THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1 MÔN TOÁN ppsx

ht t p: / / www.vnmath.com
KÌ THI KSCL THI Đ I H C NĂM 2011 L N TH 1Ạ Ọ Ầ Ứ
Đ THI MÔN TOÁN -KH I AỀ Ố
Th i gian làm bài : 180 phút(ờ không k th i gian giao để ờ ề)

I/PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINHẦ Ấ Ả (8,0 đi m)ể
Câu I(2,0 đi m): Cho hàm s y = xể ố
4
– 8m
2
x
2
+ 1 (1), v i m là tham s th c.ớ ố ự
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m =ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
1
2
2. Tìm các giá tr c a m đ hàm s (1) có 3 c c tr A ,B, C và di n tích tam giácị ủ ể ố ự ị ệ
ABC b ng 64.ằ
Câu II(2,0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình :ả ươ
2
2 3 os2 tan 4sin ( ) cot 2
4
c x x x x
π
− = − +
2.Gi i b t ph ng trình : ả ấ ươ
2 1 5 3x x x− − + > −
Câu III(1,0 đi m)ể
Khai tri n (1 – 5x)ể
30

= a
o
+a
1
x +a
2
x
2
+ + a
30
x
30
Tính t ng S = |aổ
o
| + 2|a
1
| + 3|a
2
| + + 31|a
30
|
Câu IV(2,0 đi m): Cho hình chóp S.ABCD ,ể đáy ABCD là hình vuông c nh a,m t bênạ ặ
SAD là tam giác đ u và SB = ề
2a
. G i E,F l n l t là trung đi m c a AD và AB .G iọ ầ ượ ể ủ ọ
H là giao đi m c a FC và EB.ể ủ
1.Ch ng minh r ng: ứ ằ
SE EB
⊥
và

SBCH
⊥
2.Tính th tích kh i chóp C.SEBể ố
Câu V(1,0 đi m).Cho ể a,b,c là ba s th c d ng tho mãn ố ự ươ ả abc = 1 .Tìm giá tr l n nh tị ớ ấ
c a bi u th c : ủ ể ứ
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
P
a b b c c a
= + +
+ + + + + +
II/PH N RIÊNGẦ (2,0 đi m)ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
A/Theo ch ng trình Chu nươ ẩ :
Câu VIa (2,0 đi m) ể
1. Cho tam giác ABC có đ nh A (0;1), đ ng trung tuy n qua B và đ ng phân giácỉ ườ ế ườ
trong c a góc C l n l t có ph ng trình : (d1): x – 2y + 4 = 0 và (d2): x + 2y + 2 = 0ủ ầ ượ ươ
Vi t ph ng trình đ ng th ng BC .ế ươ ườ ẳ
2.Gi i h ph ng trình :ả ệ ươ

2log
2
2 3
log log
x
y
y x
x x
x

y
y
y
= +
=
=
=
=
=
B/Theo ch ng trình Nâng cao:ươ
Câu VI b(2,0 đi m)ể
1.Trong m t ph ng v i h tr c to đ Oxy,cho hình ch nh t ABCD có ph ng trìnhặ ẳ ớ ệ ụ ạ ộ ữ ậ ươ
đ ng th ng (AB): x – y + 1 = 0 và ph ng trình đ ng th ng (BD): 2 x + y – 1 = 0;ườ ẳ ươ ườ ẳ
đ ng th ng (AC) đi qua M( -1; 1). Tìm to đ các đ nh c a hình ch nh t ABCD.ườ ẳ ạ ộ ỉ ủ ữ ậ
2.Tìm giá tr l n nh t ,giá tr nh nh t c a hàm s :ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2 2
sin 1 os
3 3
x c x
y
+
= +
.
H TẾ !
Thí sinh không đ c s d ng tài li u.Cán b coi thi không gi i thích gì thêm.ượ ử ụ ệ ộ ả
H và tên thí sinh:…………………………………………….S báo danh:……………………ọ ố
http:/ / www.vnmath.com
1
http:// www.vnmath.com
ĐÁP ÁN THANG ĐI M Ể

Đ THI KSCL THI Đ I H C NĂM 2010 L N TH 1Ề Ạ Ọ Ầ Ứ
MÔN TOÁN - KH I A Ố
Câu Ý N i dung đáp ánộ Điể
m
I 1
1đi mể
Khi m=
1
2
hàm s đã cho có pt: y= xố
4
– 2x
2
+ 1
1.TXĐ : D= R
2.SBT
.CBT: y’= 4x
3
- 4x = 4x( x
2
- 1)

y’=0 <=> x= 0 ho c x = 1 ho c x = -1ặ ặ
Hàm s đ ng bi n ố ồ ế
( 1;0)x∀ −�
vµ
(1; )+1
Hàm s ngh ch bi n ố ị ế
( ; 1)x∀ − −� �
vµ(0;1)

.C c tr : HS đ t c c đ i t i x= 0 và yự ị ạ ự ạ ạ
CĐ
=y(0)=1
HS đ t c c ti u t i x= ạ ự ể ạ
ạ
1 và y
CT
=y(
=
1)=0

.Gi i h n:ớ ạ
lim
x
y
y +m
= +m
;
lim
x
y
y −m
= +m
.BBT:
x -
-
- 1 0 1 +
+
,
y

- 0 + 0 -
0 +
y
+
1
+
0 0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3. v đ th :ẽ ồ ị
y
1

- 1 1 x
0,25
0,25
0,25
0,25
I 2
(1đi mể
)
, 3 2 2 2
4 16 4 ( 4 )y x m x x x m= − = −
Đk đ hàm s có 3 c c tr là ể ố ự ị
,
0y =
có 3 nghi m phân bi tệ ệ
T c là ph ng trình ứ ươ
2 2
( ) 4 0g x x m= − =

có hai nghi m phân bi tệ ệ
0x
x
0m
۹
0,25
http:// www.vnmath.com
2
http:// www.vnmath.com
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
, 4
4
0 1
0 2 1 16
2 1 16
x y
y x m y m
x m y m
= =�
�
�
= = = −� �
�
�
= − = −�
�
Gi s 3 đi m c c tr là:A(0;1);Bả ử ể ự ị
4
(2 ;1 16 )m m−

;C
4
( 2 ;1 16 )m m− −
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Ta th y AB=AC = ấ
2 4 2
(2 ) (16 )m m+
nên tam giác ABC cân t i Aạ
G i I là trung đi m c a BC thì ọ ể ủ
4
(0;1 16 )I m−
nên
4
16AI m=
;
4BC m=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4
1 1
. . 16 .4
2 2
ABC
S AI BC m m
∆
= =
=64
5
5

2 2m m= =� � �
(tmđk
0m m
)
Đs:
5
2m =
0,25
0,25
0,25
II 1
(1đi mể
)
Đk:
( )
2
k
x k Z
π
πk
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
V i đk trên ph ng trình đã cho t ng đ ng:ớ ươ ươ ươ

2 3 os2 (t anx cot 2 ) 2 1 os(2 )
2
c x x c x
π
� �
− + = − −

� �
� �
sinx os2
2 3 os2 ( ) 2(1 sin 2 )
cos sin 2
c x
c x x
x x
− + = −�
cos
2 3 os2 2(1 sin 2 )
cos .sin 2
x
c x x
x x
− = −�
1
2 3 os2 2(1 sin 2 )
sin 2
c x x
x
− = −�
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2
2 3 os2 .sin 2 1 2sin 2 2sin 2c x x x x− = −�
3 sin 4 1 2sin 2 1 os4x x c x− = − +�
3 sin 4 os4 2sin 2x c x x− =�
3 1
sin 4 os4 sin 2

2 2
x c x x− =�
sin(4 ) sin 2
6
x x
π
− =�
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
0,25
0,25
0,25
0,25
http:// www.vnmath.com
3
http:// www.vnmath.com
4 2 2
( )
6
12
( )
7
( )
4 2 2
36 3
6
x x k
x k tm
k Z

k
x tm
x x k
π
π
π
π
π π
π
π π
π
π
− = +
= +
=
=
� �
�
�
�
�
= +
− = − +
−
−
−
−
II 2
(1đi mể
)

2 1 5 3x x x− − + > −
(1)
Đk:
1x
x
Nhân l ng liên h p: ượ ợ
2 1 5 0x x− + + >
(2 1 5)(2 1 5) ( 3)(2 1 5)x x x x x x x− − + − + + > − − + +
4( 1) ( 5) ( 3)(2 1 5)x x x x x− − + > − − + +�
3( 3) ( 3)(2 1 5)x x x x− > − − + +�
(2)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Xét các tr ng h p:ườ ợ
TH1:x>3 thì ph ng trình (2) tr thành: ươ ở
3 2 1 5x x> − + +
(3)

(3)
2 2 2 2 4 2VP > + =
>3
nên b t ph ng trình (3) vô nghi m.ấ ươ ệ

TH2: x=3 thì 0>0 (vô lý)

TH3:
1 3x
x <
nên t b t ph ng trình (2) ta suy ra:ừ ấ ươ

3 (2 1 5)x x< − + +
bình ph ng 2 v ta đ c:ươ ế ượ

4 ( 1)( 5) 8 5x x x− + > −
(4)
*
8 5 0
8
3
1 3
5
x
x
x
− <
−
< <�
�
� <
�
(5) thì (4) luôn đúng
*
8 5 0
8
1
1 3
5
x
x
x

−3
−
−�
�
� <
�
(*) nên bình ph ng hai v c aươ ế ủ
(4)ta đ cượ
2
9 144 144 0 8 48 8 48x x x− + < − < < +�
K t h p v i đi u ki n(*) ta đ c: ế ợ ớ ề ệ ượ
8
8 48
5
x− <8
(6)
Từ (5) và (6) ta có đs:
8 48 3x− < <
0,25
0,25
0,25
0,25
III 1đi mể
Xét khai tri n: ể
30 0 1 2 2 30 30
30 30 30 30
(1 5 ) .5 .(5 ) .(5 )x C C x C x C x− = − + − +
Nhân 2 v v i x ta đ c:ế ớ ượ
30 0 1 2 2 2 3 30 30 31
30 30 30 30

(1 5 ) .5 .5 .5x x C x C x C x C x− = − + − +
(1)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
L y đ o hàm hai v c a (1) ta đ c;ấ ạ ế ủ ượ
30 29 0 1 2 2 2 30 30 30
30 30 30 30
(1 5 ) 150 (1 5 ) 2 .5 3 .5 31 .5x x x C C x C x C x− − − = − + − +

(2)
Ch n x=-1 thay vào (2) ta đ cọ ượ
30 29 0 1 2 2 30 30
30 30 30 30
6 150.6 2( .5) 3( .5 ) 31( .5 )C C C C+ = + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
0,25
0,25
0,25
0,25
http:// www.vnmath.com
4
http:// www.vnmath.com
hay
29
0 1 2 30
6 (6 150) 2 3 31a a a a+ = + + + +
hay
30
0 1 2 30

6 .26 2 3 31a a a a= + + + +
ĐS :
30
6 .26S =
IV 1
(1đi mể
)
S
A F
B
H
E
D C

*CM:
SE EB⊥
Vì tam giác SAD đ u c nh a ề ạ
3
2
a
SE =�
Xét tam giác vuông AEB có:

2
2
2 2 2 2
5
2 4
a a
EB EA AB a

� �
= + = + =
� �
� �
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Xét tam giác SEB có:
2
2
2 2 2 2
3 5
2
2 4
a a
SE EB a SB
� �
+ = + = =
� �
� �
� �
suy ra tam giác SEB vuông t i E hay ạ
SE EB⊥
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Ta có: AEB = BFC(c-c)
suy ra
s
s
AEB BFC=
mà

m
m
0
90AEB FBE+ =




0 0
90 90BFC FBE FHB+ = =� �
Hay
CH EB⊥

mÆt kh¸c
CH SE
⊥
(do
( )SE ABCD⊥
)
Suy ra
( )CH SEB⊥
. =>
SBCH
⊥
0,25
0,25
0,25
0,25
IV 2
(1đi mể

)
V y ậ
.
1
. .
3
C SEB SEB
V CH S
∆
=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
* Xét FBC có:
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 1 5
2
BH BF BC a a a a
a
= + = + = + =
� �
� �
� �

suy ra
2
2
5
a
BH =

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
0,25
0,25
0,25
http:// www.vnmath.com
5
http:// www.vnmath.com
Xét BHC có:
2 2
2 2 2 2
4 2
5 5
5
a a a
CH BC BH a CH= − = − = =�
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Nên
3
.
1 1 1 2 1 3 5 3
. . . . . . .
3 2 3 2 2 2 12
5
C SEB
a a a a
V CH SE EB= = =
(đvtt)
0,25

V (1
đi m)ể
Áp d ng BĐT cosi ta có:ụ

2 2
2a b ab+b

2
1 2b b+b
suy ra
2 2
2 3 2( 1)a b ab b+ +a + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
T ng t :ươ ự
2 2
2 3 2( 1)b c bc c+ +b + +

2 2
2 3 2( 1)c a ac a+ +a + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Khi đó:
1 1 1 1
2 1 1 1
P
ab b bc c ac a
� �
� + +
� �

+ + + + + +
� �
=
2
1 1
2 1
abc abc
ab b bc c abc ac a bc abc
� �
+ +
� �
+ + + + + +
� �
=
1 1 1
2 1 1 1 2
ab b
ab b ab b ab b
� �
+ + =
� �
+ + + + + +
� �
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
D u đ ng th c x y ra khi a=b=c=1.ấ ẳ ứ ả
V y P đ t giá tr l n nh t b ng ậ ạ ị ớ ấ ằ
1
2
khi a=b=c=1

0,25
0,25
0,25
0,25
VI.
a
1
(1đi mể
)
G iọ
( ; )
c c
C x y
Vì C thu c đ ng th ng (d2) nên:ộ ườ ẳ
( 2 2; )
c c
C y y− −
G i M là trung đi m c a AC nên ọ ể ủ
1
1;
2
c
c
y
M y
+
� �
− −
� �
� �

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vì M thu c đ ng th ng (d1) nên :ộ ườ ẳ
1
1 2. 4 0 1
2
c
c c
y
y y
+
− − − + = =�
( 4;1)C −�
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
T A kừ ẻ
2AJ d
⊥
t i I ( J thu c đ ng th ng BC) nên véc tạ ộ ườ ẳ ơ
ch ph ng c a đ ng th ng (d2) là ỉ ươ ủ ườ ẳ
(2; 1)u
u
−
là véc t phápơ
tuy n c a đ ng th ng (AJ)ế ủ ườ ẳ
V y ph ng trình đ ng th ng (AJ) qua A(0;1)là:2x-y+1=0ậ ươ ườ ẳ
0,25
0,25
http:// www.vnmath.com
6

http:// www.vnmath.com
Vì I=(AJ)
V
(d2) nên to đ di m I là nghi m c a hạ ộ ể ệ ủ ệ

4
2 1 0
4 3
5
( ; )
2 2 0 3
5 5
5
x
x y
I
x y
y
y
= −
=
− + =
−
−
− −� �
� �
+ + =
+
+
= −

=
=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vì tam giác ACJ cân t i C nên I là trung đi m c a AJạ ể ủ
G i J(x;y) ta có:ọ
8 8
0
8 11
5 5
( ; )
6 11
5 5
1
5 5
x x
J
y y
� �
+ = − = −
� �
� �
− −� �
� �
� �
+ = − = −
� �
� �
V y ph ng trình đ ng th ng (BC) qua C(-4;1) ;ậ ươ ườ ẳ
8 11

( ; )
5 5
J − −

là:
4x+3y+13=0
0,25
0,25
VI.
a
2
(1
đi m)ể
Đk: x,y>0 và
, 1x y x
V i đk trên h ph ng trình t ng đ ng :ớ ệ ươ ươ ươ
2
2 3(1)
log x-1=2log y (2)
y x
y x
y
= +
=
=
=
=
Gi i(2) đ t ả ặ
log ( 0)
y

x t t=t
ph ng trình (2) tr thành: ươ ở
2
1
2
1 2 0 ( )
2
t
t t t tm
t
t
= −
=
− = − − =� �
�
=
=
y
y
log x=-1
log x=2
l
l
l
l
l
2
1
x
y

x y
x
=
=
=
=
=
=
=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1/
2
2 3
2
3
2 3 3 2 0
1 1
1
y
y x y y
y
x x
x
y y
y
y
= +
� �
= + − − =

=
� � �
� �
� � �
= =
� � �
=
� �
�
�
2
1
1( )
2
1
2
y
x
y loai
y
x
y
=�
�
�
�
�
=
= −
� �

�
� �
� �
� �
=
=
=
=
=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/
2 2 2 2
2 2 2
2 3 2 3 3 0y x y y y
x y x y x y
� � �
= + = + + =
� � �
� �
� � �
= = =
� � �
� � �
(vô nghi m)ệ
0,25
0,25
0,25
0,25
http:// www.vnmath.com

7
http:// www.vnmath.com
Đáp s : ố
1
2
2
x
y
y
=
=
=
=
=
=
VI.
b
1
(1đi mể
)
Vì B là giao đi m c a (AB) và (BD) nên to đ c a B làể ủ ạ ộ ủ
nghi m c a h : ệ ủ ệ
1 0 0
(0;1)
2 1 0 1
x y x
B
x y y
− + = =
� �

� �
� �
+ − = =
� �
Đ ng th ng AB có VTPT : ườ ẳ
(1; 1)
AB
n −
uuur
Đ ng th ng BD có VTPT : ườ ẳ
(2;1)
BD
n
uuur
Gi s đ ng th ng AC có VTPT :ả ử ườ ẳ
( ; )
AC
n a b
uuur

Khi đó:

2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
. .
1
5

5
5( 2 )
4 10 4 0
2 5 2 0
AB BD AB AC
AB BD AB AC
n n n n
n n n n
a b
a b a b
a b
a b a ab b
a ab b
a ab b
=
−
= + = −� �
+
+ = − +�
− + =�
− + =�
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

2
2
b
a
a b
a

=
=
=
=
=
=
1/V i ớ
2
b
a =
, ch n a=1,b=2 thì ọ
(1;2)
AC
n
uuur
suy ra ph ng trìnhươ
đ ng th ng (AC) đi qua đi m M(-1;1) là: x+2y-1=0ườ ẳ ể

G i I là giao đi m c a đ ng th ng (AC) và (BD) nên to đọ ể ủ ườ ẳ ạ ộ
đi m I là nghi m c a h : ể ệ ủ ệ
1
x=
2 1 0
1 1
3
( ; )
2 1 0 1
3 3
y=
3

x y
I
x y
x
x
+ − =
+
+
� �
� �
+ − =
+
+
+
+
Vì A là giao đi m c a đ ng th ng (AB) và (AC) nên to để ủ ườ ẳ ạ ộ
đi m A là nghi m c a h : ể ệ ủ ệ
1
x=-
1 0
1 2
3
( ; )
2 1 0 2
3 3
y=
3
x y
A
x y

x
x
− + =
−
−
−� �
� �
+ − =
+
+
+
+
Do I là trung đi m c a AC và BD nên to đ đi m ể ủ ạ ộ ể
(1;0)C
và
2 1
( ; )
3 3
D −
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/V i a=2b ch n a=2;b=1 thì ph ng trình đ ng th ng (AC)ớ ọ ươ ườ ẳ
là 2x+y+1=0 (lo i vì AC không c t BD)ạ ắ
0,25
0,25
0,25
0,25
http:// www.vnmath.com
8
http:// www.vnmath.com

Đáp s : ố
1 2
( ; )
3 3
A −
;
(0;1)B
;
(1;0)C
;
2 1
( ; )
3 3
D −
VI.
b
2
(1đi mể
)
TXĐ: D=R
hàm s đã cho vi t l i là: ố ế ạ
2 2
sin 2 sin
3 3
x x
y
−
= +
Đ t ặ
2

sin
3
x
t =
vì
2
0 sin 1xxs
nên
2
sin
1 3 3
x
x3
t c ứ
1 3t
t3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
khi đó hàm s đã cho tr thành ố ở
9
( )y f t t
t
= = +
v iớ
1 3tt3
Ta có
2
,
2 2
9 9

( ) 1
t
f t
t t
−
= − =

, 2
( ) 0 9 0 3f t t t= − = =� � �
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
BBT:
t 1 3
,
( )f t
-
( )f t
10
6

[ ]
( ; ) 1;3
min ( ) min ( ) 6y x f t
−x +t
= =
đ t đ c khi t=3 khi ạ ượ

2
sin 1 ( )
2

x x k k Z
π
π
= = +� �
[ ]
( ; ) 1;3
ax ( ) ax ( ) 10M y x M f t
−y +M
= =
đ t đ c khi t=1 khi ạ ượ

2
sin 0 ( )x x k k Z
π
= =� �
0,25
0,25
0,25
0,25
N u thí sinh làm theo các cách khác đúng, v n cho đi m t i đa.ế ẫ ể ố
H tế
KỲ THI KSCL THI Đ I H C NĂM 2011 L N TH 1Ạ Ọ Ầ Ứ
Đ THI MÔN TOÁN 12. KH I D. Ề Ố
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đờ ể ờ ề

I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2,0 đi m)ể
Cho hàm s y= xố
3
- 3(m + 1)x

2
+ 3m(m + 2)x + 1 (1) (m là tham s th c)ố ự
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m= 1ả ự ế ẽ ồ ị ố
http:// www.vnmath.com
9
http:// www.vnmath.com
2. CMR: Hàm s (1) luôn có c c đ i và c c ti u. Xác đ nh các giá tr c a m đ hàm s (1) đ tố ự ạ ự ể ị ị ủ ể ố ạ
c c đ i và c c ti u t i các đi m có hoành đ d ng.ự ạ ự ể ạ ể ộ ươ
Câu II (2,0 đi m)ể
1. Gi i b t ph ng trình: xả ấ ươ
2
+
xxx 26342
2
−≥++
2. Gi i ph ng trình: ả ươ sin2x -
22
(sinx + cosx) -5=0
Câu III (1,0 đi m)ể
Tính t ng: S=ổ
!1!2010
1
!3!2008
1

!2005!6
1
!2007!4
1
!2009!2

1
+++++
Câu IV (1,0 đi m)ể
Cho t di n ABCD có ABC là tam giác vuông t i A, AB =a, AC =aứ ệ ạ
3
, DA =DB =DC. Bi tế
r ng DBC là tam giác vuông. Tính th tích t di n ABCDằ ể ứ ệ
Câu V (1,0 đi m)ể
CMR: V i m i xớ ọ
,
y, z d ng tho mãn xy + yz + zx = 3 ta có:ươ ả
1
))()((
4
2
1
≥
+++
+
xzzyyxxyz
II. PH N RIÊNG (3,0 đi m)Ầ ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho 2 đi m A(5;-2), B(-3;4) và đ ng th ng d cóặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ườ ẳ
ph ng trình: x - 2y + 1 = 0. Tìm to đ đi m C trên đ ng th ng d sao cho tam giác ABCươ ạ ộ ể ườ ẳ
vuông t i C. Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i t p tam giác ABC.ạ ế ươ ườ ạ ế
2. Trong m t ph ng (P), cho hình ch nh t ABCD có AB=a, AD=b. S là m t ặ ẳ ữ ậ ộ đi m b t kỳ n mể ấ ằ
trên đ ng th ng At vuông góc v i m t ph ng (P) t i A. Xác đ nh tâm, bán kính m t c u ngo iườ ẳ ớ ặ ẳ ạ ị ặ ầ ạ
ti p hình chóp S.ABCD và tính th tích kh i c u đó khi SA=2a.ế ể ố ầ

Câu VII.a (1,0 đi m) ể Gi i h ph ng trình:ả ệ ươ
2
3
12
1 =








+
− x
xy

6
3
12
1 =








+

+ y
xy
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(-2;3), đ ng cao CH n mặ ẳ ớ ệ ạ ộ ỉ ườ ằ
trên đ ng th ng: 2x + y -7= 0 và đ ng trung tuy n BM n m trên đ ng th ng 2x – y +1=0.ườ ẳ ườ ế ằ ườ ẳ
Vi t ph ng trình các đ ng th ng ch a các c nh c a tam giác ABC.ế ươ ườ ẳ ứ ạ ủ
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, SAB là tam giác đ u và mp(SAB)ề ạ ề
vuông góc v i mp(ABC). Xác đ nh tâm, bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC và tínhớ ị ặ ầ ạ ế
th tích kh i c u đó.ể ố ầ
Câu VII.b (1,0 đi m)ể
Gi i ph ng trình eả ươ
x
= 1+ ln(1+x).
H t ế
Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêmượ ử ụ ệ ộ ả
H và tên thí sinh:……………………… …… ; S báo danh:………………ọ ố
ĐÁP ÁN - THANG ĐI MỂ
Đ THI KSCL THI Đ I H C NĂM 2011 L N TH 1Ề Ạ Ọ Ầ Ứ
MÔN: TOÁN 12; KH I D.Ố
(Đáp án - Thang đi m g m 05 trang)ể ồ
Câu Ý
N i dung đáp ánộ Điể
m
http:// www.vnmath.com
10
http:// www.vnmath.com
I 2,0
1 (1,0
đi m)ể

Khi m=1, ta có hàm s y = xố
3
-6x
2
+9x+1
* TXĐ: R
* S bi n thiênự ế
- Chi u bi n thiên: y' = 3xề ế
2
-12x + 9
y' = 0 <=> x =1 ho c x =3ặ
0,25
Hàm s đ ng bi n trên các kho ng (-ố ồ ế ả
)1;∞
và (
);3 +∞
;
Ngh ch bi n trên kho ng (1; 3)ị ế ả
- C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x =1; yự ị ố ạ ự ạ ạ
CĐ
=5
Hàm s đ t c c ti u t i x =3; yố ạ ự ể ạ
CT
=1
- Gi i h n:ớ ạ
± ∞=
± ∞→
y
x
lim

0,25
- B ng bi n thiên:ả ế
x -
∞
1 3 +
∞

y' + 0 - 0 +

+
∞
5
y
-
∞

1
0,25
* Đ th : ồ ị
y
5



1

0 1 3 4 x
0,25
2
(1,0

đi m)ể
* Ta có: y' = 3x
2
- 6 (m+1)x + 3m(m+2)
y' = 0 <=> x
2
- 2(m+1)x + m(m+2) = 0(2)
=>
'∆
=(m+1)
2
- m(m+2)=1 > 0,
m∀
0,25
V y ph ng trình y'=0 luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m. Do đóậ ươ ệ ệ ớ ọ
hàm s (1) luôn có c c đ i và c c ti u.ố ự ạ ự ể
0,25
* Hàm s (1) đ t c c đ i và c c ti u t i các đi m có hoành đố ạ ự ạ ự ể ạ ể ộ
d ng <=> (2) có 2 nghi m d ng phân bi t <=> P > 0ươ ệ ươ ệ
S > 0
0,25

m(m+2) > 0
<=> <=> m > 0
2(m+1) > 0
0,25
II
2,0
BPT đã cho <=> x
2

+ 2x - 6 +
342
2
++ xx
> 0
Đ t t = ặ
1)1(2342
22
++=++ xxx
=> đi u ki n t ề ệ >1
0,25
http:// www.vnmath.com
11
http:// www.vnmath.com
1 (1,0
đi m)ể
BPT tr thành:ở

06
2
3
2
≥+−
−
t
t
<=> t
2
+ 2t - 15 >0
0,25

<=> t >3
t <-5 (lo i vì trái đi u ki n) ạ ề ệ

0,25
V y: 2xậ
2
+ 4x + 3 > 9
<=> x
2
+ 2x - 3 > 0
<=> x > 1
x < -3
0,25
2 (1,0
đi m)ể
PT đã cho <=> (sinx + cosx)
2
- 2
2
(sinx + cosx) - 6 = 0
0,25
<=> sinx + cosx = -
2
sinx + cosx = 3
2
0,25
<=>
2
sin
2

4
−=






+
π
x

2
sin
23
4
=






+
π
x
=> vô nghi mệ
0,25
<=>
π

ππ
2
24
kx +−=+
<=>
)(2
4
3
Zkkx ∈+−=
π
π
0,25
III 1,0
Ta có
2011!S=
!1!2010
!2011
!3!2008
!2011

!2005!6
!2011
!2007!4
!2011
!2009!2
!2011
+++++
=
2010
2011

2008
2011
6
2011
4
2011
2
2011
CCCCC +++++
0,25
Khai tri nể
(1+x)
2011
=
20112011
2011
20102010
2011
22
2011
1
2011
0
2011
xCxCxCxCC +++++
0,25
Ch n x = -1 ta có:ọ

2011
2011

3
2011
1
2011
2010
2011
2
2011
0
2011
CCCCCC +++=+++
Ch n x = 1 ta có: ọ
20112011
2011
2
2011
1
2011
0
2011
2 =++++ CCCC
0,25
Do đó:
20102010
2011
4
2011
2
2011
0

2011
2 =++++ CCCC
V y S = ậ
!2011
12
2010
−
0,25
IV
1,0
D
G i M là trung ọ đi m c a BC ể ủ
Ta có: MA=MB=MC
Mà: DA=DB=DC (gt) B
Suy ra: DM
⊥
(ABC) C M

Hình
vẽ
0.25

http:// www.vnmath.com
12
a
http:// www.vnmath.com
a

A
0,25

Có
∆
DBC vuông cân t i D nênạ
DM =
aaaaBC ==+= 2.
2
1
3
2
1
2
1
22
0,25
V y Vậ
ABCD
=
3
.
6
3
2
3
.
3
1
.
3
1
a

aa
aSDM
ABC
==
∆
(đvtt)
0,25
V 1,0
Áp d ng BĐT Côsi ta có:ụ
=
+++
≥
+++
+
))()((2
4
.2
))()((
4
2
1
xzzyyxxyzxzzyyxxyz
=
))()((
22
xyyzxzxyyzxz +++
0,25
Mà
2
3

)(2
))()((
3
=
++
≤+++
zxyzxy
xyyzxzxyyzxz
=> (xz+yz)(xy+xz)(yz+xy) < 8
0,25
Do đó:
1
8
22
))()((
4
2
1
=≤
+++
+
xzzyyxxyz
0,25
D u "=" x y ra <=> ấ ẩ
))()((
4
2
1
xzzyyxxyz +++
=

xz + yz = xy + xz = yz +xy <=> x = y = z = 1
xy+ yz + zx = 3
0,25
VI.a 2,0
1 (1,0
đi m)ể
Gi s C=(xả ử
o
;y
o
)
Vì C
∈
d nên x
o
- 2y
o
+ 1 = 0 (1)
0,25
Vì CA
⊥
CB nên
0. =CBCA

<=> (5 - x
o
)(-3 - x
o
) + (-2 - y
o

)(4 - y
o
) = 0
<=>
02322
0
2
00
2
0
=−−+− yyxx
(2)
0,25
Th (1) vào (2) ta có: ế
042
0
2
0
=−− yy
<=>
52151
00
−== >−= xy

52151
00
+== >+= xy

V y có 2 đi m tho mãn đ bài là: Cậ ể ả ề
1

=
521( +
;
51+
)
C
2
=
521( −
;
)51−

0,25
Đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC có tâm I(1;1) là trung đi m AB và bán kính R=ờ ạ ế ể
5
2
10
2
==
AB
. V y ph ng trình đ ng tròn đó là: ậ ươ ườ
25)1()1(
22
=−+− yx
0,25
http:// www.vnmath.com
13
http:// www.vnmath.com
2
(1,0

đi m)ể
G i O là giao đi m hai đ ng ọ ể ườ
chéo AC và BD c a hình ch nh t Sủ ữ ậ
ABCD. Qua O k đ ng th ng ẻ ườ ẳ
song song v i SA c t SC t i đi m I ớ ắ ạ ể
Ta có:
OI
⊥
(ABCD) vì SA
⊥
(ABCD) A I
=> OI là tr c c a đ ng tròn ngo i ti p Dụ ủ ườ ạ ế
hình vuông ABCD. O
=> IA = IB = IC = ID (1) B C
Mà OI là đ ng trung bình c a ườ ủ
SAC
∆
=> IS = IC (2)
T (1) và (2) => I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCDừ ủ ặ ầ ạ ế
Hình
vẽ
0,25
0,25
Do đó bán kính m t c u đó là:ặ ầ
R=
2
5
2
4
22

¸SC
2222222
babaaACSA +
=
++
=
+
=
0,25
V y th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD là:ậ ể ố ầ ạ ế
V=
6
5)5(
8
)5(
.
3
4
3
4
2222
322
3
baba
ba
R
++
=
+
=

π
ππ
(đvtt)
0,25
VII.a 1,0
Đi u ki n xề ệ >0, y>0, x+3y
≠
0
H đã cho t ng đ ng v i ệ ươ ươ ớ
x
xy
2
3
12
1 =
+
−

1
31
=+
yx

y
xy
6
3
12
1 =
+

+

xy
yx
3
1231
+
−
=−

0,25
Suy ra
xyyx 3
1291
+
−
=−
=> y
2
+ 6xy - 27x
2
= 0
0,25
=>
0276
2
=−







+






x
y
x
y
<=>
3=
x
y
ho c ặ
9−=
x
y
(lo i)ạ
0,25
V i y = 3x th vào PT đ u c a h đã cho ta có: x – 2ớ ế ầ ủ ệ
x
- 2 = 0
<=> x = (1+
2
)3

=> y = 3 (1+
2
)3
0,25
VI.b 2,0
1
(1,0
đi m)ể
Đư ng th ng ch a c nh AB đi qua A (-2;3) và nh n véct chờ ẳ ứ ạ ậ ơ ỉ
ph ng ươ
CH
u
= (-1;2) c a đ ng CH làm véct pháp tuy n nên cóủ ườ ơ ế
ph ng trình là:ươ
- 1(x+2) + 2(y-3) = 0
<=> - x + 2y - 8 = 0
0,25
To đ đi m B là nghi m h :ạ ộ ể ệ ệ



=+−
=−+−
012
082
yx
yx
=> B = (2; 5)
0,25
Gi s đ nh C = (xả ử ỉ

o
; y
o
) => M =
;
2
2
0



−x



+
2
3
0
y

Vì C
∈
CH nên 2x
o
+ y
o
- 7 = 0 (1)
Vì M
∈

BM nên:
01
2
3
2
2
.2
00
=+
+
−
− yx
<=> 2x
o
- y
o
- 5 = 0 (2)
0,25
Gi i h (1), (2) ta có: ả ệ



=
=
1
3
0
0
y
x

V y C= (3; 1)ậ
0,25
http:// www.vnmath.com
14
http:// www.vnmath.com
Ph ng trình đ ng th ng AC là: 2x + 5y -11 =0ươ ườ ẳ
Ph ng trình đ ng th ng BC là: 4x + 5y -13 =0ươ ườ ẳ
2
(1,0
đi m)ể

G i H là trung ọ đi m AB => SH ể
⊥
(ABC) S
G i I là tr ng tâm ọ ọ
∆
ABC, J là tr ng tâmọ
∆
SAB
và O là đi m sao cho OIHJ là hình vuông ể
Ta có:
OA=OB=OC (Vì OI là tr c c a đ ng tròn Bụ ủ ườ
ngo i ti p ạ ế
∆
ABC) J O
OS=OA=OB (vì OJ là tr c ụ
c a đ ng tròn ngo i ti pủ ườ ạ ế
∆
SAB ) H I
V y O là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCậ ặ ầ ạ ế

C
A
Hình
vẽ
0,25
0,25
Bán kính m t c u là:ặ ầ
R=OA=
6
15
2
3
9
5
3
2
3
1
2
22
22
aa
CHSHIAOI =









=






+






=+
0,25
Th tích kh i c u là: V = ể ố ầ
3
3
3
54
155
6
15
.
3
4
3
4

a
a
R
πππ
=








=
(đvtt)
0,25
VII.b 1,0
Đi u ki n: x > -1ề ệ
0,25
Xét hàm s : f(x) = eố
x
- ln(1+x) - 1 trên kho ng (-1; +ả
∞
)
Ta có: f'(x)= e
x
-
x+1
1
; f''(x) = e

x
+
0
)1(
1
2
>
+ x
,
x∀
∈
(-1; +
∞
)
Suy ra f'(x) đ ng bi n /(-1; +ồ ế
∞
)
0,25
Vì f'(0) = 0 nên f'(x) > 0 ,
x∀
>0
f'(x)<0,
x∀
<0
Ta có b ng bi n thiên: x -1 0 ả ế
∞+


)(
'

xf
- 0 +
f(x)
0
0,25
D a vào b ng bi n thiên ta có: fự ả ế

(x) =0 <=> x = 0
V y ph ng trình có nghi m duy nh t: x = 0ậ ươ ệ ấ
0,25
H t ế
Thí sinh làm theo cách khác đúng v n đ c cho đi m t i đa theo thang đi m c a ph n đóẫ ượ ể ố ể ủ ầ .
http:// www.vnmath.com
15