Bài tập toán cao cấp tập 3 part 10 ppt

14.3. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 297
Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.70)c´o da
.
ng
y = C
1
e

2t
+ C
2
e
−3t
.
V`ı x = y −
dy
dt
⇒ x = −C
1
e
2t
+4C
2
e
−3t
.
Nhu
.
vˆa
.
y, nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
ahˆe
.

(14.69) l`a
x = −C
1
e
2t
+4C
2
e
−3t
,
y = C
1
e
2t
+ C
2
e
−3t
.
Ta s˜e t`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho du
.

´o
.
ida
.
ng
x = −C
1
(t)e
2t
+4C
2
(t)e
−3t
,
(14.71)
y = C
1
(t)e
2t
+ C
2
(t)e
−3t
.
Sau khi thˆe
´
(14.71) v`ao phu
.
o
.

ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
−C

1
(t)e
2t
+4C

2
(t)e
−3t
=1+4t,
C

1
(t)e
2t
+ C

2
(t)e
−3t
=
3

2
t
2
.
T`u
.
d
´o suy ra
C

1
(t)=
(6t
2
− 4t − 1)e
−2t
5
,
C

2
(t)=
(3t
2
+8t +2)e
3t
10
·
B˘a
`

ng ph´ep t´ıch phˆan ta thu d
u
.
o
.
.
c
C
1
(t)=−
1
5
(t +3t
2
)e
−2t
+ C
1
,
(14.72)
C
2
(t)=
1
10
(2t + t
2
)e
3t
+ C

2
,
298 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
trong d´o C
1
v`a C
2
l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. Thˆe
´
(14.72) v`ao (14.71)
ta thu d
u
.
o
.
.

c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a c h o
x = −C
1
e
2t
+4C
2
e
−3t
+ t
2
+ t,
y = C
1
e
2t
+ C
2
e

−3t
−
1
2
t
2
. 
V´ı du
.
3. Gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap tˆo
’
ho
.
.
p kha
’

t´ıch
1)





dx
dt
= −
y
t
,
dy
dt
= −
x
t
,t>0.
2)





dx
dt
= x
2
y,

dy
dt
=
y
t
− xy
2
.
Gia
’
i. 1) Cˆo
.
ng vˆe
´
v´o
.
ivˆe
´
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ahˆe
.
,tad
u
.
o

.
.
c
d(x + y)
dt
= −
1
t
(x + y).
T`u
.
d
´o x + y =
C
1
t
.Tr`u
.
vˆe
´
v´o
.
ivˆe
´
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’

ahˆe
.
, ta c´o
d(x −y)
dt
=
1
t
(x −y).
T`u
.
d
´o x − y = C
2
t.T`u
.
hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
x + y =
C
1
t
,
x −y = C
2

t,
ta thu d
u
.
o
.
.
c
x =
1
2

C
1
t
+ C
2
t

,
y =
1
2

C
1
t
− C
2
t


.
2) Nhˆan hai vˆe
´
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
nhˆa
´
tv´o
.
i y,cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
th ´u
.
hai v´o
.
i x,rˆo
`
icˆo

.
ng c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh thu d
u
.
o
.
.
c, ta c´o
y
dx
dt
+ x
dy
dt
=
xy
t
⇒
d
dt
(xy)=
xy
t
·
14.3. Hˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 299
T`u
.
d
´o
xy = C
1
t (14.73)
Thˆe
´
biˆe
’
uth´u
.

c xy = C
1
t v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh th ´u
.
nhˆa
´
t, ta d
u
.
o
.
.
c
dx
dt
= C
1
tx.
T`u
.
d
´o x = C
2
e
C
1

t
2
2
.
T`u
.
(14.73) v´o
.
i C
2
= 0 ta c´o
y =
C
1
t
x
=
C
1
C
2
te
−C
1
t
2
2
.
Ngo`ai ra nˆe
´

u x =0th`ıt`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th ´u
.
hai ta d
u
.
o
.
.
c y = Ct
v`a nˆe
´
u y =0th`ıt`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh th ´u
.
nhˆa
´
t ta c´o x = C. 
B
`

AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan sau b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap khu
.
’
ˆa
’
n
h`am:
1.






dx
dt
= −9y,
dy
dt
= x.
(D
S.

x =3C
1
cos t −3C
2
sin 3t,
y = C
2
cos 3t + C
1
sin 3t.
)
2.





dx
dt

= y + t,
dy
dt
= x −t.
(D
S.

x = C
1
e
t
− C
2
e
−t
+ t −1,
y = C
1
e
t
+ C
2
e
−t
− t +1.
)
3.






4
dx
dt
−
dy
dt
+3x = sin t,
dy
dt
+ y = cos t.
(D
S.

x = C
1
e
−t
+ C
2
e
−3t
,
y = C
1
e
−t
+3C
2

e
−3t
+ cost.
)
300 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
4.













dx
dt
= −y + z,

dy
dt
−z,
dz
dt
= −x + z.
(D
S.





x =(C
1
−C
2
) cos t +(C
1
+ C
2
) sin t,
y = C
1
sin t − C
2
cos t + C
3
e
t

,
z = C
1
cos t + C
2
sin t + C
3
e
t
.
)
5.











dx
dt
+3x +4y =0,
dy
dt
+2x +5y =0,
x(0) = 1,y(0) = 4.

(D
S.

x = −2e
−t
+3e
−7t
,
y = e
−t
+3e
−7t
.
)
6.





dx
dt
= x sin t,
dy
dt
= xe
cost
.
(D
S.


x = C
1
e
−cos t
,
y = C
1
t + C
2
.
)
7.





dx
dt
= ax + y,
dy
dt
= −x + ay.
(D
S.

x = e
at
(C

1
cos t + C
2
sin t),
y = e
at
(−C
1
sin t + C
2
cos t).
)
8.





t
dx
dt
= −x + yt,
t
2
dy
dt
= −2x + yt.
(D
S.




x = C
1
+ C
2
t,
y =
C
1
t
+2C
2
,t=0.
)
Gia
’
i c´ac hˆe
.
sau b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap tˆo
’
ho
.
.

p kha
’
t´ıch
9.





dx
dt
= x
2
+ y
2
,
dy
dt
=2xy.
(D
S.







1
x + y

+ t = C
1
,
1
x − y
+ t = C
2
.
)
10.







dx
dt
= −
1
y
,
dy
dt
=
1
x
·
(D

S.





x = C
2
e
−
t
C
1
,
y =
C
1
C
2
e
t
C
1
.
)
11.








dx
dt
=
x
y
,
dy
dt
=
y
x
·
(D
S.



1
x
−
1
y
= C
1
,
1+C
1

x = C
2
e
C
1
t
.
)
14.3. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 301
12.








dx
dt
=
y
x − y
,
dy
dt
=
x
x −y
·
(D
S.

x
2
− y
2
= C
1
,
x − y + t = C
2
.

)
13.







e
t
dx
dt
=
1
y
,
e
t
dy
dt
=
1
x
·
(D
S.

y = C
1

x,
C
1
x
2
= C
2
− 2e
−t
.
)
14.





dx
dt
= sin x cos y,
dy
dt
= cos x sin y.
(D
S.






tg
x + y
2
= C
1
e
t
,
tg
x −y
2
= C
2
e
t
.
)
15.














dx
dt
= y − z,
dy
dt
= x
2
+ y,
dz
dt
= x
2
+ z.
(D
S.





x = C
2
e
t
+ C
1
,
y = −C
2

1
+(2C
1
C
2
t + C
3
)e
t
+ C
2
2
e
2t
,
z = −C
2
e
t
+(2C
1
C
2
t + C
3
)e
t
+ C
2
2

e
2t
− C
2
1
.
)
Gia
’
ic´achˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan sau b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Euler:
16.





dx
dt

=8y − x,
dy
dt
= x + y.
(D
S.

x =2C
1
e
3t
−4C
2
e
−3t
,
y = C
1
e
3t
+ C
2
e
−3t
.
)
17.






dx
dt
= x −y,
dy
dt
= y − x.
(D
S.

x = C
1
+ C
2
e
t
,
y = C
1
.
)
18.












dx
dt
=2x + y,
dy
dt
= x −3y,
x(0) = y(0) = 0.
(D
S.

x ≡ 0,
y ≡ 0.
)
302 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
19.












dx
dt
= x + y,
dy
dt
=4y − 2x,
x(0) = 0,y(0) = −1.
(D
S.

x = e
2t
− e
3t
,
y = e
2t
− 2e
3t
.
)
20.












dx
dt
= −x −2y,
dy
dt
=3x +4y,
x(0) = −1,y(0) = 2.
(D
S.

x = e
t
− 2e
2t
,
y = −e
t
+3e
2t

.
)
Gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t sau b˘a
`
ng
phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n phˆan h`am sˆo
´
.
21.






dx
dt
+2x −y = −e
2t
,
dy
dt
+3x −2y =6e
2t
.
(D
S.





x =
8
3
e
2t
+2C
1
e
t
+ C
2

e
−t
,
y =
29
3
e
2t
+3C
1
e
t
+ C
2
e
−t
.
)
22.












dx
dt
= x + y − cos t,
dy
dt
= −y − 2x + cos t + sin t,
x(0) = 1,y(0) = 2.
(D
S.

x =(1− t)cos t − sin t,
y =(t −2) cos t + t sin t.
)
23.





dx
dt
= y +tg
2
t − 1,
dy
dt
= −x +tgt.
(D
S.


x = C
1
cos t + C
2
sin t +tgt,
y = −C
1
sin t + C
2
cos t +2.
)
24.





dx
dt
=3x +2y +3e
2t
,
dy
dt
= x +2y + e
2t
.
(D
S.


x = C
1
e
t
+2C
2
e
4t
− e
2t
,
y = −C
1
e
t
+ C
2
e
4t
− e
2t
.
)
25.








dx
dt
= −2x + y − e
2t
,
dy
dt
= −3x +2y +6e
2x
,
(D
S.

x =2e
2t
+ C
1
e
t
+ C
2
e
−t
,
y =9e
2t
+3C
1
e

t
+ C
2
e
−t
.
)
14.3. Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng 303
26.






dx
dt
= x − y +1,
dy
dt
= y − 4x + t.
(D
S.





x = C
1
e
−t
+ C
2
e
3t
+
1
9
+
t
3
,

y =2C
1
e
−t
−2C
2
e
3t
+
7
9
+
t
3
·
)
27.





dx
dt
= x − y + e
t
,
dy
dt
= x − 4y + e

3t
.
(D
S.





x = C
1
e
−t
+ C
2
e
3t
+
1 − 4t
16
e
3t
,
y =2C
1
e
−t
−2C
2
e

3t
+ e
t
+
1
8
(1 + 4t)e
3t
.
)
Chu
.
o
.
ng 15
Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh
vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
15.1 Phu
.

o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1tuyˆe
´
n t´ınh
d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac da
.
o h`am riˆeng . . . . . . . . . . 306
15.2 Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p2
d
o
.
n gia

’
n nhˆa
´
t 310
15.3 C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
t l´y to´an co
.
ba
’
n 313
15.3.1 Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
ns´ong 314
15.3.2 Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n nhiˆe
.

t 317
15.3.3 Phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace . . . . . . . . . . . . 320
T`ai liˆe
.
u tham kha
’
o 327
D˘a
’
ng th´u
.
cch´u
.
aˆa
’
n h`am (cu
’
a nhiˆe
`
ubiˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.

p), ch´u
.
a c´ac biˆe
´
n
d
ˆo
.
clˆa
.
p v`a c´ac da
.
o h`am riˆeng cu
’
aˆa
’
n h`am theo c´ac biˆe
´
ndˆo
.
clˆa
.
pd´o
d
u
.
o
.
.
cgo

.
il`aphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng.
305
Cˆa
´
p cao nhˆa
´
tcu
’
ada
.
o h`am riˆeng hiˆe
.
ndiˆe
.
n trong phu
.
o
.
ng tr`ınh
d
u
.

o
.
.
cgo
.
il`acˆa
´
pcu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh.Mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o
h`am riˆeng bao gi`o
.
c˜ung pha
’
ich´u
.
a ´ıt nhˆa

´
tmˆo
.
t trong c´ac d
a
.
o h`am
riˆeng cu
’
aˆa
’
n h`am.
Mˆo
.
t h`am c´o c´ac d
a
.
o h`am riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng (v´o
.
i gia
’
thiˆe
´
tch´ung liˆen

tu
.
c) m`a khi thˆe
´
v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng th`ı phu
.
o
.
ng tr`ınh d
´o
tro
.
’
th`anh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
cd
u
.

o
.
.
cgo
.
il`anghiˆe
.
m cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
´o.
Qu´a tr`ınh t`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng du
.
o
.

.
cgo
.
il`a
ph´ep t´ıch phˆan phu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng. Thˆong thu
.
`o
.
ng viˆe
.
ct´ıch
phˆan mˆo
.
tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng s˜e cho ph´ep thu du
.
o

.
.
cmˆo
.
tho
.
nghiˆe
.
m phu
.
thuˆo
.
c v`ao c´ac h`am t`uy ´y ch´u
.
khˆong pha
’
i c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy
´ynhu
.
trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.

pphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.
`o
.
ng.
Nˆe
´
uphu
.
o
.
ng tr`ınh ch´u
.
aˆa
’
n h`am z chı
’
phu
.
thuˆo
.
c hai biˆe
´
nd
ˆo
.

clˆa
.
p
x v`a y th`ı nghiˆe
.
m z = z(x, y)cu
’
a n´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
imˆo
.
tm˘a
.
t n`ao
d
´o trong khˆong gian (x, y, z). M˘a
.
t n`ay du
.
o
.
.
cgo
.

il`am˘a
.
tt´ıch phˆan cu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho.
D
ˆo
´
iv´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi ˆa
’
n h`am phu
.
thuˆo
.
c hai biˆe

´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p c´ac
phu
.
o
.
ng tr`ınh sau d
ˆay du
.
o
.
.
c xem l`a nh ˜u
.
ng phu
.
o
.
ng tr`ınh co
.
ba
’
n:
1
+

Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n s´ong
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
,
(d
ˆay l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng hypecbolic).
2
+

Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n nhiˆe
.
t
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
,
(phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng parabolic)
3
+
Phu
.

o
.
ng tr`ınh Laplace
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
=0
(phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng eliptic).
306 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`

phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
Phu
.
o
.
ng ph´ap thu
.
`o
.
ng d`ung d
ˆe
’
gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh trˆen d
ˆa y l `a
phu
.
o

.
ng ph´ap Fourier.
D
ˆa
`
u tiˆen, t`ım c´ac nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng
t´ıch c´ac h`am m`a mˆo
˜
i h`am chı
’
phu
.
thuˆo
.
cmˆo

.
td
ˆo
´
isˆo
´
. Sau d´o xuˆa
´
t ph´at
t`u
.
c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
ngo
.
il`adiˆe
`
ukiˆe
.
nbiˆen ngu
.
`o
.
i ta x´ac d
i
.
nh c´ac gi´a tri

.
cu
’
a
c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y ch´u
.
a trong c´ac nghiˆe
.
m riˆeng d
´o. Sau c`ung nghiˆe
.
m
cˆa
`
n t`ım (tho
’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh v`a c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen) thu du

.
o
.
.
cdu
.
´o
.
i
da
.
ng chuˆo
˜
ilˆa
.
pnˆent`u
.
c´ac nghiˆe
.
m riˆeng d
´o.
15.1 Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p 1 tuyˆe
´
n

t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
ic´ac d
a
.
oh`am riˆeng
Gia
’
su
.
’
x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh
X
1
∂z
∂x
+ X
2
∂z
∂y
= R, (15.1)
trong d
´o X

1
,X
2
,R l`a c´ac h`am cu
’
a x, y, z.Nˆe
´
ubiˆe
´
n z khˆong tham
gia trong X
1
, X
2
v`a R ≡ 0 th`ı (15.1) du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n
nhˆa
´

t. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
cla
.
i (15.1) go
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong
thuˆa
`
n nhˆa
´
t.
Trong tru
.
`o
.

ng ho
.
.
p thuˆa
`
n nhˆa
´
t
X
1
∂z
∂x
+ X
2
∂z
∂y
= 0 (15.2)
th`ı (15.2) luˆon luˆon c´o nghiˆe
.
m z = C l`a h˘a
`
ng sˆo
´
bˆa
´
tk`y. Nghiˆe
.
m n`ay
d
u

.
o
.
.
cgo
.
il`anghiˆe
.
mhiˆe
’
n nhiˆen.
D
ˆe
’
gia
’
i (15.1) dˆa
`
u tiˆen ta gia
’
iso
.
bˆo
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan thu
.

`o
.
ng
dx
X
1
=
dy
X
2
=
dz
R
(15.3)
Gia
’
su
.
’
nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe
.
d
´odu
.
o
.

.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i c´ac d
˘a
’
ng th´u
.
c
ω
1
(x, y, z)=C
1
,ω
2
(x, y, z)=C
2
.
15.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p 1 tuyˆe
´

n t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
ic´acd
a
.
o h`am riˆeng 307
Khi d´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (15.1) c´o da
.
ng
Φ[ω
1
(x, y, z),ω
2
(x, y, z)] = 0.
trong d
´o Φ ( ω
1
,ω
2
) l`a h`am kha
’

vi liˆen tu
.
ct`uy ´y.
Nˆe
´
u trong phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
i hai biˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p
P (x,y)
∂z
∂x
+ Q(x, y)
∂y
∂y
= 0 (15.4)
th`ı hˆe
.
(15.3) c´o da
.

ng
dx
P (x,y)
=
dy
Q(x, y)
·
Nˆe
´
u ψ(x, y) l`a t´ıch phˆan cu
’
a n´o th`ı nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (15.4) l`a
z = F (ψ(x, y))
trong d
´o F l`a h`am kha
’
vi liˆen tu
.
ct`uy ´y. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.

.
pphu
.
o
.
ng
tr`ınh (15.4) v´o
.
i hai biˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p b`ai to´an Cauchy c´o nˆo
.
i dung nhu
.
sau: T`ım nghiˆe
.
m z = f(x, y) sao cho z(x
0
)=ϕ(y).
308 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.

mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x

2
+ y
2
)
∂z
∂x
+2xy
∂z
∂y
=0.
Gia
’
i. Ta lˆa
.
phˆe
.
dx
x
2
+ y
2
=
dy
2xy
·
Su
.
’
du
.

ng t´ınh chˆa
´
tcu
’
aty
’
lˆe
.
th ´u
.
c ta c´o
dx + dy
x
2
+ y
2
+2xy
=
dx − dy
x
2
+ y
2
− 2xy
⇒
d(x + y)
(x + y)
2
=
d(x − y)

(x − y)
2
⇒−
1
(x + y)
= −
1
x − y
+ C ⇒
1
x − y
−
1
x + y
= C
⇒
2y
x
2
− y
2
= C ⇒
y
x
2
− y
2
= C
1
.

M˘a
.
t kh´ac dz =0⇒ z = C
2
.Nhu
.
vˆa
.
y nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at c´o da
.
ng
F

y
x
2
− y
2
,z

=0
hay l`a
z = G

y
x

2
−y
2

. 
V´ı d u
.
2. T`ım m˘a
.
t tho
’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh
x
∂z
∂x
+(y + x
2
)
∂z
∂y
= z; z = y − 4 khi x =2.
Gia
’
i. Lˆa
.
phˆe

.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
dx
x
=
dy
y + x
2
=
dz
z
·
15.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p 1 tuyˆe
´

n t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
ic´acd
a
.
o h`am riˆeng 309
T`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
dx
x
=
dy
y + x
2
suy ra
y = x(C
1
+ x) ⇒
y −x
2
x
= C

1
⇒ ψ
1
=
y − x
2
x
·
T`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
dx
x
=
dz
z
suy ra
z
x
= C
2
⇒ ψ
2
=
z
x

·
Do d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a
F

y − x
2
x
,
z
x

=0
hay l`a
z = xf

y −x
2
x


. (15.5)
D
ˆe
’
t`ım nghiˆe
.
m (m˘a
.
t !) tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho ta thˆe
´
x =2
v`ao ψ
1
v`a ψ
2
ta c´o
˜
ψ
1
=
y − x
2
x




x=2
=
y − 4
2
⇒ y =2
˜
ψ
1
+4;
˜
ψ
2
=
z
x



x=2
=
z
2
⇒ z =2
˜
ψ
2
.

Thˆe
´
y, z v`ao d
iˆe
`
ukiˆe
.
n z = y − 4 v`a thˆe
´
˜
ψ
1
,
˜
ψ
2
bo
.
’
i ψ
1
v`a ψ
2
ta c´o
2
˜
ψ
2
=2
˜

ψ
1
+4− 4 ⇒ ψ
2
= ψ
1
⇒
z
x
=
y −x
2
x
hay l`a z = y − x
2
. Nghiˆe
.
mn`aythudu
.
o
.
.
ct`u
.
(15.5) khi f(t) ≡ t. 
B
`
AI T
ˆ
A

.
P
T´ıch phˆan c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau
1
1
Trong c´ac d´ap sˆo
´
ta bo
’
qua cu
.
mt`u
.
“ trong d
´o ψ, ϕ, l`a nh˜u
.
ng h`am kha
’
vi liˆen tu
.
c t`uy ´y.”
310 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe

.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
1. x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.(D
S. z = xψ

y
x

)
2. yz
∂z
∂x
+ xz
∂z
∂y

= xy.(D
S. z
2
= x
2
+ ψ(y
2
− x
2
))
3. T`ım m˘a
.
t tho
’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh
1
x
∂z
∂x
+
1
y
∂z
∂y
=4
v`a d

i qua parabon y
2
= z, x =0.
(D
S. Paraboloid tr`on xoay z = x
2
+ y
2
)
4. (1 + x
2
)
∂z
∂x
+ xy
∂z
∂y
=0,z(0) = y
2
.
(D
S. z = ψ

y
2
1+x
2

; z =
y

2
1+x
2
)
5. yz
∂z
∂x
+ xz
∂z
∂y
= −2xy.
(D
S. x +
z
2
2
= ψ(x
2
− y
2
))
6. x
∂z
∂x
−z
∂z
∂y
=0,x>0. (D
S. F (z,lnx +
y

z
)=0)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
ˆay khˆong l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tv`ıhˆe
.
sˆo
´
cu
’
a z

y
c´o ch´u
.
a z.D
ˆa
`
u tiˆen cˆa

`
n gia
’
i dz =0⇒ z = C
1
sau thˆe
´
z = C
1
v`ao hˆe
.
dx
x
=
dy
−z
=
dy
−C
1
·
15.2 Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.

oh`am riˆeng
cˆa
´
p2d
o
.
n gia
’
nnhˆa
´
t
15.2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p2do
.
n gia
’
n nhˆa
´
t 311
V´ı du

.
1. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
a
.
o h`am riˆeng
(ptd
hr)
∂
2
z(x, y)
∂x
2
=0
trong d
´o z(x, y) l `a ˆa
’
n h`am cu
’
abiˆe
´

ndˆo
.
clˆa
.
p.
Gia
’
i. Ta c´o
∂
2
z
∂x
2
=
∂
∂x

∂z
∂x

=0.
T`u
.
d
´o suy ra
∂z
∂x
khˆong phu
.
thuˆo

.
c x.Dod
´o
∂z
∂x
= C
1
(y),
trong d
´o C
1
(y) l`a h`am t`uy ´y cu
’
a y.T`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay thu d
u
.
o
.
.
c
z(x, y)=

C
1

(y)dx = xC
1
(y)+C
2
(y)
trong d
´o C
1
(y), C
2
(y) l`a nh˜u
.
ng h`am t`uy ´y cu
’
a y.Nˆe
´
uh`amthud
u
.
o
.
.
c
hai lˆa
`
n kha
’
vi theo x th`ı
∂
2

z
∂x
2
= 0, do vˆa
.
y h`am thu du
.
o
.
.
c l`a nghiˆe
.
m
cˆa
`
n t`ım. 
V´ı d u
.
2.
∂
2
z(x, y)
∂x∂y
= x
2
− y.
Gia
’
i. Viˆe
´

tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho du
.
´o
.
ida
.
ng
∂
∂y

∂z
∂x

= x
2
− y ⇒
∂z
∂x
=

(x
2
−y)dy = x
2
y −

y
2
2
+ C
1
(x).
T`u
.
d
´olˆa
´
y t´ıch phˆan biˆe
’
uth´u
.
cthud
u
.
o
.
.
c theo x ta c´o
z(x, y)=


x
2
y −
y
2

2
+ C
1
(x)

dx =
x
3
y
3
−
y
2
x
2
+ C
∗
1
(x)+C
2
(y),
312 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu

.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
trong d´o C
∗
1
(x)=

C
1
(x)dx.Nhu
.
vˆa
.
y nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh d

˜achol`a
z(x, y)=
x
3
y
3
−
y
2
x
2
+ C
∗
1
(x)+C
2
(y)
trong d
´o C
∗
1
(x)v`aC
2
(y) l`a nh˜u
.
ng h`am t `uy ´y v`a C
∗
1
(x) l`a h`am kha
’

vi.

V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂
2
z
∂x∂y
=2
∂z
∂x
· (15.6)
Gia
’
i. Ta viˆe
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh (15.6) du
.
´o

.
ida
.
ng
∂
∂x

∂z
∂y
− 2z

=0.
T´ıch phˆan d
˘a
’
ng th´u
.
c n`ay ta c´o
∂z
∂y
− 2z = C
1
(y).
Trong phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay d
a
.

o h`am riˆeng
∂z
∂y
c´o thˆe
’
xem nhu
.
d
a
.
o h`am
thˆong thu
.
`o
.
ng theo y, c`on x d
u
.
o
.
.
c xem l`a tham sˆo
´
dz
dy
− 2z = C
1
(y) ⇒ z(x, y)=e

2dy


C
2
(x)+

C
1
(y)e
−

2dy
dy

= C
2
(x)e
2y
+ C
∗
1
(y).
Nhu
.
vˆa
.
y
z(x, y)=C
2
(x)e
2y

+ C
∗
1
(y)
trong d
´o C
2
(x)v`aC
∗
1
(y) l`a nh˜u
.
ng h`am t `uy ´y. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’

n 313
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau.
1.
∂z
∂x
= 1. (D
S. z = x + ϕ(y))
2.
∂
2
z
∂y
2
=6y.(DS. z = y
3
+ yϕ(x)+ψ(x))
3.
∂
2
z
∂x∂y
= 0. (D
S. z = ϕ(x)+ψ(y))
4.

∂
2
z
∂x∂y
= 1. (D
S. z = xy + ϕ(x)+ψ(y))
5.
∂
2
z
∂x
2
= x
2
+ y.(DS. z =
x
4
12
+
yx
2
2
+ xC
1
(y)+C
2
(y))
6.
∂
2

z
∂x∂y
= x + y.(D
S. z =
x
2
y
2
+
xy
2
2
+ C
1
(x)+C
2
(y))
7.
∂
2
z
∂y
2
= e
x+y
.(DS. z = e
x+y
+ yC
1
(x)+C

2
(y))
8.
∂
2
z
∂x∂y
+
1
x
∂z
∂x
= 0. (D
S. z = C
1
(x)+
1
x
C
2
(y))
9.
∂
2
z
∂x∂y
=2y
∂z
∂x
· (D

S. z = C
1
(x)e
y
2
+ C
2
(y))
10.
∂
2
z
∂x∂y
=2x.(D
S. z = x
2
y + C
1
(y)+C
2
(x))
11.
∂
2
z
∂x
2
= x + y.(DS. z =
xy
2

2
+
y
3
6
+ yC
1
(x)+C
2
(x))
15.3 C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´yto´an co
.
ba
’
n
Dˆo
´
iv´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p khi ˆa
’
n h`am phu
.
thuˆo
.
c hai biˆe
´
nd
ˆo
.
clˆa
.
p c´ac phu
.
o
.
ng
tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an sau d
ˆay du
.
o
.
.
c xem l`a nh˜u
.

ng phu
.
o
.
ng tr`ınh co
.
ba
’
n.
1
+
Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n s´ong
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2

· (15.7)
314 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
2
+
Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n nhiˆe
.
t
∂u
∂t

= a
2
∂
2
u
∂x
2
· (15.8)
3
+
Phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
=0. (15.9)
Thˆong thu
.
`o

.
ng ngu
.
`o
.
i ta khˆong t`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at m`a l`a t`ım
nghiˆe
.
mriˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tho
’
a m˜an nh˜u
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n n`ao d´ogo
.
i

l`a d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen v`a diˆe
`
ukiˆe
.
nbandˆa
`
u.
15.3.1 Phu
.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n s´ong
B`ai to´an co
.
ba
’
n. T`ım nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o

.
ng tr`ınh (15.7) tho
’
a
m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
nbiˆenv`adiˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u sau:
i) D
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen: (1) u(0,t) = 0; (2) u(, t)=0.
ii) D
iˆe
`
ukiˆe
.
nbandˆa
`
u: (1) u(x, 0) = ϕ

1
(x); (2)
∂u(x, 0)
∂t
= ϕ
2
(x).
Gia
’
i.
´
Ap du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Fourier d
ˆa
`
u tiˆen ta t`ım nghiˆe
.
m riˆeng
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d

˜achodu
.
´o
.
ida
.
ng t´ıch hai h`am m`a mˆo
.
t h`am chı
’
phu
.
thuˆo
.
c x, c`on h`am kia chı
’
phu
.
thuˆo
.
c t:
u(x, t)=X(t)T(t). (15.10)
Thay u(x, t) v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o

.
.
c
XT

− a
2
TX

=0→
X

X
=
T

a
2
T
· (15.11)
Vˆe
´
tr´ai cu
’
a (15.11) khˆong phu
.
thuˆo
.
c t,vˆe
´

pha
’
i khˆong phu
.
thuˆo
.
c x.
D
iˆe
`
ud´ochı
’
xˆa
’
y ra khi ca
’
hai vˆe
´
cu
’
a (15.11) khˆong phu
.
thuˆo
.
cca
’
x lˆa
˜
n
t t´u

.
c l`a b˘a
`
ng mˆo
.
th˘a
`
ng sˆo
´
.K´yhiˆe
.
uh˘a
`
ng sˆo
´
d
´ol`a−λ
2
.Tathudu
.
o
.
.
c
X

X
= −λ
2
⇒ X


+ λ
2
X =0⇒ X = A cos λx + B sin λx, (15.12)
T

a
2
T
= −λ
2
⇒ T

+ a
2
λ
2
T =0⇒ T = C cos aλt + D sin aλt,
(15.13)
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 315

trong d´o A,B,C,D l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. T`u
.
(15.12), (15.13) v`a
(15.10) suy r˘a
`
ng
u(x, t)=(A cos λx + B sin λx)( C cos aλt + D sin aλt). (15.14)
´
Ap du
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
u(0,t)=0,u(, t)=0
cho (15.14) v`a sau khi d
˜ado
.
n gia
’
nchoT (t) ≡ 0 ta c´o
0=A cos 0 + B sin 0 ⇒ A =0,

0=A cos λ + B sin λ ⇒ sin λ =0(v`ıB = 0 khi A =0).
T`u
.
d
´o ta x´ac di
.
nh du
.
o
.
.
c tham sˆo
´
λ =
nπ

, n =1, 2, l`a tham sˆo
´
t`uy
´y. Lu
.
u´yr˘a
`
ng nˆe
´
u trong (15.12) v`a (15.13) thay cho −λ
2
ta lˆa
´
y+λ

2
th`ı X = Ae
−λx
+ Be
λx
v`a dˆo
´
iv´o
.
i h`am X da
.
ng n`ay c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n i) v`a
ii) chı
’
d
u
.
o
.
.
c tho
’
a m˜an khi X ≡ 0.
Nhu
.

vˆa
.
ymˆo
˜
i gi´a tri
.
λ (hay n)d
ˆe
`
utu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nghiˆe
.
m riˆeng
da
.
ng
u
n
= X
n
T
n
=


α
n
cos
anπt

+ β
n
sin
anπt


sin
nπx

trong d
´o α
n
= B
n
C
n
, β
n
= B
n
D
n
l`a c´ac h˘a
`

ng sˆo
´
t`uy ´y.
V`ıphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a tuyˆe
´
n t´ınh v`a thuˆa
`
n nhˆa
´
tnˆen tˆo
’
ng c´ac
nghiˆe
.
mc˜ung l`a nghiˆe
.
m. Do d
´otˆo
’
ng cu
’
a chuˆo
˜
i
u(x, t)=


n1
u
n
=

n1

α
n
cos
anπt

+ β
n
sin
anπt


sin
nπx

(15.15)
c˜ung l`a nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o

.
ng tr`ınh d
˜a cho v`a n´o tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n
biˆen.
316 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
Dˆe
’
x´ac di
.

nh α
n
v`a β
n
ta s˜e ´ap du
.
ng c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u: khi
t =0th`ıu(x, t)=ϕ
1
(x)nˆen
ϕ
1
(x)=
∞

n=1
α
n
sin
nπx

(15.16)
T`u
.

(15.15) ta c`on c´o
∂u
∂t
=

n1
anπ


β
n
cos
anπt

− α
n
sin
anπt


sin
nπx

v`a do d
iˆe
`
ukiˆe
.
n u


t
(x, 0) = ϕ
2
(x)nˆen
ϕ
2
(x)=

n1
anπ

β
n
sin
nπx

· (15.17)
C´ac d
˘a
’
ng th ´u
.
c (15.16) v`a (15.17) l`a khai triˆe
’
ncu
’
a c´ac h`am ϕ
1
(x)v`a
ϕ

2
(x) th`anh chuˆo
˜
i Fourier trong khoa
’
ng (0,). C´ac khai triˆe
’
n n`ay chı
’
ch´u
.
a h`am sin. C´ac hˆe
.
sˆo
´
cu
’
a khai triˆe
’
nd
u
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th ´u
.
c
α
n

=
2



0
ϕ
1
(x) sin
nπx

dx; β
n
=
2
naπ


0
ϕ
2
(x) sin
nπx

dx.
(15.18)
Nhu
.
vˆa
.

y nghiˆe
.
m riˆeng tho
’
a m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜anˆeu l`a h`am
(15.15) v´o
.
i c´ac hˆe
.
sˆo
´
α
n
v`a β
n
du
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th ´u
.
c (15.18). 
B
`

AI T
ˆ
A
.
P
T`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(15.19)
tho
’
a m˜an c´ac d

iˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
uv`adiˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 317
1. (i) C´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u
u(x, 0) = f(x)=






x
5
v´o
.
i0 x 

2
,
−
1
5
(x − )v´o
.
i

2
 x  
∂u(x, 0)
∂t
= ϕ(x)=0.
(ii) C´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.

n biˆen u(0,t)=0,u(, t)=0.
(D
S. u(x, t)=
4
5π
2

n1
(−1)
n−1
1
(2n − 1)
2
cos
πant

sin
πnx

)
2. (i) u(x, 0) = 0,
∂u(x, 0)
∂t
=1;
(ii) u(0,t)=u(, t)=0.
(D
S. u(x, t)=
2
π
2

a

n1
1
(2n − 1)
2
sin
2n − 1

πatsin
(2n −1)πx

)
3. C˜ung ho
’
inhu
.
trˆen d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂
2
u

∂t
2
=4
∂
2
u
∂x
2
v`a c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n:
(i) u(x, 0) = sin
4πx
3
, u

t
(x, 0) = 0;
(ii) u(0,t)=0, u(3,t)=0.
(D
S. u(x, t) = cos
8πt
3
sin
4πx
3
)
15.3.2 Phu

.
o
.
ng tr`ınh truyˆe
`
n nhiˆe
.
t
B`ai to´an co
.
ba
’
n. T`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2

318 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
ukiˆe
.
n
1) u(x, 0) = ϕ(x)
2) u(0,t)=u(, t)=0.
Gia
’
i.
´
Ap du

.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap Fourier, ta d
˘a
.
t
u(x, t)=X(x)T (t)
v`a phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho tro
.
’
th`anh
X

X
=
T

a
2
T
= −λ
2

v`a thu du
.
o
.
.
c hai phu
.
o
.
ng tr`ınh
X

+ λ
2
X =0⇒ X = A cos λx + B sin λx,
T

+ a
2
λ
2
T =0⇒ T = Ce
−a
2
λ
2
t
.
Do d
´o

u(x, t)=e
−a
2
λ
2
t

α cos λx + β sin λx

trong d
´o α = AC, β = BC l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y.
´
Ap du
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n 2) ta c´o
0=α cos 0 + β sin 0
0=α cos λ + β sin λ
⇒ α =0,λ=
nπ


,n=1, 2, 3,
C˜ung nhu
.
trong 1
+
,mˆo
˜
i gi´a tri
.
λ (hay n)tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nghiˆe
.
m riˆeng
u
n
= β
n
e
−
a
2
n

2
π
2
t

2
sin
nπx

v`a tˆo
’
ng cu
’
ach´ung c˜ung l`a nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
u(x, t)=

n1
β
n
e
−
a

2
n
2
π
2
t

2
sin
πnx

·
(15.20)
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 319
Bˆay gi`o
.
´ap du
.
ng d
iˆe

`
ukiˆe
.
n 1) ta c´o: u(x, 0) = ϕ(x):
ϕ(x)=

n1
β
n
sin
nπx

·
D
´o l`a khai triˆe
’
n Fourier cu
’
a h`am ϕ(x) trong khoa
’
ng (0,). Do d´ota
c´o
β
n
=
2



0

ϕ(x) sin
nπx

dx. (15.21)
Nhu
.
vˆa
.
ytˆo
’
ng chuˆo
˜
i (15.20) v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
t´ınh theo vˆong th ´u
.
c (15.21) l`a
nghiˆe
.
m riˆeng tho
’
a m˜an c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.

nd˜a cho. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
(15.22)
u(x, 0) =






x v´o
.
i0 x 

2
,
 − x v´o
.
i

2
 x  ;
u(0,t)=u(, t)=0.
(D
S. u =
4
π
2

n1
(−1)
n−1
1
(2n − 1)
2
e
−
π
2

a
2
(2n−1)
2

2
t
sin
π(2n−1)

x
)
2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (15.22) v´o
.
ic´acd
iˆe
`
ukiˆe
.
n
u(x, 0) = f(x); u(0,t)=A, u(, t)=B; A,B −const.
Chı
’
dˆa

˜
n. D
u
.
a v`ao ˆa
’
n h`am m´o
.
i
v(x, t)=u(x, t) −
B − A

x − A.
320 Chu
.
o
.
ng 15. Kh´ai niˆe
.
mvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan d
a
.
o h`am riˆeng
Khi d´o (15.22) tro

.
’
th`anh
∂v
∂t
= a
2
∂
2
v
∂x
2
v´o
.
i c´ac d
iˆe
`
ukiˆe
.
n v(0,t)=0,
v(, t)=0,v(x, 0) = u(x, 0) −
B − A

x − A = f(x) −
B − A

x − A =
g(x). D
´o l`a b`ai to´an d˜abiˆe
´

t c´ach gia
’
i.
3. T`ım nghiˆe
.
m u(x, y)cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
∂u
∂y
=
∂
2
u
∂x
2
tho
’
a m˜an c´ac diˆe
`
u
kiˆe
.
n biˆen u(0,y)=u(π,y)=0v`ad
iˆe
`

ukiˆe
.
nbandˆa
`
u u(x, 0) = 3 sin 2x.
(D
S. u(x, y)=3e
−4y
sin 2x)
15.3.3 Phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace
H`am u(x, y)du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a h`am d
iˆe
`
u h`oa trong miˆe
`
n ph˘a
’
ng D nˆe
´

un´o
c´o c´ac d
a
.
o h`am riˆeng liˆen tu
.
ccˆa
´
p 2 trˆen D v`a trˆen D n´o tho
’
a m˜an
phu
.
o
.
ng tr`ınh
∆u ≡
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
=0. (15.23)
Tˆa

.
pho
.
.
p c´ac h`am d
iˆe
`
u h`oa - ch´ınh l`a tˆa
.
pho
.
.
pmo
.
i nghiˆe
.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace. C˜ung nhu
.
d
ˆo
´
iv´o
.

iphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
thu
.
`o
.
ng, d
ˆe
’
t´ach mˆo
.
t nghiˆe
.
m x´ac di
.
nh cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace ngu
.
`o
.
i
ta pha

’
ichonh˜u
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
nbˆo
’
sung. Dˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace
nh˜u
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
nbˆo
’
sung d´odu
.

o
.
.
c ph´at biˆe
’
udu
.
´o
.
ida
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen,
t´u
.
c l`a cho nh˜u
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c m`a nghiˆe
.
mcˆa
`
n t`ım pha

’
i tho
’
a m˜an trˆen biˆen.
D
iˆe
`
ukiˆe
.
ndo
.
n gia
’
n nhˆa
´
t trong sˆo
´
d
´o l`a cho gi´a tri
.
cu
’
ah`amdiˆe
`
u h`oa
cˆa
`
nt`ımta
.
imˆo

˜
id
iˆe
’
m biˆen cu
’
amiˆe
`
n. Ngu
.
`o
.
i ta go
.
i b`ai to´an n`ay l`a b`ai
to´an biˆen th´u
.
nhˆa
´
t hay b`ai to´an Dirichlet.
B`ai to´an biˆen cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace d
u
.
o

.
.
cd
˘a
.
t ra nhu
.
sau. Gia
’
su
.
’
miˆe
`
n D ⊂ R
2
v´o
.
ibiˆen ∂D l`a d
u
.
`o
.
ng cong d
´ong. H˜ay t`ım h`am
u(x, y)liˆen tu
.
c trong
D = D ∪ ∂D sao cho
a) Tho

’
a m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace trong D.
b) Tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
u(x, y)


(x,y)∈∂D
= f(x, y),
15.3. C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vˆa
.
tl´y to´an co
.
ba
’
n 321

trong d´o f(x, y) l`a h`am du
.
o
.
.
c cho trˆen biˆen ∂D.
B`ai to´an v`u
.
a nˆeu c`on d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a b`ai to´an Dirichlet. Trong gi´ao
tr`ınh n`ay ta chı
’
x´et b`ai to´an Dirichlet d
ˆo
´
iv´o
.
i h`ınh tr`on.
Bˆo
’
d
ˆe
`

1. Trong to
.
adˆo
.
cu
.
.
c (r, ϕ) phu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace (15.23) c´o
da
.
ng
∂
2
u
∂r
2
+
1
r
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+

1
r
∂u
∂r
=0. (15.24)
L`o
.
i gia
’
icu
’
a b`ai to´an Dirichlet d
ˆo
´
iv´o
.
i h`ınh tr`on (c ˜ung t ´u
.
cl`al`o
.
i
gia
’
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh Laplace (15.23) hay (15.24)) v´o

.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n biˆen
cho tru
.
´o
.
cd
u
.
o
.
.
cmˆota
’
trong d
i
.
nh l´y sau dˆa y .
D
-
i
.
nh l´y. Gia
’
su

.
’
S l`a h`ınh tr`on d
o
.
nvi
.
mo
.
’
v´o
.
i tˆam ta
.
igˆo
´
cto
.
ad
ˆo
.
v`a
gia
’
su
.
’
trˆen biˆen ∂S cho h`am 2π-tuˆa
`
n ho`an liˆen tu

.
c f(θ), trong d
´o θ
l`a g´oc cu
.
.
ccu
’
ac´acd
iˆe
’
m biˆen cu
’
a ∂D.
Khi d
´o trong miˆe
`
n S = S + ∂S tˆo
`
nta
.
i h`am duy nhˆa
´
t u(x, y) liˆen
tu
.
ctrˆen
S v`a diˆe
`
u h`oa trˆen S sao cho u(x, y)



(x,y)∈∂S
= f(θ). Trong
to
.
ad
ˆo
.
cu
.
.
c (r, θ) h`am u(r, θ) biˆe
’
udiˆe
˜
nd
u
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng chuˆo
˜

i
u(r, θ)=
a
0
2
+

n1
r
n
(a
n
cos nθ + b
n
sin nθ)
trong d
´o
a
n
b
n

=
1
π
π

−π
f(θ)


cos nθ
sin nθ

dθ, n =0, 1, 2,
l`a c´ac hˆe
.
sˆo
´
Fourier cu
’
a h`am f(θ).
H`am d
iˆe
`
u h`oa c´o t´ınh chˆa
´
td˘a
.
cbiˆe
.
t l`a tho
’
a m˜an Di
.
nhl´yvˆe
`
gi´a tri
.
trung b`ınh
D

-
i
.
nh l´y. Nˆe
´
u h`am u(x, y) liˆen tu
.
c trong h`ınh tr`on d
´ong tˆam O(0, 0)
v`a b´an k´ınh R v`a d
iˆe
`
u h`oa trong h`ınh tr`on d´oth`ı gi´a tri
.
cu
’
a h`am