Sáng kiến kinh nghiệm " NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG " pot

1

NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG

PP năng lượng dùng: xác lập một sự tương ứng giữa năng lượng của hệ dao
động với năng lượng của một con lắc đơn giản nhất gồm một vật năng khối
lượng m treo trên một lò xo có độ cứng k. Nếu biểu thức cơ năng ở li độ x
của hệ đưa về dạng E=
2
2
22'
xkxm
hdhd
 thì hệ sẽ dao động điều hoà
x=Asin )(



t với tần số góc

hd
hd
m
k



Để minh hoạ cho PPNL, ta hãy dùng nó dể tìm chu kì của con lắc đơn: gồm một
vật nặng m treo trên sợi dây mảnh dài l. Để có tham số x, ta chọn độ dịch
chuyển của vật nặng theo cung tròn tính từ vị trí cân bằng. Động năng của con

lắc là mx’
2
/2, tức khối lượng hiệu dụng đúng bằng khối lượng của vật nặng. Đối
với những độ lệch nhỏ của con lắc (x<<l), thế năng của hệ là: E
t
=mgh=mgl(1-
cos

) =2mglsin
2
2

=mgl
2
2

=
l
mg
2
2
x
(1) , trong đó
l
x


là góc lệch của con
lắc. Do đó, độ cứng hiệu dụng bây giờ là
l

mg
và tần số góc của dao động là
hd
hd
m
k


=
l
g

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cụ thể.
Bài toán 1. Một thanh dài l=40cm được uốn thành nửa
vòng tròn nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng kể .
Người ta gắn vào nửa vòng tròn này một trục quay nằm
ngang đi qua tâm vòng tròn. Hãy tìm tần số góc của
những dao động bé của nửa vòng tròn xung quanh vị trí cân bằng nếu trục quay
vuông góc với mặt phẳng đó. Lấy g=9,8 m/s
2
.
Giải: Để có tham số x xác định vị trí của hệ, ta chọn độ dịch chuyển của các
điểm trên thanh ra khỏi vị trí cân bằng. Khi đó động năng của hệ bằng mx’
2
/2,
với khối lượng hiệu dụng đúng bằng khối lượng của thanh.
Để tính thế năng, ta coi rằng ta đã dịch chuyển một mẩu của thanh có chiều dài x
và khối lượng mx/l từ đầu này đến đầu kia của thanh (như minh hoạ trong hình
vẽ). Khi đó tâm của đầu mẫu đã dịch chuyển một đoạn x, tức là độ biến thên thế
năng của thanh bằng E

t
= gx
l
mx
=
l
mg2
2
2
x
(2) (ta quy
ước thế năng ở VTCB=0). Điều này có nghĩa là độ
cứng hiệu dụng của hệ là k
hd
=2mg/l. Do đó tần số góc
của dao động là
hd
hd
m
k


=
l
g2
=7 (rad/s)
Bài toán 2. Một ống chữ U có thiết diện S=10cm
2

chứa 400g nước. Tìm tần số góc của dao động theo

phương thẳng đứng của chất lỏng. Bỏ qua ma sát và lấy g =9,8 m/s
2
.




x
x O


x
x

2

Giải: Nếu nước dịch chuyển một đoạn x từ VTCB thì, như trong bài toán trước,
có thể coi một cột nước nhỏ dài x và có khối lượng

Sx đã dịch chuyển từ
nhánh này sang nhánh kia. Độ biến thên thế năng lúc đó là: E
t
=
(

Sx)gx=2

gS
2
2

x

Với

=1g/cm
3
là khối lượng riêng của nước. Như vậy độ cứng hiệu dụng là
2

gS, còn khối lượng hiệu dụng đúng bằng khối lượng m của nước có trong
ống. Do đó tần số góc của dao động là
hd
hd
m
k


=
m
gS

2
=7 (rad/s)
Bài 3. Một thanh không trọng lượng được uốn thành 1/3 vòng tròn bán kính
R=5cm. Nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng kể, người ta gắn cung tròn
này vào một trục quay nằn ngang đi qua tâm vòng tròn và vuông góc với mặt
phẳng của nó. Người ta gắn vào 2 đầu cung tròn 2 vật nặng như nhau. Hãy tìm
tần số góc của những dao động bé của cung tròn xung quanh vị trí cân bằng. Lấy
g=9,8 m/s
2

.
Giải: Để làm tham số xác định đọ lệch của cung tròn ra khỏi vị trí cân bằng, ta
chọn góc lệch nhỏ

. Khi đó động năng của hệ là:
E
k
=2
2
2
2
2
2
2'
2
222

mR
mRmv

Tức khối lượng hiệu dụng là m
hd
=2mR
2
(ở đây m là khối lượng của vật nặng)
Sẽ là thuận tiện nếu ta biểu diễn thế năng của hệ qua sự biến thiên độ cao trọng
tâm của hệ. Dễ thấy rằng trọng tâm của hệ nằm giữa 2 vật nặng và ở cách điểm
treo một khoảng l=Rcos60
0
=R/2, do đó

E
t
=2mgl(1-cos

)=2mgl
2
2

=mgR
2
2

. Điều này có nghĩa là độ cứng hiệu dụng
k
hd
=mgR và tần số góc của dao động bé là:
hd
hd
m
k


=
R
g
2
= 10 (rad/s)
(Coi như là một bài luyện tập nhỏ, em hãy làm lại bài toán trên nhưng bây
giờ chọn tham số xác định vị trí của hệ không phải là góc


mà là độ dịch
chuyển quen thuộc x=R

)
Bài toán 4. Một thanh có khối lượng M=20g và chiều dài l=118cm được uốn
thành một nửa vòng tròn, và nhờ các nan hoa có khói lượng không đáng kể
người ta gắn nửa vòng tròn này vào một trục quay nằm ngang đi qua tâm vòng
tròn và vuông góc với mặt phẳng của nó. Người ta gắn vào giữa thanh một vật
nặng m=100g. Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của nửa vòng tròn
xung quanh vị trí cân bằng. Lấy g=9,8 m/s
2
và

=3.14
Giải: Có thể coi bài toán này là tổ hợp của ví dụ về con lắc đơn và bài toán 1.
Do đó khi tính thế năng cần phải sử dụng đồng thời phương pháp tính độ cao khi
góc lệch bé (công thức (1))và phương pháp dịch chuyển một mẩu của
thanh(công thức (2)). Khi đó ta có
E
t
=(mgR(1-cos

)+
2
)2(
2
2
2
222
x

l
gMmx
l
Mgx
R
mg
gx
l
Mx 


.

3

Vì động năng của hệ bằng E
k
=(m+M)
2
2'
x

nên tần số góc của dao động là:
hd
hd
m
k


=

l
g
Mm
Mm

 2

=5 (rad/s)
Bài toán 5. Một thanh không trọng lượng có chiều dài l=3,5m có
thể quay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu của
thanh. Người ta gắn vào đầu tự do của thanh một vật nặng khối
lượng m và vào trung điểm của thanh vật nặng khối lượng 3m.
Hãy tìm tần số góc của những dao động bé thanh xung quanh vị
trí cân bằng. Lầy g=9,8 m/s
2
.
Giải: Để làm tham số xác định độ lệch của thanh, ta chọn độ dịch
chuyển của thanh dọc theo cung tròn. Như vậy độ dịch chuyển
của vật ở bên trên là x/2./ Khi đó động năng của hệ là:
E
k
=
2
75,1
2
)2/(3
2
2'2'2'
x
m

xmmx
 : Tức khối lượng hiệu dụng của hệ là
m
hd
=1,75m. Thế năng của hệ là E
t
=(mgl(1-cos

)+ 3mg
2
5,2
)cos1(
2
2
x
l
mgl


.
Do đó k
hd
=2,5mg/l. vậy tần số dao động bé của hệ là
hd
hd
m
k


=

l
g
7
10
=2 (rad/s)
(Coi như một bài luyện tập nhỏ, em hãy làm lại bài toán trên nhưng bây giờ
chọn tham số xác định vị trí của hệ là độ lệch góc

=x/l)
Bài toán 6. Một thanh không trọng lượng dài l=50cm
có thể quay tự do quanh một trục nằm ngang đi qua
một đầu của thanh. Người ta gắn vào đầu tự do của
thanh một vật nặng khối lượng m=0,5kg và vào trung
điểm của thanh một lò xo nằm ngang có độ cứng
k=32N/m. Khi thanh ở vị trí thẳng đứng, lò xo không
biến dạng. Hãy tìm tần số góc của những dao động bé
của hệ xung quanh vị trí cân bằng. Lấy g=10m/s
2
.
Giải: Để làm tham số xác định độ lệch của hệ, ta chọn
độ dịch chuyển của vật nặng theo cung tròn. Với độ
dịch chuyển đó, độ biến dạng của lò xo là x/2. Khi đó
thế năng của hệ là
E
t
=
l
mg
2
2

x
+k
242
)2/(
22
xk
l
mgx






 . Hiển nhiên, khối lượng hiệu dụng của hệ
đúng bằng khối lượng của hệ. Khi đó tần số dao động của hệ là:

hd
hd
m
k


=
m
k
l
g
4
 = 6 (rad/s)

Bài toán 7. Hai đầu một thanh không trọnglượng có chiều dài l=10cm, người ta
gắn 2 quả cầu nhỏ, mỗi quả có khối lượng m=9g. Biết rằng 2 quả cầu tích điện
trái dấu và độ lớn của các điện tích đó bằng q=3

C và toàn bộ hệ thống được
đặt trong một điện trường đều có cường độ E=600V/m và có hướng song song
O






3m x/2


m x
O




k




x
m

4

với thanh khi ở VTCB. Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ trên
xung quang VTCB. Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Giải: Vì tổng các lực tác dụng lên hệ bằng không,
nên hệ quy chiếu gắn với tâm quán tính của hệ là
một hệ quy chiếu quán tính. Do đó ta có thgể xem
điểm giữa của thanh là đứng yên. Để làm tham số
đặc trưng cho độ lệch của hệ khỏi vị trí cân bằng, ta chọn góc quay

của hệ.
Động năng của hệ là: E
k
=2
2
2
2
)2/(
2'22'

mllm
 . Điều này có nghĩa là khối lượng
hiệu dụng của hệ bằng m
hd
=ml
2
/2. Độ biến thiên thế năng khi thanh quay một
góc bé

bằng công mà lực điện trường thực hiện lấy với dấu ngược lại.

E
t
= 2qE
 

cos1
2

l
=qEl
2
2

. Điều này có nghĩa là độ cứng hiệu dụng của hệ
bằng k
hd
=qEl. Từ đó suy ra tần số góc của dao động của thanh là:

hd
hd
m
k


=
ml
qE2
=2 (rad/s)
Bài toán 8. Một ống dài được uốn thành góc vuông
được đặt sao cho một nhánh thẳng đứng. Trong

nhánh thẳng đứng người ta dữ một sợi dây dài
l=90cm sao cho một đầu của nó nằm ở điểm uốn của
ống. Hỏi qua thời gian bao lâu (tính ra mili giây) sau
khi buông tay ra thì nó trượt được một nửa vào nhánh
nằm ngang của ống? Bỏ qua ma sát. lấy g=10m/s
2
và

=3,14.
Giải: Nếu tại thời điểm t phần dây còn lại ở nhánh thẳng đứng có chiều dài x thì
năng lượng của hệ có dạng: E=
2
2
'
2
2
'
222
x
l
mgmxx
g
l
mxmx

Trong dó mx/l là khối lượng của đoạn dây nằm trong nhánh thẳng đứng, và x/2
là độ cao trọng tâm của nó. Vì biểu thức này đồng nhất với biểu thức của năng
lượng của dao động điều hoà với tần só góc
l
g



, và vận tốc ban đầu bằng
không, nên chuyển động xảy ra theo quy luật x=lcos

t (vì tại thời điểm ban đầu
x
0
=l). Công thức này chỉ có hiệ lực trong ẳ chu kì, khi mà x chưa =0, nghĩa là
khi toàn bộ sợi dây chưa nằm trọn ven trong ống nằm ngang. Để tính thời gian
cần tìm, ta chỉ cần đặt vào công thức trên x=l/2. Giải phương trình đó ta nhận
được:
t=
g
l
33




=314 ms
Bài tập luyện tập:
Bài toán 9. Một thanh dài l=20 cm dược uốn thành một cung tròn, có chiều dài
bằng 1/6 vòng tròn. Nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng kể người ta gắn
cung tròn này vào một trục quay nằm ngang đi qua tâm vòng tròn và vuông góc
với mặt phẳng của nó. Người ta gắn vào 2 đầu cung tròn 2 vật nặng như nhau.

-q
E



q
x


5

Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của cung tròn xung quanh vị trí cân
bằng. Lấy g=9,8 m/s
2
.
ĐS:
l
g


= 7 (rad/s)
Bài toán 10. Một bánh xe mảnh có khối lượng M=400g với các nan hoa không
trọnh lượng có thể quay tự do quanh trục nằm ngang. Trên bánh xe người ta gắn
một vật nặng có khối lượng m=100g. Hãy tìm tần số góc của những dao động bé
của hệ xung quanh VTCB. Biết bán kính của bánh xe R=50cm. Lấy g=10m/s
2
.
ĐS:
R
g
Mm
m




=2(rad/s)
Bài toán 11. Một thanh không trọng lượng dài l=2,5m được uốn ở điểm giữa
thành 2 nhánh lập với nhau một góc 120
0
. Hai đầu của thanh được gắn 2 vật
nặng như nhau. Biết rằng thanh được ở đúng chõ uốn vào một chiếc đinh đóng
trên tường. Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ xung quang vị trí
cân bằng. lấy g=10m/s
2
.
ĐS:
l
g


=2(rad/s)
Bài toán 12. Một thanh không trọng lượng dài l=40cm có thể quay tự do xung
quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu thanh. Tại điểm giữa của thanh người
ta gắn vật nặng có khối lượng m=0,5kg, còn đầu dưới của thanh được gắn với
một đầu của một lò xo nằm ngang, còn đầu kia của lò xo được giữ cố định. Biết
rằng độ cứng của lò xo là k=30N/m và khi thanh ở vị trí thẳng đứng lò xo không
biến dạng. Hãy tìm tần số góc của những dao động bé của hệ xung quang
VTCB. Lấy g=9,8m/s
2
.
ĐS:
m
k

l
g
4
2


=8 (rad/s).
Bài toán 13. Một thanh dài l=40cm nặng m=0,5kg được uốn thành một nửa
vòng tròn. Nhờ các nan hoa có khối lượng không đáng
kể người ta gắn cung tròn này vào một trục quay nằm
ngang đi qua tâm O của vòng tròn và vuông góc với mặt
phẳng của nó. Một đầu của thanh được gắn vào đầu dưới
của một lò xo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố
định (như hình vẽ). Biết độ cứng của lò xo k=16N/n và
khi thanh ở VTCB lò xo không biến dạng. Hãy tìm tần
số góc của những dao động bé của cung tròn xung quanh VTCB. Lấy g=9,8
m/s
2
.
ĐS:
m
k
l
g

2

=9 (rad/s)
Bài toán 14. Người ta dữ đầu trên của một sơn xích mảnh có chièu dài l=45cm
nằm trên một mặt phẳng nghiêng lập với mặt phẳng ngang một góc


=30
0
. Hỏi
qua thời gian bao lâu (tính ra mili giây) sau khi buông đầu dây xích ra, thì dây
xích hoàn toàn rời khỏi mặt phẳng nghiêng? Biét rằng ở thời điểm ban đầu, đầu
O


6

dưới của dây xích chạm mép dưới của mặt phẳng nghiêng. Lấy g=10m/s
2
và

=3,14.
ĐS: t=


sin2 g
l
=471 (ms)