PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Oxy

HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉCTƠ
 Cho ba điểm:
( ) ( )
( )
A A B B C C
A x ;y ; B x ;y ; C x ;y
. Ta có:
 Tọa độ véctơ
( )
B A B A
AB x x ;y y .
= − −
uuur
 Độ dài đoạn AB là:
2 2
B A B A
AB (x x ) (y y )
= − + −
 Tọa độ trung điểm I của AB là:
A B A B
x x y y
I( ; )
2 2
+ +
.
 Tọa độ trọng tâm G của
ABC
∆
là:
A B C A B C

x x x y y y
G( ; )
3 3
+ + + +
.
 Cho hai véctơ:
( ) ( )
1 1 2 2
a x ;y ;b x ;y
= =
r r
. Ta có:

( )
1 2 1 2
a b x x ;y y
+ = + +
r r
.

( )
1 2 1 2
a b x x ;y y
− = − −
r r
.

1 2 1 2
a.b x .x y .y
= +

r r
.

( )
1 1
k.a k.x ;k.y
=
r
.

2 2
1 1
a x y
= +
r

( )
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a.b x .x y .y
cos a;b
a . b
x y x y
+
= =
+ +
r r
r r
r r


( )
0
a.b 0 a;b 90 .
< ⇔ >
r r r r

( )
0
a.b 0 a;b 90 a b= ⇔ = ⇔ ⊥
r r r r r r

( )
0
a.b 0 a;b 90 .
> ⇔ <
r r r r

a
r
cùng phương với
1 1
2 2
2 2
x y
b (x .y 0)
x y
⇔ = ≠
r


1 2
1 2
x x
a b
y y
=

= ⇔

=

r r
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
ABC
∆
có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1).
a) Chứng minh
ABC
∆
cân tại A.
b) Tính chu vi và diện tích
ABC
∆
.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh AB sao cho
MA 3MB.
=
e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại A.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
ABC
∆
có A(1;5); B(-3;2); C(4;1).
a) Chứng minh
ABC
∆
cân tại A.
b) Tính diện tích
ABC
∆
.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Tìm tọa độ điểm M thuộc cạnh AB sao cho
MA 3MB.
=
e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông tại A.
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Oxy
1) Phương trình đường thẳng d theo hệ số góc có dạng: y = k.x + b (k gọi là hệ số góc).
k = tan
α
(
α
là góc hợp bởi phía trên trục Ox của đường thẳng với hướngdương của trục Ox).
k=
b
a
(với véctơ chỉ phương của d là
u(a;b)

r
).
Đường thẳng d đi qua M(x
0
;y
0
) và có hệ số góc k có phương trình là: y=k(x-x
0
)+y
0.
Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có hệ số góc là k
1
và k
2
. Ta có:
1 2
d d
⊥ ⇔
k
1
.k
2
= -1.
Nếu d
1
// d

2
thì : k
1
= k
2
. Nếu k
1
= k
2
thì d
1
// d
2
hoặc d
1
trùng với d
2
.
2) Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng
0
0
x x a.t
y y b.t
= +


= +

(t là tham số).
Đường thẳng d đi qua M(x

0
;y
0
) và có véctơ chỉ phương là:
u(a;b)
r
3) Phương trình chính tắc của đường thẳng d có dạng
0 0
x x y y
(ab 0)
a b
− −
= ≠
Đường thẳng d đi qua M(x
0
;y
0
) và có véctơ chỉ phương là
u(a;b)
r

4) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng: A.x+B.y+C=0 điều kiện
2 2
0.
+ ≠
A B
véctơ pháp tuyến của d là
n(A;B)
r
.

Đường thẳng d đi qua M(x
0
;y
0
) và có véctơ pháp tuyến
n(A;B)
r
có phương trình tổng quát là:
0 0
A(x x ) B(y y ) 0.
− + − =
5) Phương trình đường thẳng d theo đoạn chắn là:
x y
1.
a b
+ =

Đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(0;b) với
ab 0
≠
6) Chú ý:
 Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là véctơ có giá trùng hoặc song song với d.
 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là véctơ có giá vuông góc với đường thẳng d.
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
 Nếu đường thẳng d có một véctơ chỉ phương
u(a;b)
r
thì nó có véctơ pháp tuyến là:
1
n ( b;a)

−
uur
hoặc
2
n (b; a)
−
uur
(Đảo vị trí và đổi dấu một trong hai tọa độ).
 Nếu đường thẳng d có một véctơ pháp tuyến là
n(A;B)
r
thì nó có véctơ chỉ phương
1
u ( B;A)
−
uur
hoặc
2
u (B; A)
−
uur
(Đảo vị trí và đổi dấu một trong hai tọa độ).
 Nếu đường thẳng d
1
//d
2
thì véctơ pháp tuyến của d
1
cũng là véctơ pháp tuyến của d
2

và
véctơ chỉ phương của d
1
cũng là véctơ chỉ phương của d
2
.
 Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì véctơ pháp tuyến của đường này là véctơ chỉ
phương của đường kia.
7) Góc giữa hai đường thẳng:
1 2 1 2 1 2
cos(d ;d ) cos(n ;n ) cos(u ;u )= =
uur uur uur uur
.
8) khoảng cách từ M(
0 0
x ;y
) đến
∆
:
Ax By C 0
+ + =
là d(M;
∆
) =
0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+

9) Hai đường phân giác của các góc tạo bởi
1 1 1 1
d :A x B y C 0
+ + =
,
2 2 2 2
d :A x B y C 0
+ + =

1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
Bài 1: Trong mp Oxy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2).
a) Viết phương trình tham số của AB; chính tắc của AC; tổng quát của BC.
b) Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC.
c) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC.
d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC.
e) Viết phương trình đường phân giác trong của góc B của tam giác ABC.
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB.
Bài 2: Cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d
1
: x – 2y + 1 = 0; d
2
:
3

5
2
1
−
+
=
−
yx

a) Viết phương trình đường thẳng
1
∆
qua M và song song d
1
.
b) Viết phương trình đường thẳng
2
∆
qua M và song song d
2
.
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
c) Viết phương trình đường thẳng
3
∆
qua M và vuông góc d
1
.

d) Viết phương trình đường thẳng

4
∆
qua M và vuông góc d
2
.
e) Tìm tọa độ giao điểm của d
1
và d
2
.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 và điểm A(4;1).
a) Viết phương trình đường thẳng
∆
qua A và vuông góc d.
b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d.
c) Tìm điểm đối xứng với A qua d.
Bài 4: Cho hai đường thẳng
1
∆
: x + 2y – 6 = 0 và
2
∆
: x – 3y + 9 = 0.
a) Tính góc tạo bởi
1
∆
và
2
∆
.

b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến
1
∆
và
2
∆
.
c) Tìm tọa độ giao điểm của
1
∆
và
2
∆
.
d) Viết phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi
1
∆
và
2
∆
.
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng
∆

đi qua M(2;5) và cách đều hai điểm P(6;2), Q(5;4).
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A(2;1) và tạo với d: 2x+3y+4=0 một góc 45
0
.

Bài 7: Viết pt đường thẳng d đi qua A(3;1) và cách điểm B(1;3) một khoảng bằng
22
.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với
∆
: x-2y+4 =0 và cách điểm A(-2;3)
một khoảng bằng 2.
Bài 9: Cho
∆
: x-2y+4 =0. Tìm M nằm trên
∆
và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
Bài 10: Cho
∆
: 3x-2y+5 =0. Tìm M nằm trên
∆
và cách d: 4x-3y+4=0 một khoảng bằng 1.
TAM GIÁC TRONG MẶT PHẲNG Oxy
Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh C(3;2), đường cao đi qua A là d
1
:
1
1
2
3
x t
y t
= +



= +

, đường cao đi
qua B là d
2
:
2
2
1
4 2
x t
y t
= +


= −

. Tìm tọa độ hai đỉnh A và B. ĐS: A(-1;0) ; B(1;4).
Bài 2 : Cho tam giác ABC có đỉnh C(2;3) , trung tuyến đi qua A là d
1
: x-y-1=0, trung tuyến đi
qua B là d
2
: x+2y-6=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. ĐS: A(2;1) ; B(4;1).
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
Bài 3: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3;2), đường phân giác AM là d
1
: x+y-1=0, đường phân
giác BN là d
2

:2x-y+6=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. ĐS:
5 9
;
4 4
 
−
 ÷
 
A
;
( )
1;4
−
B
.
Bài 4: Cho
∆
ABC có cạnh AC: 3x+2y-12=0 và AB: x+4y-4=0, đường trung trực của BC là
d: x+y-3=0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. ĐS: A(4;0); B(0;1); C(2;3)
Bài 5: Cho tam giác ABC có đỉnh C(3;-2) , đường cao qua A là d
1
: x+y+1=0, đường trung
tuyến qua B là d
2
: 2x-y-6=0. Tìm tọa độ đỉnh A, B. ĐS: B(1;-4); A(1;-2).
Bài 6 : Cho điểm C(3;2) , đường cao đi qua A là d
1
:
1
1

2
3
x t
y t
= +


= +

, đường phân giác trong BN
là d
2
:
2
2
1
4 2
x t
y t
= +


= −

. Tìm tọa độ đỉnh A, B. ĐS:
5 9
;
4 4
A
 

 ÷
 
;B(1;4).
Bài 7: Cho điểm C(3;2) , đường trung tuyến AM là d
1
:
1
1
2
3
x t
y t
= +


= +

, đường phân giác trong
BN có phương trình d
2
:
2
2
1
4 2
x t
y t
= +



= −

. Tìm tọa độ đỉnh A, B. ĐS: B(1;4)
5 9
;
4 4
A
 
 ÷
 
.
Bài 8: Cho
∆
ABC, M(-1;1) là trung điểm cạnh AB, cạnh BC: x+2y-2=0 và AC 2x+6y+3=0
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 9: Cho
∆
ABC cân tại A biết AB : x + y + 1 = 0 và BC : 2x - 3y – 5 = 0. cạnh AC biết đi
qua M(1 ;1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 10: Cho
∆
ABC cân tại A(3;0). Tìm tọa độ B, C biết B và C nằm trên d: 3x + 4y + 1 = 0
và S
ABC
= 18.
*Chú ý khi giải tam giác trong hệ tọa độ Oxy :
+ Nếu bài toán có liên quan đến đường cao cần chú ý đến điểm hình chiếu của đỉnh đã
biết trên đường cao hoặc VTPT của đường cao là VTCP của cạnh.
+ Nếu bài toán có liên quan đến trung tuyến cần lưu ý đến tính chất trung điểm.
+ Nếu bài toán có yếu tố đường phân giác trong cần lưu ý đến điểm đối xứng của điểm

thuộc cạnh này qua đường phân giác đó thuộc cạnh kia và tính chất của chân đường phân giác
+ Nếu bài toán có yếu tố đường trung trực cần lưu ý đến tính đối xứng của hai đỉnh.
ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG Oxy
1. Phương trình đường tròn :
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
 Dạng 1:
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =

đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R
 Dạng 2 :
2 2
x y 2ax 2by c 0
+ − − + =
. điều kiện :
2 2
a b c 0+ − >
đường tròn có tâm I(a;b), bán kính
2 2
R a b c= + −
.
2. Vị trí tương đối của đường thẳng
∆
và đường tròn (C) tâm I bán kính R:

d(I; ) R
∆ > ⇔

∆
không có điểm chung với (C).

d(I; ) R
∆ = ⇔

∆
tiếp xúc với (C), (
∆
là tiếp tuyến của (C))
.

d(I; ) R
∆ < ⇔

∆
cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x
0
;y
0
) có dạng :

0 0 0 0
x x y y a(x x) b(y y) 0
+ − + − + =
.
Đường thẳng
∆
là tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R

d(I; ) R
⇔ ∆ =
4. Vị trí tương đối của hai đường tròn (C
1
) tâm I
1
bán kính R
1
và (C
2
) tâm I
2
bán kính R
2


1 2 1 2
I I R R
= +
thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.

1 2 1 2
I I R R
= −
thì hai đường tròn tiếp xúc trong nhau.

1 2 1 2
1 2 1 2
I I R R
I I R R

> +


< −

thì hai đường tròn không có điểm chung.

1 2 1 2 1 2
R R I I R R
− < < +
thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt AB và
phương trình AB là: (C
1
)-(C
2
).
Bài 1: Các phương trình sau có phải là phương trình đường tròn? Nếu phải hãy xác định tọa
độ tâm và bán kính.
( ) ( )
2 2
1) x 2 y 1 4
− + + =
2 2
6) x y 4x 6y 3 0
+ − − − =
( ) ( )
2 2
2) x 3 y 1 3
+ + − =
2 2

7) x y 3x 2y 29 0+ + − + =
2 2
3) x y 1
+ =
2 2
8) x y 2x 1 0+ − − =
( ) ( )
2 2
4) 2x 3 y 1 3
+ + − =
2 2
9) x 7y 4x 6y 1 0+ − + − =
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
( ) ( )
2 2
5) 2x 3 2y 1 8
+ + − =
2 2
10) 2x 2y 5x 4y 1 0
+ − + + =
Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
1) Có tâm I(1 ;-3) và bán kính R=7.
2) Có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1).
3) Có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5).
4) Có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với d: 2x+y–1=0.
5) Đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2).
6) Có tâm là giao điểm của đường thẳng d
1
: x–3y+1=0 với đường thẳng d
2

: 2x+y-2=0 đồng
thời tiếp xúc với đường thẳng d
3
: 3x+4y-1=0.
7) Đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
8) Có tâm nằm trên đường thẳng d: 4x+3y–2=0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d
1
: x+y+4=0,
d
2
: 7x–y+4=0.
9) Đi qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở trên đường thẳng d : 3x – y + 10 = 0.
Bài 3: Cho đường tròn (T) : x
2
+y
2
–4x+8y–5=0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại A(-1;0).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó // d: 2x–y=0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với a: 4x–3y+1=0.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đi qua B(3;-11).
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T).
f) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết góc giữa tiếp tuyến và trục Ox bằng 45
0
.
Bài 4: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): x
2
+y
2
-2x-2y-2=0.

Tìm tọa độ giao điểm nếu có.
1) d
1
: x + y = 0. 2) d
2
: y + 1 = 0. 3) d
3
: 3x + 4y +5 = 0.
Bài 5: Lập phương trình đường tròn qua A(1;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x-7y+10=0
với đường tròn (C) : x
2
+y
2
–2x+4y–20=0.
Bài 6: Cho (C
m
) : x
2
+ y
2
– 2mx – 4(m – 2)y – m + 6 = 0.
a) Tìm m để (C
m
) là đường tròn.
b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn.
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
(T
1
) : x
2

+ y
2
– 1 = 0. (T
2
) :
( ) ( )
1634
22
=−+−
yx
.
Bài 8: Cho điểm M(2 ;4) và đường tròn (C) : x
2
+ y
2
– 2x - 6y + 6 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là
trung điểm của AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.
Bài 9: Cho đường tròn (C) :
( ) ( )
2531
22
=++−
yx
a) Tìm giao điểm A, B của đường tròn với trục ox.
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
b) Gọi B là điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại B.
c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành một dây cung có độ dài bằng AB.
Bài 10: Cho điểm A(8 ;-1) và đường tròn (C) : x

2
+ y
2
– 6x - 4y + 4 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A.
b) Gọi M, N là các tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN.
Bài 11: Cho hai đường tròn: (C
1
): x
2
+y
2
–2x+4y - 4 = 0, (C
2
): x
2
+y
2
+4x-4y-56=0.
a) Chứng minh (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).
Bài 12: Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + 1 -

2
= 0. Viết phương
trình đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d.
Bài 12: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x - 4y = 0 và điểm A(
11 9
;
2 2
). Viết pt đường thẳng qua
A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng
10
.
Bài 13: Cho đường thẳng (d): x - y + 1 = 0 và (C): x
2
+ y
2
+ 2x - 4y = 0 (1). Tìm điểm M
thuộc (d) sao cho qua M vẽ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho
·
0
60AMB
=
.
C:Bài tập vận dụng :
1. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R =
7

b) (C) có tâm I(0;2) và đi qua điểm A(3; 1).
c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1).
d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
.0:
=−∆
yx
e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3).
f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 với trục Ox đồng thời tiếp xúc
với đường thẳngd
/
: 2x + 3y + 7 = 0.
2. Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
= 4.
a)
01:
1
=−∆
x
b)
02:
2
=−∆
x
c)
012:
3
=−+∆ yx

.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T): x
2
+y
2
= 4 trong mỗi trường hợp sau:
HS:..Lp:11A GV: Hong Th Hng Hnh
a) Bit tip im A(0; 2).
b) Bit tt song song
0173:
=+
yx
c) Bit tt vuụng gúc
022:
/
=+ yx
d) Bit tt i qua M(2; 2).
e) Bit tt to vi trc Ox mt gúc
0
45
f) Tỡm m ng thng d : x +my 1 = 0 Tip xỳc ng trũn (T).
4. Cho ng trũn (T) : x
2
+ y
2
4x + 8y 5 = 0. Vit pttt ca (T) bit tip tuyn ú :
a) Tip xỳc vi ng trũn ti A(-1 ; 0).
b) Vuụng gúc vi ng thng d: x + 2y = 0.
c) Song song vi ng thng d
/

: 3x - 4y 9 = 0.
d) i qua B(3; -11).
e) Tỡm m ng thng
0)1(:
=++
mymx
cú im chung vi (T).
Đ ờng Tròn
Dạng 1 : Lập phơng trình đờng tròn
Bài 1. Lập phng trình ng tròn
( )C
bit rng :
a.Tip xúc vi trc tung và ti gc
O
và có
2R
=
.
b.Tip xúc vi
Ox
ti
(6;0)A
và qua
(9;3)B
.
Bài2: Cho ng tròn
( )C
i qua im
( 1;2) , ( 2;3)A B

và có tâm trên ng thng
:3 10 0x y
+ =
.Vit phng trình ca
( )C
.
Bài 3. Lp phng trình ng tròn
( )C
i qua hai im
(1;2) , (3;4)A B
và tip xúc vi
:3 3 0x y
+ =
.
Bài 4 Lp phng trình ng tròn
( )C
tip xúc vi các trc to và i qua i m
(4;2)M
.
Bài 5. Vit phng trình ng tròn ngoi tip
ABC
bit :
(1;3) , (5;6) , (7;0)A B C
Bài 6: Vit phng trình ng tròn
( )C
tip xúc vi các trc to và có tâm thuc ng thẳng
:3 5 8 0x y
=
.
Bài 7. Vit phng trình ng tròn

( )C
tip xúc vi trc hoành ti im
(6;0)A
và i qua im
(9;9).B
HS:..Lp:11A GV: Hong Th Hng Hnh
Bài 8. Vit pt ng tròn
( )C
i qua hai iểm
( 1;0) , (1;2)A B

và tip xúc vi ng thng
: 1 0x y
=
.
Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ABC có A(0;2) B(-2;-2) và
C(4; -2). Gọi H là chân đờng cao kẻ từ B; M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết
phơng trình đờng tròn đi qua các điểm H, M, N
Dng 2: Cỏc bi toỏn v v trớ tng i gia cỏc ng thng, cỏc ng trũn
Bài 4 : Lp pt tip tuyn chung của (C
1
): x
2
+ y
2
- 4x - 2y + 4 = 0 ( C
2
): x
2
+ y

2
+ 4x + 2y - 4 = 0
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): (x - 1)
2
+ (y + 2)
2
= 9 và đờng thẳng
d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến
PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho PAB đều
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho đờng thẳng d: x - 7y + 10 = 0. Viết phơng trình
đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đờng thẳng d tại điểm A(4; 2).
Bài 7 cho d: x - y + 1 = 0 và (C): x
2
+ y
2
+ 2x - 4y = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng d mà
qua đó ta kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB bằng 60
0
.
. PHNG TRèNH CA ELIP.
Câu 1.Cho elip
( )
2 2
:16 25 100E x y
+ =
.
1) Tỡm to cỏc nh, tiờu im, tớnh tõm sai ca (E).
2) Tỡm to ca im
( )
M E

, bit
2
M
x =
. Tớnh khong cỏch t M n hai tiờu im
cuae (E).
3) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca b ng thng
y x b
= +
cú im chung vi (E).
Câu 2.Cho elip
( )
2 2
: 4 9 36E x y
+ =
.
1) Tỡm to cỏc nh, tiờu im, tớnh tõm sai ca (E).
2) Cho
( )
1;1M
, lp PT ng thng qua M v ct (E) ti hai im A, B :
MA MB
=
.
Câu 3.Trong h to Oxy cho hai im
( ) ( ) ( )
1 2
4;0 , 4;0 0;3 và F F A

.
1) Vit PT chớnh tc ca elip (E) i qua A v nhn
1 2
;F F
lm cỏc tiờu im.
2) Tỡm ta im
( )
M E

sao cho
2 1
2MF MF
=
.
Câu 4.Vit PT chớnh tc cuae elip (E), bit:
1) Trc ln thuc Ox, di trc ln bng 8; trc nh thuc Oy cú di bng 6.
2) Trc ln thuc Oy cú di bng 10, tiờu c bng 6.
3) Hai tiờu im thuc Ox; trc ln cú di bng 26, tõm sai
12
13
e
=
.
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
4) (E) đi qua các điểm
( ) ( )
4;0 , 0;3M N
.
5) Hai tiêu điểm:
( ) ( )

1 2
1;0 , 5;0F F
−
; tâm sai
3
5
e =
.
6) (E) có tâm
( )
1;1I
, tiêu điểm
( )
1
1;3F
, trục nhỏ có độ dài bằng 6.
C©u 5.Tìm tâm sai của elip (E) ,biết:
1) Các đỉnh trên trục nhỏ nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
2) Độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ.
3) Khoảng cách giữa hai đỉnh, một đỉnh trên trục lớn và đỉnh kia thuộc trục nhỏ bằng tiêu
cự của (E).
C©u 6.Chứng tỏ rằng PT:
2 2
0 . 0, . 0 víi Ax By F A B A F
+ + = > <
1) Là PT của một elip có tâm
( )
0;0O
nếu
A B

≠
. Tìm toạ độ các tiêu điểm của elip.
2) Là PT của một đờng tròn tâm
( )
0;0O
nếu
A B
=
.
C©u 7.Chứng tỏ rằng PT:
2 2
0 0 víi ax by cx dy e ab
+ + + + = >
1) Là PT của một elip nếu
2 2
0
4 4
c d
a e
a c
 
+ − >
 ÷
 
. Tìm toạ độ các tiêu điểm của elip.
2) Là một điểm nếu
2 2
0
4 4
c d

e
a c
+ − =
.
C©u 8.Cho elip
( )
2 2
: 4 9 36E x y
+ =
.
1) Viết (E) dưới dạng chính tắc, từ đó xác định toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm
sai của (E).
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng
( )
: 2 0d x y m
− − =
tiếp xúc với (E).
3) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (E) tại hai điểm A,B:
1AB
=
.
C©u 9.Cho elip
( )
2 2
:9 4 36E x y
+ =
.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E).
2) Cho
( )

1;1M
, lập PT đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B :
MA MB
=
.
C©u 10. Lập PT chính tắc cuae elip (E) , biết:
1) (E) đi qua các điểm
( ) ( )
3 3;2 , 3;2 3M N
.
2) Hai tiêu điểm
( ) ( )
1 2
2;0 , 2;0F F
−
và
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh
a) trục lớn có độ dài bằng 4.
b) (E) đi qua gốc toạ độ.
. TIẾP TUYẾN CỦA ELIP.
C©u 11. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng
( )
: 0d Ax By C
+ + =

( )
2 2
0A B
+ >
tiếp xúc

với elip
( )
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
+ =
là :
2 2 2 2 2
C A a B b
= +
.
C©u 12. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng
( )
:d y kx m
= +
tiếp xúc với elip
( )
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
+ =
là :
2 2 2 2
m k a b

= +
.
C©u 13. Viết PT tiếp tuyến của elip
( )
2 2
: 1
16 9
x y
E
+ =
, biết:
1) Tiếp tuyến đi qua điểm
( )
4;0A
.
2) Tiếp tuyến đi qua điểm
( )
2;4B
.
3) Tiếp tuyến song song với đường thẳng
( )
: 2 6 0x y
∆ − + =
.
4) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
( )
: 0x y
∆ − =
.
C©u 14. Viết PT tiếp tuyến của elip

( )
2 2
: 1
9 4
x y
E
+ =
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
( )
: 2 0x y
∆ − =
một góc
0
45
α
=
.
C©u 15. Viết PT tiếp tuyến chung của hai elip sau:

( ) ( )
2 2 2 2
1 2
: 1, : 1
9 4 4 9
x y x y
E E
+ = + =
.
C©u 16. Viết PT các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip
2 2

1
3 6
x y
+ =
.
C©u 17. Cho elip
( )
2 2
: 1
9 4
x y
E
+ =
. Viết PT tiếp tuyến với (E) đi qua điểm
( )
3;2A
. Tìm toạ độ
của tiếp điểm ?
C©u 18.
1) Viết PT của elip
( )
E
có tiêu cự bằng 8, tâm sai
4
5
e
=
và các tiêu điểm nằm trên Ox,
đối xứng nhau qua trục Oy.
HS:……….………………….Lớp:11A… GV: Hoàng Thị Hồng Hạnh

2) Viết PT các tiếp tuyến của (E) đi qua điểm
( )
15
0;
4
A
.
3) Tính diện tích hình phẳng chắn bởi (E) và hai tiếp tuyến nói trên.
C©u 19. Cho elip
( )
2 2
: 1
9 5
x y
E
+ =
. Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp elip (E) nếu mỗi
cạnh của hình chữ nhật đều tiếp xúc với (E). Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp (E),
hãy xác định:
1) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.
2) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.
C©u 20. Viết PT các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip
( )
2 2
: 1
24 12
x y
E
+ =
.

QUỸ TÍCH ĐỐI VỚI ELIP.
C©u 21. (ĐH Huế_96) Cho elip
( )
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
+ =
. Gọi
1 2
A A
là trục lớn của (E). Kẻ các tiếp tuyến
1 1 2 2
,At A t
của (E). Một tiếp tuyến qua điểm
( )
M E
∈
, cắt
1 1 2 2
At A t vµ
theo thứ tự tại
1 2
T T vµ
.
1) CMR: Tích số
1 1 2 2
.AT A T

không phụ thuộc vào vị trí điểm M .
C©u 22. Cho họ elip
( ) ( )
2
2
: 2 0 1
x
E y x m
m
= − < <
.
1) Đưa (E) về dạng chính tắc, xác định toạ độ của tâm, các tiêu điểm
1 2
,F F
và các đỉnh
1 2
,A A
thuộc trục lớn của (E).
2) Tìm quỹ tích các đỉnh
1 2
,A A
khi m thay đổi.
3) Tìm quỹ tích các tiêu điểm
1 2
,F F
khi m thay đổi.