ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2011 MÔN: TOÁN- TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.53 KB, 7 trang )
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH .(7,0 điểm)
Câu I:(2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
2
2 2
1
m
x x
x
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :
5
2 2 os sin 1
12
c x x
2) Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
.
Câu III: (1,0 điểm ) Tính tích phân:
1
2
3
2
0
4
ln
4
x
I x dx
x
Câu IV:( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và
(SCB) hợp với nhau một góc bằng
0
60
.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a .
Câu V :(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 1 3 16 36
S x y z
PHẦN B : THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )
Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của
cạnh BC,phương trình đường thẳng DM:
x y 2 0
và
C 3; 3
.Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d:3x y 2 0
,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
P : x y z 1 0
và hai
điểm
A 1; 3;0 ,B 5; 1; 2 .
Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MA MB
đạt giá
trị lớn nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1023
C C C C C
2 3 4 n 1 10
L
PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )
Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03:
1
yxd và
06:
2
yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
2. (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d
1
:
2 1
1 1 2
x y z
, d
2
:
2 2
3
x t
y
z t
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng:
2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 2 3 2010 2011 S C C C C C
…………………………………….…….Hết
www.laisac.page.tl
Trường thpt Chuyên Vĩnh Phúc kú thi khẢo SÁT ®¹i häc n¨m 2011
Môn Toán 12 -Khối
A
-Lần thứ 3
Câ
u
Ý
Nội dung
Điểm
I
2,00
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x .
1,00
T
ập xác định: Hàm số có tập xác định
¡
D .
Sự biến thiên:
2
3 6
y' x x.
Ta có
0
0
2
x
y'
x
,
y 0 x 0 x 2
h/s đồng biến trên các khoảng
;0 & 2;
,
y 0 0 x 2
h/s nghịch biến trên khoảng
0;2
0,25
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .
Giới hạn
3
3
x
x
3 2
lim y limx 1
x x
0,25
Bảng biến thiên:
x
0 2
y'
0
0
y
2
2
0,25
Đồ thị:
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,25
2
Biện luận số nghiệm của phương trình
2
m
x 2x 2
x 1
theo tham số m.
1,00
Ta có
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
Do đó số nghiệm của
phương trình bằng số giao điểm của
2
2 2 1
y x x x , C'
và đường thẳng
1
y m,x .
0,25
Vẽ
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
nờn
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x .
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x
qua Ox.
Đồ thị hàm số y =
2
( 2 2) 1
x x x
, với x
1 có dạng như hình vẽ sau
0,25
hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,25
Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox
Dựa vào đồ thị ta có:
+
2
m :
Phương trình vô nghiệm;
+
2
m :
Phương trình có 2 nghiệm kép
+
2 0
m :
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0
m :
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
II
2,00
1
Giải phương trình:
5
2 2 os sin 1
12
c x x
1,0
5
2 2 os sin 1
12
c x x
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
0.25
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
0,25
5
2 2
5
612 12
sin 2 sin
5 13
312 12
2 2
12 12 4
x kx k
x k
x k x k
¢
0,50
2
Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
.
1,0
Điều kiện: x+y>0, x-y
0
2 8
2 2 2 2 2 2 2 2
log 3log (2 ) 2
1 3 1 3
x y x y x y x y
x y x y x y x y
0,25
Đặt:
u x y
v x y
ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
0,25đ
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)
2
u v uv
u v uv
uv
. Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0
uv uv uv uv uv uv uv
.
0,25đ
Kết hợp (1) ta có:
0
4, 0
4
uv
u v
u v
(vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y
=2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).
0,25đ
III
Tính tích phân:
1
2
3
2
0
4
ln
4
x
I x dx
x
1,0
Đặt
2
4
2
4
3
16x
4 x
du dx
u ln
x 16
4 x
x 16
v
dv x dx
4
0,50
Do đó
1
1
2
4
2
0
0
1 4 x 15 3
I x 16 ln 4 xdx ln 2
4 4 x 4 5
0,50
IV
… Tính thể tích khối chóp S.ABC…
1,00
Gọi H là trung điểm của AB
SH AB SH ABC
Kẻ
AK SC SC AKB
SC KB
0
SAC ; SBC KA;KB 60
0 0
AKB 60 AKB 120
Nếu
0
AKB 60
thì dễ thấy
KAB
đều
KA KB AB AC
(vô lí)
Vậy
0
AKB 120
0,25
cân tại K
0
AKH 60
0
AH a
KH
tan60
2 3
Trong
SHC
vuông tại H,đường cao
KH có
2 2 2
1 1 1
KH HC HS
thay
a
KH
2 3
và
a 3
HC
2
vào ta được
a 6
SH
8
2 3
S.ABC ABC
1 1 a 6 a 3 a 2
V .SH.dt . .
3 3 8 4 32
0,25
0,25
0,25
V
Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 1 3 16 36
S x y z
1,0
Ta có:
2 2
2 2 2 2
2 2 3 12 6
S x y z
Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc
tơ
a 2x;2 ,b 3y;4 ,c z;6
r r r
,
a b c 2x 3y z;2 12 6 40;20
r r r
2 2 2
2 2 2
a 2x 2 , b 3y 12 , c z 6
r r r
,
a b c 20 5
r r r
Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :
S=
a b c a b c
r r r r r r
S 20 5
.Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ
a,b,c
r r r
cùng hướng
xét hệ điều kiện :
2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40
2
2 12 6 2 12 6 20 20
x 2,y 8,z 12
Với :
x 2,y 8,z 12
thì
S 20 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng
20 5
đạt được khi :
x 2,y 8,z 12
0,25
0,25
0,25
0,25
VIA
2,00
1
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D.
1,00
Gọi A
t; 3t 2
.Ta có khoảng cách:
4t 4
2.4
d A,DM 2d C,DM t 3 t 1
2 2
hay
A 3; 7 A 1;5
.Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM
nên chỉ có A
1;5
thoả mãn.
Gọi D
m;m 2
DM
thì
AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1
uuur uuur
Do ABCD là hình vuông
2 2 2 2
m 5 m 1
DA.DC 0
m 1 m 7 m 3 m 1
DA DC
uuur uuur
m 5
Hay D
5;3
AB DC 2; 6 B 3; 1
uuur uuur
.
Kết luận A
1;5
,
B 3; 1
, D
5;3
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
P : x y z 1 0
…….
1,00
Đặt vt của (P) là:
f x;y;z x y z 1
ta có
A A A B B B
f x ;y ;z f x ;y ;z 0
A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi
'
B
đối xứng với B qua (P)
'
B 1; 3;4
.
' '
MA MB MA MB AB
Đẳng thức xẩy ra khi
'
M,A,B
thẳng hàng
'
M P AB
.Mặt khác phương trình
'
x 1 t
AB : y 3
z 2t
toạ độ M là
nghiệm hệ pt:
x 1 t t 3
y 3 x 2
M 2; 3;6
z 2t y 3
x y z 1 0 z 6
0,25
0,25
0,25
0,25
VII
A
Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1023
C C C C C
2 3 4 n 1 10
L
1,00
Xét khai triển:
n
0 1 2 2 n n
n n n n
1 1
n
0 1 2 2 n n
n n n n
0 0
1 x C C x C x C x
1 x dx C C x C x C x dx
L
L
1
1
n 1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
0
1 x
1 1 1
C x C x C x C x
n 1 2 3 n 1
L
n 1
0 1 2 3 n
n n n n n
2 1 1 1 1 1 1023
C C C C C
n 1 2 3 4 n 1 n 1
L
n 1 n 1 10
2 1 1023 2 1024 2 n 1 10 n 9
vậy
n 9
0,25
0,25
0,25
0,25
VI B
2,00
1
….cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12… 1,00
Ta có: Idd
21
. Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vậy
2
3
;
2
9
I
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM
1
Suy ra M( 3; 0)
0,25đ
Ta có: 23
2
3
2
9
32IM2AB
22
Theo giả thiết: 22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d
1
ADd
1
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d
1
nhận )1;1(n làm VTPT nên có
PT: 03yx0)0y(1)3x(1
. Lại có:
2MDMA
0,25đ
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
2y3x
03yx
2
2
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2
1y
2x
hoặc
1y
4x
. Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)
0,25đ
Do
2
3
;
2
9
I là trung điểm của AC suy ra:
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
0,25đ
2
phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
1,00
Các véc tơ chỉ phương của d
1
và d
2
lần lượt là
1
u
ur
( 1; - 1; 2)
và
2
u
uur
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)
d
1
; N( 2; 3; 0)
d
2
Xét
1 2
; .
u u MN
ur uur uuuur
= - 10
0Vậy d
1
chéo d
2
0,25đ
Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t)
d
1
B(2 – 2t’; 3; t’)
d
2
1
2
. 0
. 0
AB u
AB u
uuurur
uuur uur
1
3
' 0
t
t
A
5 4 2
; ;
3 3 3
; B (2; 3; 0)
Đường thẳng
qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Ta có
:
2
3 5
2
x t
y t
z t
0,25đ
0,25đ
PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có
dạng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
0,25đ
VII B
1,0đ
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 x C C x C x C x C x
L (1)
Lấy đạo hàm hai vế
1
ta được:
2010
1 2 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 x C 2xC 3x C 2011x C
L
nhân hai vế với x ta được:
2010
1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011
2011x 1 x xC 2x C 3x C 2011x C
L (2)
Lấy đạo hàm hai vế
2
ta được
2010 2019
1 2 2 2 2 3 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 x 2010x 1 x
C 2 xC 3 x C 2011 x C
L
(3)
Thay x=1 vào hai vế của (3) ta được:
2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2011 2011 2011
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C
Vậy S=2011.2012.
2009
2
0,25
0,25
0,25
0,25
