Giáo trình bản đồ học part 3 docx

45
Ta đã biết công thức tính tỷ lệ diện tích của phép chiếu hình nón là
nmP .

. Trên phép chiếu đồng diện tích thì tỷ lệ diện tích là một trị số không
thay đổi:
constnmP


.
, trong trường hợp riêng P = 1.
Vì
r
n
Md
d
m



 ; , ta có phương trình vi phân:





Mrdd
rMd
d
P


 .

Tích phân phương trình trên ta được:

 
sc 


2
2

Hay là:
 
sc 


2

Trong đó: c- hằng số tích phân





0
MrdS
bằng diện tích của hình thang trên mặt elipxôit có hiệu
số kinh độ là: radian, theo vĩ độ thì kéo dài từ xích đạo đến vĩ độ

, đối với mặt

cầu thì

sin
2
RS 

Sau khi xác định được hàm

, trên cơ sở các công thức chung của phép
chiếu hình nón thẳng, toàn bộ các công thức của phép chiếu hình nón thẳng
đồng diện tích như sau:

 
atg
P
n
m
r
n
y
qx
sc
















4
45)8(
1)7(
1
)6(
)5(
sin)4(
cos)3(
2
)2(
)1(
0








(22)
46
Trong công thức trên có 2 thông số


và c, các thông số này được lựa chọn
dựa trên những điều kiện nhất định. Trước khi tìm hiểu các phương án xác định

và
c, chúng ta hãy khảo sát sự biến thiên của hàm
r
n

 của phép chiếu đồng diện tích:

2
r
d
dr
d
d
r
d
dn


















Mà:


sinM
d
dr

Và từ điều kiện
1.


nmP
, ta rút ra:



Mr
d
d

Do đó:














sin
2
2
r
r
M
rd
dn

Gọi
0

là vĩ độ mà tại đó đạo hàm cấp một triệt tiêu:



















0
2
0
2
00
0
0
sin.




o
r
r
M
rd
dn

Từ đó ta có:

0sin
0
2
0
0



r

Từ đẳng thức trên ta dễ dàng rút ra:

0
0
0
sin


r

(23)
Và:
0
2
0
sin


n
(24)
Sau khi tìm đạo hàm cấp hai
2
2

d
nd
tại
0


ta có:

02
2
0
2
2
 n
d
nd


Điều đó chứng tỏ rằng tại vĩ độ
0

thì có tỷ lệ dộ dài
0
n

là nhỏ nhất.
Có các phương án khác nhau xác định các thông số

và c, dưới đây giới
thiệu 2 phương án:
47
Phương án 1: Xác định

và c sao cho trên vĩ tuyến có vĩ độ
0

thì tỷ lệ độ dài
là
1
0

n
và là nhỏ nhất.
Thay 1
0
n vào (24) ta có:

0
sin


Theo (24) ta có:

000


ctgN

Từ đẳng thức
 
O
SC 


2
2
0
ta có:

0
2
0
2
SC 


Theo phương án này thì phép chiếu hình nón đồng diện tích có một vĩ tuyến
chuẩn. Trên vĩ tuyến chuẩn không có biến dạng, càng xa vĩ tuyến chuẩn thì biến dạng
góc và biến dạng độ dài càng tăng. Đồ thị của hàm m, n có dạng như hình 2.14.
Phương án 2: Xác định các thông số

và c sao cho trên các vĩ tuyến có vĩ độ
1

và
2


thì các tỷ lệ độ dài là
1
21


nn

Từ điều kiện
1
1
n
và
1
2

n
ta có:

1
1
1

r

và
1
2
2


r





2
1
2
1
r

và


2
2
2
2
r


Thay:
 
2
1
2
1
2
SC 



và


2
2
2
SC 

,
ta có hệ phương trình:



 
2
22
2
11
2
2
rSC
rSC





Từ đó ta tìm được:

 
12
2
2
2
1
2 SS
rr




và
2
2
2
1
1
2
22
2
1
rr
SrSr
C




Hình 2.14
Hình 2.15
Hình 2.14
48
Theo phương án này thì phép chiếu hình nón thẳng đồng diện tích có 2 vĩ
tuyến chuẩn, đó là các vĩ tuyến
1

và
2

. Đồ thị của hàm m, n trong phương án
này thì có dạng như (hình 2.15).
Các phép chiếu hình nón thẳng đồng diện tích thì thích hợp để thành lập
những bản đồ tỷ lệ nhỏ cho những lãnh thổ ở vĩ độ trung bình và có dạng kéo
dài theo hướng vĩ tuyến.
d. Các phép chiếu hình nón thẳng đồng khoảng cách trên kinh tuyến
Trên phép chiếu này thì kinh tuyến không có biến dạng dài, tức là m = k =
const, thường hay chọn m = 1, tức là:
1


Md
d
m
Hay là:


Mdd




Tích phân phương trình trên ta có:
SC




Trong đó: c- hằng số tích phân





0
MdS
là độ dài của cung kinh tuyến từ xích đạo tới vĩ độ


Nếu coi trái đất là thể cầu thì

.RS


Từ hàm SC



căn cứ vào các công thức chung của phép chiếu hình nón
thẳng, chúng ta có toàn bộ các công thức của phép chiếu hình nón đồng khoảng cách

như sau:
49

n
n
ba
ba
nP
r
n
m
y
qx
dMSSC














1
1

2
sin,8
,7
,6
1,5
sin,4
cos,3
.;,2
,1
0








(25)
Các thông số

và c cũng được xác định dựa theo những điều kiện nhất
định. Trước khi tìm hiểu một vài phương án xác định

và c, chúng ta tiến
hành khảo sát sự biến thiên của hàm số
r
n



, ta có:

2
r
d
dr
d
d
r
d
dn








Mà:


sinM
d
dr
 , do điều kiện m = 1 cho nên M
d
d





Vậy:













sin
r
r
M
rd
dn

Gọi
0

là vĩ độ tại đó đạo hàm cấp 1 triệt tiêu:

0sin
0

0
0
0
0
0
0
0






















r

r
M
rd
dn

Do đó:
0sin
0
0



r

Từ đẳng thức trên ta suy ra:

000

ctgN
(26)

00
sin


n

(27)
Sau khi tính đạo hàm cấp hai
2

2

d
nd
thì chúng ta sẽ thấy rằng tại
0


ta có:

0
0
0
0
0
2
2









N
M
n
d

nd


Điều đó chứng rỏ rằng tỷ lệ độ dài
0
n
trên vĩ tuyến
0

là nhỏ nhất.
50
Dưới đây giới thiệu hai phương án xác định các thông số

và c:
Phương án 1: Xác định các hằng số

và c sao cho trên vĩ tuyến
0

có tỷ lệ độ
dài
0
n
=1 và là nhỏ nhất.
Thay
0
n
=1 vào (27) ta có
0
sin





Từ đẳng thức
0000
SCctgN





ta có:

SctgNC
o


0

Theo phương án này thì phép chiếu hình
nón thẳng đồng khoảng cách có vĩ tuyến chuẩn.
Đồ thị của hàm n có dạng như hình 2.16.
Phương án 2: Xác định các thông số

và c sao cho trên các vĩ tuyến
1

và
2



có tỷ lệ độ dài là
1
21
 nn

Từ điều kiện trên ta có:



 
1
1
2
2
2
1
1
1






r
SC
n
r

SC
n

Suy ra
21
1221
12
21
rr
SrSr
C
SS
rr








Theo phương án này thì phép chiếu có 2 vĩ tuyến chuẩn
1

và
2

. Đồ thị
của hàm n có dạng như ở hình 2.17.
Phép chiếu hình nón thẳng đồng khoảng cách thường được dùng để lập

bản đồ tỷ lệ nhỏ cho những lãnh thổ có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến và ở
các vĩ độ trung bình.
2.2.3. Các phép chiếu hình trụ
a. Các công thức chung của các phép chiếu hình trụ
Hình 2.16
Hình 2.17
51
Trong phép chiếu hình trụ thẳng, các kinh tuyến được biểu thị thành các
đường thẳng song song, khoảng cách giữa các kinh tuyến tỷ lệ thuận với hiệu số
kinh độ tương ứng, các vĩ tuyến là những đường thẳng vuông góc với các kinh
tuyến.
Trong phép chiếu hình trụ ngang hoặc nghiêng thì vòng thẳng đứng và
các vòng đồng cao của hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng và ngang được biểu thị
giống như kinh tuyến và các vĩ tuyến trên phép chiếu hình trụ thẳng.
Từ hình 2.18 ta thấy công thức toạ độ vuông góc của phép chiếu trụ
thẳng có dạng sau:







y
fx
(28)
Trong đó:

là hằng số dương được lựa
chọn. Hàm )(


f được xác định theo những điều
kiện cơ bản của phép chiếu.
Từ công thức chung (28) ta dễ dàng xác định

được các công thức chung về tỷ lệ độ dài m, n, tỷ lệ diện tích P và trị số biến
dạng góc w.
Ta có toàn bộ các công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng như sau:



b
aw
tghay
ba
baw
nmP
r
n
md
dx
m
y
fx

















4
45:
2
sin.6
5
.4
.3
.2
.1
0




(29)
Từ công thức trên nếu thay M = N = R và

cosNr

thì sẽ được công

thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng đối với mặt cầu:
Hình 2.18
52




cos
;
R
n
Rd
dx
m 

Trên phép chiếu hình trụ thẳng mạng lưới kinh vĩ tuyến trực giao: tỷ lệ
độ dài theo hướng kinh tuyến và theo hướng vĩ tuyến là tỷ lệ độ dài cực trị. Các
phương hướng chính trùng với các hướng kinh vĩ tuyến. Từ (29) ta nhận thấy
các trị số tỷ lệ của phép chiếu hình trụ thẳng chỉ phụ thuộc vĩ độ

. Vì vậy các
đường đồng biến dạng trùng với các vĩ tuyến.
Hằng số

được chọn theo 1 trong 2 cách sau đây:
1- Nếu muốn cho xích đạo không có biến dạng độ dài thì:

1
0


a
n

do đó
a


, a là bán kính xích đạo
2- Nếu muốn cho các vĩ tuyến
k

không có biến dạng độ dài thì:
kKK
Nr


cos



Đối với phép chiếu phương vị nghiêng và ngang thì bề mặt trái đất được
nhân là mặt cầu bán kính R, từ công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng,
chúng ta chỉ cần thay

thành


0
90
, thay λ thành a thì chúng ta sẽ nhận được

các công thức chung của phép chiếu nghiêng hoặc ngang như sau:



b
a
baw
P
zR
Rdz
dx
ay
zfx








2
sin.6
.5
sin
.4
.3
.2
.1
21

2
1





(30)
Trên các phép chiếu hình trụ nghiêng và các phép chiếu hình trụ ngang
tỷ lệ độ dài
1

trên vòng thẳng đứng, tỷ lệ độ dài µ
2
trên vòng đồng cao là
những tỷ lệ độ dài cực trị tại mỗi điểm. Mạng lưới các đường kinh tuyến và vĩ
tuyến có dạng tương đối phức tạp.
53
b. Phép chiếu hình trụ thẳng đồng góc
Trên phép chiếu hình trụ thẳng, tỷ lệ đồ dài m và n tại mỗi điểm là các tỷ
lệ độ dài cực trị. Vì vậy điều kiện để tìm công thức của phép chiếu trực thẳng
đồng góc là m = n. Từ đó có phương trình:

rMd
dx



Hay là:


d
r
M
dx 



d
r
x



Ta có: X= lnU + c
Trong đó c - hằng số tích phân


















2
45
2
45
02
0
tg
tg
U


Nếu trên phép chiếu ta lấy xích đạo làm trục y thì c = 0, khi đó:
X= βlnU
Để tiện cho việc tính toán ta đổi sang lôgarit thập phân:

U
dM
x lg
0



Trong đó M
0
d = loge = 0,4242945.
Chúng ta có toàn bộ các công thức của phép chiếu trụ thẳng đồng góc như sau:

0

/
5
./4
/3
/2
log/1
2
0











w
r
nmP
r
nm
y
U
dM
x





(31)
Thông số β được chọn theo một trong hai cách đã nói ở tiết trước.
Nếu chọn β = a (bán kính xích đạo) thì trên phép chiếu có một vĩ tuyến
chuẩn đó là đường xích đạo.
54
Nếu chọn β = r
k
cosk thì sẽ có 2 vĩ tuyến chuẩn
k

và
k


.
Trên vĩ tuyến chuẩn không có biến dạng, càng xa đường chuẩn biến dạng càng lớn.
Phép chiếu hình trụ đồng góc do nhà bản đồ học người Hà Lan tên là
Métcato sáng lập năm 1569. Do đó phép chiếu này mang tên là phép chiếu Métcato.
Phép chiếu Métcato thường được dùng để thành lập các bản đồ hàng
hải, bởi vì nó có tích chất rất đặc biệt: tất cả các đường tà hành đều được biểu
thị thành các đường thẳng. Đường tà hành là đường cong trên mặt elipxôit
hoặc mặt cầu mà góc phương vị tại mọi điểm đều bằng nhau.
Gọi

là góc phương vị của đường tà hành trên mặt elipxoit. Theo (hình
2.19), từ tam giác vuông vô cùng bé ta có:





Md
rd
dsm
dsn
tg 
Hay là:

r
Md
tgd



α
Vậy:







00
d
r
M
tgd



00
lnln UUtg 


lấy
0
0


và
0
0


thì :
λ= tgαlnU (32)
hay: U = e
λctgα
Đối với mặt cầu thì:



ctg
etg 








2
45
0


Trong đó e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Từ các phương trình trên chúng ta
thấy, khi góc phương vị α đồng thời khác 0
0
và 90
0
thì đường tà hành có dạng đường
xoắn ốc trên mặt elipxoit hoặc mặt cầu và có điểm tiệm cầu là điểm cực trái đất. Khi
α = 0 thì đường tà hành trùng với kinh tuyến. Khi α = 90
0
thì trùng với vĩ tuyến.
Hình 2.19
55
Từ phương trình đường tà hành trên mặt elipxoit (32) ta có thể viết βλ =
tgα(βlnU). Đối chiếu với các công thức toạ độ của phép chiếu Métcato thì
phương trình trên được chuyển thành:
y = x. tgα
hay là:
x
y
tg 


Đó là phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng.
c. Phép chiếu hình trụ thẳng đồng diện tích
Ta đã biết công thức chung về tỷ lệ diện tích của phép chiếu hình trụ thẳng là:

rMd
dx
nmP




Trên phép chiếu trụ thẳng đồng diện tích thì
constkP


. Trong trường
hợp chọn k = 1 ta có:

CSx
Mrdx
Mrddx
rMd
dx













1
1
1
1

Trong đó: C - Hằng số tỷ lệ





0
MrdS
- đó là diện tích của hình thang trên mặt elípxôít có hiệu
số kinh độ là radian và ở trong phạm vi từ xích đạo đến vĩ tuyến có vĩ độ

.
Trên phép chiếu nếu chọn xích đạo làm trục y thì ta dễ dàng nhận thấy C = 0. Do đó:

Sx

1


Nếu coi trái đất là thể cầu bán kính R thì:



sin
1
2
Rx 
56
Đến đây nhận được toàn bộ các công thức của phép chiếu hình trụ thẳng đồng
diện tích:
1/ Sx

1

2/ y = βλ
3/ n = β/r
4/ m = 1/n
5/ P = m.n
6/ tg (45
o
+ W/4) =
Phép chiếu này có thể dùng để thành lập các bản đồ tỷ lệ cho những
lãnh thổ ở vĩ độ thấp có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến.
d. Phép chiếu hình trụ thẳng đồng khoảng cách
Trên phép chiếu hình trụ thẳng đồng khoảng cách trên kinh tuyến tỷ lệ
độ dài m là trị số không đổi, m = k = const. Ta thử chọn m = 1.
Ta có: 1

Md
dx

m

Csx
CMdx
Mddx







0

Trong đó: C - hằng số tích phân
s - độ dài cung kinh tuyến từ xích đạo tới vĩ độ


Chọn xích đạo trên phép chiếu làm trục y, thì hằng số C = 0.
Do đó:
s
x


Khi coi trái đất là thể cầu bán kính R thì

Rsx


.

57
Thay
s
x

vào các công thức chung của phép chiếu hình trụ thẳng, chúng ta nhận
được toàn bộ các công thức của phép chiếu hình tụ thẳng đồng khoảng cách như
sau:

n
n
ba
ba
nnmP
r
n
m
y
sx












1
1
2
W
sin/6
./5
/4
1/3
./2
/1


(33)
Vì tỷ lệ độ dài m là trị số không đổi, cho nên trên mạng lưới bản đồ của
phép chiếu trụ thẳng đồng khoảng cách thì các đường kinh tuyến cũng là những
đường thẳng song song cách đều.
Phép chiếu này thích hợp cho những lãnh thổ ở vĩ độ thấp và có dạng
kéo dài theo hướng vĩ tuyến.
Các trị số tỷ lệ và biến dạng của 3 phép chiếu trụ thẳng đồng góc, đồng
khoảng cách, và diện tích được ghi ở bảng 1 dưới đây:
Bảng 2.1





Đồng góc
(=0)
Đồng khoảng cách
(m=1)

Đồng diện tích
(P=1)
m = n P n = p

m n

0
0
15
30
45
60
1,000
1,035
1,155
1,414
2,000
1,000
1,071
1,333
2,000
4,000
1,000
1,035
1,155
1,414
2,000
0
0

00’
1 59
8 14
19 45
1,000
0,966
0,866
0,707
0,500
1,000
1,035
1,155
1,414
2,000
0
0

00’
3 58
16 26
33 57
58
75

90

3,864


14,930


3,864


38 57

72 09
180 00

0,259

0
3,864


73 44

121 57
180 00

e. Các phép chiếu hình trụ nghiêng và ngang
Đối với phép chiếu hình trụ nghiêng và ngang thì bề mặt trái đất được
coi là mặt cầu bán kính R. Từ công thức của một phép chiếu hình trụ đứng, nếu
ta đổi

thành 90
0
– z và  thành a. Trong đó z, a là toạ độ cực mặt cầu trong
hệ nghiêng hoặc hệ ngang mà ta chọn, thì chúng ta nhận được công thức của

phép chiếu hình trụ nghiêng hoặc ngang tương ứng.
1- Công thức của phép chiếu hình trụ nghiêng hoặc ngang đồng góc là:

0
W
sin
.
2
lg
2
21










P
ZR
ay
Z
ctg
Md
x
(34)
Nếu chọn R



thì trên vòng xích đạo của hệ toạ độ cực mặt cầu sẽ không có
biến dạng. Nếu chọn
k
ZR sin

thì trên các vòng đồng cao có khoảng thiên đỉnh là
k
Z và
k
Z sẽ không có biến dạng. Các đường đồng biến dạng trùng với các vòng
đồng cao.
2- Công thức của phép chiếu hình trụ nghiêng hoặc ngang
59

a
W
tg
ZR
P
ny
Z
R
x







)
1
45(
1
sin
1
.
cos
0
2
1
2
2






(35)
cũng được chọn theo các cách như ở phép chiếu đồng góc.
3- Phép chiếu hình trụ nghiêng hoặc ngang đồng khoảng cách có công thức là:

21
21
2
2
1
00

0
2
W
sin
sin
1
.
)90(
















p
ZR
ay
Z
R
x

(36)
Các phép chiếu hình trụ ngang thích hợp đối với những lãnh thổ có dạng
kéo dài theo hướng Bắc – Nam, tức là hướng kinh tuyến các phép chiếu hình
trụ nghiêng thì thích hợp cho những lãnh thổ có dạng kéo dài theo vòng tròn
lớn.
2.2.5. Các phép chiếu bản đồ địa hình
Các phép chiếu bản đồ địa hình gồm có phép chiếu Gauss – Kruger và
phép chiếu UTM.
Phép chiếu Gauss- Kruger là một phép chiếu đồng góc có những đặc
điểm riêng sau đây:
a. Kinh tuyến giữa là đường thẳng và là trục đối xứng.
b. Kinh tuyến giữa không có biến dạng độ dài, tức là m
o
= 1.
60
Để xác định phương trình của phép chiếu ta lấy đường thẳng trùng với
kinh tuyến giữa làm trục x và xích đạo làm trục y.
Để thoả mãn điều kiện đồng góc thì các hàm



,
1
fX  và



,
2
fy 

phải thoả mãn điều kiện (12):













x
M
ry
y
M
rx

Như vậy việc xác định phương trình của phép chiếu Gauss- Kruger chính
là tìm một nghiệm riêng của hê phương trình trên thoả mãn hai điều kiện a và b
Vì phép chiếu Gauss- Kruger ứng dụng cho từng múi 6
o
của mặt Elipxoit,
trong công thức tính toán x và y thì trị số λ không vượt quá 3
o
, do đó các hàm x và y
có thể viết ở dạng chuỗi luỹ thừa. Cần lưu ý rằng theo a thì x là hàm chẵn của λ và y

là hàm lẻ của λ:



7
7
5
5
3
31
6
6
4
422


aaaay
aaaax
O


(37)
Trong đó các hệ số a
o
, a
1
, a
2
… là các hàm của vĩ độ


.
Từ (37) ta có các đạo hàm riêng:










d
da
d
da
d
da
y
aaa
x
5
5
3
3
1
5
6
3
42

642









53
6
6
4
4
2
2
0
4
5
2
31










d
da
d
da
d
da
d
da
x
aaa
y







Thay các đạo hàm riêng trên đây vào điều kiện đồng góc, ta có hệ phương trình sau:




















53
642
4
4
2
2
0
4
5
2
31
5
5
3
3
1
5
6
3
42













d
da
d
da
d
da
M
r
aaa
d
da
d
da
d
da
M
r
aaa

61
Vì các đẳng thức trên phải thoả mãn đối với mọi trị số

và λ, do đó ta có các
quan hệ sau:



d
da
M
r
a
d
da
M
r
a
d
da
M
r
a
d
da
M
r
a
3
4

1
2
2
3
0
1
4
1
;
2
1
;
3
1
;


(38)


 

d
da
M
r
n
a
n
n

n
1
1
1
1



Từ các quan hệ trên ta nhận thấy nếu xác định được a
0
thì các hệ số khác
sẽ lần lượt xác định được.
Từ (37102) ta thấy khi λ = 0 (kinh tuyến giữa) thì x
0
= a
o
Mặt khác, theo
điều kiện (b) ta có:
1
m
o
ds
dx
hay là dx
0
= ds
m

Trong đó: dx
0

là độ dài vô cùng bé của kinh tuyến trên phép chiếu; ds
m
là
độ dài vô cùng bé tương ứng của kinh tuyến trên elipxôit ,

Mdds
m
 .
Từ đó dễ dàng nhận thấy:

m
snx 
00

Trong đó:




0
Mds
m
là độ dài của cung kinh tuyến trên mặt elipxôit kẻ từ xích
đạo trên vĩ tuyến

.
Thay
m
sa 
0

vào (38) ta lần lượt xác định các hệ số
;;
321
aaa

Vì: M
d
ds
d
da
m


0

Vậy: R
d
da
M
r
a 

0
1
(39)



sin
1

M
d
dr
d
ds

vậy:


sin
2
1
2
1
1
2
N
d
da
M
r
a  cos


62























cossin
2
1sin
2
1sincos
2
1
2
r
d
dr
d
rd

d
Nd
d
da

Mà


sinM
d
dr

vậy:




22
2
cossin
2
1
NM
d
da

Từ đó ta có:












2
3
2
3
6
cos
3
1
tg
M
NN
d
da
M
r
a
(40)
Để tiện cho việc tìm các hệ số tiếp theo và tiện cho việc tính toán toạ độ của
phép chiếu, chúng ta biến đổi công thức tính a
3:

Vì:



2
2
2
22
22
sin
1
1
1
1
sin1
e
e
e
e
e
M
N







Mà:
2
2

2
'
1
'
e
e
e


Vậy:

22222
cos'1sin''1 eee
M
N

Trong đó e là độ lệch tâm thứ nhất và e’ là độ lệch tâm thứ hai của
elipxôit quay.
Đặt ký hiệu



cos'e , ta có:

2
1


M
N

.
Thay giá trị này vào (40) ta được:

 
22
3
3
1
6
cos


 t
N
a (41)
Trong đó:

tg
t


Các hệ số tiếp theo là

 
422
3
4
495
24
sincos



 t
N
a
(42)

 
42
5
5
185
120
cos
tt
N
a 

(43)
Chúng ta dừng lại ở hệ số a
5
63
Thay các hệ số vào (37) chúng ta tìm được công thức toạ độ vuông góc của
phép chiếu Gauss-Kruger như sau:

 
   
185cos
120
1cos

6
cos
495sincos
24
sincos
2
425
4
223
3
4223
42


ttNtNNy
tyNNsx









(44)
Gọi

là góc lệch giữa hướng kinh tuyến với
hướng dương của trục x (hình 2.20) ta có:









y
x
tg

Từ (44) sau khi tìm các đạo hàm riêng





yx
;


thay vào công thức trên, tiến hành một số biến đổi ta được công thức

 
231cossin
3
sin
4223

3




ttg (45)
Ứng dụng chuỗi

5
1
3
1
53


tgtgtg

Thay

tg
từ (45) vào công thức trên, bỏ đi những số hạng chứa  với số mũ từ
4 trở lên, ta có công thức:
)231(cossin
3
sin
4223
3




 t (46)
Để tìm công thức tính tỷ lệ độ dài cần ứng dụng công thức chung của phép
chiếu đồng góc:

22
1




















yx
r
nm
Thay






yx
, tìm được từ (44) vào công thức trên sau khi biến đổi và bỏ các số
hạng bậc cao, ta có:
Hình 2.20
~H37
–
T 86_BG BĐH

64
)1(cos
2
1
22
2
2





o
o

hay là:
)1(cos0001523,01

222


o
(47)
Trên phép chiếu Gauss- Kruger, trong phạm vi của múi 6
o
thì các đường
đồng biến dạng có dạng gần như những đường thẳng song song với những kinh
tuyến giữa. Kinh tuyến giữa là đường chuẩn, càng xa kinh tuyến giữa thì các trị
số biến dạng càng tăng. Tại giao điểm của xích đạo với kinh tuyến biên (λ =
±3
o
) thì có biến dạng lớn nhất, trong đó trị số biến dạng độ dài
%14,0
max
2

n
V

và trị số biến dạng diện tích
%27,0
max

P
V
.
Các trị số toạ độ vuông góc x, y độ lệch


, các trị số kích thước khung
hình thang của các bản đồ địa hình và một số trị số khác có thể tra được trong
bảng toạ độ Gauss- Kruger.
Nước ta và nhiều nước khác trên thế giới đã ứng dụng phép chiếu Gauss-
Kruger để thành lập các bản đồ địa hình.
Mỹ và một số các nước khác dùng phép chiếu U.T.M và phép chiếu
Gauss-Kruger để thành lập các bản đồ địa hình. Phép chiếu U.T.M và phép
chiếu Gauss- Kruger rất gần giống nhau.
Nếu tìm phép chiếu đồng góc cho múi 6
o
, thoả mãn 2 điều kiện:
- Kinh tuyến giữa là đường thẳng và là trục đối xứng
- Tỷ lệ độ dài m
o
trên kinh tuyến giữa là một hằng số m
o
=k
Cũng theo cách tương tự như trên, chúng ta sẽ tìm được công thức của phép chiếu là:







 )495(cossin
24
cossin
2
4223

42




tNNskx








 185(cos
120
)1(cos
6
cos
425
5
223
3
ttNtNNky






Rõ ràng khi m
o
= k = 1, đó chính là phép chiếu Gauss- Kruger. Nếu chọn
m
o
= k = 0.9996 thì ta được phép chiếu U.T.M.
65
Trên phép chiếu U.T.M thì có 2 đường chuẩn đối xứng với nhau qua
kinh tuyến giữa và cắt xích đạo tại những điểm cách kinh tuyến giữa một
khoảng λ = ±1
0
30’. Các trị số biến dạng trên phép chiếu Gauss- Kruger thì lớn
hơn trên phép chiếu U.T.M.
Nếu dùng cùng một kích thước elip như nhau thì việc chuyển phép chiếu
U.T.M sang phép chiếu Gauss- Kruger chỉ là quan hệ biến đổi đồng dạng.
Nhưng nếu đối với 2 phép chiếu trên lại sử dụng 2 thể elipxoit khác nhau thì
khi đó quan hệ giữa hai phép chiếu không còn là quan hệ đồng dạng mà là quan
hệ biến đổi phức tạp.
2.3. Phân mảnh và đánh số bản đồ địa hình
2.3.1. Phân mảnh và đánh số bản đồ địa hình cơ bản
a. Phân mảnh và đánh số mảnh bản đồ địa hình tỷ lệ 1:1.000.000
Các bản đồ tỷ lệ 1:1.000.000 được phân mảnh và đánh số giống như bản
đồ quốc tế 1:1.000.000.
Khung hình thang của bản đồ 1:1.000.000 là 4
o
theo vĩ độ và 6
o
theo kinh
độ.
Người ta lấy các đường vĩ tuyến cách nhau 4

o
kể từ xích đạo về hai cực, chia bề
mặt trái đất ra thành các đai. Các đai được đánh dấu lần lượt bằng chữ cái la
tinh từ A đến V (bỏ qua chữ cái O và I để tránh nhầm lẫn với số 0 và số 1). Các
đường kinh tuyến cách nhau 6
o
chia bề mặt trái đất ra làm 60 múi. Các múi
được đánh dấu bằng các chữ số Ả rập từ 1- 60, bắt đầu từ múi số 1 nằm giữa
kinh tuyến 180
0
Đ và 174
0
T và tăng dần theo chiều ngược kim đồng hồ (tức từ
Đông sang Tây). Như vậy bề mặt trái đất được chia ra các hình thang có kích
thước 4
o
x 6
o
. Mỗi hình thang được thể hiện hoàn chỉnh trong một mảnh bản đồ
1:1.000.000.
Trong hệ thống lưới chiếu Gauss, mảnh bản đồ 1:1.000.000 được đánh dấu
bao gồm ký hiệu của đai và ký hiệu của múi. Ví dụ F- 48 tức là đai F múi 48.
66
Trong hệ thống lưới chiếu UTM quốc tế, người ta đặt trước ký hiệu đai thêm
chữ cái N đối với các đai ở phía Bắc bán cầu và chữ S đối với các đai ở Nam bán cầu.
Phiên hiệu mảnh bản đồ tỷ lệ 1:1.000.000 trong hệ VN-2000 có dạng X-
yy (NX-yy), trong đó X là ký hiệu đai và yy là ký hiệu múi, phần trong ngoặc
là phiên hiệu mảnh theo kiểu UTM quốc tế.
Ví dụ: Mảnh bản đồ tỷ lệ 1:1.000.000 có phiên hiệu là F-48 (NF-48).
Bản đồ 1:1.000.000 là cơ sở để tiếp tục phân mảnh và đánh số cho các

bản đồ tỷ lệ lớn hơn.
b. Phân mảnh và đánh số mảnh bản đồ địa hình tỷ lệ 1:500.000
Mỗi mảnh của bản đồ 1:1.000.000 chia thành 4 mảnh của bản đồ tỷ lệ
1:500.000, mỗi mảnh có kích thước 2
0
x3
0
được đánh dấu lần lượt từ trái sang
phải, từ trên xuống dưới bằng các chữ cái A, B, C, D.
Trong hệ thống lưới chiếu Gauss, số hiệu mảnh bản đồ 1:500.000 bao
gồm số hiệu của mảnh 1:1.000.000 và ghép thêm chữ cái tương ứng.
Theo kiểu UTM quốc tế, các phiên hiệu A, B, C, D được đánh số theo
chiều kim đồng hồ bắt đầu từ góc Tây - Bắc.
Phiên hiệu mảnh bản đồ tỷ lệ 1:500.000 là phiên hiệu mảnh bản đồ tỷ lệ
1:1.000.000 chứa mảnh bản đồ tỷ lệ 1:500.000 đó, gạch nối và sau đó là ký
hiệu mảnh bản đồ tỷ lệ 1:500.000 trong mảnh bản đồ tỷ lệ 1:1.000.000, phần
trong ngoặc là phiên hiệu mảnh bản đồ đó theo kiểu UTM quốc tế.
Ví dụ: Mảnh bản đồ tỷ lệ 1:500.000 có phiên hiệu F-48-D (NF-48-C)
c. Phân mảnh và đánh số mảnh bản đồ địa hình tỷ lệ 1:250.000
Mỗi mảnh bản đồ tỷ lệ 1:500.000 chia thành 4 mảnh bản đồ tỷ lệ
1:250.000, mỗi mảnh có kích thước 1
0
x1
0
30’ ký hiệu bằng các số Ả rập 1, 2, 3,
4 theo thứ tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới.
Theo hệ thống lưới chiếu Gauss, số hiệu mảnh bản đồ 1:250.000 bao
gồm số hiệu của mảnh 1:500.000 và ghép thêm số thứ tự tương ứng.