Phương pháp làm dạng tìm dư

Dng toỏn tỡm d
Câu 1: Tìm số d của phép chia:
Câu 2: Tìm thơng và d của phép chia đa thức:
a) (x
5
x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
5x + 6) : (x
2
3x + 2)
b) (x
4
5x
3
+ x
2
+ 6x - 8

) : (x
2
- 9)
C , (x
5
2x
4
+ 3x
3

4x
2
+ 5x - 1) : (x
2
+ 2x + 1)
Câu 3: Tìm số d trong phép chia:
a) 1234567890987654321 : 123456
b) 7
15
: 2001
Câu 4: Tìm thơng và d của phép chia:
a) (3x
4
2x
3
+ x
2
x + 7) : (x - 4)
b) (2x
3
+ 11x
2
17x + 28) : (x + 5)
c, (2x
4
+ 3x
3
7x
2
10x + 5) : (x - 3)

Câu 5: Tìm giá trị của m để đa thức
a) x
3
2x
2
+ 5x + m có một nghiệm là 15.
b) x
5
+ 5x
4
+ 3x
3
5x
2
+ 17x + m 1084 chia hết cho x +
3 m =
Câu 6:Tìm số d trong phép chia:
a) 1234567890987654321 : 1234567
b) 7
15
: 2003
Câu 7: Tìm thơng và d của phép chia đa thức:
A, (x
5
2x
4
+ 3x
3
+ 4x
2

15x + 6) : (x
2
3x + 2)
B, (x
4
15x
3
+ 5x
2
+ 6x - 8

) : (x
2
- 9)
C, (x
5
12x
4
+ 3x
3
14x
2
+ 5x - 1) : (x
2
+ 2x + 1)
Câu 8: Tìm số d trong phép chia số 2
64
1 cho số 101
Bài 9: Tỡm a thc d trong phộp chia sau:
(x

54
+x
45
+ x
36
+ + x
9
+ 1) : (x
2
-1)
Câu 10: Cho A(x) = 20 x
3
- 11x +2008 ; B(x) = 20x
3
- 11x +
1987. Gọi a là số d khi chia A(x) cho x -2, b là số d khi chia
B(x) cho x -3.
Phm M Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh H
1
617,1
321,7256,3
3

+
x
xx
Dạng tốn tìm dư
H·y t×m sè d khi chia b cho a, ¦CLN(a;b), BCNN(a;b),
¦(b-a).
Bµi 11:

a) ViÕt mét quy tr×nh bÊm phÝm ®Ĩ t×m sè d khi chia sè
6789123456 cho 3789656
b) T×m sè d trong phÐp chia trªn ?
Bµi 12: Cho ®a thøc P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x + m
a) T×m sè d trong phÐp chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®a thøc P(x) chia hÕt cho x – 2,5
Bµi 13:a) Cho sè A =
9999
3
. T×m 2 ch÷ sè ci cđa A
b) Ph©n tÝch sè
2010
2009
thµnh tỉng c¸c sè nguyªn d¬ng. T×m
d cđaphÐp chia cđa tỉng c¸c lËp ph¬ng cđa c¸c sè ®ã cho 6:
S¬ lỵc c¸ch gi¶i §¸p sè
a) Ta cã:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
495 4 495
4 495
9999 99 20 20 19 20

3 3 . 3 3 .3 . 3 01 .67. 01 67= = ≡ ≡
(mod 100)
VËy 2 ch÷ sè tËn cïng cđa A lµ 67.
b) Ta cã
( ) ( )
3
1 1 6x x x x x− = − + M
víi mäi sè nguyªn x.
Gi¶ sư
1 2 3
; ; ; ;
n
a a a aL
lµ c¸c sè nguyªn d¬ng cã tỉng b»ng
2010
2009
. Suy ra d cđa phÐp chia
3 3 3 3
1 2 3 n
a a a a+ + + +L
cho 6 còng
lµ d cđa
1 2 3 n
a a a a+ + + +L
cho 6 mµ
2010
1 2 3
2009
n
a a a a+ + + + =L

( ) ( )
2010 2010
2010 2010
2009 2010 1 335.6 1 ( 1) 1= − = − ≡ − =
(mod 6)
VËy
3 3 3 3
1 2 3 n
a a a a+ + + +L
chia 6 d 1
C©u 14(6®) Cho ®a thøc f(x) . BiÕt f(x) chia x-3 th× d 7, chia x-2
d 5, chia (x-2)(x-3) ®ỵc th¬ng lµ 3x vµ cßn d.
a) T×m f(x) b)TÝnh chÝnh x¸c tỉng
f(2007)+f(2008)+f(2009)
Bµi 15 : (5 ®iĨm) Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c
a) Tìm a , b , c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trò 1,2 ;
2,5 ; 3,7 thì P(x) có giá trò tương ứng là 1994,728 ;
2060,625 ; 2173,653
b)Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c) Tìm giá trò của x khi P(x) có giá trò là 1989
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
2
Dạng toán tìm dư
C©u16(2®): Cho ®a thøc P(x) = x
3
+ ax

2
+ bx + c. BiÕt P(1) =
-15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) T×m sè d khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) T×m sè d khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Câu 17: (5 điểm) Phần a cho 1 điểm, phần b,c mỗi
phần cho 2 điểm
Cho đa thức:
4 3 2
P(x) = 2x - 19x - 41x +76x + 88
a, Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho x + 25
b, Tìm m để đa thức:
4 3 2
Q(x) = 2x - 19x - 41x + 76x + 88 + 75m −

có nghiệm là 11.
c, Với m = 2011, hãy tìm các nghiệm của đa thức Q(x)
Lời giải tóm tắt: a, Áp dụng định lý Bozu ta có: dư của
phép chia đa thức P(x) cho x + 25 là r = P(-25). Ấn trên
máy ta được số dư r
b, Để Q(x) có nghiệm là 11 thì Q(11) = 0, Hay P(11) +
75m −
= 0
=> m = 75+
2
P(11)

c, Với m = 2011 thì:
4 3 2
Q(x) = 2x - 19x - 41x + 76x + 132

Vì Q(x) có một nghiệm bằng 11 nên áp dụng lược đồ
a,
r = 1
050
688
b,
m =
2011
c, Q(x)
có 4
nghiệm
là:
x = 11
x = 2
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
3
Dạng toán tìm dư
Hoocne ta có:
3 2
Q(x) = 2( 11)( 1.5x 4x 6)x x− + − −
Dùng máy tính ta tính được
nghiệm của Q(x)
x = - 2
x = -
1.5
18. Tìm số dư trong phép chia
5 3 2
x 7,871x 2,464646x 5,241x 4,19
3
x 2

2
− + − +
−
P(
4
3
) =
5 3 2
4 4 4 4
7,871. 2,464646. 5,241. 4,19
3 3 3 3
       
− + − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

(1điểm)
Hướng dẫn giải:
Đặt P(x) =
5 3 2
x 7,871x 2,464646x 5,241x 4,19− + − +
thì
P(x) = Q(x).(
3
x 2
2
−
) + r (với r là một số không chứa
biến x)
Với x =

4
3
thì P(
4
3
) = Q(
4
3
).0 + r hay r = P(
4
3
)
Kết quả (1
điểm)
-
12,85960053
19. Tìm số dư trong phép chia 70286197 cho 200817
Ta có: 70286197 = 350.200817 + r
=> r = 70286197 - 350.200817 (1
điểm)
* Học sinh có thể trình bày theo cách giải
khác vẫn cho điểm.
Kết quả (1 điểm)
r = 245
20.T×m sè d khi chia: a) 7
15
cho 2001,
b) 2222
5555
+ 5555

2222
+ 2007 cho 7
Bài toán 21:
Cho U
n
=
5
1
















−
−









+
nn
2
51
2
51
n
N
∈
1. Tính U
9 ,
U
11 ,
U
13 ,
U
15
, U
17
của dãy số trên.
2. Tìm số dư trong phép chia (U
17
)
2008
cho 49
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà

4
Dạng toán tìm dư
Bài 22. Tìm chữ số thập phân thứ 2510
2008
sau dấu phẩy trong
phép chia
23
1
.
Đáp án
*Nêu đúng cách làm và tính được :
23
1
= 0,(043 478 260 869 565 217 391 3)
Vậy
23
1
là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chiều dài
chu kì là 22
*2510
≡
2 (mod 22)
⇒
2510
2008

≡
2
2008
(mod 22)

2
21

≡
2 (mod 22)
⇒
(2
21
)
21
= 2
441

≡
2
21

≡
2 (mod 22)
⇒
2
2008
= (2
441
)
4
x (2
21
)
11

x 2
13

≡
2
4
x 2
11
x 2
13

≡
2
28

≡
2
21
x 2
7
≡
2 x 2
7

≡
2
8

≡
256

≡
14 (mod 22)
Vậy chữ số thập phân thứ 2510
2008
sau dấu phẩy trong
phép chia
23
1
chính là chữ số thứ 14 trong chu kì tuần
hoàn và là chữ số 6
Bài 23. Tìm số dư khi chia số 19
2008
+ 7
2008
cho số 27.
Đáp án
*19
3

≡
1 (mod 27) , 2008 = 3 x 669 + 1
⇒
19
2008
= (19
3
)
669
x 19
≡

1
669
x 19
≡
19 (mod
27)
*7
9

≡
1 (mod 27), 2008 = 9 x 223 +1
⇒
7
2008
= (7
9
)
2008
x 7
≡
1 x 7
≡
7 (mod 27)
*Vậy 19
2008
+ 7
2008
≡
19 + 7
≡

26 (mod 27)
Bài 24. a) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số
ab
sao cho
( )
.*n , abab
n
N
∈∀=
Đáp án
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
5
Dạng tốn tìm dư
Dễ thấy nếu
( )
2
ab = ab
thì
( )
.*n , abab
n
N
∈∀=
Từ tính chất
( )
2
ab = ab
suy ra b chỉ có thể là 1, 5, 6
Bấm máy X=X+1:A=10X + B :A
2

Bấm phím ‘CALC’, dấu ‘=’ và cho X = 0, B = 1 rồi
bấm ‘= = ’. Quan sát trên màn hình nếu hai số cuối
của A
2
bằng A thì A là số cần tìm
Khi X = 9 thì lại cho X = 0, B = 5 (hoặc B = 6) rồi
tiếp tục như trên
b) Áp dụng câu a, tìm chữ số hàng chục của số 2
9999
.
Đáp án
2
19

≡
88 (mod 100) ; 2
20
= 76 (mod 100)
2
9999
= (2
20
)
499
x 2
19

≡
76
499

x 88
≡
76 x 88
≡
88
(mod 100)
Vậy chữ số hàng chục của 2
9999
là 8
Bài 25 :
a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006
cho 2005105
b)Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105
c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho
2047
d) Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
Bài 26:
a) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 2
1000
cho 25
b)Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 6
2005

Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
6
Dạng tốn tìm dư
Bài 27: Cho đa thức
( )
4 3 2
P x x ax bx cx d= + + + +

và cho biết P(1) = 5 ,
P(2) = 7 , P(3) = 9 , P(4) = 11
a) Tìm các hệ số a , b, c , d của đa thức P(x) .
b)Tính các giá trò của P(10) , P(11) , P(12) , P(13) .
c) Viết lại P(x) với hệ số là các số nguyên
d)Tìm số dư r
1
trong phép chia P(x) cho (2x + 5) ( chính
xác đến 2 chữ số ở phần thập phân )
Hãy điền các kết quả tính được vào ô vuông .
a = b = c = d =
P(10) = P(11) = P(12) = P(13) =
P(x) = r
1
=
Bài 28:
a) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số
999
2

b) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số
999
3
c) Tìm các chữ số a, b , c , d biết :
1 2004ab cd× =
Ghi kết quả vào ô vuông :
Hai chữ số cuối cùng số
999
2
là Hai chữ số cuối cùng số

999
3
là
a = b = c = d =
Bài 29:
a) Trình bày cách tìm và tìm số dư r của
7349
3
khi chia cho 19
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
7
Dạng tốn tìm dư
b) Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số tận cùng là 4 và
luỹ thừa bậc năm của một số tự nhiên
c) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết :
5 2712960ab cdef× =
Bài 30 :
a) Tìm số dư r của phép chia 2345678901234 cho 4567
Bài 31:
a) Xác đònh đa thức dư R(x) khi chia đa thức
( )
9 25 49 81
1P x x x x x x= + + + + +
cho
( )
3
Q x x x= −
. Tính R(701,4) ? Ghi
kết quả vào ô vuông :
R(x) = R(701,4) =

d) Tìm số dư r khi chia 1776
2003
cho 4000
Bài 32:
a) Cho phương trình
3 2
2 12 0x mx nx+ + + =
có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= - 2 . Tìm m, n và nghiệm thứ ba x
3
?
b) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức
100 51
2 1x x− +
cho
2
1x −
c) Cho đa thức
5 2
( ) 1f x x x= + +
có 5 nghiệm
1 2 3 4 5
, , , ,x x x x x
. Kí hiệu
( )
2
81p x x= −

. Hãy tìm tích
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5
P p x p x p x p x p x=

Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
a) m = n = x
3
=
b) R(x) = c) P =
e)Tìm hai chữ số tận cùng của số 3
2007

Bài 33 Cho đa thức
( )
5 4 2
5 8 12 7 1 3P x x x x x m= + − + − +
.
a) Tính số dư r trong phép chia P(x) cho x – 4,138 khi m
= 2007 ?
b)Tính giá trò m
1
để đa thức P(x) chia hết cho
3 2x
+
?
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
8
Dạng tốn tìm dư
c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 3 thì m

2
có giá trò
bao nhiêu ?
r = m
1
= m
2
=
Bài 34: a) Tìm bốn chữ số tận cùng của số a = 41511621
3
-11
b) Cho A = 459494736 và B = 5766866256 . Tìm
ƯCLN (A ,B ) và BCNN(A,B ) ?
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của
phép chia 5 cho 61
Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
Bốn chữ số tận cùng của a là
BCNN(A,B ) = ƯCLN (A ,B ) =
Chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy là
Bài 35 (5 điểm)Tìm hai chữ số cuối cùng của số:
200120001999
222 ++
Cách giải
( )
1980109
21999200120001999
2227
2212222
×××=
++=++

( )
99
20109
2227 ×××=
Dùng máy:
Ta có:
102425122
109
== ,

20
2
là số có 2 chữ số tận cùng là 76 nên
( )
99
20
2
cũng có 2 chữ số tận cùng là 76.
Do đó:
( )
167610245127222
200120001999
=×××=++
Kết quả
Hai chữ số
cuối cùng là
76
36/ a/ Tìm số dư khi chia 24728303034986074 cho 2003
b/ Tìm chữ số hàng chục của 17
2004

.
C©u 37:
Phạm Mỹ Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh Hà
9
a/ 401
b/ 2
Dng toỏn tỡm d
a) Cho đa thức P
(x)
= x
5
+ 2x
4
3x
3
+ 4x
2
5x + m
a1) Tìm số d trong phép chia P(x) cho x 12,5 khi m =
2005
a2) Tìm giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x 12,5
a3) Muốn cho đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là
bao nhiêu?
b) Cho đa thức P
(x)
= x
5
+ ax
4
+ bx

3
+ cx
2
+ dx + e và cho biết
P(1) = 3; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51. Tính P(6);
P(7); P(8); P(9); P(10) và P(11)
Bi 38:
2.1) Tỡm tng cỏc ch s ca s A
2
nu A = 99998 (s A
cú 2007 ch s 9)
2.2) Tỡm ba ch s tn cựng ca s A =
2007 2008
70 90
8 8
1 1
4 5
22 19
+
2.1) Tng cỏc ch s ca A
2
l
S(A
2
) =
2.2) Ba ch s tn cựng ca s A
l
Bi 39. a/ Tỡm s d r khi chia s 24728303034986074
cho 2008

b/ Tỡm s d R khi chia 1776
2003
cho 4000
c/ Tỡm 3 ch s cui ca s 7
3411
Phm M Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh H
10
r = 522
R = 3712
Dng toỏn tỡm d
Câu 40: a)Lập quy trình bấm phím và tìm số d của phép chia số
18901969 cho 2382001.
+ Qui trình:
+ Kết quả:
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất và lớn nhất có dạng: 1x2y3z4 chia
hết cho 13.
Số lớn:
Số bé:
Câu 41:Cho đa thức: P(x)= 6x
3
-7x
2
-16x+m và g(x) = 2x+3.
a) Tìm điều kiện của m để P(x) chia hết cho g(x).
m =
b) Với m tìm đợc ở câu a) hãy tìm số d của phép chia P(x)
cho đa thức: 3x-2
Số d r =
42 Tìm số d khi chia: a) 7

15
cho 2001,
b) 2222
5555
+ 5555
2222
+ 2007
cho 7
a) 1486
(0,5đ)
b) 5
(0,5đ)
43
Cho đa thức P(x) = x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x + m.
a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + 5.
b) Với m tìm đợc ở câu a), hãy tìm số d r khi chia đa
thức P(x) cho x 3.
a) - 120.
(0,5đ)
b) 0
(0,5đ)
Bài 44:
a/ Tìm số d khi chia đa thức
743

24
+ xxx
cho x-2
b/ Cho hai đa thức:
P(x) = x
4
+5x
3
-4x
2
+3x+m
Q(x) = x
4
+4x
3
-3x
2
+2x+n
Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3
a/ Thay x=5 vào biểu thức x
4
-3x
2
-4x+7=> Kết quả là số d
Ghi vào màn hình: X
4
-3X
2
+4X+7
Gán: 2 SHIFT STO X, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức, ấn =

Kết quả: 3
Phm M Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh H
11
743
Dng toỏn tỡm d
b/ Để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3 thì x=3 là nghiệm của
P(x) và Q(x)
Ghi vào màn hình: X
4
+5X
3
-4X
2
+3X ấn =
-Gán: 3 SHIFT STO X, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức và
ấn =
đợc kết quả 189 => m=-189
Tơng tự n=-168
Câu 45 :
a)Tìm số d của phép chia sau:1357902468987654321 :
20072008 và
200708
: 111007
102007
.
b)Chứng minh rằng:
1)
10)
2003
2001(

2006
2004

+
2)
400)
77
77(
20083
2

+++
+
c)Tìm chữ số tận cùng của số sau:
20072008
20072008
.
d)Tìm hai chữ số tận cùng của số sau:
99
99
9
9
9
+
.
Câu 46 : Cho đa thức:
dxcbaxP
xxx
++++=
)(

234
.
a)Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -2 với a = c = -2007 và b =
d = 2008.
b)Với giá trị nào của d thì đa thức P(x)

( x -2 ) với a = 2; b = -3;
c = 4.
c)Tìm số d và hệ số x
2
của phép chia đa thức P(x) cho x 5 với
a = d = -2; b = c = 2.
d)Cho biết:P(1)=5;P(2)=8; P(3)=11; P(4)=14:
1)Tính P(5) đến P(10).;
( )
2007)6()8(.
2008
1
=
PPA
2)Tìm các hệ số a, b, c, d, của đa thức P(x).
Bi 47 :
Tỡm d trong phộp chia 123456789101112131415 cho
122008
Phm M Linh - A10 2013-2016 - THPT Minh H
12
D: 77919