Giáo trình Quy hoạch và quản lý nguồn nước part 7 pot

116 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
Trong đó: chỉ số n chỉ lần lặp thứ n. Phép lặp sẽ kết thúc ở lần lặp thứ n+1 nếu
thoả mãn biểu thức có dạng:

xx
n1n
-Êe
+
(5-74)
và giá trị
x
n
1
+
là nghiệm của phEơng trình.
b. Bài toán nhiều chiều
Giả sử cần tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phEơng trình với n phEơng trình tEơng ứng
với n biến số chEa biết:

f
i
(X)0
=
với i =
1,n
(5-75)
Hoặc dEới dạng véc tơ F(X) = 0.
Trong đó X là véc tơ X = (x
1
, x
2

, , x
n
)
Nghiệm gần đúng của hệ phEơng trình trên tại lần lặp thứ n là:
XXJ(X)F(X)
n
n
1
n
1
1
n
1
=
-
-
-
-
-
(5-76)
Trong đó F(X
n-1
) là giá trị của hàm số tEơng ứng với giá trị của X tại lần lặp thứ
n-1 là X
n-1
; X
n
là gía trị gần đúng của hàm số tại lần lặp đang xét n; J(X
n-1
) là ma

trận Jacobien tại X
n-1
:


111
12 n
FFF

xxx
ảảả
ảảả

J(Xn-1) =
222
12 n
FFF

xxx

ảảả
ảảả
(5-77)

nnn
12 n
FFF

xxx
ảảả

ảảả
X=X
n-1

P hEơng pháp lặp Newton - Raphon đEợc dùng nhiều trong phEơng pháp giả các
phEơng trình vi phân. Trong lĩnh vực nguồn nEớc đEợc ứng dụng giải các bài toán về
chuyển động của nEớc ngầm.
2. Ph-ơng pháp Newton giải bài toán tối -u phi tuyến
PhEơng pháp này đEợc tiến hành theo các bEớc sau:
- Chọn điểm xuất phát: giá trị ban đầu của X
(k)
(điểm xuất phát k =0).
- Tính giá trị đạo hàm cấp 1 tại vị trí xuất phát:
Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 117



(k)
x
F(X)
ẹ =
1
2
n
F(X)
x
F(X)
x

F(X)
x
ả
ả
ả
ả
ả
ả
(5-78)
- Tính ma trận Hesein theo giá trị ban đầu:

22
121n
(k)
22
n1 nn
FF
xxxx
H(F(X ))
FF
xxxx
ộự
ảả
ờỳ
ảảảả
ờỳ
ờỳ
=
ờỳ
ảả

ờỳ
ờỳ
ảảảả
ởỷ
LL
LLLLLLLL
LL
(5-79)
- Chọn giá trị mới: X
(k+1)
=X
(k)
+
*
k
l
H(F(X
(k)
).
(k)
x
F(X)
ẹ
= X
(k)
+
*
k
l
.S

(k)
.
Và tiếp tục với các phép lặp tiếp theo cho đến khi
*
k
l
đủ nhỏ sẽ đEợc nghiệm
tối Eu.
Ví dụ:
Tìm (x
1
, x
2
) sao cho cực tiểu hàm mục tiêu:
F(X) =
21
21
11
4
xx
xx +++

đ
min (5-80)
Giải:
1. Chọn điểm xuất phát: giá trị ban đầu của X
(0)
= (1,13; 3,56).
2. Tính giá trị đạo hàm cấp 1 tại vị trí xuất phát:

(0)
x
F(X)
ẹ =
2
1
2
2
1
4
x
1
1
x
-
-
=
3,21
0,92

TEơng ứng với giá trị xuất phát đEợc chọn X
(0)
= (1,13; 3,56).
3. Tính ma trận Hesein theo giá trị ban đầu:
118 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc

3
1
(0)
3

2
2
0
x
H(F(X ))
2
0
x
ộự
ờỳ
ờỳ
=
ờỳ
ờỳ
ởỷ
=
1,41 0
00,04
ộự
ờỳ
ởỷ


Giá trị:
1 (0)
0,71 0
H(F(X ))
0 25
-
ộự

=
ờỳ
ởỷ

4. Chọn giá trị mới: X
(1)
=X
(0)
+
*
k
l
H
-1
(F(X
(0)
).
(0)
x
F(X )
ẹ

X
(1)
=
1,13
3,56
-
k
l

ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
250
071,2
4,21
0,92
ộự
ờỳ
ởỷ
=
1,13
3,56
ộự
ờỳ
ởỷ
-
k
l
2,28
23
ộự
ờỳ
ởỷ
đ
*
k

l
= 0,112
Chọn đEợc biến mới là: X
(1)
=
1,13
3,56
ộự
ờỳ
ởỷ
- 0,112
2,28
23
ộự
ờỳ
ởỷ
=
0,88
0,98
ộự
ờỳ
ởỷ

Sau khi chọn biến mới X
(1)
lặp tiếp đEợc kết quả tối Eu X
*
= (0,5;1). PhEơng pháp
kết thúc ở bEớc thứ 2. Nếu áp dụng phEơng pháp hEớng dốc nhất phải mất 20 bEớc
mới đạt điểm tối Eu.

5.5.7. Giải bài toán tối "u phi tuyến không ràng buộc bằng ph"ơng pháp
không dùng đạo hàm
Các bài toán dạng cổ điển đEợc giải bằng cách tìm đạo hàm và xác định các
điểm dừng chỉ phù hợp với những dạng bài toán có thể hàm hoá đEợc. Ngoài ra cần
chứng minh sự tồn tại nghiệm và các đạo hàm tEơng ứng.
Trong các bài toán kỹ thuật những điều kiện này rất khó thỏa mãn, bởi vậy ngEời
ta tìm nghiệm của bài toán bằng các phEơng pháp dò tìm tối Eu. Các phEơng pháp loại
này áp dụng cho cả bài toán có ràng buộc và không ràng buộc.
PhEơng pháp phổ biến đEợc áp dụng là phEơng pháp dò tìm trực tiếp theo bEớc.
Trong tài liệu này sẽ trình bày một số phEơng pháp thEờng đEợc áp dụng trong lĩnh
vực phát triển nguồn nEớc.
5.5.7.1. Ph-ơng pháp dò tìm theo h-ớng của Hooke-Jeeves
PhEơng pháp Hooke - Jeeves có thể gọi là phEơng pháp di chuyển theo hEớng có
thể đến điểm cực trị. Sự dò tìm theo hEớng có thể đEợc thực hiện theo từng toạ độ của
véc tơ X.
1. Bài toán: Tìm giá trị của véc tơ X = (x
1
, x
2
, , x
n
) sao cho:
F(X)
đ
min với X
ẻ
R
n

Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 119


2. Cách giải
Giải bài toán trên theo các bEớc thực hiện nhE sau:
(1) Lựa chọn toạ độ ban đầu làm điểm xuất phát:

(
)
0 100
02 n
xx,x, ,x
= (5-81)
TEơng ứng ta có:

(
)
(
)
0 100
02 n
FxFx,x, ,x
= (5-82)
(2) Chọn một biến bất kỳ trong véc tơ X và dò tìm hEớng có thể cho biến ấy. Ta
bắt đầu biến đầu tiên
1
x
, các biến khác đEợc giữ nguyên giá trị ban đầu. Giả sử ta tăng
giá trị của
1

x
một giá trị
D
x
1
.
Ta có:
1 0
111
xxx
=+D
(5-83)
(3) Tính giá trị
000
1112 n
FF(xx,x ,x)
=+D

và tính
0
11
FFF(X)
D=-
(5-84)
(4) Kiểm tra điều kiện:
- Nếu
1
F0
D<
chứng tỏ hEớng di chuyển là đúng ta cố định điểm đó với

1
x
và
dò sang biến khác.
Tức là lấy
1 0
111
xxx
=+D
(5-85)
- Nếu
1
F0
D
hEớng dò này không về đEợc min (không đạt). Ta phải dò theo
hEớng ngEợc lại (lùi) lấy:
1 0
111
xxx
=-D

Tiếp tục tính
000
1112 n
FF(xx,x ,x)
=-D
và
0
11
FFF(X)

Â
D=-

Nếu
1
F0
Â
D<
, chứng tỏ hEớng dò tìm đúng, ta cố định điểm đó và dò tìm cho
biến tiếp theo, tức là:

1 0
111
xxx
=-D

(5-86)
Nếu
1
F0
Â
D
, hEớng dò tìm không đạt, tức là rơi vào tình trạng "tiến thoái lEỡng
nan". Trong trEờng hợp này ta giữ nguyên biến x
1
, tức là "không tiến cũng không lùi":

10
11
xx

=
(5-87)
và dò sang biến tiếp theo.
120 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc










Bắt đầu

(1) Chọn điểm ban
đầu X
0
. Tính F
0
(X
0
)


(2)
Tính
)
, ,

2
,
1
;
(
1
n
k
x
F
k
=

kxxk
i
xx
ikk
ạ=== ivớiivới
01
;



0fFD

I
=I+1
i
x
0

i
x
1
i
x -=
x

Tính F1 và
D
F1


D
F1
<
0
Fk = F
1
;
D
F
G
= F
k
F
0

Sai

Đúng

Đúng

Sai

Đúng

Sai
i=1

iii
xxx D+=
01
01
F
F
F
-
=
D

I > N

D
F
G

<
0
|DF

G
|< e
2
/
i
x
i
x
D
=
1
i
x
0
i
x =
0
i
x
1
i
x =
Sai

Sai

kết thúc

Hình 5-9: Sơ đồ tính dò tìm tối "u theo ph"ơng pháp Hooke-Jeeves



Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 121


(5) Dò tìm theo hEớng có thể của biến thứ hai: Trong khi biến thứ nhất đã đEợc
cố định theo một trong các biểu thức (5-85)
á
(5-87). Giả sử chọn một gia lEợng
2
x
D

cho biến thứ hai ta có:
Chọn
1 0
222
xxx
=+D
và tính
1000
21223 n
FF(x,xx,x,x)
=+D
(6) Tính:
221
FFF
D=-

Nếu
D
F
2

<
0. Ta có hEớng di chuyển đạt yêu cầu, ta cố định tọa độ
2
x
và dò tìm
cho biến tiếp theo, tức là chọn:
1 0
222
xxx
=+D
(5-88)
D
F
2


0. HEớng dò tìm không đạt phải lùi.
Ta chọn
1 0
222
xxx
=D
-
và tính

1000
21223 n
FF(x,xx,x,x)
=D-

Tính
'
221
FFF
D=-

- Nếu
2
F0
Â
D<
. HEớng dò tìm đạt yêu cầu và cố định điểm đó chọn:

1 0
222
xxx
=-D
(5-89)
Tiếp tục dò tìm cho biến tiếp theo.
- Trong trEờng hợp ngEợc lại, tEơng tự nhE đối với biến thứ nhất, ta giữ giá trị
của biến thứ hai, tức là:

10
22
xx

=

(5-90)

và chuyển sang dò tìm cho biến sau.
(7) Tiếp tục làm nhE các bEớc trên dãy cho đến cuối cùng là x
n
. Ta kết thúc lần
lặp thứ nhất.
(8) Sau khi đã kết thúc lần lặp thứ nhất, tính giá trị F(X
1
), với:

1111
12 n
X(x,x, ,x)
=
(5-91)
(9) Kiểm tra điều kiện :

1 0
FF(X)F(X)
D=-

<
0 (5-92)
ã

Nếu (5-92) không thoả mãn, hEớng dò tìm không thỏa mãn, chuyển sang
bEớc (10).

ã

Nếu (5-92) thỏa mãn, sự dò tìm theo hEớng này (xu thế chung đối với tất cả
các tham biến) đạt yêu cầu. Kiểm tra thêm điều kiện:
122 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
Nếu F
DÊ
e
(5-93)
Trong đó
e
là số dEơng cho trEớc tuỳ ý (sai số của kết quả dò tìm điểm cực trị)
- Nếu (5-93) thỏa mãn, kết thúc công việc dò tìm và nghiệm tối Eu của bài toán là:

8 **
12 n
,
X (x,xx)
=
(5-94)
- Nếu F
D>
e
, có nghĩa là hEớng di chuyển là đúng nhEng chEa đến điểm cực
tiểu với sai số cho trEớc
e
.
Ta tiếp tục dò tìm tiếp, nhEng toạ độ ban đầu cho lần dò tìm tiếp theo là điểm kết
thúc đối với lần dò tìm trEớc, tức là: X
0

= X
1
, đồng thời bEớc dò tìm đEợc chọn nhE lần
dò tìm trEớc đó, tức là:
lấy
21
ii
xx
D=D

i 1,n
=

(10) Trong trEờng hợp
D
F

0, chứng tỏ hEớng dò tìm không đạt do đã vEợt quá
điểm có giá trị min. Kiểm tra điều kiện:

k
i 1
x
DÊe
với mọi i (5-95)
với
1
e
là sai số cho trEớc đối với các
D

x
i
với mọi i.
Nếu (5-95) thỏa mãn, kết thúc dò tìm và nghiệm của bài toán.
Trong trEờng hợp ngEợc lại cần chia nhỏ bEớc dò tìm bằng cách chọn :

21
ii
1
xx
2
D=D

và tiếp tục quay lại từ bEớc đầu tiên, cho đến khi đạt đEợc các điều kiện (5-93) và (5-95).
5.5.7.2. Ph-ơng pháp dò tìm theo mẫu
1. Bài toán:
Tìm giá trị của véc tơ X = (x
1
, x
2
, , x
n
) sao cho:
F(X)
đ
min với X
ẻ
R
n

2. Cách giải:
Giải bài toán trên theo các bEớc thực hiện cho bEớc thứ k (bắt đầu từ k =0):
Công đoạn I: Tìm thăm dò bEớc 1
ĐEợc chia thành các bEớc nhỏ nhE sau:
B"ớc 1: Lựa chọn toạ độ ban đầu làm điểm xuất phát:
Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 123



(k)(k)(k)(k)
12 n
X(x,x, ,x)
=

(5-96)
(Nếu bắt đầu từ điểm xuất phát k =0 thì toạ đầu là:
(0)(0)(0)(0)
12 n
X(x,x, ,x)
=
)
TEơng ứng ta có:

(k)(k)(k)(k)
12 n
F(X)F(x,x, ,x
)
= (5-97)
B"ớc 2: Chọn một biến bất kỳ trong véc tơ X và dò tìm hEớng có thể cho biến ấy. Ta
bắt đầu biến đầu tiên

1
x
, các biến khác đEợc giữ nguyên giá trị ban đầu. Giả sử ta tăng
giá trị của
1
x
một giá trị
1
x
D
.
Ta có:
(k 1)(k)
111
x
xx
+
+
=D
(5-98)
B"ớc 3: Tính giá trị
(k)(k)(k)
1112 n
FF(xx,x ,x)
=+D

và tính
(k)
11
FFF(X)

D=-
(5-99)
B"ớc 4: Kiểm tra điều kiện:
- Nếu
1
F0
D<
chứng tỏ hEớng di chuyển là đúng ta cố định điểm đó với
1
x
và dò
sang biến khác.
Tức là lấy
(k 1)(k)
111
x
xx
+
+
=D
(5-100)
- Nếu
1
F0
D
hEớng dò này không về đEợc min (không đạt). Ta phải dò theo
hEớng ngEợc lại (lùi) lấy:
(k 1)(k)
111
x

xx
+
-
=D

Tiếp tục tính
(k)(k)(k)
1112 n
FF(xx,x ,x)
=+D
và
' (k)
11
FFF(X)
D=-

Nếu
'
1
F0
D<
, chứng tỏ hEớng dò tìm đúng, ta cố định điểm đó và dò tìm cho
biến tiếp theo, tức là:

(k+1)(k)
111
xxx
=-D
(5-101)
Nếu

'
1
F0
D
, hEớng dò tìm không đạt, tức là rơi vào tình trạng "tiến thoái lEỡng
nan". Trong trEờng hợp này ta giữ nguyên biến x
1
, tức là "không tiến cũng không lùi":

(k+1)(k)
11
xx
=
(5-102)
và dò sang biến tiếp theo.
B"ớc 5: Dò tìm theo hEớng có thể của biến thứ hai: Trong khi biến thứ nhất đã đEợc
cố định theo một trong các biểu thức (5-100)
á
(5-102). Giả sử chọn một gia lEợng
2
x
D

cho biến thứ hai ta có:
124 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
Chọn
(k+1)(k)
222
xxx
+

=D
và tính
(k 1)(k)(k)(k)
21223 n
FF(x,xx,x ,x)
+
=+D
B"ớc 6: Tính:

221
FFF
D=-

Nếu
D
F
2

<
0. Ta có hEớng di chuyển đạt yêu cầu, ta cố định toạ độ
2
x
và dò tìm
cho biến tiếp theo, tức là chọn

(k 1)(k)
222
xxx
+
=+D

(5-103)

D
F
2


0. HEớng dò tìm không đạt phải lùi.
Ta chọn
(k 1)(k)
222
xxx
+
=-D
và tính
(k 1)(k)(k)(k)
21223 n
FF(x,xx,x ,x)
+
=-D

Tính
'
221
FFF
D=-

- Nếu
'
2

F 0
D<
. HEớng dò tìm đạt yêu cầu và cố định điểm đó và chọn:

(k 1)(k)
222
xxx
+
=-D
(5-104)

Và tiếp tục dò tìm cho biến tiếp theo.
- Trong trEờng hợp ngEợc lại, tEơng tự nhE đối với biến thứ nhất, ta giữ giá trị
của biến thứ hai, tức là:

(k 1)(k)
22
xx
+
=
(5-105)
và chuyển sang dò tìm cho biến sau.
B"ớc 7: Tiếp tục làm nhE các bEớc trên cho đến biến cuối cùng là x
n
. Ta kết thúc lần
lặp thứ nhất.
NhE vậy trong dò tìm bEớc I, tại mỗi bEớc dịch chuyển theo biến độc lập, giá trị
hàm mục tiêu đEợc so sánh với giá trị của nó tại điểm trEớc. Nếu hàm mục tiêu đEợc
cải thiện tại mỗi bEớc nào đó thì giá trị cũ đEợc thay thế bằng giá trị mới trong những
so sánh sau đó. Nếu hàm mục tiêu không đEợc cải thiện thì giữ nguyên giá trị cũ.

Công đoạn II: Tìm theo mẫu
Sau khi đã kết thúc lần lặp ở công đoạn I, ta xác định đEợc giá trị:

(k 1)(k 1)(k 1)(k 1)
12 n
X (x,x, ,x)
++++
= (5-106)

ở bEớc tìm theo mẫu ta lấy:

(k 2)(k 1)(b)
2
X mXX
++
=-
X
(k+2)
= mX
(k+1)
- X
(b)

(5-107)
Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 125


Tức là:
x
i

(k+2)
= m x
i
(k+1)
- x
i
(b)
(5-108)
Dò theo mẫu sẽ có toạ độ mới là:

(k 2)(k 2)(k 2)(k 2)
12 n
X (x,x, ,x)
++++
=
(5-109)
Tính hàm mục tiêu:
(k 2)(k 2)(k 2)(k 2)
12 n
F(X)F(x,x, ,x)
++++
=
Trong đó:
x
i
(b)
- điểm cơ sở ở lần lặp đầu X
(b)
= X
(k)

;
m - số biến dò tìm cần thiết. Thí dụ với F(x
1
, x
2
) thì m=2.
BEớc thăm dò theo mẫu chỉ để xác định toạ độ mới cho thăm dò bEớc 2. Việc kết
luận thăm dò theo mẫu có thành công hay không chỉ đEợc kết luận sau khi thực hiện
thăm dò bEớc 2.
Công đoạn III: Thăm dò bEớc 2
B"ớc 1: Thăm dò ở bEớc 2 đEợc thực hiện theo các bEớc tEơng tự nhE thăm dò ở bEớc
1, điểm xuất phát là điểm thăm dò theo mẫu X
k+2
. Thăm dò ở bEớc 2 đEợc thực hiện
đến biến thứ n sẽ đEợc toạ độ mới:

(k 3)(k 3)(k 3)(k 3)
12 n
X (x,x, ,x)
++++
=
(5-110)
Và tính:
(k 3)(k 3)(k 3)(k 3)
12 n
F(X)F(x,x, ,x)
++++
=

B"ớc 2: Kiểm tra sự thành công của thăm dò theo mẫu:

- Nếu F ( X
(k+3)
)
Ê
F(X
(k+1)
), thì thăm dò theo mẫu đEợc coi là kết quả. Khi đó điểm
cơ sở là:
X
(b)
= X
(k+1)
(5-111)
Tiếp tục thăm thăm dò theo mẫu (quay loại Công đoạn II) nhEng điểm xuất phát
là X
(k+3)
, lấy:
X
(k+4)
= mk
(k+3)
- X
(b)
= mX
(k+3)
- X
(k+1)

Tức là:
x

i
(k+4)
= m x
i
(k+3)
- x
i
(b)
= m x
i
(k+3)
- x
i
(k+1)
(5-112)
- Nếu F ( X
(k+3)
)
>
F(X
(k+1)
), thì thăm dò theo mẫu đEợc coi là thất bại. Khi quay lại
thăm dò bEớc 1 (quay lại Công đoạn I) sao cho xác định hEớng mới có hiệu quả.
NhEng điểm xuất phát bây giờ là điểm xuất phát của thăm dò bEớc 2 của lần thất bại
này (X
(k+2)
).
126 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
Nếu tiếp tục thăm dò ở bEớc 1 liên tiếp không cho hEớng mới thành công sẽ phải
giảm giá trị của

D
x
i
cho đến khi hoặc cho hEớng mới có hiệu quả, hoặc khi a
i
nhỏ hơn
một giá trị cho phép.

Bắt đầu

(1)
Chọn điểm cơ sở
X
b
= X
0
. Tính F(X
b
)


(2) Tìm kiếm thăm
dò bZớc 1 từ điểm
cơ sở X
b
. Tính F(X)


F(X) > F(X
b

)

(3)
Chọn diểm cơ sở mới

F(X
b
+ = F(X)
(4)
Tìm theo mẫu

(5)
Tìm kiếm thăm dò
bZớc II


F(X) > F(X
b
) trong (3)


(6)
Gia số Dx
i
Êe
(7)

Giảm số gia
D
x

i

Kết
thúc
Sai

Đúng

Đúng

Sai

Đúng

Sai


Hình 5-10a: Sơ đồ thuật toán dò tìm trực tiếp - Dò theo mẫu

Việc giảm giá trị hàm F(X) khi các giá trị
D
x
i
khá bé chính là nghiệm của
bài toán.
Thuật toán của phép lặp này đEợc trình bày ở sơ đồ hình 5-10a.
PhEơng pháp này khác với phEơng pháp dò tìm Hooke-Jeeves ở nhE sau: Sau khi
dò tìm theo biến số đã hoàn thành đối với tất cả các biến số, phEơng pháp Hooke-
Jeeves sẽ chọn toạ độ đã di chuyển tới làm toạ độ xuất phát cho lần dò tìm tiếp theo,
còn phEơng pháp dò tìm theo mẫu lại tìm điểm xuất phát mới để kiểm tra hEớng di

Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 127


chuyển tiếp theo. Với cách làm này, phEơng pháp dò tìm theo mẫu sẽ hạn chế đEợc
tình trạng không thoát ra đEợc các cực trị địa phEơng.
Nói chung các phEơng pháp không dùng đạo hàm khắc phục đEợc các trEờng
hợp mà hàm mục tiêu không đEợc trình bày dEới dạng hàm tEờng, nhEng có nhEợc
điểm là dễ bị rơi vào các cực trị địa phEơng và do đó không tìm đEợc đúng nghiệm của
bài toán. Để khắc phục ngEời ta thực hiện nhiều lần dò tìm với tọa độ ban đầu đEợc
chọn khác nhau.
3. Ví dụ minh họa
Bài toán:
Tìm giá trị của véc tơ X = (x
1
, x
2
) sao cho:
F(X) =
22
12
1
max
(x 1)x
đ
++

Giải:
Giải bài toán trên theo các bEớc thực hiện cho bEớc thứ k (bắt đầu từ k =0):
Công đoạn I: Tìm thăm dò bEớc 1
B"ớc 1: Lựa chọn toạ độ ban đầu làm điểm xuất phát:

0
X(2,0;2,8)
=
Chọn
X(0,6;0,84)
D=

Tính:
0
F(X)0,059
=

B"ớc 2: Chọn một biến bất kỳ trong véc tơ X và dò tìm hEớng có thể cho biến ấy. Ta
bắt đầu biến đầu tiên x
1
. Giả sử ta tăng giá trị
D
x
1
.
- Ta có :
(1)(0)
111
xxx
=+D
= 2,0 +0,6 = 2,6
- Tính giá trị
(0)(0)
1112

FF(xx,x)
=+D
=
F(2,6,2,8)
= 0,048
<

0
F(X)0,059
=

HEớng di chuyển không đạt.
lấy:
(1)(0)
111
xxx
=-D
= 2,0 - 0,60 = 1,4
- Tính giá trị
(0)(0)
1112
FF(xx,x)
=-D
=
F(1,4,2,8)
= 0,073
>

0
F(X)0,059

=

HEớng di chuyển đạt yêu cầu.
B"ớc 3: Dò sang biến thứ 2:
128 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
- Ta có :
(1)(0)
222
xxx
=+D
= 2,8 +0,84 = 3,64
- Tính giá trị
(1)(0)
1122
FF(x ;xx)
=+D
=
F(1,4;3,64)
= 0,052
<

0
F(X )0,059
=

HEớng di chuyển không đạt.
lấy:
(1)(0)
222
xxx

=-D
= 2,8 - 0,84 = 1,96
- Tính giá trị
(0)(1)
1221
FF(xx,x)
=-D
=
F(1,4;1,94)
= 0,104
>

0
F(X )0,059
=

HEớng di chuyển đạt yêu cầu.
NhE vậy, tìm thăm dò bEớc 1 đạt và lấy
(1)
X (1,4;1,94)
=

Công đoạn II: Tìm theo mẫu
Tính theo mẫu ta lấy:
x
i
(k+2)
= m x
i
(k+1)

- x
i
(b)

Ta có: x
i
(2)
= 2x
i
(1)
-x
i
(0)
tìm đEợc x
1
(2)
= 2(1,4)-2 = 0,8; x
2
(2)
= 2(1,96)-2,8 = 1,12
Dò theo mẫu sẽ có toạ độ mới là:
(2)(2)(2)
12
,)
x(xx
=
= (0,8; 1,12)
Tính hàm mục tiêu:
(2)(2)(2)
12

),)
F(XF(xx
=
= 0,22
Công đoạn III: Thăm dò bEớc 2
Thăm dò ở bEớc 2 đEợc thực hiện theo các bEớc tEơng tự nhE thăm dò ở bEớc 1,
điểm xuất phát là điểm thăm dò theo mẫu X
(2)
. Thăm dò ở bEớc 2 đEợc thực hiện đến
biến thứ n sẽ đEợc tọa độ mới:
- Ta có :
(3)(2)
111
xxx
D
=
= 0,8 +0,6 = 1,4
- Tính giá trị
(3)(2)
1112
FF(xx,x)
=+D
=
F(1,4;1,12)
= 0,14
<

2
F(X )0,22
=

HEớng di chuyển không đạt.
lấy:
(3)(2)
111
xxx
=-D
= 0,8 - 0,60 = 0,2
- Tính giá trị
(3)(2)
1112
FF(xx,x)
=-D
=
F(0, 2 ,1,12)
=0,38
>

2
F(X )0,22
=

HEớng di chuyển đạt yêu cầu.
Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 129


Dò sang biến thứ 2:
- Ta có :
(3)(2)
222

xxx
=+D
= 1,12 +0,84 = 1,96
- Tính giá trị
(3)(2)
1122
FF(x ;xx)
=+D
=
F(0, 2;1,96)
= 0,19
<

2
F(X)0,22
=

HEớng di chuyển không đạt.
lấy:
(3)(2)
222
xxx
=-D
= 1,12 - 0,84 = 0,28
- Tính giá trị
(2)(3)
1221
FF(xx,x)
=-D
=

F(0,2;0,28)
= 0,104
>

2
F(X)0,22
=

HEớng di chuyển đạt yêu cầu.
NhE vậy, tìm thăm dò bEớc 2 đạt và lấy
(3)
X
(0,2; 0,28)
=

Và tính:
(3) 33
12
),x
F(XF(x)F(0,2; 0,28)0,67
===

Kiểm tra sự thành công của thăm dò theo mẫu:
Ta có: F(X(
3)
) = 0,67
>
F(X
(1)
) = 0,105. Việc thăm dò theo mẫu có kết quả.

Điểm cơ sở mới bây giờ là: X
(b)
= X
(1)
= (1,4; 1,96)
Tiếp tục thăm dò theo mẫu với điểm xuất phát là X
(3)
, lấy:
X
(4)
= mX
(3)
- X
(1)
= mX
(3)
- X
(1)

Tức là:
x
1
(4)
= 2 (0,2)-1,4 = -1; x
2
(4)
= 2(0,28)-1,96 = -1,4
Tính F(X
(4)
) =F (-1; -1,4) = 0,51

Tìm thăm dò bEớc 2 với điểm xuất phát là X
(4)
= (-1; -1,4) và F(X
(4)
) = 0,51
- Tính giá trị
(4)(4)
1112
FF(xx,x)
=+D
=
F(1,4;1,4)

= 0,43
<

4
F(X)0,51
=

HEớng di chuyển không đạt.
lấy:
(5)(4)
111
xxx
=-D
= -1 - 0,60 =-1,6
- Tính giá trị
(4)(4)
1112

FF(xx,x)
=-D
=
;
F(1,6 1,4)

=0,43
<

4
F(X)0,51
=

HEớng di chuyển không đạt yêu cầu. Lấy x
1
(5)
= -1.

130 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
Hình 5-10b: Minh họa quá trình dò tìm theo mẫu theo ví dụ

- Ta có:
(5)(4)
111
xxx
=+D
= -1 +0,6 = -0,4
Dò sang biến thứ 2:
- Ta có:
(5)(4)

222
xxx
=+D
= -1,4 +0,84 = -0,56
- Tính giá trị
(5)(4) 4
1122
)0,51
FF(x ;xx) F(1; 0,56) 3,18 F(X =
=+D= =>

HEớng di chuyển đạt yêu cầu.
Ta có: F(X(
5)
) = 3,18
>
F(X
(3)
) = 0,6. Việc thăm dò theo mẫu có kết quả. Điểm
cơ sở mới bây giờ là:
X
(b)
= X
(3)
= (0,2 ; 0,28)
Tiếp tục tìm theo mẫu với điểm xuất phát X
(5)
và điểm cơ sở X
(b)
= X

(3)

-
1

-
2

-
3

-
0

1

2

3

1

2

3

-
1

-

2

-
3

x
1
x
2
x
(0)

x
(1)

x
(3)

x
(4)

x
(5)

Điểm cơ sở: x
(0)
, x
(3)
, x
(5)

Đối với các b6ớc dò tìm

Có kết quả

Thất bại

Đối với các b6ớc dò tìm theo mẫu

Có Kết quả

Thất bại

Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 131


x
1
(6)
= 2( -1) - 0,2 = -2,2; x
2
(6)
= 2.(-0,56) - 0,28 = -1,5.
Tìm đEợc F(X
(6)
) = F(-2,2; -1,4) = 0,29
Tiếp tục thăm dò bEớc 2 so sánh với F(X
(6)
).
x

1
(7)
= -2,2 +0,6 = -1,6
đ
F(-1,6; - 1,4) = 0,43
>
F(X
(6)
) = 0,29
BEớc thăm dò có kết quả.
x
2
(7)
= -1,4 + 0,84 = -0,56
đ
F(-1,6; - 0,56) = 1,49
>
F(X
(6)
) = 0,29
Vì F(X
(7)
) = F(-1,6; - 0,56) = 1,49
<
F(X(
5)
) = 3,18 nên mặc dù thăm dò bEớc 2
có kết quả nhEng kết quả tìm mẫu đEợc coi là không thành công.
Do vậy, ta phải dò tìm bEớc 1 với điểm xuất phát là X
(5)

. Tiếp tục làm nhE vậy
cho đến khi tìm kiếm hiệu quả. Đối với ví dụ này tìm đEợc tối Eu là:
X
*
= (-1,0 ; 0,0) và F(X
*
) =
Ơ
.

5.5.8. Bài toán tối "u có ràng buộc
Các bài toán tối Eu có ràng buộc đEợc gọi là các bài toán cực trị vEớng. Có hai
loại loại ràng buộc: ràng buộc đẳng thức và ràng buộc bất đẳng thức.
5.5.8.1. Bài toán ràng buộc đẳng thức
Phát biểu bài toán
Bài toán tối Eu với ràng buộc đẳng thức có dạng:
F(X)
đ
min (5-113)
Ràng buộc: g
j
(X) = b
j

j1,m
=
(5-114)
Với: X = (x
1
, x

2
, , x
n
)
ẻ
R
n
(5-115)
Ph-ơng pháp giải
Để giải bài toán loại này ngEời ta tìm cách đEa bài toán tối Eu về loại không ràng
buộc bằng phEơng pháp hàm phạt, hoặc phEơng pháp nhân tử Lagrange.
Trong tài liệu này giới thiệu phEơng pháp nhân tử Lagrange (L).
Thiết lập hàm số Lagrange (L), có dạng:

m
jjj
j1
L(X,) F(X)g(X)b
=
ộự
l=+l-
ởỷ
ồ
(5-116)
trong đó : L(X,
l
) là hàm Lagrange;
l
là véc tơ nhân tử Lagrange:

l
= (
l
1
,
l
2
, ,
l
j
, ,
l
m
)
132 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
NgEời ta chứng minh đEợc rằng nghiệm tối Eu của hàm L (X,
l
) cũng là nghiệm
tối Eu của hàm F(X) với ràng buộc (5-117), tức là:
min( max) L (X,
l
) = min(max) F (X) (5-117)
NhE vậy, với việc thiết lập hàm Lagrange bài toán ràng buộc đẳng thức đEợc đEa
về bài toán không ràng buộc. Tuy nhiên, số biến của bài toán tăng thêm m biến
l
j
.
Bằng cách lập hàm Lagrange, đã đEa bài toán ràng buộc đẳng thức về dạng bài
toán tối Eu cổ điển không ràng buộc. Đến đây, ta có thể áp dụng các cách giải của bài
toán phi tuyến không có ràng buộc cho bài toán này.

Các điểm dừng của hàm L (X,
l
) là:

m
jjj
j1
iii
LF
(G(X)b)
xxx
=
ổử
ảảả
=+l-
ỗữ
ảảả
ốứ
ồ
(5-118)

ị

m
j
j
j1
iii
G(X)
L F

0i1,n
xxx
=
ả
ảả
=+l==
ảảả
ồ
(5-119)
và
m
j
jj
j1
KK
L
(G(X)b)0
=
ảl
ả
=-=
ảlảl
ồ


ị

KK
K
L

(G(X)b) K1,m
ả
=-=
ảl
(5-120)
vì với j
ạ
K có
J
K
0
ảl
=
ảl

NhE vậy ta phải giải hệ n + m phEơng trình sẽ tìm ra n + m nghiệm của x
i
và
l
j
.

5.5.8.2. Bài toán ràng buộc bất đẳng thức
Phát biểu bài toán
Bài toán tối Eu với ràng buộc bất đẳng thức đEợc viết dEới dạng:
F(X)
đ
min (5-121)
với G
j

(X)
Ê
b
j

J1,m
=
(5-122)
Chú ý:
Đối với bài toán tìm cực đại dạng: F(X)
đ
max có thể đEa về dạng tìm cực tiểu
bằng cách tìm cực tiểu của hàm -F(X), tức là:
Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 133


max F(X) = min (-F(X))
TEơng tự vậy, nếu ràng buộc có dạng g
j
(X)

b
j
; j=1, 2, , m có thể đEa về dạng:
g
j
(X)
Ê
- b
j

; j = 1, 2, , m
Ph-ơng pháp giải
Trong trEờng hợp ràng buộc là bất đẳng thức: NgEời ta cũng đEa bài toán có ràng
buộc về bài toán không ràng buộc. Có hai cách đEa bài toán ràng buộc bất đẳng thức
về bài toán không ràng buộc.
1. Bằng cách đEa thêm vào vế phải một biến phụ để ràng buộc bất đẳng thức trở
thành ràng buộc đẳng thức:
G
j
(X) + x
j
= b
j

J1,m
=
(5-123)
với x
j


0
Khi đó hàm Lagrange có dạng (5-124). NhE vậy ta đã đEa về dạng bài toán ràng
buộc đẳng thức, đEợc giải tEơng tự nhE trEờng hợp (5.5.7.1):

m
L(X,) F(X)(G(X)bx)
jjjj
j1
l=+l-+

ồ
=
(5-124)
Hay là:
L(X,
l
)= L(x
1
, x
2
, , x
n
;
l
1
,
l
2
, ,
l
j
, ,
l
m
; x
n+1
, x
n+2
, ,x
n+m

) (5-125)
trong đó các giá trị của
l
= (
l
1
,
l
2
, ,
l
j
, ,
l
m
) và của X
j
= (x
n+1
, , x
n+j
, , x
n+m
) là các
biến số.
Bài toán không ràng buộc dạng (5-125) bây giờ đã có số biến tăng lên và là
n+2m biến số. NhE vậy, thay vì giải bài toán (5-121) với có n biến số với ràng buộc
(5-122) ta có bài toán không ràng buộc (5-124) với n+2m biến số. Sau khi đEa bài toán
tối Eu về dạng không có ràng buộc ta có thể dử dụng một trong những phEơng pháp
giải đã trình bày ở trên đối với bài toán tối Eu không có ràng buộc.

2. Không thiết lập hàm L, bài toán tối Eu đEợc giải với hàm F(X) tEơng tự nhE
trEờng hợp không có ràng buộc. Sau đó các nghiệm tìm đEợc sẽ đEợc kiểm tra xem có
thoả mãn các ràng buộc hay không. Những nghiệm không thoả mãn các ràng buộc sẽ
bị loại.
5.5.8.3. Bài toán có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức
Phát biểu bài toán
Bài toán tối Eu có ràng buộc đẳng thức và ràng buộc bất đẳng thức đEợc viết dEới
dạng:
134 Quy hoạch và quản lý nguồn n"ớc
F(X)
đ
min (5-126)
với G
j
(X)
Ê
b
j

J1,m
=
(5-127)
và h
k
(X) = 0

Chú ý:
Đối với bài toán tìm cực đại dạng: F(X)
đ
max có thể đEa về dạng tìm cực tiểu

bằng cách tìm cực tiểu của hàm -F(X), tức là:
max F(X) = min (-F(X))
TEơng tự vậy, nếu ràng buộc có dạng g
j
(X)

b
j
; j =1, 2, , m có thể đEa về dạng:
g
j
(X)
Ê
- b
j
; j =1, 2, , m
Ph-ơng pháp giải
Trong trEờng hợp này thiết lập hàm Lagrange có dạng:

mmk
jjjj kk
j1 k1
L(X,,) F(X)g(X)bxh(X)
==
ộự
lm=+l-++m
ởỷ
ồồ
(5-128)
Với

m
= (
m
1
,
m
2
, ,
m
mk
) là nhân tử Lagrange mở rộng.
Đối với bài toán loại này hàm Lagrange mở rộng có số biến là n+2m+m
k
. Cách
giải bài toán cũng đEợc thực hiện tEơng tự nhE các trEờng hợp trên.
Các bài toán tối Eu hoá dạng cổ điển có thể đEợc giải với nhiều phEơng pháp
khác nhau.

5.6. Quy hoạch động
5.6.1. Khái niệm chung
PhEơng pháp quy hoạch động dựa trên nguyên lý của Bellman, đEợc phát biểu
tóm tắt nhE sau:
Một thể hiện tối <u có đặc tính là, bất luận trạng thái ban đầu và những quyết
định ban đầu nh< thế nào, những quyết định tiếp theo phải tạo thành một thể hiện tối
<u đối với trạng thái ban đầu, do kết quả của những quyết định đầu tiên tạo nên.
Thực chất của nguyên lý này là, thiết lập một chiến lEợc tối Eu nhiều giai đoạn,
sao cho lời giải ở mỗi giai đoạn nhận đEợc theo lợi ích tổng cộng có lợi nhất tính đến
cuối giai đoạn đang xét. Đó là cơ sở của việc thiết lập của phEơng trình truy hồi, thể
hiện chuỗi các bài toán tối Eu nhiều giai đoạn.
Ch"ơng 5- Kỹ thuật phân tích hệ thống 135

PhEơng pháp quy hoạch động cho phép đEa bài toán tối Eu nhiều biến về chuỗi
các bài toán tối Eu một biến số. PhEơng pháp quy hoạch động là phEơng pháp đEợc áp
dụng nhiều trong quy hoạch và quản lý nguồn nEớc.
Khi áp dụng phEơng pháp quy hoạch động đối với các bài toán thực tế cần chú ý
điều kiện sau: Hàm mục tiêu của bài toán phải là hàm tách đ"ợc, đEợc viết dEới
dạng tổng của các hàm thành phần, và mỗi hàm thành phần chỉ chứa một biến độc lập,
tức là:

n
12 n j
j1
Z(x,x ,x) z(x)
=
=
ồ
(5-129)
Hoặc có thể viết dEới dạng khai triển:

1122jj nn
Zz(x) z(x) z (x) z (x)
=+++++
(5-130)

5.6.2. Ph"ơng pháp quy hoạch động với bài toán phân bố tài nguyên
5.6.2.1. Bài toán
Giả sử có lEợng tài nguyên X
T
đEợc phân bố cho n đối tEợng sử dụng, giả thiết

rằng hàm mục tiêu có dạng tách đEợc:

1122jj nn
Zz(x) z(x) z (x) z (x)
=+++++
(5-131)
tức là hàm mục tiêu là tổng các hàm mà trong đó chỉ chứa một biến số. Trong (5-131),
các giá trị
12 n
x,x ,x
là các tài nguyên của mỗi đối tEợng nhận đEợc theo một phEơng
án phân phối nào đó thoả mãn điều kiện sau:

T
12jn
X
xx x x
=+++++
(5- 132)
Cần xác định chiến lEợc phân bố tài nguyên cho các đối tEợng sử dụng sao cho
hàm mục tiêu (5-131) đạt giá trị lớn nhất, tức là:

n
ij
T
j1
ZZ(x)
X
J max
max

=
==
ồ
(5-133)

5.6.2.2. Ph-ơng giáp giải của Bellman
Thuật toán tối Eu đEợc giải theo hai hai bEớc: BEớc tính xuôi nhằm xác định các
thể hiện tối Eu có điều kiện, bEớc tính ngEợc đEợc thực hiện để tìm nghiệm tối Eu đối
với các biến số.
a. B-ớc tính xuôi
Bellman đã đEa ra nguyên lý tối Eu nhiều giai đoạn. Đầu tiên xem xét chiến lEợc
phân bố tối Eu cho hai đối tEợng sau đó là 3, 4 v.v đến n đối tEợng ở mỗi một giai