ĐỀ THI KSCL ĐẠI HỌC NĂM 2011 MÔN: TOÁN, KHỐI A - TRƯỜNG THPT PHÚ NGA SƠN doc

Trờng thpt trần phú nga sơn Đề khảo sát chất lợng các môn thi đại học lần 2
Đề chính thức năm học 2010 -2011
(Đề gồm 1 trang) Môn : Toán ; khối A+B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
I, Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm)
Câu I ( 2.0 điểm)
Cho hàm số
3 2
3 2y x x = - + (C)
1. Khảo sát và vễ đồ thị (C) hàm số đã cho.
2. Tìm m để phơng trình
3 2
2
3 2 logx x m - + =
có 8 nghiệm phân biệt.
Câu II (2,0 điểm).
1.Giải phơng trình :
2( cos )
1
cot 2 1
x sinx
tanx x cotx
-
=
+ -
2.Giải hệ phơng trình :
3 2 2 3
2 2
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0
x y y x y y xy

x y x y y y
ỡ
+ + + + - =
ù
ớ
+ + + + - =
ù
ợ
( )x y R ẻ
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
3
2
4
( )
1
tanx
I dx
cosx cos x

p
p

=
+
ũ
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a ; chiều cao SO =
6
2
a
.Mặt phẳng (P) qua A

vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D.Chứng minh rằng AC vuông góc với BD và tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Câu V (1,0 điểm).Cho a,b,c là các số dơng thoả mãn abc =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
M
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
II.Phần riêng(3.0 điểm)
Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chơng trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đờng thẳng (d
1
) :3 4 5 0x y + + = và (d
2
) : 4 3 5 0x y - - = .
Viết phơng trình đờng tròn có tâm nằm trên đờng thẳng ( D): 6 10 0x y - - = và tiếp xúc với hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng:
(d
1
) :
2 4
1 1 2
x y z - +

= =
-
và (d
2
):
8 6 10
2 1 1
x y z + - -
= =
-
. Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt (d
1
) , (d
2
) và (d) song
song với trục Ox
Câu VIIa(1,0 điểm). Cho hai số phức
1
z và
2
z thoả mãn
1 2
1z z = = ;
1 2
3z z + = . Tính
1 2
z z - .
B. Theo chơng trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đờng cao BH nằm trên đờng thẳng y x = , phân giác

trong góc C nằm trên đờng thẳng : 3 2 0x y + + = . Viết phơng trình cạnh BC.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M(1;2;-1) và N(7;-2;3) đờng thẳng (d) có phơng trình :
1 2 2
3 2 2
x y z + - -
= =
-
. Tìm điểm I thuộc (d) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
Câu VIIb (1,0 điểm). Giải phơng trình :
5 4
log (3 3 1) log (3 1)
x x
+ + = +
www.laisac.page.tl

Trờng thpt trần phú nga sơn
đáp án Đề khảo sát chất lợng các môn thi đại học lần 2
năm học 2010 -2011
Môn : Toán ; khối A+B
Câu
Đáp án
Điểm
C.1
Câu I (2,0 điểm).
1, 1, TXĐ : R y
2, Sự biến thiên
a, Giới hạn của hàm số tại vô cực
lim
x
y

đ+Ơ
= + Ơ ; lim
x
y
đ-Ơ
= - Ơ
b, Bảng biến thiên
y=3x
2
-6x, y = 0 khi x= 0;x= 2.
x -Ơ 0 2 +Ơ
y + 0 - 0 + x
2 +Ơ
y
-Ơ -2
3, Vẽ đồ thị
Điểm uốn (1;0)
Giao với Ox: (1;0);(1 3 0)(1 30 ) - +
Giao với Oy: (0;2)

2, y
Số nghiệm của phuơng trình là số giao
điểm của hai đồ thi hàm số y=
2
log m
và y=
3 2
3 2x x - +
.
Vẽ đồ thị y=

3 2
3 2x x - +
nh sau :
Từ đồ thị câu 1 ta bỏ phần bên trái Oy
lấy đối xứng phần còn lại qua Oy , tiếp
tục bỏ phần đồ thị bên dới Ox lấy đối x
xứng phần bị bỏ qua Ox ta đợc đồ thi
nh hình vẽ.
Phơng trình đã cho có 8 nghiệm phân
biệt khi:
0 <
2
log m < 2 1 4m p p
Vậy
1 4
4 1
m
m
< <
ộ
ờ
- < < -
ở
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
1 3 +
O
2
1 3 -
2
-2
O
2
-2
CII
Câu II (2,0 điểm).
1.
2( cos )
1
cot 2 1
x sinx
tanx x cotx
-
=
+ -
. (1)
Đk
cot 1
cos .sin 2 .( 2 ). 0
x
x x tanx cot x sinx
ạ
ỡ
ớ

+ ạ
ợ
(1)

1 2(cos sin )
2
1
sin 2 sin
x x
sinx cos x cosx
cosx x x
-
=
+ -
2 ( )
.sin 2 2
4
2 2sin . 2 sin
2
2 ( )
4
x k loai
cosx x
sinx x cosx x cosx
cosx
x k Nhan

p
p
p

p

ộ
= +
ờ
= = =
ờ
ờ
= - +
ờ
ở
Vậy x = 2
4
k

p
p
- + (k )Z ẻ

2.
3 2 2 3
2 2
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0
x y y x y y xy
x y x y y y
ỡ
+ + + + - =
ù
ớ

+ + + + - =
ù
ợ
( )( ) 30
( ) 11
xy x y xy x y
xy x y xy x y
+ + + =
ỡ

ớ
+ + + + =
ợ
Khi đó ta đợc
5
1
x y
xy
+ =
ỡ
ớ
=
ợ
hoặc
2
3
xy
x y
=
ỡ

ớ
+ =
ợ
-Với
2
3
xy
x y
=
ỡ
ớ
+ =
ợ
ta đợc
nghiệm là : (12) ; (21)
-Với
1
5
xy
x y
=
ỡ
ớ
+ =
ợ
ta đợc ngiệm là
5 21 5 21
( )
2 2
- +

,
5 21 5 21
( )
2 2
+ -
Đáp số : Hệ có 4 nghiệm nh trên.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
CIII
Câu IiI (1,0 điểm).
3
2
4
( )
1
tanx
I dx
cosx cos x

p
p

=
+

ũ
=
3
2
2
4
( )
1
1
tanx
dx
cos x
cos x

p
p

+
ũ
=
3
2 2
4
( )
2 tan
tanx
I dx
cos x x

p

p

=
+
ũ
.
Đặt t =
2
2 t an x + thì dt =
2 2
tan
cos 2 tan
xdx
x x +
.
Đổi cận : Với x =
4

p

thì t = 3 , x =
3

p

thì t = 5 .
Ta đợc
5
3
5 3I dt = = -

ũ
0,25
0,25
0,25
0,25
C.IV
Câu IV (1,0 điểm).
Dựng AC vuông góc với SC . Gọi O là tâm
đa giác đáy .G là giao điểm của AC và SO .
Qua G dựng đờng thẳng song song với BD
cắt SB,SD tại B và D
Vì SC ^ AC và SC ^ BD nên SC ^ BD. Lại
có BD//BD mà BD ^ AC nên BD ^ AC
Tam giác SAC đều nên AC = SO =
6
2
a
,
G là trọng tâm tam giác SAC nên
BD =
2
2
3
a
2
' ' '
1 3
'. ' '
2 3
AB C D

a
S AC B D ị = =
Vậy
3
' ' ' ' ' '
1 6
. '
3 18
SAB C D AB C D
a
V S SC = = (đvtt)
0,25
0,25
0,25
0,25
CV.
Câu V (1,0 điểm).
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
M
a b a c b c b a c a c b
= + +
+ + +
Đặt x =bc, y =ca, z =ab ( x > 0, y > 0, z > 0) thì xyz = 1 và
2 2 2
x y z
M
y z z x x y
= + +
+ + +

áp dụng BĐT cosi ta có
2
4
x y z
x
y z
+
+
+
;
2
4
y z x
y
z x
+
+
+
;
2
4
z x y
z
x y
+
+
+
Vậy M
3
3

3
2 2 2
xyz
x y z + +
= . Vậy GTNN của M là
3
2
khi x = y =z =1 tức là a =b =c =1 .
0,25
0,25
0,5
C.VI
a
Câu VIa (2,0 điểm).
1. ( ( ) : 6 10 0x y D - - = có phơng trình tham số
4 6
1
x t
y t
= +
ỡ
ớ
= - +
ợ
.
Xét điểm E(4+6t;-1+t)ẻ ( ) D .
Ta có
1
( , )d E d =
3(4 6 ) 4( 1 ) 5 22 13

5 5
t t t + + - + + +
=
2
( , )d E d =
4(4 6 ) 3( 1 ) 5 21 14
5 5
t t t + - - + - +
= .
Ta phải có
1
( , )d E d =
2
( , )d E d
1
22 13 21 14
27
43
t
t t
t
=
ộ
ờ
+ = + ị
-
ờ
=
ở
Với t =1 thì E(10;0) và R = 7 phơng trình đờng tròn là

2 2
( 10) 49x y - + =
Với t =
27
43
-
thì E(
10 70
)
43 43
-
và R =
7
43
phơng trình đờng tròn là:
2 2
2
10 70 49
43 43 43
x y
ổ ử ổ ử
- + + =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
0,25
0,25
0,25
0,25
D
S

A B
C
B
C

O
D
G

1. Phơng trình tham số của
( )
1
d ,
( )
2
d tơng ứng là
( )
1
d 2
2 4
x t
y t
z t
=
ỡ
ù
= - +
ớ
ù
= -

ợ
( )
2
d
2 ' 8
' 6
' 10
x t
y t
z t
= -
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= - +
ợ
Lấy M(t; -t+2; 2t-4), N(2t-8; t+6; -t+10)
Ta có
(2 ' 8 ' 4 ' 2 14).MN t t t t t t = - - + + - - +
uuuur
Để MN nằm trên Ox hay MN // Ox cần và đủ là
' 4 0
' 2 14 0
t t
t t
+ + =
ỡ
ớ

+ - =
ợ
Ta đợc
18
' 22
t
t
=
ỡ
ớ
= -
ợ
.
Vậy M(18; -16; 32) ,
MN
uuuur
=(-70;0;0) .Từ đó ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) là
18 70
16 ( )
32
x t
y t R
z
= -
ỡ
ù
= - ẻ
ớ
ù
=

ợ
. Vì M không thuộc Ox nên (d) //Ox.
0,25
0,25
0,25
0,25
C,
Vii
a
CVi
b
CâuVIIa (1,0 điểm).
1 2
1z z = = ;
1 2
3z z + = . Tính
1 2
z z - .
Đặt
1 1 1 2 2 2
z a b i z a b i = + = + . Từ giả thiết ta có hệ phơng trình
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
( ) ( ) 3
a b a b
a a b b
ỡ

+ = + =
ù
ớ
+ + + =
ù
ợ
.
Suy ra 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( ) 1 ( ) ( ) 1 1a b a b a a b b z z + = ị - + - = ị - =

CâuVIb (2,0 điểm).
1. Đờng thẳng AC đi qua A và ^ BH nên có
phơng trình là x+ y -2 = 0, C là giao điểm
của AC và phân giác trong của nó nên C(4;-2)
Gọi A là điểm đối xứng của A qua đờng
phân giác trong góc C thì AC chứa cạnh BC
Gọi E là giao điểm của AA và x+3y+2=0 thì E là trung
điểm của AA. Đởng thẳng AA đi qua A và ^ CE nên
pt : 3x y + 6 = 0 suy ra E(-2;0) và A(-3;-3). Vậy đờng
thẳng AC có phơng trình là : x 7y 18 = 0.
Đáp số : BC có phơng trình là : x -7y -18 = 0

2.Đờng thẳng d có VTCP = (3 2 2) (6 4 4) 2u MN MN u = - = - ị =
r uuuur uuuur r
, M
d ẽ
nên MN//d ,
do đó trên mặt phẳng (d;MN) gọi M là điểm đối xứng với M qua d và (

a
) là mp qua M và
d ^
suy ra (
a
) có phơng trình 3x -2y +2z + 3 =0 . Gọi H
=d ( ) ( 122) '( 325). ' / /H M I M N d HI MN I
a
ầ ị - ị - = ầ ị ị là trung điểm của MN
nên I(2;0;4) là điểm cần tìm.
Câu VIIb (1,0 điểm). Đặt
5 4
log (3 3 1) log (3 1)
x x
t + + = + = . Ta đợc :
3 1 4
1 2
3 2 5 3( ) ( ) 1
5 5
3 3 1 5
x t
t t t t
x t
ỡ
+ =
ù
ị + = + =
ớ
+ + =
ù

ợ
Vế trái là một hàm số nghịch biến còn vế phải bằng 1 nên nghiệm t = 1 là duy nhất
Với t =1 ta có x =1.
Đáp số : x =1 .
Hết
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
A B
E
A H C
HÕt