Kiểm tra chất l-ợng ôn thi ĐH - CĐ (Lần 2) Môn: Toán (khối a) pptx

Tr−êng THPT lam kinh kiÓm tra chÊt l−îng «n thi §h - c® (LÇn 2)
M«n: To¸n (khèi a), n¨m häc 2009 - 2010
Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
C©u I (2.0 ®iÓm) Cho hàm số 23
23
+−= xxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
theo tham số m.
C©u II (2.0 ®iÓm )
1. Giải phương trình:
(
)
2
34 2 2 212sin x cos x sin x−= +

2. Giải phương trình:
23
16 4
2
14 40 0
xxx

log x log x log x .−+ =

C©u III (1.0 ®iÓm) Tính tích phân
3
2
3
x
sin x
I
dx.
cos x
π
π
−
=
∫

C©u IV(1.0®iÓm) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng d:
3
2
12
1
−
+
==
−
zyx
và mặt phẳng

.Tìm tọa độ giao điểm
012:)( =−++ zyxP
A
của đường thẳng d với mặt phẳng . Viết phương
trình của đường thẳng đi qua điểm
)(P
Δ
A
vuông góc với d và nằm trong .
)(P
C©u V:(1.0®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai điểm , . Tìm quỹ tích các
điểm cách đều hai mặt phẳng và .
)2;1;1(A )2;0;2(B
)(OAB )(Oxy
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
C©u VI.a(2.0 ®iÓm)
1. Cho hàm số 3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng
)(xf 0)(
=

xf

có đúng hai nghiệm.
2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
⎩
⎨
⎧
+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
C©u VII.a(1.0 ®iÓm) Trong mặt phẳng cho
Oxy
ABC
Δ
có
(
)
05
A
;.
Các đường phân giác và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh

B
có phương trình lần lượt là
12
10 2 0d:x y ,d:x y .
−
+= − = Viết phương trình ba cạnh
của tam giác ABC.
B.Theo chương trình Nâng cao
C©u VI.b (2.0 ®iÓm)
1. Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
π

C©u VII.b (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác
đều. Qua
SABCD SAC
A

dựng mặt phẳng vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp.
)(P )(P
…HÕt ®Ò …
Hä vμ tªn thÝ sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Sè b¸o danh:. .
ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
32
32
y
xx.
=
−+

• Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D
R.
=

• Sự biến thiên:
2
36
y
'x x=−. Ta có
0
0
2

x
y'
x
=
⎡
=⇔
⎢
=
⎣

0,25
•
()
(
)
02 2 2
CD CT
yy ;yy== ==−.

0,25
• Bảng biến thiên:
x

−
∞
+∞
y'
0 2

+
0
−
0
+

y

2
+∞

−
∞ 2
−


0,25
a)
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
−
=−−
x
m
xx
theo tham số m.

• Ta có
()
22
22 22 1 1
1
m
x
xxxx
x
−−= ⇔ −− −= ≠
−
m,x.
Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của
(
)
()
2
22 1yx x x,C'=−− −
và đường
thẳng
1ym,x .=≠
0,25
• Vì
()
(
)
()
2

1
22 1
1
fx khix
yx x x
f
x khi x
>⎧
⎪
=−− −=
⎨
−
<
⎪
⎩
nên
(
)
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x
.
=

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x
=

qua Ox.
0,25
• Học sinh tự vẽ hình
0,25
• Dựa vào đồ thị ta có:
+ Phương trình vô nghiệm;
2m<− :
:
0:
:≥
+ Phương trình có 2 nghiệm kép;
2m=−
+ Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
2m−< <
+
m
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0
0,25
b)

0,25
Câu II 2 điểm
Giải phương trình
(
)
2
34

2 2 212sin x cos x sin x−= +

• Biến đổi phương trình về dạng
(
)
(
)
232121sin x sin x sin x 0
+
−+=

0,75
a)
• Do đó nghiệm của phương trình là
725
22
6618318
kk
xk;xk;x ;x
2
3
π
ππππ
ππ
=−+=+=+ =+
π

0,25
b)
Giải phương trình
23

16 4
2
14 40 0
xxx
log x log x log x .+=


−
• Điều kiện:
11
02
41
6
x
;x ;x ;x .>≠≠ ≠

• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
• Với
1
x
≠
. Đặt và biến đổi phương trình về dạng 2
x
tlog=
24220
0
14121
tt t
−

+=
−
++

0,5
• Giải ra ta được
1
24
2
2
t;t x;x==−⇒==
1
. Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x
;x .==
0,25
Câu III 1.0 điểm
Tính tích phân
3
2
3
x
sin x
I
dx.
cos x
π

π
−
=
∫


• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
33
3
3
33
14
3
xdx
I
xd J ,
cosx cosx cosx
ππ
π
π
ππ
π
−
−−
⎛⎞
==−=
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
− với

3
3
dx
J
cosx
π
π
−
=
∫

0,25
• Để tính J ta đặt
ts
Khi đó
inx= .
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
11 2
121
23

dx dt t
Jln
cosx t t
π
π
−
−
−
−−
= = =− =−
−+
+
∫∫
3
ln.


0,5
a)
• Vậy
42
3
23
3
I
ln .
π
−
=−
+

0,25
Câu IV 1.0 điểm
Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng . Viết phương
trình của đường thẳng Δ đi qua điểm
)(P
A
vuông góc với d và nằm trong .
)(P

• Tìm giao điểm của d và (P) ta được
17
2
22
A;;
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,25
• Ta có
()() (
21 3 211 1 20
dP dp
u;;,n;;uu;n ;;
Δ
⎡⎤

=− = ⇒= =−
⎣⎦
)
J
JGJJGJJGJJGJJG

0,5

• Vậy phương trình đường thẳng
Δ
là
17
22
22
:x t;y t;z .
Δ
=+ = − =−

0,25
Câu V 1.0 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm , . Tìm
quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng và .
Oxyz )2;1;1(A )2;0;2(B
)(OAB )(Oxy



()()
;−,;; ;22 2 211 1OA OB
⎡⎤

=−=
⎣⎦
JJJG JJJG
(
)
: 0OAB x y z⇒+−=
.
()
: 0Oxy z =
.
(
)
;;Nxyz
cách đều
()
và
OAB
(
)
Oxy

()
(
)
(
)
(
)
,,dN OAB dN Oxy⇔=
1

3
x
yz z+−
⇔
=

(
)
()
.
31 0
3
31 0
xy z
xyz z
xy z
⎡
+
−+=
⎢
⇔+−=± ⇔
⎢
+
+−=
⎢
⎣

Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình
()
31 0xy z+− + = và

(
)
31 0xy z
+
+−=.

0
.25




0.5




0
.25
Câu VIa

2.0 điểm
1.
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf

x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng
minh rằng có đúng hai nghiệm.
)(xf
0)( =xf


• Ta có
x
f
(x) e x cosx.
′
=+− Do đó
(
)
0
x
f
'x e x cosx.=⇔ =−+

0,25
• Hàm số
x
y
e= là hàm đồng biến; hàm số
yxcosx
=
−+
là hàm nghịch biến
vì . Mặt khác

10y' sin x , x=− + ≤ ∀
0
=
x
là nghiệm của phương trình
nên nó là nghiệm duy nhất.
x
excos=− + x
0,25
• Lập bảng biến thiên của hàm số
(
)
yfx=
(học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình có đúng hai nghiệm.
0)( =xf
• Từ bảng biến thiên ta có
(
)
20min f x x .
=
−⇔ =

0,5
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
−+−=
x

xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng
minh rằng có đúng hai nghiệm.
)(xf
0)( =xf



• Ta có
x
f
(x) e x cosx.
′
=+− Do đó
(
)
0
x
f
'x e x cosx.=⇔ =−+

0,25
2.
. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
⎩
⎨
⎧
+−=+
−−=

izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21

Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)


Câu
VII.a
1.0 điểm

Trong mặt phẳng cho
Oxy
ABC
Δ
có
(
)
05
A
;.
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B

có phương trình lần lượt là
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
12
10 2 0d:x y ,d:x y .−+= − =

• Ta có
(
)
12
21 3 50Bd d B ; AB:xy=∩⇒ −−⇒ −+=.

0,25
• Gọi
A
' đối xứng với A qua
(
)
(
)
1
23 41dH;,A';⇒ .

0,25
• Ta có
310
A
'BC BC:x y∈⇒ −−=.

0,25
• Tìm được

.

()
28 9 7 35 0C; AC:xy⇒−+=
0,25
Câu VI.b 2.0 điểm
Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
++
−=+
xxxx


• Biến đổi phương trình đã cho về dạng
222
9
32 273 62 3
4
xxx
+=−
2x

0,5

1.
• Từ đó ta thu được
3
2
32 2
2
39 39
x
xlog
⎛⎞
=⇔=
⎜⎟
⎝⎠

0,5
2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x,
x =
2
π



Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0
⇔
x(sin2x – 2) =0 x = 0 ⇔
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lμ:
∫∫
−=−=
2

0
2
0
)22(sin)22sin.(
π
π
dxxxdxxxxS

Đặt
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
−=
=
x
x
v
dxdu
dxxdv
xu

2
2
2cos
)22(sin
44424
222
πππππ
−=+−=⇔ S
(đvdt)



0.5


0.5
Câu
VII.b
1.0 điểm
Cho chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam
giác đều. Qua
SABCD SAC
A
dựng mặt phẳng vuông góc với .Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp.
)(P
SC
)(P

• Học sinh tự vẽ hình

0,25
• Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.
⊥
Gọi
IAC'SO.
=
∩

0,25


• Kẻ
B
'D' // Ta có
BD.
2
1123
2232
AD' C' B'
aa
S B' D' .AC' . BD. .== =
3
6

0,5