bài giảng toán cao cấp

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÁI
NGUYÊN
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập
Bộ môn: Toán - Tin
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương II
Giới thiệu
Chương I
Chương III
Chương IV
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương V
Chương VI
Chương VII
Chương VIII
MỤC LỤC
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Trong chương trỡnh đào tạo theo hướng đổi mới lấy người
học làm trung tâm, chuyển đổi từ niên chế sang tín chỉ, chương
trỡnh Toán đào tạo cho Trường đại học Y Dược có sự đổi mới
theo hướng tinh giản để phù hợp với cách học tự nghiên cứu
của sinh viên. Phần Toán cao cấp mà chúng tôi trỡnh bày dưới
đây sẽ bám sát mục tiêu phục vụ việc nghiên cứu khoa học,
điều trị trong Y học. Phần bài tập tự ôn luyện sẽ được trỡnh
bày kỹ trong các giờ giải đáp thắc mắc và cuốn Bài tập Toán
hoc cao cấp- Xác suất thông kê của cùng tác giả.
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Với thời lượng 45 tiết , tương đương với 2 tín chỉ, người học
cần nắm được lý thuyết cơ bản và giải được phương trỡnh ma
trận, hệ phương trỡnh tuyến tính.
Tính được tích phân suy rộng loại I, II.

Giải được phương trỡnh vi phân tuyến tính cấp 1, cấp 2 có dạng
đặc biệt.
Xét được sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương, tính được
miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Chương 1. Tập hợp, quan hệ và logic suy luận
Đ1. Tập hợp
1. Các khái niệm cơ bản
2. Các phép toán về tập hợp
Đ2. Các tập hợp số thực
1. Số thực
2. Biểu diễn hỡnh học các số thực
3. Các khoảng số thực
4. Tập hợp bị chặn
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ3. Quan hệ
1. Tích Descartes
2. Quan hệ
3. ánh xạ
Đ4. Đại cương về logic suy luận
1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề
2. Hàm mệnh đề
3. Logic suy luận, điều kiện cần và điều kiện đủ
4. Logic chứng minh mệnh đề
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương II. Ma trận - Định thức
Đ1. Ma trận
1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
2. Các phép toán đối với ma trận
3. Ma trận chuyển vị
4. Chuyển vị của tích hai ma trận

Đ2. Định thức
1. Định thức của ma trận vuông
2. Tính chất của định thức
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ3. Các phương pháp tính định thức
1. Phương pháp khai triển
2. Định thức của tích hai ma trận
Đ4. Ma trận nghịch đảo
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo
2. Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo
3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo và biểu thức của nó
4. Tỡm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
5. Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận
6. ứng dụng của ma trận nghịch đảo
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ5. Hạng của ma trận
1. Hạng của ma trận
2. Tỡm hạng của ma trân bằng biến đổi sơ cấp
Chương III. Hệ phương trỡnh tuyến tính
Đ1. Các khái niệm cơ bản về hệ phương tr
ỡ
nh tuyến tính
1. Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát
2. Nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tính
3. Hệ tương đương
4. Các phép biến đổi sơ cấp
5. Hệ tam giác và hệ hỡnh thang
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Đ2. Hệ Cramer

1. Định nghĩa
2. Quy tắc Cramer
Đ3. Hệ phương trỡnh tuyến tính tổng quát
1. Điều kiện có nghiệm
2. Giải hệ phương trỡnh tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp
Đ4. Hệ thuần nhất
1. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường
2. Mối liên hệ với hệ không thuần nhất
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương IV. Hàm số
4.1. Hàm một biến
4.2 Các hàm sơ cấp cơ bản
4.3. Hàm hai biến
4.4. Định nghĩa và tính chất giới hạn hàm một biến
4.5. Giới hạn hàm hai biến
4.6. Sự liên tục của hàm một biến - hàm hai biến
Chương V: Phép tính vi phân
5.1. Đạo hàm - vi phân của hàm một biến
5.2. Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương VI. Phép tính tích phân
6.1. Tích phân bất định
6.2. Tích phân đơn giản chứa tam thức bậc hai
6.3. Tích phân các hàm lượng giác
6.4. Tích phân xác định
6.5. Công thức Newton- Leibnitz (Niutơn-Lepnit)
6.6. Tích phân suy rộng
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Chương VII. Phương trỡnh vi phân
7.1. Phương trỡnh vi phân cấp I

7.2. Phương trỡnh vi phân cấp hai
7.3. Hệ phương trỡnh vi phân
Chương VIII. Lý thuyết chuỗi
8.1 Chuỗi số
8.2. Chuỗi số dương
8.3 Chuỗi số dấu bất kỳ
8.4 Chuỗi lũy thừa
Biên soạn: Nguyễn Độc Lập - Trường Đại học Y Dược – Đại học Thái Nguyên
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
Ch¬ng I

TËp hîp, quan hÖ vµ logic suy luËn

Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn

Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học, không
đợc định nghĩa và ta chỉ miêu tả, hình dung khái niệm này
bằng những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn nh tập hợp các sinh viên
trong một lớp học, tập hợp các số tự nhiên, tập hợp các nghiệm
của một phơng trình đại số .v.v.
Các đối tợng tạo nên tập hợp đợc gọi là các phần tử của tập
hợp đó.
Để nói rằng a là phần tử thuộc tập hợp A ta viết a

A
(đọc là a
thuộc A). Nếu a không phải là phần tử của tập hợp A
ta viết
a

A (đọc là a không thuộc A).
Đ
1. Tập hợp

1.

Các khái niệm cơ bản

Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn

Các đối tợng tạo nên tập hợp đợc gọi là các phần tử của tập hợp
đó.
Để nói rằng a là phần tử thuộc tập hợp A ta viết a

A
(đọc là a
thuộc A). Nếu a không phải là phần tử của tập hợp A ta viết a


A
(đọc là a không thuộc A).
Tập hợp không chứa phần tử nào đợc gọi là tập rỗng, ký hiệu .
Tập hợp không chứa phần tử nào đợc gọi là tập rỗng, ký hiệu

.
Để xác định một tập hợp ta sử dụng một trong hai phơng pháp
sau:
Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
Cho hai tập hợp
A

và
B
. Nếu mọi phần tử của tập hợp
A
cũng là
phần tử của tập hợp B thì ta nói rằng A
là tập hợp con của tập hợp
B, hay A chứa trong B, hay B bao hàm A, ký hiệu A

B hay B

A.
Ngời ta coi tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
1.

Liệt kê các phần tử của tập hợp

A = {a, b, c, d}
B = {2, 4, 6, 8}
2. Chỉ ra tính chất đặc trng của các phần tử của tập hợp
A = {x: x
2
= 4}
Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
2. Các phép toán về tập hợp

a) Phép hợp
Định nghĩa: Hợp của hai tập hợp A và B
là một tập hợp gồm các
phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó.

Hợp của hai tập hợp
A
và B đợc ký hiệu: A

B
A

B = {x: x

A hoặc x

B}
b) Phép giao


Định nghĩa: Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm
các phần tử đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B. Giao của
hai tập hợp A và B đợc ký hiệu: A

B
A

B = {x: x

A và x

B}
Nếu A

B = ta nói A và B là các tập hợp rời nhau.

Ví dụ: Cho hai tập hợp
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6}
A

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A

B = {2, 4}
Bài giảng THCC – Biên soạn: Nguyễn Độc Lập – Đại học Y Dược Thái Nguyên
c) C¸c tÝnh chÊt cña phÐp hîp vµ phÐp giao

1. TÝnh giao ho¸n
A

B = B

A ; A

B = B

A
2. TÝnh chÊt kÕt hîp
A

(B

C) = (A

B)


C
A

(B

C) = (A

B)

C
1. TÝnh chÊt ph©n phèi
A

(B

C) = (A

B)

(A

C)
A

(B

C) = (A

B)


(A

C)
Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
Để chứng minh các tính chất trên ta cần chỉ ra mỗi phần tử của
tập hợp ở vế trái đều là phần tử của tập hợp ở vế phải và ngợc lại
mỗi phần tử của tập hợp ở vế phải đều là phần tử của tập hợp ở vế
trái.
Việc chứng minh các tính chất trên dành cho bạn đọc .
d) Phép

trừ tập hợp và phần bù của một tập hợp

Định nghĩa: Hiệu của tập hợp A và tập hợp B
là tập hợp gồm các
phần tử thuộc A nhng không thuộc B.
Hiệu của tập hợp A và tập hợp B đợc ký hiệu: A\ B
A\ B = {x: x

A và x

B}
Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
Ví dụ:
Cho hai tập hợp

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 2, 4, 6}
A\ B = {1, 3, 5}
Cho
A

là tập con của một tập hợp X. Khi đó X\
A
đợc gọi là phần
bù của của tập hợp
A
trong X.
Phần bù của tập hợp
A
đợc ký hiệu
A
. Vậy
A
= X\
A

Ví dụ:
Trong tập hợp các số thực, Tập hợp các số vô tỉ là phần bù
của tập hợp các số hữu tỉ.
Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
Định lý
: Phần bù của hợp các tập hợp bằng giao các phần bù của
chúng. Phần bù của giao các tập hợp
bằng hợp các phần bù của
chúng, tức là:

B
A
B
A

,
B
A
B
A




Chứng minh:
Ta chứng minh đẳng thức đầu, đẳng thức còn lại
chứng minh tơng tự.
Gọi
x
là phần tử bất kỳ của
B
A

, khi đó:

x

A
x
B
A

và
AxBx
và
B
A
x
B
x


Ngợc lại, gọi
x
là phần tử bất kỳ của
B
A

, khi đó:

A
x

và
AxBx
và
BAxBAxBx

Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
Đ
2. Các tập hợp số thực

1. Số thực

Ta đã biết tập các số tự nhiên N:
N = {0, 1, 2, , n, }
Trong phạm vi các số tự nhiên có thể thực hiện đợc phép
cộng và phép nhân. Tuy nhiên phép trừ bị hạn chế. Chẳng hạn
không tồn tại số tự nhiên n
sao cho 3 + n = 0. Để thực hiện đợc
phép trừ ngời ta mở rộng hệ thống số tự nhiên thành hệ thống số
nguyên Z:
Z = { , - n, , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, , n, }
Bi ging THCC Biờn son: Nguyn c Lp i hc Y Dc Thỏi Nguyờn
Trong tập các số nguyên có thể thực hiện đợc phép cộng,
phép trừ và phép nhân. Tuy nhiên phép c
hia bị hạn chế. Chẳng
hạn, không tồn tại số nguyên m sao cho 4.m
= 7. Để thực hiện đợc
phép chia ngời ta mở rộng hệ thống số nguyên thành hệ thống số
hữu tỉ Q:
Q = {
n
m
: m, n

Z, n
0

}
Nếu biểu diễn dới dạng số thập phân thì số hữu tỉ là số thập

phân hữ
u hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số nguyên
cũng là số hữu tỉ (với mẫu số bằng 1).
Ta có bao hàm thức: N

Z

Q.