Bài toán tìm tốc độ biến thiên (toán cao cấp a1) pdf

Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:
I.BÀI TOÁN TÌM TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN:

1.a.Tìm tốc độ biến thiên của cạnh hình vuông nếu diện tích của hình là 100m
2

và đang
tăng ở tốc độ 2m
2
/phút?
b.Tìm tốc độ biến thiến của thể tích hình lập phương khi cạnh của nó đang giảm
với tốc độ 2 cm/phút và thể tích của hình đang là 216 cm
3
? Với tốc độ biến thiên
như vậy,hình lập phương có biến mất sau 1 phút hay không?Hãy giải thích!
Giải:
a Gọi R(t) là cạnh hình vuông,S(t) là diện tích của hình vuông tại thời điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t
0
,ta có:
 S(t
0
) = 100m
2
=R
2
(t
0
)


Cạnh hình vuông: R(t
0
)= 100 =10m
 S’(t
0
)= 2m
2
/phút
 R’(t
0
)= ?
-Ta có:
 S(t)=R
2
(t)
 S’(t)=2.R(t).R’(t)

S’(t
0
)=2.R(t
0
).R’(t
0
)

2 =2.10 .R’(t
0

)

R’(t
0
)=1/10 (m
2
/phút)
-Vậy TĐBT của cạnh hình vuông là 0,1m
2
/phút.
b Gọi R(t) là cạnh hình lập phương,V(t) là thể tích của hình lập phương tại thời điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t
0
,ta có:
 R’(t
0
) = -2cm/phút
 V(t
0
)= 216cm
3
=R
3
(t
0
)

Cạnh hình lập phương: R(t
0
)=

3
216 =6cm
 V’(t
0
)= ?
-Ta có:
 V(t)=R
3
(t)
 V’(t)=3.R
2
(t).R’(t)

V’(t
0
)=3.R
2
(t
0
).R’(t
0
)
=3. 6
2
. (-2)
=-216cm
3
/phút
-Sau 1 phút kể từ thời điểm t
0

,ta có: V(t
0
+1)=V(t
0
) + 1.V’(t
0
)=216 - 1. 216=0cm
3
-Vậy hình lập phương biến mất sau 1 phút.

2. Bột gỗ rơi thành đống ở tốc độ ½ m
3
/phút. Nếu đống gỗ có dạng hình nón tròn xoay
đứng với chiều cao bằng nửa đường kính đáy thì độ cao của đống bột gỗ biến thiên như
thế nào khi độ cao của đống bột là 3m?
Giải:
-Đống bột gỗ dạng hình nón tròn xoay,tại thời điểm t:
+Gọi h(t) là chiều cao của đống bột gỗ.
+Gọi R(t) là bán kính đáy của đống bột gỗ.
+Gọi S(t) là diện tích đáy của đống bột gỗ.
+Gọi V(t) là thể tích của đống bột gỗ.
-Tại thời điểm đang xét t
0
,ta có:
 h(t
0
) =R(t
0
) =3m
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:
 V’(t
0
)= 2m
3
/phút
 h’(t
0
)= ?
-Ta có:
 Diện tích đáy của đống bột gỗ: S(t
0
) =

.R
2
(t
0
) =

.3
2
=9

(m)
 V(t)=
3

1
.S(t).h(t)
 V(t
0
)=
3
1
.S(t
0
).h(t
0
)
=
3
1
.

.R
2
(t
0
).h(t
0
)
=
3
1
.

.h

3
(t
0
)

V’(t
0
)=
3
1
.

.3h’(t
0
).h
2
(t
0
)


2
1
=

. h’(t
0
).3
2


h’(t
0
)=

18
1
(m/phút)
Vậy TĐBT của độ cao đống bột gỗ là

18
1
m/phút.

3.Chiều dài của hình chữ nhật đang tăng ở tốc độ 4m/s, chiều rộng đang giảm với tốc
độ 4m/s. Giả sử chiều dài của hình chữ nhật đang là 20m và chiều rộng là 12m.Hãy
tìm tốc độ biến thiên của:
a.Diện tích hình chữ nhật.
b.Chu vi hình chữ nhật.
Giải
-Gọi a(t),b(t),S(t),P(t) lần lượt là chiều dài,chiều rộng,diện tích,chu vi của hình chữ nhật
tại thời điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t
0
,ta có:
 a’(t
0
)=4
 b’(t
0

)= -4
 a(t
0
)=20
 b(t
0
)=12
-Ta có:
a).
 S(t)=a(t).b(t)
 S(t
0
)=a(t
0
).b(t
0
)

S’(t
0
)=a’(t
0
).b(t
0
)+a(t
0
).b’(t
0
)
=4.12+20.(-4)

=-32 m
2
/s
Vậy TĐBT của diện tích hcn là -32m
2
/s.
b).
 P(t)=2[a(t)+b(t)]
 P(t
0
)=2[a(t
0
)+b(t
0
)]

P’(t
0
)=2[a’(t
0
)+b’(t
0
)]
=2(4-4)
=0 m/s
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:

Vậy TĐBT của chu vi hcn là 0m/s

4.Diện tích của hình chữ nhật đang tăng ở tốc độ 5m
2
/s, trong khi chiều dài đang tăng
ở tốc độ 10m/s .Nếu chiều dài đang là 20m và chiều rộng là 10m thì chiều rộng đang
thay đổi như thế nào?
Giải
-Gọi a(t),b(t),S(t) lần lượt là chiều dài,chiều rộng,diện tích,chu vi của hình chữ nhật tại
thời điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t
0
,ta có:
 a(t
0
)=20m
 a’(t
0
)=10m/s
 b(t
0
)=10m
 S’(t
0
)=5m
2
/s
 b’(t
0
)=?

-Ta có:
 S(t)=a(t).b(t)
 S(t
0
)=a(t
0
).b(t
0
)

S’(t
0
)=a’(t
0
).b(t
0
)+a(t
0
).b’(t
0
)

5 = ( 10 .10 )+[20 .b’(t
0
)]

b’(t
0
)=
20

1005

=
4
19

(m/s)
Vậy TĐBT của chiều rộng hcn là
4
19

m/s

5. Tính tốc độ biến thiên của diện tích bề mặt hình lập phương tại thời điểm t
0
,nếu tại
thời điểm này thể tích của hình lập phương là 64m
3
và tăng ở tốc độ 2cm/s?
Giải
-Gọi a(t),S(t),V(t) lần lượt là cạnh,diện tích 1 mặt,thể tích của hình lập phương tại thời
điểm t.
-Tại thời điểm đang xét t
0
,ta có:
 V(t
0
)=64m
3
=a

3
(t
0
)

a(t
0
)=
3
64 =4m
 V’(t
0
)=2cm/s=0,02m/s
 6S’(t
0
)=?
-Ta có:
 V(t)=a
3
(t)
 V(t
0
)=a
3
(t
0
)

V’(t
0

)=3a’(t
0
).a
2
(t
0
)

0,02 =3a’(t
0
).16

a’(t
0
) =
2400
1

-Lại có:
 S(t)=a
2
(t)
 S(t
0
)=a
2
(t
0
)


S’(t
0
)=2. a’(t
0
) .a(t
0
)
=2.
2400
1
.4
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:
=
300
1
(m
2
/s)
Do hình lập phương có 6 mặt là 6 ô vuông bằng nhau,vậy TĐBT của diện tích bề mặt
hình lập phương là 6S’(t
0
)=0,02m
2
/s

6. Người ta bơm nước vào một hồ chứa hình trụ có bán kính đáy là 5m, độ sâu 2m với

tốc độ 5 m
3
/h.Vì hồ chứa bị rò rỉ nên nước trong hồ chảy ra ngoài. Hãy tính tốc độ nước
rò rỉ ra bên ngoài tại thời điểm độ sâu của nước trong hồ là 0,8m và đang tăng ở tốc độ
4cm/h. Nếu tốc độ này không thay đổi thì sau thời điểm đó bao lâu hồ sẽ đầy nước?
 Tốc độ nước rò rỉ ra ngoài:5-


 Thời gian hồ đầy nước:
30
04,0
8,02


(h)

7. Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng,bán kính của nó tăng với tốc độ là
0,01cm/phút. Tính TĐBT của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang
là 50 cm. Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 52 cm?
 TĐBT của diện tích bản kim loại là

cm/phút.
 Thời gian:


01,0
5052
200 phút =3h +20ph
8. Hai chiếc xe X
1

, X
2
cùng xuất phát tại một điểm G. Chiếc xe X
1
chạy về hướng nam,
còn chiếc xe X
2
thì chạy theo hướng đông. Khoảng cách giữa hai xe tăng theo tốc độ
nào tại thời điểm xe X
1
cách điểm G một khoảng là 10km và đang chạy với tốc độ
60km/h ; còn xe X
2
cách G một khoảng 5km và đang chạy với tốc độ 25km/h?
Giải:
Gọi X
1
(t),X
2
(t) lần lượt là quãng đường của xe X
1
,X
2
sau t (giờ).
Gọi d(t) là khoảng cách giữa 2 xe X
1
,X
2
sau t (giờ).
Tại thời điểm đang xét t

0
,ta có:
5km X
2

10km
X
1
hướng Bắc


G

hư
ớng Đông


hư
ớ
ng Tây

hướng Nam
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Tên:Nguyễn Vũ Trinh Nhân
MSSV:1101774
Email:
 X
1
(t

0
)=10km
 X
2
(t
0
)=5km
 X’
1
(t
0
)=60km/h
 X’
2
(t
0
)=25km/h
(Lưu ý: đạo hàm của quãng đường là vận tốc, của vận tốc là gia tốc)
Khoảng cách giữa 2 xe: d(t)=
)()(
2
2
2
1
tXtX 


d’(t)=
)()(2
'2'2

2
2
2
1
2211
tXtX
XXXX




d’(t
0
)=
529
25100
25.560.10



(km/h)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.