n ≥ 3) b)
2
2 2 5
n
n
+
> +
c)
2 2
1 1 1
1 ... 2
2
n

n
+ + + < −
(n ≥ 2) d)
1 3 2 1 1
. ...
2 4 2
2 1
n
n
n
−
<
+
e)
1 1
1 ... 2
2
n
n
+ + + <
f)
1 1 1 13
...
1 2 2 24n n n
+ + + >
+ +
(n > 1)
3
CHƯƠNG III : DÃY SỐ – CẤP SỐ
CHƯƠNG III : DÃY SỐ – CẤP SỐ

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:
a)
3
11n n+
chia hết cho 6. b)
3 2
3 5n n n+ +
chia hết cho 3.
c)
2 2 2 1
7.2 3
n n− −
+
chia hết cho 5. d)
3
2n n+
chia hết cho 3.
e)
2 1 2
3 2
n n+ +
+
chia hết cho 7. f)
13 1
n
−
chia hết cho 6.
Bài 4: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
( 3)

2
n n −
.
Bài 5: Dãy số (a
n
) được cho như sau:
1 1
2, 2
n n
a a a
+
= = +
. Chứng
minh rằng với mọi n ∈ N* ta có:
1
2cos
2
n
n
a
+
=
π
.
II. Dãy số
1. Dãy số
: *
( )
u
n u n

→¥ ¡
a
Dạng khai triển: (u
n
) = u
1
, u
2
, …, u
n
, …
2. Dãy số tăng, dãy số giảm
•
(u
n
) là dãy số tăng
⇔
u
n+1
> u
n
với
∀
n
∈
N*.
⇔
u
n+1
– u

n
> 0 với
∀
n
∈
N*

⇔

1
1
n
n
u
u
+
>
với
∀
n
∈
N* ( u
n
> 0).
•
(u
n
) là dãy số giảm
⇔
u

n+1
< u
n
với
∀
n
∈
N*.
⇔
u
n+1
– u
n
< 0 với
∀
n
∈
N*

⇔

1
1
n
n
u
u
+
<
với

∀
n
∈
N* (u
n
> 0).
3. Dãy số bò chặn
•
(u
n
) là dãy số bò chặn trên
⇔

∃
M
∈
R: u
n

≤
M,
∀
n
∈
N*.
•
(u
n
) là dãy số bò chặn dưới
⇔

∃
m
∈
R: u
n

≥
m,
∀
n
∈
N*.
•
(u
n
) là dãy số bò chặn
⇔

∃
m, M
∈
R: m
≤
u
n

≤
M,
∀

n
∈
N*.
Bài 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
2
2
2 1
1
n
n
u
n
−
=
+
b)
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
+ −
=
+
c)

2
1
1
n
n
u
n
−
=
+
4

d)
1
3
n
n
u
 
= −
 ÷
 
e)
2
cos
n
u n n= +
f)
( 1)!
2

n
n
n
u
+
=
Bài 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
( )
1 1
1
2, 1
3
n n
u u u
+
= = +
b)
1 2 2 1
15, 9,
n n n
u u u u u
+ +
= = = −
c)
1 1
2
2

0,
1
n
n
u u
u
+
= =
+
d)
1 2 2 1
1, 2, 2
n n n
u u u u u
+ +
= = − = −
Bài 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (u
n
), dự đoán công thức số
hạng tổng quát u
n
và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:
a)
1 1
1, 2 3
n n
u u u
+
= = +
b)

2
1 1
3, 1
n n
u u u
+
= = +
c)
1 1
3, 2
n n
u u u
+
= =
d)
1 1
1, 2 1
n n
u u u
+
= − = +
e)
1 1
1, 7
n n
u u u
+
= = +
e)
1

5
4
u =
,
2
1
1
+
=
+
n
n
u
u
Bài 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u
n
) cho bởi:
a)
2 1
3 2
n
n
u
n
+
=
−
b)
4 1
4 5

n
n
n
u
−
=
+
c)
( 1)
2
n
n
u
n
−
=
+
d)
2
2
1
1
n
n n
u
n
+ +
=
+
e)

2
cos
n
u n n= +
f)
2
n
n
u
n
−
=
Bài 5: Xét tính bò chặn trên, bò chặn dưới, bò chặn của các dãy số (u
n
)
cho bởi:
a)
2 3
2
n
n
u
n
+
=
+
b)
1
( 1)
n

u
n n
=
+
c)
2
4
n
u n= +
d)
2
2
2
1
n
n n
u
n n
+
=
+ +
e)
2
2
n
n
u
n n n
=
+ +

f)
( 1) cos
2
n
n
u
n
= −
π
5