Bài tập toán cao cấp tập 3 part 9 ppt

264 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
4. y

= xe
x
; y(0) = y

(0) = 0. (DS. y =(x −2)e
x
+ x +2)
5. xy

= y

.(DS. y = C
1
x
2
+ C
2
)
6. xy


+ y

= 0. (DS. y = C
1
ln |x|+ C
2
)
7. xy

=(1+2x
2
)y

.(DS. y = C
1
e
x
2
+ C
2
)
8. xy

= y

+ x
2
.(DS. y =
x
3

3
+ C
1
x
2
+ C
2
)
9. xy
(3)
− y

= 0. (DS. y = C
1
x
3
+ C
2
x + C
3
)
10. y

= y

2
.(DS. y = C
2
− ln |C
1

− x|)
11. y

=1+y

2
.(DS. y = C
2
− ln |cos(x + C
1
)|)
12. y

+ y

+2=0;y(0) = 0, y

(0) = −2. (DS. y = −2x)
14.2.2 Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p2v´o
.
i
hˆe

.
sˆo
´
h˘a
`
ng
I. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh thuˆa
`
nnhˆa
´
t
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
y

+ a
1
y


+ a
2
y = 0 (14.42)
trong d
´o a
1
, a
2
l`a c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
,du
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
thuˆa
`
n nhˆa
´

tcˆa
´
p2v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng.
1. Nˆe
´
u y
1
v`a y
2
l`a c´ac nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a (14.42) sao cho
y
1
(x)
y
2
(x)
=
const th`ı y = C

1
y
1
+ C
2
y
2
l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.42).
2. Nˆe
´
u y = u(x)+iv(x) l`a nghiˆe
.
mcu
’
a (14.42) th`ı phˆa
`
n thu
.
.
c u(x)
v`a phˆa
`
na
’

o v(x)c˜ung l`a nghiˆe
.
m.
D
ˆe
’
x´ac di
.
nh c´ac nghiˆe
.
m riˆeng y
1
(x)v`ay
2
(x)dˆa
`
u tiˆen cˆa
`
n gia
’
i
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.

ng (ptd
t) thu du
.
o
.
.
cb˘a
`
ng c´ach d
˘a
.
t y = e
λx
λ
2
+ a
1
λ + a
2
=0. (14.43)
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 265
Hiˆe
’
n nhiˆen ta luˆon xem bˆo

.
icu
’
a nghiˆe
.
mcu
’
a (14.43) l`a r =1(do
.
n)
ho˘a
.
c 2 (k´ep). Ta c˜ung quy u
.
´o
.
cbˆo
.
i r =0nˆe
´
u λ khˆong l`a nghiˆe
.
mcu
’
a
(14.43). Ta c´o ba
’
ng t´om t˘a
´
t sau

Nghiˆe
.
mcu
’
a ptdt
Nghiˆe
.
m riˆeng
cu
’
a (14.42)
Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
cu
’
a (14.42)
I. λ
1
,λ
2
∈ R, λ
1
= λ
2
y
1
= e

λ
1
x
,
y
2
= e
λ
2
x
y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
II. λ
1
= λ
2
= λ ∈ R
y
1
= e

λx
,
y
2
= xe
λx
y = C
1
e
λx
+ C
2
xe
λx
= e
λx
(C
1
+ C
2
x)
III. λ
1
,λ
2
∈ C y
1
= e
αx
cos βx y = e

αx
(C
1
cos βx
λ = α ± iβ y
2
= e
αx
sin βx +C
2
sin βx)
V´ı du
.
1. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

+ y

−2y =0.
Gia

’
i. T`ım nghiˆe
.
m trong da
.
ng y = e
λx
, ta c´o y

= λe
λx
, y

= λ
2
e
λx
.
Thay v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh ta thu d
u
.
o
.
.
cphu
.

o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
λ
2
+ λ −2=0⇔

λ
1
=1,
λ
2
= −2.
Ca
’
hai nghiˆe
.
m λ
1
,λ
2
∈ R v`a kh´ac nhau nˆen theo tru
.
`o
.

ng ho
.
.
pIo
.
’
ba
’
ng
ta c´o y
1
= e
x
, y
2
= e
−2x
v`a do d´o
y = C
1
e
x
+ C
2
e
−2x
. 
V´ı du
.
2. C˜ung ho

’
inhu
.
trˆen d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

+2y

+ y =0.
266 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Gia
’
i. Phu

.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
.
ng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´o da
.
ng
λ
2
− 2λ +1=0⇔ λ
1
= λ
2
=1.
C´ac nghiˆe
.
mcu
’
aphu

.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng thu
.
.
cv`ab˘a
`
ng nhau nˆen y
1
=
e
x
, y
2
= xe
x
.Dod´o
y = C
1
e
x
+ C
2
xe

x
= e
x
(C
1
+ C
2
x). 
V´ı du
.
3. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

− 4y

+13y =0.
Gia
’
i. Ptd
ttu

.
o
.
ng ´u
.
ng c´o da
.
ng
λ
2
− 4λ +13=0⇔

λ
1
=2+3i,
λ
2
=2− 3i.
.
C´ac nghiˆe
.
mph´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o

.
i c´ac nghiˆe
.
m riˆeng d
ˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n
t´ınh l`a y
1
= e
2x
cos 3x, y
2
= e
2x
sin 3x.Dod´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´avt c´o
da
.
ng
y = C
1
e

2x
cos 3x + C
2
e
2x
sin 3x
= e
2x
(C
1
cos 3x + C
2
sin 3x). 
II. Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınh khˆong thuˆa
`
nnhˆa
´
t
Phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.

ng
y

+ a
1
y

+ a
2
y = f(x) (14.44)
trong d
´o a
1
, a
2
l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
thu
.
.
c, f(x) l`a h`am liˆen tu
.
cd
u
.
o

.
.
cgo
.
i
l`a ptvp tuyˆe
´
n t´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tv´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng.
D
-
i
.
nh l´y. Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’

a (14.44) l`a tˆo
’
ng cu
’
a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
cu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng v`a mˆo
.
t nghiˆe
.
mriˆeng n`ao d

´o
cu
’
a phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t (14.44).
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 267
T`u
.
Iv`ad
i
.
nh l´y v`u
.
a ph´at biˆe
’
u suy r˘a
`

ng b`ai to´an t`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng
qu´at cu
’
a (14.44) d
u
.
o
.
.
cd
u
.
avˆe
`
b`ai to´an t`ım nghiˆe
.
m riˆeng ˜y cu
’
a n´o. N´oi
chung ph´ep t´ıch phˆan (14.44) luˆon luˆon c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.

n nh`o
.
phu
.
o
.
ng
ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Lagrange.
Nˆe
´
uvˆe
´
pha
’
ic´oda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t ta c´o thˆe
’
t`ım nghiˆe

.
m riˆeng cu
’
a (14.44)
nh`o
.
Phu
.
o
.
ng ph´ap cho
.
n (phu
.
o
.
ng ph´ap hˆe
.
sˆo
´
bˆa
´
td
i
.
nh khˆong ch´u
.
a qu´a
tr`ınh t´ıch phˆan). Ta c´o ba
’

ng t´om t˘a
´
t sau trong d
´o P
n
(x),Q
m
(x),
l`a c´ac d
ath´u
.
cd
a
.
isˆo
´
bˆa
.
ctu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Vˆe
´
pha
’
icu

’
a (14.44) Nghiˆe
.
mcu
’
a ptdtDa
.
ng nghiˆe
.
m riˆeng
I. Sˆo
´
0 l`a nghiˆe
.
m˜y = Q
n
(x)x
r
f(x)=P
n
(x)bˆo
.
i r cu
’
a ptdt Q
n
cˆa
`
ndu
.

o
.
.
c
x´ac d
i
.
nh
II. Sˆo
´
α l`a nghiˆe
.
m˜yx
r
Q
n
(x)e
αx
f(x)=e
αx
P
n
(x)bˆo
.
i r cu
’
a ptdt Q
n
(x)cˆa
`

ndu
.
o
.
.
c
x´ac d
i
.
nh
III. f(x)= Sˆo
´
ph´u
.
c iβ l`a ˜y = x
r
(A cos βx
a cos βx nghiˆe
.
mbˆo
.
i r +B sin βx); A,
+b sin βx cu
’
a ptd
t B -cˆa
`
nx´acdi
.
nh

IV. f(x)=e
αx
× Sˆo
´
α + iβ l`a ˜y = x
r
e
αx
×
[P
n
(x) cos βx+ nghiˆe
.
mbˆo
.
i r [Q
1
(x) cos βx+
Q
m
(x) sin βx]cu
’
a ptdt Q
2
(x) sin βx],
Q
1
v`a Q
2
l`a dath´u

.
cbˆa
.
c
s = max(m, n)
V. Vˆe
´
pha
’
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh l`a tˆo
’
ng cu
’
a hai h`am
y

+ a
1
y

+ a
2
y = f
1

(x)+f
2
(x).
268 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Khi d´o nghiˆe
.
m riˆeng c´o thˆe
’
t`ım du
.
´o
.
ida
.
ng
˜y =˜y
1
+˜y
2
trong d´o ˜y
1
l`a nghiˆe

.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh y

+ a
1
y

+ a
2
y = f
1
(x),
c`on ˜y
2
l`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh y


+ a
1
y

+ a
2
y = f
2
(x).
V´ı du
.
4. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

− 2y

+ y = x + 1 (da
.
ng I)
Gia
’
i. Nghiˆe
.
mtˆo
’

ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng
c´o da
.
ng Y = e
x
(C
1
+ C
2
x). V`ı λ
1
= λ
2
=1nˆen sˆo

´
0 khˆong l`a nghiˆe
.
m
cu
’
a ptd
tv`adod´o r = 0 v`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a c h o
(tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p I) cˆa
`
n t`ım du
.
´o
.

ida
.
ng
˜y = x
0
(Ax + B)
trong d
´o A, B l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
cˆa
`
nx´acd
i
.
nh. Thˆe
´
˜y v`a ˜y

,˜y

v`ao
phu
.
o
.
ng tr`ınh v`a so s´anh c´ac hˆe

.
sˆo
´
cu
’
a c´ac l˜uy th`u
.
ac`ung bˆa
.
ccu
’
a x ta
thu d
u
.
o
.
.
c A =1,−2A + B =1⇒ A =1,B = 3. Do vˆa
.
y˜y = x +3 v`a
y =˜y + Y =3+x + e
x
(C
1
+ C
2
x). 
V´ı du
.

5. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

− 4y

+3y = xe
x
(da
.
ng II).
Gia
’
i. Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa

´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng
c´o da
.
ng Y = C
1
e
x
+ C
2
e
3x
.V`ıvˆe
´
pha
’
i f(x)=xe
x
nˆen (xem II) ta
c´o P
n
(x)=x, α =1v`anhu
.
vˆa

.
ysˆo
´
α = 1 l`a nghiˆe
.
md
o
.
ncu
’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng; r = 1. Do vˆa
.
y nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
nt`ımdu
.
´o
.

ida
.
ng
˜y =(Ax + B)xe
x
T´ınh ˜y

,˜y

rˆo
`
ithˆe
´
v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c A = −
1
4
,
B = −
1
4

v`a t`u
.
d
´o
y =˜y + Y = −
1
4
(x +1)xe
x
+ C
1
e
x
+ C
2
e
3x
= C
1
e
x
+ C
2
e
3x
−
1
4
x(x +1)e
x

. 
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 269
V´ı du
.
6. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

+ y = sin x (da
.
ng II I).
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.

c tru
.
ng λ
2
+ 1 = 0 c´o nghiˆe
.
m λ
1
= i,
λ
2
= −i.Dod´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tl`a
Y = C
1
cos x+C
2

sin x.V`ı f(x)=sinx =0·cos x +1·sin x nˆen a =0,
b =1,β =1. V`ı iβ = i l`a nghiˆe
.
md
o
.
ncu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
nˆen r = 1 v`a nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
nt`ımdu
.
´o
.
ida
.
ng
˜y =(A cos x + B sin x)x.

Thˆe
´
˜y v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh ta thu d
u
.
o
.
.
c A = −
1
2
, B =0v`a
y = −
1
2
cos x + C
1
cos x + C
2
sin x. 
V´ı du
.
7. X´et phu
.
o
.

ng tr`ınh y

+ y = sin 2x (da
.
ng II I).
Gia
’
i. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong v´ıdu
.
6 ta c´o
Y = C
1
cos x + C
2
sin x.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o β =2. V`ıiβ =2i khˆong l`a nghiˆe

.
mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng nˆen r =0v`a
˜y = A cos 2x + B sin 2x
Thˆe
´
˜y v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜achoc`ung v´o
.
i˜y

,˜y

ta c´o A =0,B = −
1

3
.
Do d
´o
y =˜y + Y = −
1
3
sin 2x + C
1
cos x + C
2
sin x. 
V´ı du
.
8. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

− 2y

+ y = sin x + e
−x
(da
.
ng V).
Gia

’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng c´o nghiˆe
.
m λ
1
= λ
2
= 1. Do vˆa
.
y
nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa

`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´o da
.
ng
Y = e
x
(C
1
+ C
2
x).
270 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
V`ıvˆe
´

pha
’
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a tˆo
’
ng cu
’
a hai h`am sin x v`a
e
−x
nˆen nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
n t`ım du
.
´o
.
ida
.
ng ˜y =˜y
1
+˜y
2

, trong d´o ˜y
1
l`a
nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a
y

− 2y

+ y = sin x (14.45)
c`on ˜y
2
l`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

− 2y

+ y = e
−x

(14.46)
T`ım ˜y
1
.V`ı f(x) = sin x ⇒ β = 1. Tiˆe
´
pd´ov`ıiβ = i khˆong l`a
nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng nˆen r = 0 v`a nghiˆe
.
m riˆeng ˜y cˆa
`
n
t`ım du
.
´o
.
ida
.

ng ˜y
1
= A cos x + B sin x.
Thay ˜y
1
,˜y

1
,˜y

1
v`ao (14.45) ta thu du
.
o
.
.
c A =
1
2
, B =0:
˜y
1
=
1
2
cos x.
T`ım ˜y
2
.Vˆe
´

pha
’
i f(x)=e
−x
(xem II). Sˆo
´
α = −1 khˆong l`a nghiˆe
.
m
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng nˆen r =0nˆen nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
nt`ımdu
.
´o
.
i
da

.
ng
˜y
2
= Ae
−x
.
Thay ˜y
2
,˜y

2
,˜y

2
v`ao (14.46) ta thu du
.
o
.
.
c A =
1
4
v`a do vˆa
.
y
˜y
2
=
1

4
e
−x
.
Nhu
.
vˆa
.
y˜y =˜y
1
+˜y
2
=
1
2
cos x +
1
4
e
−x
v`a
y =˜y + Y =
1
2
cos x +
1
4
e
−x
+ e

x
(C
1
+ C
2
x). 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 271
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan sau
1. y

− 5y


+ 4 = 0. (DS. y = C
1
e
−x
+ C
2
e
4x
)
2. y

− 6y

+9y = 0. (DS. y = e
3x
(C
1
+ C
2
x))
3. y

+8y

+25y = 0. (DS. y = e
−4x
(C
1
cos 3x + C

2
sin 3x))
4. y

− 3y

+2y = 0. (DS. y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
)
5. y

− 4y

+4y = 0. (DS. y = e
2x
(C
1
+ C
2
x))
6. y

− 2y


+2y = 0. (DS. y = e
x
(C
1
cos x + C
2
sin x))
Gia
’
i c´ac b`ai to´an Cauchy sau
7. y

+4y

+5y =0;y(0) = −3, y

(0) = 0.
(D
S. y = −3e
−2x
(cos x + 2 sin x))
8. y

− 4y

+3y =0;y(0) = 6, y

(0) = 10. (DS. y =4e
x
+2e

3x
)
9. y

− 2y

+2y =0;y(0) = 0, y

(0) = 1. (DS. y = e
x
sin x)
10. y

− 2y

+3y =0;y(0) = 1, y

(0) = 3.
(D
S. y = e
x
(cos
√
2x +
√
2 sin
√
2x))
11. y


+4y

=0;y(0) = 7, y

(0) = 8. (DS. y =9− 2e
−4x
)
12. y

+4y =0;y(0) = 0, y

(0) = 2. (DS. y = sin 2x)
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t sau
13. y

+2y

+ y = e
x
.(DS. y =(C

1
x + C
2
)e
−x
+
1
4
e
x
)
14. y

− 3y

+2y = e
x
.(DS. y = C
1
e
2x
+(C
2
− x)e
x
)
15. y

+ y


− 2y =6x
2
.(DS. y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
− 3(x
2
+ x +1, 5))
16. y

+3y

=9x.(DS. y = C
1
+ C
2
e
−3x
+
3
2
x
2
− x)
17. y


− 2y = xe
−x
.(DS. y = C
1
e
x
√
2
+ C
2
e
−x
√
2
−(x − 2)e
−x
)
18. y

− 4y =8x
3
.(DS. y = C
1
e
2x
+ C
2
e
−2x

− 2x
3
− 3x)
19. y

− 5y

+6y = 13 sin 3x.
272 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
(DS. y = C
1
e
2x
+ C
2
e
3x
+
1
6
(5 cos 3x −sin 3x))
20. y


+4y = 3 sin 2x.(DS. y = C
1
cos 2x + C
2
sin 2x −
3
4
x cos 2x)
21. y

+4y = sin 2x.(DS. y = C
1
cos 2x + C
2
sin 2x −
1
4
x cos 2x)
22. y

+ y = x cos x.
(D
S. y = C
1
cos x + C
2
sin x +
1
4

x cos x +
1
4
x
2
sin x)
23. y

−2y

+3y = e
−x
cos x.
(D
S. y = e
x
(C
1
cos
√
2x + C
2
sin
√
2x)+
e
−x
41
(5 cos x −4 sin x))
24. y


−3y

+2y = e
3x
(x
2
+ x).
(D
S. y = C
1
e
x
+ C
2
e
2x
+
e
3x
2
(x
2
− 2x + 2))
25. y

+ y = x +2e
x
.(DS. y = C
1

cos x + C
2
sin x + x + e
x
)
26. y

−2y

+ y =3e
x
+ x +1.
(D
S. y =
3
2
e
x
x
2
+ x +3+e
x
(C
1
x + C
2
))
27. y

−6y


+8y = e
x
+ e
2x
.
(D
S. y =
1
3
e
x
−
1
2
xe
2x
+ C
1
e
2x
+ C
2
e
4x
)
28. y

+9y = e
x

cos 3x.
(D
S. y = C
1
cos 3x + C
2
sin 3x +
e
x
37
(cos 3x + 6sin 3x))
29. y

−4y

+4y = xe
2x
.(DS. y =(C
1
x + C
2
)e
2x
+
1
6
x
3
e
2x

)
30. y

+ y = 4 cos x +(x
2
+1)e
x
.
(D
S. y = C
1
cos x + C
2
sin x +2x sin x + e
x
(1 −x +
1
2
x
2
))
31. y

−6y

+9y =25e
x
sin x.
(D
S. y =(C

1
+ C
2
x)e
3x
+ e
x
(4 cos x + 3 sin x))
32. y

+2y

+5y = e
−x
sin 2x.
(D
S. y =(C
1
cos 2x + C
2
sin 2x)e
−x
−
1
4
xe
−x
cos 2x)
14.2. Phu
.

o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 273
33. y

+ y

=4x
2
e
x
.(DS. y = C
1
+ C
2
e
−x
+(2x
2
− 6x +7)e
x
)
34. y

+10y

+25y =4e
−5x

.(DS. y =(C
1
+ C
2
x)e
−5x
+2x
2
e
−5x
)
14.2.3 Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n
nhˆa
´
tcˆa
´
p n
n
n (ptvptn cˆa
´
p n
n

n)v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
L(y) ≡ y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ···+ a
n−1
y

+ a
n
y = 0 (14.47)
trong d

´o a
1
,a
2
, ,a
n
l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
thu
.
.
cd
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh
vi phˆan tuyˆe
´

n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tcˆa
´
p n (ptvptn cˆa
´
p n)v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng.
1. Nˆe
´
u y
1
(x)v`ay
2
(x) l`a nghiˆe
.
mcu
’
a (14.47): Ly =0th`ıy =
C
1

y
1
(x)+C
2
y
2
(x)c˜ung l`a nghiˆe
.
mcu
’
a n´o;
2. Nˆe
´
u y(x)=u(x)+iv(x) l`a nghiˆe
.
mcu
’
a (14.47) th`ı phˆa
`
n thu
.
.
c
u(x) v`a phˆa
`
na
’
o v(x)cu
’
an´oc˜ung l`a nghiˆe

.
mcu
’
a (14.47).
Lu
.
o
.
.
cd
ˆo
`
gia
’
i phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.47)
Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
ptvptn
L(y) ≡ y
(n)
+ a
1
y
(n−1)

+ ···+ a
n
y =0
a
1
,a
2
, ,a
n
∈ R



Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
ϕ(λ)=λ
n
+ a
1
λ

n−1
+ ···+ x
n−1
λ + A
n
=0



T`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
ϕ =0:λ
1
,λ
2
, ,λ
n
.




274 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
T`ım nghiˆe
.
m riˆeng dˆo
.
clˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh (dtt)
y
1
(x),y
2
(x), ,y
n
(x)
cu
’

a ptvptn:L(y)=0



Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh L(y)=0
y = C
1
y
1
(x)+C
2
y
2
(x)+···+ C
n
y
n
(x)
C
1

,C
2
, ,C
n
l`a c´ac h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y
Gia
’
su
.
’
t`ım d
u
.
o
.
.
c c´ac nghiˆe
.
m λ
1
,λ
2
, ,λ
n
cu
’

aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c
tru
.
ng d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.47). Khi d
´ot`uy thuˆo
.
c v`ao d˘a
.
c t´ınh
cu
’
a nghiˆe
.
m λ

1
, ,λ
n
ta viˆe
´
tdu
.
o
.
.
c c´ac nghiˆe
.
m riˆeng d
ltt cu
’
a (14.47).
1
+
Nˆe
´
u λ
i
∈ R, λ
i
= λ
j
∀i = j th`ı mˆo
˜
i λ
i

s˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nghiˆe
.
m
riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.47) l`a
e
λ
i
x
,i= 1,n
v`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.47) s˜e l`a

y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
+ ···+ C
n
e
λ
n
x
. (14.48)
2
+
Nˆe
´
uphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.

c tru
.
ng c´o nghiˆe
.
mbˆo
.
ich˘a
’
ng ha
.
n λ
1
=
λ
2
= ··· = λ
k
=
˜
λ v`a n − k nghiˆe
.
m c`on la
.
idˆe
`
u kh´ac nhau th`ı c´ac
nghiˆe
.
m riˆeng d
ltt s˜e l`a

e
˜
λx
,xe
˜
λx
, ,x
k−1
e
˜
λx
,e
λ
k+1
x
, ,e
λ
n
x
v`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at c´o da
.
ng
y = C
1
e
˜

λx
+ C
2
xe
˜
λx
+ ···+ C
k
x
k−1
e
˜
λx
+ C
k+1
e
λ
k+1
x
+ ···+ C
n
e
λ
n
x
.
(14.49)
3
+
Nˆe

´
uphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng c´o nghiˆe
.
mph´u
.
c xuˆa
´
thiˆe
.
nt`u
.
ng c˘a
.
p
liˆen ho
.
.
p, ch˘a
’
ng ha
.

nd
ˆe
’
x´ac di
.
nh ta gia
’
thiˆe
´
t λ
1
= α + iβ, λ
2
= α −iβ,
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 275
λ
3
= γ +iδ, λ
4
= γ −iδ v`a c´ac nghiˆe
.
m c`on la
.
idˆe

`
u thu
.
.
c th`ı c´ac nghiˆe
.
m
riˆeng d
ltt l`a
e
αx
cos βx,e
αx
sin βx,e
γx
cos δx,e
γx
sin δx, e
λ
5
x
, ,e
λ
n
x
v`a khi d´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at c´o da

.
ng
y = C
1
e
αx
cos βx + C
2
e
αx
sin βx+ C
3
e
γx
cos δx
+ C
4
e
γx
sin δx + C
5
e
λ
5
x
+ ···+ C
n
e
λ
n

x
. (14.50)
4
+
Sau c`ung nˆe
´
u λ
1
= α + iβ l`a nghiˆe
.
mbˆo
.
i k cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
d
˘a
.
c tru
.
ng

k ≤
n
2


th`ı λ
2
= α −iβ c˜ung l`a nghiˆe
.
mbˆo
.
i k cu
’
a n´o. C´ac
nghiˆe
.
md
ltt s˜e l`a
e
αx
cos βx,e
αx
sin βx, xe
αx
cos βx, xe
αx
sin βx, ,
x
k−1
e
αx
cos βx,x
k−1
e
αx

sin βx,e
λ
2k+1
x
, ,e
λ
n
x
v`a t`u
.
d
´oviˆe
´
tdu
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı du

.
1. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(3)
− 2y
(2)
− 3y

=0.
Gia
’
i. Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.

c tru
.
ng
ϕ(λ)=λ
3
−2λ
2
− 3λ =0.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng c´o ba nghiˆe
.
m kh´ac nhau l`a λ
1
=0,λ
2
= −1,
λ
3
= 3. Khi d´o´apdu
.
ng (14.48) ta thu du
.

o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
y = C
1
+ C
2
e
−x
+ C
3
e
3x
. 
V´ı du
.
2. C˜ung ho
’
inhu
.
trˆen v´o
.
iphu
.
o

.
ng tr`ınh
y
(3)
+2y

+ y

=0.
276 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng c´o da

.
ng
λ
3
+2λ
2
+ λ =0.
T`u
.
d
´o suy ra λ
1
= λ
2
= −1, λ
3
= 0. C´ac nghiˆe
.
m n`ay dˆe
`
u thu
.
.
cv`a
λ = −1 l`a nghiˆe
.
mk´epnˆen´apdu
.
ng (14.49) ta thu d
u

.
o
.
.
c
y = C
1
e
−x
+ C
2
xe
−x
+ C
3
. 
V´ı du
.
3. C˜ung ho
’
inhu
.
trˆen d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o

.
ng tr`ınh
y
(3)
+4y
(2)
+13y

=0.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng λ
3
+4λ
2
+13λ = 0 c´o c´ac nghiˆe
.
m
λ
1
=0,λ

2
= −2 −3i, λ
3
= −2+3i.Dod´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
an´o
c´o da
.
ng
y = C
1
+ C
2
e
−2x
cos 3x + C
3
e
−2x
sin 3x. 
V´ı du
.
4. X´et phu
.
o
.

ng tr`ınh
y
(5)
−2y
(4)
+2y
(3)
− 4y
(2)
+ y

− 2y =0.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
λ
5
− 2λ
4
+2λ
3

− 4λ
2
+ λ − 2=0
c´o c´ac nghiˆe
.
m: λ
1
=2-nghiˆe
.
mdo
.
n; λ
2
= ±i l`a c˘a
.
p nghiˆe
.
mph´u
.
cliˆen
ho
.
.
pbˆo
.
i 2. Khi d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’

ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh c´o da
.
ng
y = C
1
e
2x
+ C
2
cos x + C
3
x cos x + C
4
sin x + C
5
x sin x
= C
1
e
2x
+(C
2
+ C
3

x) cos x +(C
4
+ C
5
x) sin x. 
V´ı du
.
5. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(4)
+4y
(3)
+8y
(2)
+8y

+4y =0.
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 277

Gia
’
i. Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
λ
4
+4λ
3
+8λ
2
+8λ +4=0⇔ (λ
2
+2λ +2)
2
=0.
N´o c´o c´ac nghiˆe
.
mk´epph´u
.
c λ

1
= λ
2
= −1 − i; λ
3
= λ
4
= −1+i.Do
d
´o t `u
.
4
+
suy ra nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a n´o s˜e l`a
y = C
1
e
−x
cos x + C
2
e
−x
sin x + C
3

xe
−x
cos x + C
4
xe
−x
sin x
= e
−x
[C
1
+ C
3
x] cos x + e
−x
[C
2
+ C
4
x] sin x. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu

.
o
.
ng tr`ınh sau
1. y
(3)
+6y
(2)
+11y

+6y = 0. (DS. y = C
1
e
−x
+ C
2
e
−2x
+ C
3
e
−3x
)
2. y
(3)
−8y = 0. (DS. y = C
1
e
2x
+ e

−x
(C
2
cos
√
3x + C
3
sin
√
3x))
3. y
(4)
−y = 0. (DS. y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
+ C
3
cos x + C
4
sin x)
4. y
(3)
−3y

− 2y = 0. (DS. y = e

−x
(C
1
+ C
2
x)+C
3
e
2x
)
5. 2y
(3)
− 3y
(2)
+ y

= 0. (DS. y = C
1
+ C
2
e
x
+ C
3
e
x/2
)
6. y
(3)
−6y

(2)
+13y

= 0. (DS. y = C
1
+ e
3x
(C
2
cos 2x + C
3
sin 2x))
7. y
(4)
+13y
(2)
+36y =0.
(D
S. y = C
1
cos 2x + C
2
sin 2x + C
3
cos 3x + C
4
sin 3x)
Gia
’
i c´ac b`ai to´an Cauchy sau d

ˆa y
8. y

+4y

+5y =0;y(0) = −3, y

(0) = 0.
(D
S. y = −3e
−2x
(cos x + 2 sin x))
9. y
(3)
+3y
(2)
+3y

+ y =0;y(0) = −1, y

(0) = 2, y

(0) = 3.
(D
S. y = e
−x
(3x
2
+ x − 1))
10. y

(3)
−3y
(2)
+3y

− y =0;y(0) = 1, y

(0) = 2, y

(0) = 3.
(D
S. y = e
x
(1 + x))
278 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
11. y
(3)
+ y
(2)
=0;y(0) = 1, y

(0) = 0, y


(0) = 1.
(D
S. y = x + e
−x
)
Bˆay gi`o
.
x´et phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
nt´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t
cˆa
´
p n v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng:

y
(n)
+ a
1
y
(n−1)
+ ···+ a
n−1
y

+ a
n
y = f(x) (14.51)
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pphu

.
o
.
ng tr`ınh cˆa
´
p2v´o
.
ihˆe
.
sˆo
´
h˘a
`
ng b`ai
to´an t´ıch phˆan phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.51) d
u
.
o
.
.
c quy vˆe
`
t`ım mˆo
.
t nghiˆe
.

m
riˆeng n`ao d
´ocu
’
a (14.51). Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
ptˆo
’
ng qu´at ph´ep t´ıch phˆan
phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.51) c´o thˆe
’
thu
.
.
chiˆe
.
n nh`o
.
phu
.
o

.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen
h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. D
ˆo
´
iv´o
.
imˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
tcu
’
avˆe
´
pha
’

i nghiˆe
.
m riˆeng
cu
’
a (14.51) d
u
.
o
.
.
ct`ımbo
.
’
iphu
.
o
.
ng ph´ap d
o
.
n gia
’
nho
.
n: d
´o l`a phu
.
o
.

ng
ph´ap cho
.
n. Da
.
ng tˆo
’
ng qu´at cu
’
avˆe
´
pha
’
i (14.51) m`a phu
.
o
.
ng ph´ap cho
.
n
c´o thˆe
’
´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.

cl`a
f(x)=e
αx
[P

(x) cos βx+ Q
m
(x) sin βx]
trong d
´o P

(x)v`aQ
m
(x) l`a nh˜u
.
ng d
ath´u
.
cbˆa
.
c  v`a m tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
Trong tru
.
`o

.
ng ho
.
.
p n`ay nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a (14.51) cˆa
`
nd
u
.
o
.
.
c t`ım du
.
´o
.
i
da
.
ng
˜y = x
r
e
αx

˜

P
k
(x) cos βx+
˜
Q
k
(x) sin βx

k = max(, m),
˜
P
k
v`a
˜
Q
k
l`a nh˜u
.
ng d
ath´u
.
cbˆa
.
c k cu
’
a x da
.
ng tˆo
’
ng qu´at

v´o
.
i c´ac hˆe
.
sˆo
´
chu
.
ad
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh, r l`a bˆo
.
icu
’
a nghiˆe
.
m λ = α + iβ cu
’
a
ptd
t(nˆe
´
u λ = α ± iβ khˆong l`a nghiˆe

.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
th`ı r = 0).
Nˆo
.
i dung cu
’
aphu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Lagrange d
ˆo

´
iv´o
.
i
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao l`a nhu
.
sau.
Gia
’
su
.
’
y
1
(x),y
2
(x), ,y
n
(x)l`ahˆe
.
c´ac nghiˆe
.
m riˆeng dˆo
.

clˆa
.
p tuyˆe
´
n
t´ınh cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
’
a (14.51) v`a
Y (x)=C
1
y
1
(x)+C
2

y
2
(x)+···+ C
n
y)n(x)
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 279
l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a n´o, trong d´o C
1
,C
2
, ,C
n
l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´

t`uy ´y.
Ta s˜e t`ım nghiˆe
.
mcu
’
a (14.51) du
.
´o
.
ida
.
ng
y = C
1
(x)y
1
(x)+C
2
(x)y
2
(x)+···+ C
n
(x)y
n
(x) (14.52)
trong d
´o C
1
(x), ,C
n

(x) l`a nh˜u
.
ng h`am ta
.
m th`o
.
i chu
.
abiˆe
´
tcu
’
abiˆe
´
n
x.D
ˆe
’
x´ac di
.
nh ch´ung ta lˆa
.
phˆe
.










y
1
(x)C

1
(x)+y
2
(x)C

2
(x)+···+ y
n
(x)C

n
(x)=0,
y

1
(x)C

1
(x)+y

2
(x)C


2
(x)+···+ y

n
(x)C

n
(x)=0,

y
(n−1)
1
(x)C

1
(x)+y
(n−1)
2
(x)C

2
(x)+···+ y
(n−1)
n
(x)C

n
(x)=f(x).
(14.53)
V`ı y

1
, ,y
n
l`a dltt nˆen di
.
nh th´u
.
ccu
’
ahˆe
.
(Wronskian) luˆon =0
v`a hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m duy nhˆa
´
t:
dC
i
(x)
dx
= ϕ
i
(x) ⇒ C
i
(x)=

ϕ

i
(x)dx +
˜
C
i
,i= 1,n. (14.54)
trong d
´o
˜
C
i
l`a h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. Thˆe
´
(14.54) v`ao (14.52) ta thu du
.
o
.
.
c
nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.51).

Nhˆa
.
n x´et. D
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh cˆa
´
p2hˆe
.
(14.53) c´o da
.
ng

y
1
(x)C

1
(x)+y
2
(x)C

2
(x)=0,

y

1
(x)C

1
(x)+y

2
(x)C

2
(x)=f(x).
(14.55)
Ba
’
ng t´om t˘a
´
t c´ac da
.
ng nghiˆe
.
m riˆeng
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o

.
imˆo
.
tsˆo
´
da
.
ng vˆe
´
pha
’
i kh´ac nhau cu
’
a (14.51)
280 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Vˆe
´
pha
’
icu
’
aphu

.
o
.
ng Nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng C´ac da
.
ng
N
◦
tr`ınh vi phˆan tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng nghiˆe
.
m riˆeng
1. Sˆo
´
0 khˆong pha
’
i
l`a nghiˆe
.

mcu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh
d
˘a
.
c tru
.
ng
˜
P
m
(x)
I P
m
(x)
2. Sˆo
´
0 l`a nghiˆe
.
m
bˆo
.
i s cu
’

aphu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng x
s
˜
P
m
(x)
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 281
Vˆe
´
pha
’
icu
’
aphu

.
o
.
ng Nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng C´ac da
.
ng
N
◦
tr`ınh vi phˆan tr`ınh d˘a
.
c tru
.
ng nghiˆe
.
m riˆeng
Sˆo
´
α khˆong pha
’
il`a
nghiˆe
.

mcu
’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
˜
P
m
(x)e
αx
II P
m
(x)e
αx
2. Sˆo
´
α l`a nghiˆe
.
m
bˆo
.
i s cu

’
aphu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng x
s
˜
P
m
(x)e
αx
1. sˆo
´
±iβ khˆong
˜
P
k
(x) cos βx+
pha
’
i l`a nghiˆe
.
m

˜
Q
k
(x) sin βx,
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh k = max(m, n)
d
˘a
.
c tru
.
ng
III P
n
(x) cos βx+
Q
m
(x) sin βx
2. Sˆo
´
±iβ l`a nghiˆe
.
m x
s
[

˜
P
k
(x) cos βx
bˆo
.
i s cu
’
aphu
.
o
.
ng
˜
Q
k
(x) sin βx],
tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng k = max(m, n)
1. Sˆo
´
α ± iβ khˆong [
˜
P
k
(x) cos βx+

pha
’
i l`a nghiˆe
.
m
˜
Q
k
(x) sin βx]e
αx
,
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh k = max(m, n)
d
˘a
.
c tru
.
ng
IV e
αx
[P
n
(x) cos βx
+Q

m
(x) sin βx]
2. Sˆo
´
α ±iβ l`a x
s
[
˜
P
k
(x) cos βx+
nghiˆe
.
mbˆo
.
i s
˜
Q
k
(x) sin βx]e
αx
,
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh k = max(m, n)
d

˘a
.
c tru
.
ng
282 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Nhˆa
.
nx´et. Nˆe
´
u f(x)=f
1
(x)+f
2
(x)+···+ f
m
(x), trong d´o
f
1
, ,f
m
l`a c´ac h`am da

.
ng I-IV o
.
’
ba
’
ng v`a ˜y
1
, ˜y
2
, ,˜y
m
l`a c´ac nghiˆe
.
m
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i f
i
(x), i = 1,m th`ı
˜y =˜y
1
+˜y
2

+ ···+˜y
m
l`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.51). D
ˆa y c ˜ung ch´ınh l`a nˆo
.
i dung
cu
’
a phu
.
o
.
ng ph´ap chˆo
`
ng nghiˆe
.
m.
C
´
AC V
´
IDU

.
V´ı du
.
1. Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh
1) y
(3)
− y
(2)
+ y

− y = x
2
+ x;
2) y
(3)
− y
(2)
=12x
2
+6x.
Gia
’
i. 1) Phu
.

o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng λ
3
−λ
2
+λ−1 = 0 c´o c´ac nghiˆe
.
m
kh´ac nhau λ
1
=1,λ
2
= i, λ
3
= −i.Dod´ophu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
tu

.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i 1) c´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at l`a
Y = C
1
e
x
+ C
2
cos x + C
3
sin x
(o
.
’
d
ˆay sˆo
´
α = 0). V`ısˆo
´
α = 0 khˆong l`a nghiˆe

.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c
tru
.
ng nˆen theo tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p I. 2, ta c´o ˜y = A
1
x
2
+ A
2
x + A
3
, trong
d

´o A
1
, A
2
, A
3
l`a nh˜u
.
ng hˆe
.
sˆo
´
cˆa
`
nd
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh. Thˆe
´
nghiˆe
.
m riˆeng ˜y
v`ao phu
.

o
.
ng tr`ınh 1), ta thu d
u
.
o
.
.
c
−A
1
x
2
+(2A
1
− A
2
)x +(A
2
− 2A
1
− A
3
)=x
2
+ x,
t`u
.
d
´o suy ra r˘a

`
ng A
1
= −1, A
2
= −3, A
3
= −1. Do d´o˜y = −x
2
−3x−1
v`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at c´o da
.
ng
y = Y +˜y = C
1
e
x
+ C
2
cos x + C
3
sin x −x
2
− 3x − 1.
2) Phu
.

o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng λ
3
− λ
2
= 0 c´o nghiˆe
.
m λ
1
= λ
2
=0,
λ
3
= 1. Do d´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.

ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i 2) c´o da
.
ng
Y = C
1
+ C
2
x + C
3
e
x
.
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa

´
p cao 283
V`ısˆo
´
α = 0 l`a nghiˆe
.
m k´ep cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng nˆen theo
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p I. 2, ta c´o
˜y = x
2
(A
1

x
2
+ A
2
x + A
3
)=A
1
x
4
+ A
2
x
3
+ A
3
x
2
.
Thˆe
´
˜y v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh 2), ta thu d
u
.
o
.

.
c
−12A
1
x
2
+ (24A
1
− 6A
2
)x +(6A
2
− 2A
3
)=12x
2
+6x
v`a t`u
.
d
´o A
1
= −1, A
2
= −5, A
3
= −15 v`a
˜y = −x
4
− 5x

3
−15x
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y
y = Y +˜y = C
1
+ C
2
x + C
3
e
x
−x
4
− 5x
3
−15x
2
. 
V´ı du
.
2. Gia
’
iphu
.

o
.
ng tr`ınh
y
(3)
−2y
(2)
+2y

= 4 cos x cos 3x + 6 sin
2
x.
Gia
’
i. Tas˜e´apdu
.
ng nhˆa
.
nx´etd
˜a nˆeu ra sau ba
’
ng t´om t˘a
´
t nghiˆe
.
m
riˆeng. Tru
.
´o
.

c tiˆen ta biˆe
´
nd
ˆo
’
ivˆe
´
pha
’
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh. Ta c´o
4 cos x cos 3x + 6 sin
2
x = 2 cos 4x − cos 2x +3.
Khi d
´o
y
(3)
− 2y
(2)
+2y

= 2 cos 4x − cos 2x +3.
Nghiˆe
.

mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
Y = C
1
+(C
2
cos x + C
3
sin x)e
x
.
D
ˆe

’
t`ım nghiˆe
.
m riˆeng, ta s˜e ´ap du
.
ng nhˆa
.
nx´etd˜a nˆeu: Ta cˆa
`
nt`ım
nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a ba phu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(3)
− 2y
(2)
+2y

= 2 cos 4x,
y
(3)
− 2y
(2)

+2y

= −cos 2x,
y
(3)
− 2y
(2)
+2y

=3.
284 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng
˜y
1
=
1

65
(cos 4x −
7
4
sin 4x); ˜y
2
=
1
10
(
1
2
sin 2x −cos 2x); ˜y
3
=
3
2
x.
Do d
´o
˜y =˜y
1
+˜y
2
+˜y
3
=
1
65
(cos 4x −

7
4
sin 4x)+
1
10
(
1
2
sin 2x −cos2x)+
3
2
x.
T`u
.
d
´o suy ra r˘a
`
ng
y = Y +˜y = C
1
+(C
2
cos x + C
3
sin x)e
x
+
1
65
(cos 4x −

7
4
sin 4x)
+
1
10

sin 2x
2
− cos 2x

+
3
2
x. 
V´ı du
.
3. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
y
(3)

+ y

=tgx.
Gia
’
i. Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
yr˘a
`
ng nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.

ng ´u
.
ng y
(3)
+ y

=0l`a
Y = C
1
+ C
2
cos x + C
3
sin x.
Ta t`ım nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
tb˘a
`
ng
phu

.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n phˆan h˘a
`
ng sˆo
´
.Tru
.
´o
.
c tiˆen, ta lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
’
x´ac d
i
.
nh c´ac h`am C
i
(x), i = 1, 3. Ta c´o






C

1
+ C

2
cos x + C

3
sin x =0,
−C

2
sin x + C

3
cos x =0,
−C

2
cos x −C

3
sin x =tgx.
Nhˆan phu
.
o

.
ng tr`ınh th´u
.
hai v´o
.
i sin x,phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
ba v´o
.
i cos x
rˆo
`
icˆo
.
ng la
.
i, ta thu d
u
.
o
.
.
c C

2
= −sin x.T`u

.
d
´o C

3
= −
sin
2
x
cos x
.Tiˆe
´
pd
ˆe
´
n,
cˆo
.
ng phu
.
o
.
ng tr`ınh th´u
.
nhˆa
´
tv´o
.
iphu
.

o
.
ng tr`ınh th´u
.
ba, ta c´o C

1
=tgx.
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 285
T`u
.
c´ac kˆe
´
t qua
’
n`ay suy ra r˘a
`
ng C
1
= −ln |cos x|, C
2
= cos x, C
3
=

sin x −ln



tg

π
4
+
x
2




v`a do d
´o nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
n t`ım c´o da
.
ng
˜y = −ln |cos x| + cos
2
x + sin x

sin x −ln




tg

π
4
+
x
2





= −ln |cos x| +1−sin x ln



tg

π
4
+
x
2




.
T`u

.
˜y v`a Y ta thu d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜acho
y = Y +˜y = C
1
+ C
2
cos x + C
3
sin x
−ln|cos x|−sin xln




tg

π
4
+
x
2




+1. 
V´ı du
.
4. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

− 4y

+5y =
e
2x
cos x
·

Gia
’
i. D
ˆa
`
u tiˆen t`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n
nhˆa
´
t. Dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
Y = C
1
e

2x
cos x + C
2
e
2x
sin x.
V`ıvˆe
´
pha
’
i f(x)=
e
2x
cos x
khˆong thuˆo
.
c v`ao nh´om c´ac h`am da
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t
d
˜a x ´et o
.
’
trˆen, nˆen viˆe
.

ccho
.
n nghiˆe
.
m riˆeng theo vˆe
´
pha
’
i v`a nghiˆe
.
mcu
’
a
ptd
tnhu
.
o
.
’
trˆen l`a khˆong thu
.
.
chiˆe
.
nd
u
.
o
.
.

c. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta
su
.
’
du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
Lagrange. (Lu
.
u´yr˘a
`
ng d
´o
l`a phu

.
o
.
ng ph´ap tˆo
’
ng qu´at c´o thˆe
’
´ap du
.
ng cho phu
.
o
.
ng tr`ınh v´o
.
ivˆe
´
pha
’
i liˆen tu
.
cbˆa
´
tk`y f(x)).
Ta lˆa
.
phˆe
.
phu
.

o
.
ng tr`ınh d
ˆe
’
t`ım C

1
(x)v`aC

2
(x):
C

1
(x) cos x + C

2
(x) sin x =0,
C

1
(x)(2 cos x −sin x)+C

2
(x)(2 sin x + cos x)=
1
cos x
·
286 Chu

.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
T`u
.
d
´o suy ra C

1
(x)=−tgx, C

2
(x)=1v`adod´o
C
1
(x)=

−tgxdx =ln|cos x|+
˜
C
1
,
C
2
(x)=


dx = x +
˜
C
2
.
Thay C
1
(x)v`aC
2
(x) v`ao biˆe
’
uth´u
.
ccu
’
a Y ta c´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
y =

ln |cos x|+
˜
C
1

e
2x

cos x +

x +
˜
C
2

e
2x
sin x,
trong d
´o
˜
C
1
,
˜
C
2
l`a nh˜u
.
ng h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. 
V´ı du
.
5. Gia
’

i b`ai to´an Cauchy d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
y

−y

=
1
1+e
x
,y(0) = 1,y

(0) = 2.
Gia
’
i. Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu

.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
tl`a
Y = C
1
+ C
2
e
x
.
D
˘a
.
t C
1
= C
1
(x), C
2
= C
2
(x). Ta lˆa
.
phˆe
.

phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
’
x´ac di
.
nh
C

1
(x)v`aC

2
(x). Ta c´o
C

1
(x)+C

2
(x)e
x
=0,
C

2
(x)e

x
=
1
1+e
x



(v`ı y
1
(x)=1⇒ y

1
(x)=0;y
2
(x)=e
x
⇒ y

2
(x)=e
x
). Gia
’
ihˆe
.
n`ay ta
thu d
u
.

o
.
.
c
C

1
(x)=−
1
1+e
x
⇒ C
1
(x)=−x + ln(1 + e
x
)+
˜
C
1
C

2
(x)=
1
e
x
(1 + e
x
)
⇒ C

2
(x)=−e
−x
− x + ln(1 + e
x
)+
˜
C
2
.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
y = −x + ln(1 + e
x
)+e
x

−e
−x

− x + ln(1 + e
x
)+
˜
C
2

+
˜
C
1
.
14.2. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p cao 287
Thay x =0,y = 1 v`ao nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at ta c´o
1=2ln2− 1+
˜
C
2
+
˜

C
1
.
T´ınh y

(x)rˆo
`
i thay x =0v`ay

(0) = 2 v`ao ta c´o
2=−1+
˜
C
2
+ln2⇒
˜
C
2
=3−ln2
˜
C
1
= −ln 2 −1.
Sau c`unh nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
nt`ımc´oda
.
ng

˜y =(1+e
x
) ln(1 + e
x
)+e
x

3 −ln 2 − x

− (2 + ln 2 + x). 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
H˜ay x´ac d
i
.
nh da
.
ng nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a c´ac phu
.
o
.

ng tr`ınh sau
1. y
(3)
+ y = x.(DS. ˜y = A
1
+ A
2
x)
2. y
(3)
+ y

= 2. (DS. ˜y = Ax)
3. y
(3)
+ y
(2)
= 3. (DS. ˜y = Ax
2
)
4. y
(4)
−y = 1. (DS. ˜y = A, A = const)
5. y
(4)
−y

= 2. (DS. ˜y = Ax)
6. y
(4)

−y
(2)
= 3. (DS. ˜y = Ax
2
)
7. y
(4)
−y
(3)
= 4. (DS. ˜y = Ax
3
)
8. y
(4)
+2y
(3)
+ y
(2)
= e
4x
.(DS. ˜y = Ae
4x
)
9. y
(4)
+2y
(3)
+ y
(2)
= e

−x
.(DS. ˜y = Ax
2
e
−x
)
10. y
(4)
+2y
(3)
+ y
(2)
= xe
−x
.(DS. ˜y =(A
1
x
2
+ A
2
x
3
)e
−x
)
11. y
(4)
+4y
(2)
+4y = sin 2x.(DS. ˜y = A

1
cos 2x + A
2
sin 2x)
12. y
(4)
+4y
(2)
+4y = x sin 2x.
288 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
(DS. ˜y =(A
1
+ A
2
x)sin2x +(B
1
+ B
2
x) cos 2x)
Gia
’
i c´ac phu

.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t sau
13. y
(3)
+ y
(2)
= 1. (DS. y = C
1
+ C
2
x + C
3
e
−x
+
x
2
2
)
14. 3y
(4)
+ y

(3)
= 2. (DS. y = C
1
+ C
2
x + C
3
x
2
+ C
4
e
−
x
3
+
x
3
3
)
15. y
(4)
− 2y
(3)
+2y
(2)
−2y

+ y =1.
(D

S. y = C
1
cos x + C
2
sin x +(C
3
+ C
4
x)e
x
+1)
16. y
(3)
− y
(2)
+ y

− y = x
2
+ x.
(D
S. y = C
1
e
x
+ C
2
cos x + C
3
sin x −(x

2
+3x + 1))
17. y
(4)
+ y
(2)
= x
2
+ x.
(D
S. y = C
1
+ C
2
x + C
3
cos x + C
4
sin x +
x
4
12
+
x
3
6
− x
2
)
18. y

(4)
− 2y
(2)
+ y = cos x.
(D
S. y =(C
1
+ C
2
x)e
x
+(C
3
+ C
4
x)e
−x
+
1
4
cos x)
19. y
(3)
− 3y
(2)
+3y

− y = e
x
cos x.

(D
S. y =(C
1
+ C
2
x + C
3
x
2
)e
x
−
e
x
8
sin 2x)
20. y
(4)
− 3y
(2)
=9x
2
.
(D
S. y = C
1
+ C
2
x + C
3

e
√
3x
+ C
4
e
−
√
3x
−
x
4
4
− x
2
)
21. 4y
(3)
+ y

=3e
x
+ 2 sin
x
2
.
(D
S. y = C
1
+ C

2
cos
x
2
+ C
3
sin
x
2
+
3
5
e
x
− x sin
x
2
)
22. y
(3)
+ y
(2)
=12x
2
.
(D
S. y = x
4
−4x
3

+12x
2
+ C
1
+ C
2
x + C
3
e
−x
)
23. y
(3)
− 5y
(2)
+8y

− 4y = e
2x
.
(D
S. y = C
1
e
x
+(C
2
+ C
3
x)e

2x
+
1
2
x
2
e
2x
)