Giải Bài tập toán cao cấp a1

SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CAO CP (A1)
Biên son: TS. V GIA TÊ
Ths.  PHI NGA











Gii thiu môn hc
0
1
2 GII THIU MÔN HC

1. GII THIU CHUNG:
Toán cao cp A1 là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh
viên các nhóm ngành thuc khi k thut.  hc tt môn Toán cao cp theo
phng thc ào to t xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa

hình,..., sách hng dn cho ngi hc toán cao cp là rt cn thit. Tp sách
hng dn này đc biên son là nhm mc đích trên. Tp sách đc biên son
theo chng trình qui đnh nm 2001 ca B Giáo dc ào to và theo đ
cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2004.
Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng
đi hc k thut, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin Công ngh BC-
VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi.
Chính vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca
tt c các trng, các ngành đi hc và cao đng.
Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc
lc trong công tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit,
ngi đc nên xem phn hng dn ca mi chng đ thy đc mc đích,
yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi ni dung, ngi đc có
th t đc và hiu đc cn k thông qua cách din đt và chng minh rõ ràng.
Sau các chng, ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp. Nh các ví
d minh ho đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là
bài tp mu đ t gii các bài tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra,
đánh giá kin thc, kh nng thu nhn da vào phn hng dn và đáp s đc
cung cp  nhng trang cui sách.
Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi
phân và phép tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm
s. Chính vì th chúng tôi trình bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ
ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc vng vàng đ đc tip các
chng sau. Trong quá trình t đc và hc qua mng, tu theo kh nng tip
thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó.

2
Gii thiu môn hc
Nhân đây tác gi cng lu ý rng  bc trung hc ph thông ca nc ta,
chng trình toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên

các ni dung đó ch mang tính cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do
cu to chng trình. Vì th nu không t đc mt cách nghiêm túc các đnh
ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy rt gp
khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp.
Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 60 đn 75 tit:
Chng I: Gii hn ca dãy s.
Chng II: Hàm s mt bin s.
Chng III: Phép tính vi phân hàm s mt bin s.
Chng IV: Phép tính tích phân.
Chng V: Lý thuyt chui
2. MC ÍCH MÔN HC
Hc phn này s cung cp các kin thc v phép tính vi, tích phân ca hàm
s mt bin, s thc và phép tính vi phân ca hàm nhiu bin s. Ni dung ca
hc phn tuân th theo quy đnh v hc phn Toán cao cp A1 ca B GD-T
dành cho các Trng thuc khi ngành công ngh.
3. PHNG PHÁP NGHIÊN CU MÔN HC
 hc tt môn hc này, sinh viên cn lu ý nhng vn đ sau :
1- Thu thp đy đ các tài liu :
◊ Bài ging: Toán cao cp A1.V Gia Tê, Nguyn Phi Nga, Hc vin
Công ngh BCVT, 2005.
◊ Sách hng dn hc tp và bài tp: Toán cao cp A1. V Gia Tê,
Nguyn Phi Nga, Hc vin Công ngh BCVT, 2005.
◊ Bài ging đin t: Toán cao cp A1. Hc vin Công ngh BCVT,
2005.
Nu có điu kin, sinh viên nên tham kho thêm: Các tài liu tham kho
trong mc Tài liu tham kho  cui cun sách này.

3
Gii thiu môn hc
2- t ra mc tiêu, thi hn cho bn thân:

X t ra mc các mc tiêu tm thi và thi hn cho bn thân, và c gng
thc hin chúng
Cùng vi lch hc, lch hng dn ca Hc vin ca môn hc cng nh
các môn hc khác, sinh viên nên t đt ra cho mình mt k hoch hc tp cho
riêng mình. Lch hc này mô t v các tun hc (t hc) trong mt k hc và
đánh du s lng công vic cn làm. ánh du các ngày khi sinh viên phi thi
sát hch, np các bài lun, bài kim tra, liên h vi ging viên.
X Xây dng các mc tiêu trong chng trình nghiên cu
Bit rõ thi gian nghiên cu khi mi bt đu nghiên cu và th thc hin,
c đnh nhng thi gian đó hàng tun. Suy ngh v thi lng thi gian nghiên
cu đ “Tit kim thi gian”. “Nu bn mt quá nhiu thì gi nghiên cu”, bn
nên xem li k hoch thi gian ca mình.
3- Nghiên cu và nm nhng kin thc đ ct lõi:
Sinh viên nên đc qua sách hng dn hc tp trc khi nghiên cu bài
ging môn hc và các tài liu tham kho khác. Nên nh rng vic hc thông qua
đc tài liu là mt vic đn gin nht so vi vic truy cp mng Internet hay s
dng các hình thc hc tp khác.
Hãy s dng thói quen s dng bút đánh du dòng (highline maker) đ
đánh du các đ mc và nhng ni dung, công thc quan trng trong tài liu.
4- Tham gia đy đ các bui hng dn hc tp:
Thông qua các bui hng dn hc tp này, ging viên s giúp sinh viên
nm đc nhng ni dung tng th ca môn hc và gii đáp thc mc; đng
thi sinh viên cng có th trao đi, tho lun ca nhng sinh viên khác cùng
lp. Thi gian b trí cho các bui hng dn không nhiu, do đó đng b qua
nhng bui hng dn đã đc lên k hoch.
5- Ch đng liên h vi bn hc và ging viên:
Cách đn gin nht là tham d các din đàn hc tp trên mng Internet.
H thng qun lý hc tp (LMS) cung cp môi trng hc tp trong sut
24 gi/ngày và 7 ngày/tun. Nu không có điu kin truy nhp Internet, sinh
viên cn ch đng s dng hãy s dng dch v bu chính và các phng thc

truyn thông khác (đin thoi, fax,...) đ trao đi thông tin hc tp.

4
Gii thiu môn hc
6- T ghi chép li nhng ý chính:
Nu ch đc không thì rt khó cho vic ghi nh. Vic ghi chép li chính là
mt hot đng tái hin kin thc, kinh nghim cho thy nó giúp ích rt nhiu
cho vic hình thành thói quen t hc và t duy nghiên cu.
7- Tr li các câu hi ôn tp sau mi chng, bài.
Cui mi chng, sinh viên cn t tr li tt c các câu hi. Hãy c gng
vch ra nhng ý tr li chính, tng bc phát trin thành câu tr li hoàn thin.
i vi các bài tp, sinh viên nên t gii trc khi tham kho hng dn,
đáp án. ng ngi ngn trong vic liên h vi các bn hc và ging viên đ
nhn đc s tr giúp.
Nên nh thói quen đc và ghi chép là chìa khoá cho s thành công ca
vic t hc!

5
Chng 1: Gii hn ca dãy s
1.
2. CHNG I: GII HN CA DÃY S

1.1 MC ÍCH
Trong nhiu vn đ lý thuyt cng nh thc t, ngi ta phi xét nhng đi
lng mà trong quá trình bin thiên đi lng đó ly nhng giá tr rt gn đn
mt hng s a nào đy. Trong quá trình này, ta gi đi lng đang xét là dn
đn a hay có gii hn là a. Nh vy đi lng có gii hn là a có th đt đc
giá tr a và cng có th không bao gi đt đc giá tr a, điu này trong quá
trình tìm gii hn không cn quan tâm đn.
Ví d:

1. Gi x là biên đ ca mt con lc tt dn. Rõ ràng trong quá trình dao
đng, biên đ ca nó gim dn ti 0 và thc t sau khong thi gian xác đnh
con lc dng li, ta nói rng x có gii hn là 0 trong quá trình thi gian trôi đi.
2. Xét dãy s (u
n
) có dng
1+
=
n
n
u
n
. Quá trình n tng lên mãi thì u
n
tng
dn v s rt gn 1. Nói rng dãy s có gii hn là 1 khi n tng lên vô cùng.
Gii hn là mt khái nim khó ca toán hc. Khái nim gii hn đc cho
bi t “gn”, đ mô t đnh tính. Còn đnh ngha chính xác ca nó cho bi cm
t “ bé hn
ε
” hoc “ln hn M” đ mô t đnh lng s đc gii thiu trong
chng này. Khi đã hiu đc khái nim gii hn thì s d dàng hiu đc các
khái nim đo hàm, tích phân. Bi vì các phép toán đó đu xut phát t phép
tính gii hn.
Trong mc th nht cn hiu đc vai trò thc s ca s vô t. Nh tính
cht đy ca tp s thc mà ngi ta có th biu din tp s thc trên trc s -
gi là trc thc và nói rng tt c các s thc lp đy trc s. Nói khác đi có s
tng ng 1-1 gia các s thc và các đim trên trc s. Cng nên nhn xét
đc tp Q không có tính đy. Hc viên cn nm chc khái nim tr tuyt đi
ca mt s thc và các phép tính v nó.

Trong mc th hai cn hiu đc vai trò ca s phc v mt lý thuyt cng
nh ng dng sau này trong k thut. Thc cht mt s phc z là mt tng
ng 1-1 vi cp có th t các s thc (x,y). Cn phi nm vng khái nim

7
Chng 1: Gii hn ca dãy s
modul và acgumen ca s phc và các dng biu din s phc: dng đi s,
dng lng giác, dng hàm m. T đó có th làm thông tho các phép tính trên
tp C, đc bit dùng công thc Moivre trong các ng dng vào lng giác.
Trong mc th ba cn nm vng khái nim hi t, có gii hn và phân k
ca dãy s. Nm vng các tính cht: b chn, không b chn, đn điu ca dãy
s. Nh vào các tính cht này mà thit lp đc các điu kin cn, điu kin đ
đ dãy s có gii hn. Khái nim dãy con ca mt dãy s cng là mt khái nim
khó. Ngi hc phi đc k đnh ngha và c gng hình dung đ hiu rõ khái
nim này. ôi khi s hi t hay phân k ca mt dãy s có th nhn bit nh
vào tính cht ca vài dãy con. c bit phi nm đc khái nim hai dãy k
nhau đ t đó có khái nim v các đon lng nhau đc dùng trong chng minh
đnh lý Bolzano-Weierstrass.
1.2 TÓM TT NI DUNG
1.2.1 S thc
a. Các tính cht c bn ca tp s thc.
Tt c các s hu t và s vô t to thành tp hp s thc.
Kí hiu tp s thc là R. Tp s vô t là R\Q.
X Tính cht 1: Tp R là mt trung giao hoán vi hai phép cng và nhân: (R,
+ , .).
1.
RbaRbaRba ∈∈+∈∀ .,,,
2.
)().(),()(,,, bcacbacbacbaRcba
=++=++∈∀

3.
baababbaRba
=+=+∈∀ ,,,

4. R có phn t trung hoà đi vi phép cng là 0 và đi vi phép nhân là 1

aaaRa =+=+∈∀ 00,

= =
a

1.a a.1
5. Phân phi đi vi phép cng

acabcbaRcba
+=+∈∀ )(,,,


cabaacb
+=+ )(

6. Tn ti phn t đi ca phép cng

0)(),(, =−+−∃∈∀ aaaRa

Tn ti phn t nghch đo ca phép nhân

8
Chng 1: Gii hn ca dãy s

1.,},0{\,
11**
=∃=∈∀
−−
aaaRRRa
X Tính cht 2: Tp R đc xp th t toàn phn và đóng kín đi vi các
s thc dng.
1. hoc
baRba <∈∀ ,,
ba
=
hoc
ba >
2.
bcacbaRcRba
cbcabaRcba
≤⇒≤∈∈∀
+≤+⇒≤∈∀
+
,,,
,,,

3.
+++
∈∈+∈∀ RabRbaRba ,,,

X Tính cht 3: Tp R là đy theo ngha sau đây: Mi tp con X không
rng ca R b chn trên trong R đu có mt cn trên đúng thuc R và
mi tp con không rng X ca R b chn di trong R đu có mt cn
di đúng thuc R.

b. Tp s thc m rng
Ngi ta thêm vào tp s thc R hai phn t kí hiu là và . Tp s
thc m rng kí hiu là
∞−
∞+
R và
{ }
+∞∞−∪= ,RR
, các phép toán + và ., quan h th t
đc đnh ngha nh sau:
1.
Rx ∈∀
−∞=+−∞=−∞+
+∞=++∞=+∞+
xx
xx
)()(
)()(

2.
−∞=−∞+−∞
+∞=+∞++∞
)()(
)()(

3.
{}
0,,
**
>∈=∈∀

++
xRxRRx

−∞=−∞=−∞
+∞=+∞=+∞
xx
xx
)()(
)()(


{}
0,,
**
<∈=∈∀
−−
xRxRRx

+∞=−∞=−∞
−∞=+∞=+∞
xx
xx
)()(
)()(

4.
−∞=+∞−∞=−∞+∞
+∞=−∞−∞=+∞+∞
))(())((
))(())((

5.
Rx ∈∀
+∞≤∞+
−∞≤∞−
+∞<<∞− x

c. Các khong s thc
Cho và .Trong R có chín loi khong sau đây:
Rba ∈,
ba ≤

9
Chng 1: Gii hn ca dãy s

[]
đc gi là đon hay khong đóng b chn
{
bxaRxba ≤≤∈= ;,
}
}
}
}
đc gi là khong na đóng hoc na m
[
){ }
(
]
{
bxaRxba

bxaRxba
≤<∈=
<≤∈=
;,
;,
đc gi là các khong m
[
){ }
(
]
{}
(){
(){ }
(){
axRxa
xaRxa
bxaRxba
axRxa
xaRxa
<∈=∞−
<∈=+∞
<<∈=
≤∈=∞−
≤∈=+∞
;,
;,
;,
;,
;,
Các s thc a,b gi là các mút ca khong.

d. Giá tr tuyt đi ca s thc
X nh ngha: Giá tr tuyt đi ca s thc x, kí hiu
x
là mt s thc
không âm xác đnh nh sau

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤−
≥
=
0
0
xkhix
xkhix
x

X Tính cht
1.
),(, xxMaxxRx −=∈∀

2.
00 =⇔= xx

3.

n
n
n
i
i
n
i
in
xxRx
xxRxxxxNn
yxxyRyx
=∈∀
=∈∀∈∀
=∈∀
∏∏
==
,
,,,,,,
,,
11
321
*
K

4.
xx
Rx
11
,

*
=∈∀
5.

10
Chng 1: Gii hn ca dãy s

∑∑
==
≤∈∀∈∀
+≤+∈∀
n
i
i
n
i
in
xxRxxxNn
yxyxRyx
11
21
*
,,,,,
,,
K

6.

()
()

yxyxyxMin
yxyxyxMaxRyx
−−+=
−++=∈∀
2
1
),(
2
1
),(,,

7.
yxyxRyx −≤−∈∀ ,,

e. Khong cách thông thng trong R
X nh ngha: Khong cách trong R là ánh x

()
yxyx
RRRd
−
→×
a,
:

ó là hình nh trc quan v khong cách gia 2 đim x và y trên đng
thng trc s thc R.
X Tính cht
1.
()

yxyxd =⇔= 0,
2.
()()
xydyxdRyx ,,,, =∈∀
3.
() ()(
zydyxdzxdRzyx ,,,,,, +≤∈∀
)
4.
()() ( )
zydzxdyxdRzyx ,,,,,, ≤−∈∀

1.2.2 S phc
a. nh ngha:
Cho ,mt s biu din di dng z=x+iy,trong đó gi là
mt s phc.Tp các s phc kí hiu là C.
()
2
, Ryx ∈
1
2
−=i
Gi x là phn thc ca z, kí hiu Rez =x
y là phn o ca z,kí hiu là Imz =y
Gi môđun ca z,kí hiu
z
xác đnh bi s thc không âm

0
22

≥=+= ryxz


11
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Gi Acgumen ca z ,kí hiu Argz xác đnh bi s thc
Argz=
⎩
⎨
⎧
=∈∈
z
x
RR
θθθ
cos;; và
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
z
y
θ
sin
, vi
0
≠z

Nh vy Acgumen ca z sai khác nhau
Zkk
∈,2
π
và Arg0 không xác đnh.
Vy s phc z có các dng vit:
1. z =x+iy gi là dng chính tc hay dng đi s ca s phc z .
2. z =
()
θθ
sincos ir + gi là dng lng giác ca s phc z.
b. Các phép toán trên tp C
X Phép so sánh bng nhau

()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔+=+∈∀
'
'
''4''
,,,,
yy
xx
iyxiyxRyxyx

X Phép ly liên hp
Cho ,liên hp ca z,kí hiu
Ciyxz ∈+=
z cho bi iyxz −=
X Phép ly s phc đi
Cho z=x+iy
∈
C,s phc đi ca z, kí hiu –z (đc là tr z ) đc xác đnh:
-z = -x-iy
X Phép cng
Cho z = x+iy,z’= x’+iy’,tng ca z và z’,kí hiu z+z’ xác đnh nh sau:
z+z’=(x+x’)+i(y+y’)
X Phép nhân
Cho z=x+iy và z’=x’+iy’,tích ca z và z’,kí hiu z.z’ xác đnh nh sau:
z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y)
X Phép tr và phép chia
Là các phép tính ngc ca phép cng và phép nhân

"'."
'
)'('
zzzz
z
z
zzzz
=⇔=
−+=−

X Phép lu tha,công thc Moavr ( Moivre)
Cho

()
Zkirz ∈∀+= ,sincos
θθ

Gi là lu tha bc k ca z. Bng qui np ,d chng minh đc
k
z

()
θθ
kikrz
kk
sincos +=

12
Chng 1: Gii hn ca dãy s
X Phép khai cn bc n ca .
*
Cz ∈
Cho . Gi là cn bc n ca z, kí hiu
()
θθ
sincos,
*
irzNn +=∈
*
C∈
ς
n
z

,xác
đnh nh sau: z
n
=
ς
Nu gi
ςρ
= và Φ = Arg
ς
thì hay là
⎩
⎨
⎧
+=Φ
=
πθ
ρ
kn
r
n
2
n
r
1
=
ρ
và
Φ=
n
k

πθ
2+
vi
1,...,2,1,0 −= n
k
.
Vy s z có đúng n cn bc n, đó là các s phc có dng:


1,...,2,1,0
2
sin
2
cos
1
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
= nk
n
k
i
n

k
r
n
πθπθ
ς

c. Áp dng s phc vào lng giác
X Khai trin
θθθ
tgnnn ,sin,cos

Cho .Áp dng công thc Moivre và công thc nh thc Newton
*
, NnR ∈∈
θ

()
∑
=
−
=+=+
n
k
kkknk
n
n
iCinin
0
sin.cossincossincos
θθθθθθ

1.
θ
ncos
biu din di dng mt đa thc ca
θ
cos
,gi đó là công
thc Chebyshev loi 1.
2.
θ
nsin
bng tích ca
θ
sin
vi mt đa thc ca
θ
cos
,gi là đa thc
Chebyshev loi 2.
3.
L
L
−+−
+−
===
θθ
θθ
θ
θ
θ

θ
θ
θ
θ
4422
331
1
cos
cos
cos
sin
cos
sin
tgCtgC
tgCtgC
n
n
n
n
tgn
nn
nn
n
n

X Tuyn tính hoá
θθθθ
qppp
sin.cos,sin,cos
Cho

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=−=
+=+=
⇒=∈∈
ω
ωωωθ
ω
ωωωθ
ωθ
θ
1
sin2
1
cos2
,,
*
i
eNpR
i

Vy
p
pp
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ω
ωθ
1
cos2
và
()
p
p
p
i
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
ω
ωθ
1
sin2

S dng công thc nh thc Newton và xét các trng hp sau đây:

13
Chng 1: Gii hn ca dãy s
a. Trng hp
*
,2 Nmmp ∈=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
+++−+=
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∑

−
=
−−
−
−
−
1
0
22
)12(2
2
1
2
1
2
2
22
221
2
2
222
)(2cos
2
1
2cos
2cos2`)1(2cos22cos2
11
cos2
m
k

k
m
m
m
mm
m
m
m
mm
m
m
m
m
m
m
mmm
kmCC
CCmCm
CC
θθ
θθθ
ω
ω
ω
ωθ
L
L


()

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
−
−=
−++−−=
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=−
∑
−
=

−−
−
−
1
0
22
)12(2
2
1
2
2
22
221
2
2
222
)(2cos)1(
2
)1(
12sin
)1()1(2cos22cos2
)1(
11
sin)1(2
m
k
k
m
km
m

m
m
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
mmmm
kmCC
CmCm
CC
θθ
θθ
ω
ω
ω
ωθ
L
L

b.Trng hp
Nmmp ∈+= ,12
∑

=
+
−+
++
+
−
−
+
+
+++
−+=
++−++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
m
k
k
m
mm
m
mm
m
m
m
m
m
m
mmm
kmC
CmCm
CC
0
12

212
12
1
12
12
12
121
12
12
121212
)212cos(2cos
cos2)12cos(2)12cos(2
111
cos2
θθ
θθθ
ω
ω
ω
ω
ω
ωθ
L
L

()
θθ
θθθ
ω
ω

ω
ωθ
)212sin()1(12sin
sin)1(2)12sin(.2)12sin(2
11
sin)1(2
12
0
212
12
1
12
12
21
12
12
121212
kmC
CimCimi
Ci
k
m
m
k
k
m
mm
m
m
m

m
m
m
m
m
mmmm
−+−−=
−++−−+=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=−
+
=
−+
++
−
−+
+

+
+++
∑
L
L

 tuyn tính hoá
θθ
qp
sin.cos
trc ht tuyn tính hoá tng tha s
, sau đó thc hin phép nhân ri cùng tuyn tính hoá các s hng
thu đc.
θθ
qp
sin,cos
1.2.3 Dãy s thc
a. Các khái nim c bn ca dãy s thc
X nh ngha
Mt dãy s thc là mt ánh x t N vào R,kí hiu:
RNu →:

hay đn gin nht,kí hiu (u
n
)

14
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Vi xác đnh, gi là s phn t th nNnn ∈=
0

0
n
u
0
ca dãy,u
n
thng là mt
biu thc ph thuc vào n gi là phn t tng quát ca dãy,chng hn cho các
dãy sau đây:
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−
+
n
n
nn
1
1,
1
,)1(),1(
1

X S hi t, s phân kì ca dãy s
1. Dãy (u
n
) hi t v
Ra
∈
nu

εε
<−⇒>∈∀∈∃>∀ aunnNnNn
n00
,,,0

Kí hiu , rõ ràng (u
au
n
n
=

∞→
lim
n
-a) hi t v 0.
2. Dãy (u
n
) hi t nu có s
Ra
∈
đ
au
n
n
=
∞→
lim

3. Dãy (u
n
) phân kì nu nó không hi t,ngha là:

εε
≥−>∈∃∈∀>∃∈∀ aunnNnNnRa
n
,,,,0,
00

4. Dãy (u
n
) nhn +∞ làm gii hn nu

AunnNnA
n
>⇒>∀∈
∃>∀
00
,,0
Kí hiu , đôi khi nói rng (u
+∞=
∞→
n
n
ulim
n
) tin ti +
∞
5. Dãy (u
n
) nhn -∞ làm gii hn nu
BunnNnB
n
<⇒>∀∈∃<∀
00
,0 .
Kí hiu
−∞=
∞→
n
n
ulim
Dãy có gii hn là +∞ hoc -∞ cng gi là phân k.

X Dãy s b chn
1. Nói rng (u
n
) b chn trên bi s
RA ∈ nu AuNn
n
≤∈∀ , .
2. Nói rng (u
n
) b chn di bi s
RB ∈
nu BuNn
n
≥∈∀ , .
3. Nói rng (u
n
) là dãy b chn nu tn ti
+
∈ RM
sao cho
MuNn
n
≤∈∀ ,
.
b. Tính cht ca dãy hi t
X Tính duy nht ca gii hn
nh lí: Dãy (u
n
) hi t v a thì a là duy nht
X Tính b chn

1. Dãy (u
n
) hi t thì b chn trong R.
2. Dãy (u
n
) tin đn +∞ thì b chn di.

15
Chng 1: Gii hn ca dãy s
3. Dãy (u
n
) tin đn -∞ thì b chn trên.
X Tính cht đi s ca dãy hi t
1.
auau
n
n
n
n
=⇒=
∞→∞→
limlim
.
2.
0lim0lim =⇔=
∞→∞→
n
n
n
n

uu
.
3.
bavubvau
nn
n
n
n
n
n
+=+⇒==
∞→∞→∞→
)(limlim,lim
.
4.
auau
n
n
n
n
λλ
=⇒=
∞→∞→
limlim
.
5. (v
,0lim =
∞→
n
n

u
n
) b chn
0)(lim
=⇒
∞→
nn
n
vu
.
6.
abvubvau
nn
n
n
n
n
n
=⇒==
∞→∞→∞→
)(limlim,lim
.
7.
b
a
v
u
bvau
n
n

n
n
n
n
n
=⇒≠==
∞→∞→∞→
lim0lim,lim
.
X Tính cht v th t và nguyên lý kp
1. Gi s .Khi đó
),(lim balu
n
n
∈=
∞→
buannn
n
<
<⇒>∀∃
00
,
2. Gi s và
lu
n
n
=
∞→
lim
00

,, nnn >
∀∃ có bua
n
≤≤ khi đó
bla ≤≤
3. Gi s 3 dãy (u
n
),(v
n
),(w
n
) tho mãn:

nnn
wvunnn
≤≤⇒>∀∃
00
, và
awu
n
n
n
n
==
∞→∞→
limlim

Khi đó
av
n

n
=
∞→
lim
4. Gi s
0
nn >
∀ mà
nn
vu ≤ và
+∞=
∞→
n
n
ulim
.Khi đó
+∞=
∞→
n
n
vlim
c. Tính đn điu ca dãy s
X Dãy đn điu
1. Dãy (u
n
) tng nu
1
,
+
≤∈∀

nn
uuNn ,
Dãy (u
n
) tng ngt nu
1
,
+
<∈∀
nn
uuNn .
2. Dãy (u
n
) gim nu
1
,
+
≥
∈∀
nn
uuNn ,
Dãy (u
n
) gim ngt nu
1
,
+
>
∈∀
nn

uuNn .
3. Dãy (u
n
) đn điu nu nó tng hoc gim.
Dãy (u
n
) đn điu ngt nu nó tng ngt hoc gim ngt
nh lí 1:

16
Chng 1: Gii hn ca dãy s
1. Mi dãy tng và b chn trên thì hi t.
2. Mi dãy gim và chn di thì hi t.
nh lí 2:
1. Dãy (u
n
) tng và không b chn trên thì dn đn .
∞+
2. Dãy (u
n
) gim và không b chn di thì dn đn .
∞−
X Dãy k nhau
Hai dãy (u
n
),(v
n
) gi là k nhau khi và ch khi (u
n
) tng (v

n
) gim và

0)(lim =−
∞→
nn
n
uv
nh lí: Hai dãy k nhau thì hi t và có chung mt gii hn l, ngoài ra

nnnn
vvluuNn
<≤≤≤∈∀
++ 11
,
H qu: (nh lí v các đon lng nhau)
Cho hai dãy (a
n
),(b
n
) tho mãn :
[][
nnnnnn
bababaNn ,,,,
11
⊂
]
≤∈∀
++
và

0)(lim =−
∞→
nn
n
ab
Khi đó tn ti duy nht s sao cho
l
[ ]
{ }
lba
Nn
nn
=
∈
I
,
d. Dãy con
Cho (u
n
),t các s hng ca nó lp mt dãy mi vi n
)(
k
n
u
1
< n
2
< ...<
n

k
< ....
Gi là mt dãy con ca (u
)(
k
n
u
n
).Chng hn:
(u
2n
) và (u
2n+1
) là các dãy con ca (u
n
)

( )
2
n
u
là các dãy con ca (u
n
)
không phi là dãy con ca (u
)(
2
nn
u
−

n
) vì s hng u
0
xut hin 2 ln
ng vi n=0,n=1
nh lí : Nu (u
n
) hi t v
Ra
∈
thì mi dãy con ca nó cng hi t
v a
H qu:  (u
n
) hi t đn điu kin cn và đ là hai dãy con (u
l
2n
)
và (u
2n+1
) đu hi đn .
l
nh lí : (nh lí Bônzanô – Vâyxtrase),(Bolzano -Weierstrass): T
mi dãy (u
n
) b chn đu có th ly ra mt dãy con hi t

17
Chng 1: Gii hn ca dãy s
1.3 CÂU HI ÔN TP

Câu 1. S thc là gì? Nêu các tính cht ca s thc.
Câu 2. S hu t có tính đy không? Cho ví d minh ho.
Câu 3. Trc s là gì? nh ngha các loi khong s thc.
Câu 4. Tr tuyt đi ca s thc là gì? Nêu các tính cht ca nó.
Câu 5. S phc là gì? Ti sao trc hoành và trc tung có tên gi là trc
thc và trc o.
Câu 6. Nêu các dng s phc.
Câu 7. Nêu các phép tính s phc.
Câu 8. Phép khai cn s phc khác vi phép khai cn s thc  ch nào?
Câu 9. Dãy s thc là gì?
Câu 10. nh ngha s hi t ca dãy s thc. T đó có th đnh ngha v s
hi t ca dãy s phc?
Câu 11. Th nào là dãy s b chn?
Câu 12. Th nào là dãy s đn điu?
Câu 13. Dãy s hi t thì b chn có đúng không? Ngc li dãy b chn có
hi t không? Ti sao?
Câu 14. Các dãy không hi t có tính cht đi s ging nh các dãy hi t
không?
Câu 15. Nêu điu kin đ mt dãy đn điu hi t.
Câu 16. Th nào là hai dãy k nhau? Th nào là các đon lng nhau? Nêu
các tính cht ca chúng.
Câu 17. Th nào là mt dãy con? Nu dãy phân k thì các dãy con ca nó có
phân k không?
Câu 18. Phát biu đnh lý Bolzano-Weierstrass. Nu dãy không b chn thì
có th ly ra mt dãy con ca nó hi t đc không?
1.4 BÀI TP CHNG I
S THC:
Câu 1. Chng minh rng
3
là s vô t.

Câu 2. Gii các phng trình sau vi
3
R)z,y,x(
∈
.

18
Chng 1: Gii hn ca dãy s
a) 3x
2
+ y
2
+z
2
=2x(y + z). b) 3x
2
+ 4y
2
+18z
2
- 4xy - 12xz = 0 .
Câu 3. Tìm cn trên đúng,cn di đúng (nu tn ti) ca tp E sau đây
trên R
} ,
)1(1
{
*2
Nnn
n
E

n
∈−
−+
=
.
Câu 4. Bng đnh ngha hãy chng minh s hi t ca các dãy cho bi s
hng tng quát tng ng và tìm gii hn ca chúng
a)
1+
=
n
n
u
n
. b)
1n4
1n
u
n
+
+
= .
c)
1
3
2
+
=
n
n

u
n
. d)
n
n
n
4
)3(3
u
−
+
=
.
Câu 5. Tìm gii hn ca các dãy cho bi s hng tng quát di đây
a)
1
2
−−= nnx
n
. b)
n)an(nx
n
−+=
.
c)
3
3
n
n1nx −
+=

. d)
33
n1n
−+
.
Câu 6. Chng minh s hi t và xác đnh gii hn ca các dãy sau cho bi
s hng tng quát tng ng
a)
∑
=
+
n
k
kk
1
)1(
1
. b)
∑
∑
=
=
+
+
n
k
n
k
k
k

0
0
)32(
)13(
. c)
n
nsin3 +
.
Câu 7. Cho và b
3
R)c,b,a( ∈
2
- 4ac < 0 , (u
n
), (v
n
) là hai dãy s thc tho
mãn điu kin:
(au
∞
→n
lim
n
2
+ bu
n
v
n
+ cv
n

2
) = 0
Chng minh
0limlim
==
∞→∞→
n
n
n
n
vu
..
Câu 8. Cho dãy (x
n
) vi x
n
= x
n-1
+
1n
x
1
−
, x
0
= 1
a) Chng minh (x
n
) không có gii hn hu hn.
b) Chng minh .

+∞=
∞→
n
n
xlim
Câu 9. Cho dãy (x
n
) vi
n
n
n
b
a
x =
trong đó a
n
= 2a
n-1
+ 3b
n-1
, b
n
= a
n-1
+
2b
n-1
, a
0
> 0, b

0
> 0

19
Chng 1: Gii hn ca dãy s
a) Chng t rng a
n
>0, b
n
>0 Nn ∈∀ .
b) Biu din x
n+1
qua x
n.
c) Tính x
n+1
- x
n
và chng t rng (x
n
) đn điu. Hãy tìm x
∞
→n
lim
n
Câu 10. Chng t rng các dãy sau có gii hn hu hn
a)
22
n
n

1
2
1
1x +
++= L
. b)
!n
1
!2
1
x
n
+
+= L .
Câu 11. Chng t các dãy sau có gii hn là +
∞

a)
n
1
2
1
1x
n
+
++= L
.
b)
n
1n

log
2
3
log
1
2
logx
aaan
+
+++= L
, a>1.
Câu 12. Tìm gii hn ca dãy sau:
a)
1
x
2
x
1n
n
+
=
−
, x
0
= 1 .
b)
1nn
x1x
−
+=

, x
0
=
3
.
c) x
n
(3 + x
n-1
) + 1 = 0, x
0
= 1.
d)
1nn
xax
−
+=
(n > 1), x
1
=
a
, a >0.
e)
2
xx
x
1nn
1n
−
+

+
=
, x
1
= 0, x
2
= 1.
f)
2
x
2
1
x
2
1n
n
−
+=
, x
1
=
2
1
.
g)
1n
2
1n
n
x2

x5
x
−
−
+
=
, x
1
> 5.
Câu 13. Chng minh rng mt dãy đn điu có gii hn nu nó có mt dãy
con có gii hn.
Câu 14. Chng minh rng nu ba dãy con (x
2n
), (x
2n+1
) và (x
3n
) hi t thì dãy
(x
n
) hi t.
Có th thay s 2 bi s t nhiên k >2 đc không?.
Câu 15. Nu (hu hn hay vô hn).Có th nói gì v
ax
n
→
n
1n
n
x

x
lim
+
∞→
.

20
Chng 1: Gii hn ca dãy s
S PHC
Câu 1. Cho E,F,G,H , xác đnh bi các h thc sau:
2
R⊂
E:
22
22
yx
x
yx
+
=−
. F: 3
yx
y
xy2
22
=
+
+ .
G: x
3

- 3xy
2
+3y = 1. H: 3x
2
y - 3x -y
3
=0.
Chng minh E ∩ F = G ∩H.
Câu 2. Có tn ti ( đ tho mãn các điu kin di đây không?
2
21
C)z,z ∈
z
1
+ z
2
=1 , z
1
2
+ z
2
2
= 2 , z
1
3
+ z
2
3
= 3.
Câu 3. Tìm tt c các sao cho

3
),,( Czyx ∈

xzzxzyyyzxx
zyx
⎩
⎨
⎧
+−=+−=+− 2)1(2)1(2)1(
,,

Khác nhau tng đôi mt
Câu 4. Gii h phng trình vi n
3
C)z,y,x(
∈

xy = z , yz = x , zx = y.
Câu 5. Cho ánh x f: tho mãn CC →

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
∈∀
=∈∀

=
+=+
)'().()'(
)f(z'f(z))z'f(z
,)',(
)(,
2
zfzfzzf
Czz
xxfRx
Chng minh
[
Cz )(
Cz )(
∈∀=
∈∀=
zzf
zzf

Câu 6. Gii phng trình vi n s z C
∈
2z + 6
i23z +=

Câu 7. Xác đnh tp các s phc Cz
∈ sao cho z = r
0
z
, r
0 R∈

Câu 8. Vi (a,b,c) tho mãn
3
C∈
1ccbbaa ===
và a+b+c = 0. Chng
minh a
3
= b
3
=c
3

Câu 9. Chng minh
2
C)'z,z(
∈∀

a.
)'zz(2'zz'zz
2222
+=−++
(Hng đng thc hình bình hành).
b.
)'z1)(z1('zz1'zz
222
2
+
+=−++
.

c.
)'z1)(z1('zz1'zz
222
2
−
−=−−−
.
d.
)'zizi'zizi'zz'zz(
4
1
'zz
2222
−
−++−−+=
.

21
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Câu 10. Cho
*
Nn ∈
, (z
1
,...,z
n
)
n
C
∈

.Chng minh
∑∑
==
=
n
k
k
n
k
k
zz
11
khi và ch
khi , Cu ∈
∃ nkuR
k
n
n
,1,.z ,),...,(
k1
==∈∃
+
ααα

Câu 11. Chng minh
2
C)b,a(
∈∀

a.

)b1)(a1(ba
222
++≤+
. Khi nào xy ra đng thc?
b.
abbabababa −+≥− )(2

Câu 12. Cho a,b,c,d khác nhau tng đôi mt sao cho C∈
cb
ad
−
−
và
ac
bd
−
−
là
nhng s thun o. Chng minh rng
ba
cd
−
−
cng thun o.
Câu 13. Xác đnh tp hp các đim M có to v z tho mãn điu kin:
a.
1z2z −= .
b.
iR
iz

z
2
∈
+
.
Câu 14. Tính 2zzSup
3
1z
+−
=

Câu 15. Vi R
a ∈ ,n (x,y) . Tìm nghim ca h
2
R∈

⎩
⎨
⎧
=++++
=++++
0)yasin()xasin(asin
0)yacos()xacos(acos

Câu 16. Gii các phng trình sau trên trng s phc:
a. z
2
- 2zcos
θ +1 = 0 , R∈θ .
b. z

3
- (1- 2i)z
2
+ (1-i)z -2i = 0, bit rng phng trình có mt nghim
thun o.
Câu 17. Gii các phng trình vi n s (x,y,z)
3
C
∈

a. b.
⎩
⎨
⎧
=+−
=−+
399)yx)(yx(
819)yx)(yx(
33
33
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
2
2

2
xz
zy
yx
Câu 18. Chng minh vi R∈
α
a.
α
α
α
α
itgn1
itgn1
)
itg1
itg1
(
n
−
+
=
−
+
.
b. z
m
+ z
-m
= 2cosm nu α
αcos2

z
1
z =
+
.

22
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Câu 19. Cho (n,x)
RN
*
×
∈
, tính S =
∑
.
=
n
0k
3
kxcos
Câu 20. Vi
)2(),( ZRNxn
π
−×∈
tính các tng:
a. . b. .
∑
−=
=

n
nk
ikx
n
e)x(A
∑
=
=
n
0k
kn
)x(A)x(B
1.5 HNG DN VÀ ÁP S BÀI TP CHNG I
S THC
Câu 2. Rút gn v dng toàn phng bng phng pháp Gauss
a. (0,0,0).
b. ( 3z,
z
2
3
,z) , z hoc (6t, 3t, 2t) ,t
R∈
R∈
.
Câu 3. Không tn ti InfE , SupE = -1 = MaxE
Câu 4. a) 1; b)
4
1
; c) 0 ; d) 0
Câu 5. a)

2
1
; b)
2
a
; c) 0 ; d) 0
Câu 6. a) 1; b)
2
3
; c) 1 ;
Câu 7. Hãy biu din tam thc di dng chính tc, sau đó s dng nguyên
lý kp.
Câu 8. a) Dùng phng pháp phn chng.
b) Chng minh (x
n
) tng và không b chn trên.
Câu 9. a) Dùng qui np. b) x
n
=
2x
3x2
n
n
+
+

c) x
n+1
- x
n

=
2x
)x3)(x3(
n
nn
+
+−

Bng qui np chng minh:
* Nu x
0
<
3
thì (x
n
) tng và x
n
<
3

n∀
. Qua gii hn s có x
n
3→

* Nu x
0
>
3
thì (x

n
) gim và x
n
>
3

n∀
. Qua gii hn s có x
n
3→
* Nu x
0
=
3
thì x
n
=
3

n∀
.
Tóm li
3xlim
n
n
=
∞→
không ph thuc x
0
,tc là không ph thuc a

0
,b
0
.

23
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Câu 10.
a) Rõ ràng x
n
< x
n+1
và x
n
< 1n >∀<−=
−
+++ ,2
n
1
2
n)1n(
1
2.1
1
1 L

b) Tng t a)
Câu 11. a) x
n
>

n

b) x
n
=
)1n(log
a
+
Câu 12.
a) Rõ ràng x
n
>1
*
Nn∈∀
, ta có biu din
x
n
=
1
x2
x
2n
2n
+
+
−
−
và x
n+1
- 2 =

n,
2x
2x
1n
1n
∀
+
−
−
−

Suy ra : (x
2n
) tng và b chn trên bi s 2.
(x
2n+1
) gim và b chn di bi s 2.
Lý lun s nhn đc
2xlim
n
n
=
∞→

b) Qui np s nhn đc dãy (x
n
) đn điu gim và b chn di bi s 0,
suy ra
, ta có a
0axlim

n
n
≥
=
∞→
2
= 1+ a
)51(
2
1
a +
=⇒

c) Bng qui np chng minh đc
1n ,0)53(
2
1
≥∀<<−−
n
x
ngoài ra
x
n+1
- x
n
=
)3)(3(
1
1
nn

nn
xx
xx
++
−
−
−

Vy (x
n
) đn điu gim và b chn di do đó
)53(
2
1
axlim
n
n
−
−==
∞→

d) Bng qui np chng minh x
n
< x
n+1
và x
n
<
1+a
n

∀

t
2
4a11
b ,lim
++
==
∞→
bx
n
n

e) x
2
=
2
xx
01
+
, x
3
=
2
xx
12
+
,...
x
2

- x
1
=
2
1
(x
0
- x
1
), x
3
- x
2
=
2
1
(x
1
- x
2
), ...
Bng qui np chng minh x
k
- x
k-1
=
2k ,
2
)1(
2

12
2
≥
−
−
−
−
k
k
xx


24
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Cng liên tip x
n
- x
1
= (x
2
-x
1
)[ ]
2
)1(
...
2
1
2
1

1
2
2
2 −
−
−
+++−
n
n

=
3
2
(x
2
- x
1
) - (-1)
n-2
2n
12
2.3
xx
−
−
x
n
=
2n
12

2n
12
2.3
xx
)1(
3
xx2
−
−
−
−−
−


3
2
lim =
∞→
n
n
x

f) Rõ ràng x
n
> 0 , bng qui np chng minh đc (x
n∀
n
) đn điu tng
và
x

n
< 1
n∀
==
∞→
ax
n
n
lim
22
1
2
a
+

g) x
n
=
n ,5)
5
(
2
1
1
1
∀≥+
−
−
n
n

x
x
. Suy ra x
n
> x
n+1
. Vy tn ti a = và
suy ra a =
n
n
x
∞→
lim
5
.
S PHC
Câu 1. t z = x + iy, (x,y)
2
R
∈
(x,y) x
⇔∩∈ FE
2
- y
2
+ i(2xy +
i
yx
x
yx

y
3)
2222
+
+
=
+
i
z
z 3
1
2
+=⇔


HGyx
yxyx
yxyx
∩∈⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=+−
⇔ ),(
033
133
32

23
Câu 2. Không
Câu 3. Không tn ti.

Câu 4.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−
⇒===
=−
)1,1,1(
(-1,1,-1)(1,-1,-1),
(1,1,1)(0,0,0),
,,
0)1(
yzxxyzzxy
xyzxyz
Câu 5. Xét (f(i))
2
= f(i
2
) = f(-1) =-1 f(i) = ⇒
ε i
}1{±
=

ε

Xét (x,y) ,f(x+iy) = f(x) +f(iy) = f(x) + f(i)f(y) = x + iy
2
R∈
ε
Kim tra f(z) = z hoc f(z) =
z tho mãn.
Câu 6. z =
i
2
1
8
3
−


25
Chng 1: Gii hn ca dãy s
Câu 7. z
iRR ∪
∈
Câu 8.
)(0
111
0
2
cbaa
abc
abcabc

cba
cba +−=⇒=
++
=++⇒=++
= bc

abca
3
=
⇒
Do tính đi xng suy ra a
3
= b
3
= c
3
Câu 9. Áp dng: thì
Cz ∈∀
zzz
2
=
và các tính cht ca phép ly liên hp.
Câu 10. Qui np theo n.
Câu 11. a) Xét (1+
2
22222
11)1)( babababababa −=−−+=+−+


001 ≠⇔=− aba

và b =
2
a
a

b) a = 0 hoc b =0 đúng
Xét : t u =
0,0 ≠≠ ba
b
b
v,
a
a −
=
. Bt đng thc đã cho tng
đng vi

vuv
ba
b
u
ba
a
+≥
+
+
+ 2
1

Kí hiu

)(
2
1
d ),(
2
1
m )1,0( uvvu
ba
a
−=+=∈
+
=
λ


Vy qui v
mdm ≥−+ )21(
λ

Chú ý rng Re(m
0))vuvu(
4
1
Re()d =
−= vì
1vu
22
==

Câu 12. Ta có

)cb)(ad(
cb
1
cb
ad
2
−
−
−
=
−
−
thun o
)cb)(ad( −−⇒
thun
o.
Mt khác ta có s thun o s = ( b
)acca)(cbbc)(baa −−−

=
))(())(())(( bacdacbdcbad −−+−−+−−

Suy ra điu phi chng minh.
Câu 13. a) ng tròn tâm
)
3
4
,0(
và bán kính
3

2

b) Biu din
2
22
)(
iz
izz
iz
z
+
−
=
+
, Re(z
2
(
z -i))=x(x
2
+ y
2
+ 2y)

26