Nhóm và biểu diễn pptx

J.L. Alperin with Rowen B.Bell
NHÓM VÀ BI ỂU DIỄN
Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường
Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà
Springger

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Nhắc lại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Cấu trúc cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Nhóm con parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Cấu trúc địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1. Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. p-nhóm hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. Định lí Schur-Zhassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Cấu trúc chuẩn tắc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10. Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11. Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5. Đại số nửa đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12. Môđun và biể u diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13. Lý thuyết Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6. Biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14. Đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
15. Bảng đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16. Cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 MỤC LỤC
Chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1 Các kiến thức cơ bản về l ý thuyết nhóm
Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm
và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1
chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả s ử rằng người đọc đã quen thuộc từ
một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong
chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan
trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có
thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập
đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản
và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau.
1. Nhắc lại
Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán
hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau:
• Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ G.
• Tồn tại duy nhất phần tử 1 ∈ G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x
và 1x = x với mọi x ∈ G.
• Với mọi x ∈ G có duy nhất một phần tử x
−1
∈ G, gọi là phần tử nghịch đảo
của x, với tính chất xx
−1
= 1 và x
−1
x = 1.
Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu

hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Tr ật tự các phần tử trong một tích là
rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất
thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x
và y gi ao hoán. Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử
[x, y] = xyx
−1
y
−1
, khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x, y] = 1. (Nhiều tác
giả định nghĩa [x, y] = x
−1
y
−1
xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất
cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử
trong một tích là không qua trọng; tr ái lại, chúng ta nói rằng G là không abel. Phép
toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các
phần tử x và y được viết thành x + y thay vì xy, nghịch đảo của x được kí hiệu bởi
−x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0.
Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n ∈ N chúng ta sử dụng x
n
(tương
6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
ứng, x
−n
) để chỉ tích x · · · x (tương ứng, x
−1
· · · x
−1
) gồm n số hạng. Chúng ta

cũng định nghĩa x
0
= 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng
ta viết nx thay vì x
n
với n ∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường
cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. C húng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồn
tại n ∈ N sao cho x
n
= 1. Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x
là số nguyên dương nhỏ nhất n mà x
n
= 1. Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu
1, x, x
2
, , x
n−1
là các phần tử phân biệt của G và x
n
= 1.
Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái
lại nó là vô hạn. Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là |G|, là
số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng |S| cho bản số của một tập hữu
hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại
các nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn.
Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp
hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn.
Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành một
nhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H. Tương tự vậy, H ⊆ G là
một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

• Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H.
• Nếu x, y ∈ G thì tích xy trong G cũng ∈ H.
• Nếu x ∈ H thì nghịch đảo của nó x
−1
∈ H.
Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó. Tập {1} cũng là một nhóm con của G;
nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1.
Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luôn
luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường
của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng
một nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel. Nếu H là
một nhóm con của G thì chúng ta viết H  G; nếu H được chứa thực sự trong G
thì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự
khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K  H và H  G
thì hiển nhiên K  H.
Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng
H ∩ K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một
nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó.
Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con của
một nhóm hữu hạn.
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 7
Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H  G. Khi đó |H| chia hết
|G|.
Nếu X là một tập con của m ột nhóm G thì chúng ta định nghĩa < X > là giao
của tất cả các nhóm con của G chứa X. Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của
G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X. Chúng ta thấy rằng < X > là
nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X, theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm
con như thế bất kì; do vậy nếu X  G thì < X >= X. Nếu X = {x} thì chúng
ta viết < x > thay vì < X >; tương tự thế, nếu X = {x

1
, , x
n
} thì chúng ta viết
< x
1
, , x
n
> thay cho < X >.
Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó < X > chứa đơn vị
và tất cả các tí ch dạng x
ε
1
1
· · ·x
ε
r
r
, ở đó r ∈ N, x
i
∈ X và ε
i
= ±1 với mọi i.
Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G =< g > với g ∈ G; phần tử g được gọi là
một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp
n thì G =< g > và g, , g
n−1
, g
n
= 1 là các phần tử phân biệt của G. T heo Mệnh

đề 2, < g >= {g
n
|n ∈ Z} và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic
là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối
cộng. Nếu g có cấp n thì < g >= {1, g, , g
n−1
}, và do đó | < g > | = n. Nếu g
không có cấp hữu hạn thì < g > là một nhóm abel vô hạn không xoắn. Hai nhóm
xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính
xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương với
cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép
cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các số
nguyên với phép cộng modulo n.
Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n. Ta có < g > là một
nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G|. Do vậy,
cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu
|G| bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ước
không tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một
phần tử sinh.
Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của
X và Y trong G là XY = {xy|x ∈ X, y ∈ Y } ⊆ G. Chúng ta có thể mở rộng khái
niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G. Chúng ta cũng có thể định nghĩa
nghịch đảo của X ⊆ G bởi X
−1
= {x
−1
|x ∈ X} ⊆ G. Nếu H là một tập con của G
thì H  G nếu và chỉ nếu HH = H và H
−1
= H.

Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một
nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH.
8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Nhận thấy r ằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK
chứa cả H và K; hơn nữa, nếu K  H thì HK = H. (Các tính chất này không thỏa
mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH với
các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một
nhóm abel là một nhóm con.
Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn.
Định lí 4. Cho G =< g > là một nhóm xyclic cấp n. Khi đó:
(i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là < g
n
d
>.
(ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm
con cấp gcd(d, e).
(iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm con
cấp lcm(d, e).
Nếu H  G thì chúng ta viết xH thay vì {x}H, tập xH được gọi là một lớp kề
trái của H trong G. Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H{x}, và chúng ta gọi Hx
là một lớp kề trái của H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề
trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách
sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vì
bất kỳ m ột phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo
trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương
ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xH
thành nghịch đảo của nó (xH
−1
) = Hx
−1

.
Cho H là một nhóm con của G. Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằng
hoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y
−1
x ∈ H.
Do đó, một phần tử x ∈ G nằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH. Với
mọi x ∈ G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH; một sự tương ứng như
vậy biến h ∈ H thành xh. Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệu
bởi |G : H|, là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kề
của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa |G : H| là bản số của nó mà không
làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có
thể định nghĩa lại G như là bản số |G : 1|.) Các lớp kề của H trong G chia G thành
|G : H| tập rời nhau với bản số |H| và do đó |G| = |G : H||H|. (Điều này chứng
minh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange mà
không cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toán
đơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn,
trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn.
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 9
Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H.
Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của các
nhóm xyclic vô hạn. Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho
sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn.
Định lí 5. Cho G =< g > là một nhóm xyclic vô hạn. Khi đó:
1. Với mỗi d ∈ N, có chính xác một nhóm con củ a G chỉ số d, < g
d
>. Hơn nữa,
mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn.
2. Cho d, e ∈ N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số
lcm(d, e).

3. Cho d, e ∈ N. Khi đó tíc h của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số
gcd(d, e).
Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép
phân tích thành nhân tử của các chỉ số".
Định lí 6. Nếu K  H  G thì |G : K| = |G : H||H : K|.
Cho H là một nhóm con của một nhóm G và cho I là một tập chỉ số tương ứng
song ánh với tập các lớp kề của H tr ong G. Một tập con T = {t
i
|i ∈ I} được gọi
là lớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biể u diễn lớp kề (trái) của H trong G)
nếu các tập t
i
H là các lớp kề của H trong G sao cho không có một lớp nào bị lược
bỏ hoặc bị lặp lại.
Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn
tắc của G (hay N là chuẩn tắc trong G) nếu xN = Nx với mọi x ∈ G, hay tương
đương với xN x
−1
⊆ N với mọi x ∈ G. Nếu G là abel thì mọi nhóm con của G đều là
chuẩn tắc. Các nhóm con 1 và G luôn là chuẩn tắc trong G; nếu G chỉ có hai nhóm
con chuẩn tắc này thì ta nói G là đơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố
là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là
đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N  G; nếu N là nhóm con
thức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N  G. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả
không phân biệt điều này và chỉ viết N  G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.)
Nếu N  G và K  H thì chưa chắc K  G, chúng ta không đưa ra một phản ví
dụ lúc này. Tuy nhiên, rõ ràng nếu K  G và K  H  G thì K  G.
Mệnh đề 7. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Nếu K  G thì
HK  G và H ∩K  H; hơn nữa, nếu H  G thì HK  G và H ∩K  G.
10 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM

Mệnh đề 8. Mọi nhóm con chỉ chỉ số 2 đều là chuẩn tắc.
Chứng minh. Cho H  G và giả sử rằng |G : H| = 2. Khi đó có hai lớp kề trái của
H trong G; một lớp là H và do vậy lớp kia phải là G − H. Tương tự, H và G − H
là hai lớp kề phải của của H trong G. Từ đó, x ∈ H khi và chỉ khi xH = H = Hx
và x /∈ H khi và chỉ khi xH = G −H = Hx. Vậy H  G.
Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm
cũ theo cách sau:
Định lí 9. Nếu N  G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép toán
xác định bởi (xN)(yN) = (xy)N.
Nếu N  G thì chúng ta gọi G/N với phép toán trên là nhóm thương của G bởi
N. Khi đó phân tử đơn vị của G/N là N và phần tử nghịch đảo của xN ∈ G/N là
x
−1
N. Nếu G là abel thì G/N cũng là abel.
Cho x và g là các phần tử của một nhóm G. Khi đó liên hợp của x bởi g được
định nghĩa là phần tử gxg
−1
của G. (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của x bởi
g là g
−1
xg. Các kí hiệu
g
x và x
g
đôi khi được sử dụng thay cho gxg
−1
và g
−1
xg.)
Hai phần tử phần x và y của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g ∈ G

sao cho y = gxg
−1
. Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp. Một
nhóm con N của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của
N bởi một phần tử của G đều nằm trong N.
Cho X là một tập. Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X. Tập
các hoán vị của X, kí hiệu

X
, tạo thành một nhóm với phép hợp thành của các
ánh xạ. Nếu X = {1, , n} với n ∈ N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc
n và được kí hiệu là

n
. (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là S
n
hoặc S
n
.) Nhóm

X
là hữu hạn và có cấp n! = n(n − 1) ···2 · 1.
Một phần tử ρ của

n
được gọi là một xích có độ dài r (hay r-xích) nếu
có các số nguyên phân biệt 1 ≤ a
1
, , a
r

≤ n sao cho ρ(a
i
) = (a
i+1
) với mọi
1 ≤ i < r, ρ(a
r
) = a
1
và ρ(b) = b với mọi 1 ≤ b ≤ n mà b khác các a
i
. Xích ρ xác
định như trên còn được viết là ρ = (a
1
···a
r
). Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể được
viết theo r cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4), (2 4 1) và (4 2 1) đều là kí hiệu của
cùng một 3-xích trong

4
. Xích ρ xác định như trên cũng được gọi là di chuyển
mỗi a
i
và cố định mọi số khác. Hai xích được gọi là rời nhau nếu không có số nào
bị di chuyển bởi cả hai xích đó. Tích của hai xích (a
1
···a
r
) và (b

1
···b
s
) được viết
là (a
1
···a
r
)(b
1
···b
s
); nếu a
i
= b
j
thì tích này biến b
j−1
thành a
i+1
. (Chúng ta tính
từ "phải sang trái" trong cách viết này vì chúng ta luôn coi các xích như các hàm
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 11
trên tập {1, , n}, và do đó tích của hai xích tương ứng với tích của hai ánh xạ, mà
đối với tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái. Trong nhiều giáo trình về
lí thuyết nhóm tích hai xích được tính từ trái sang phải.)
Mọi phần tử của

n

có thể viết như tích của các xích rời nhau; sự phân tích như
vậy được gọi là sự phân tích thành các xích rời nhau của các hoán vị. Hai sự phân
tích thành các xích rời nhau bất kì của cùng một hoán vị luôn có cùng các xích, tuy
nhiên thứ tự của chúng có thể khác nhau. Do đó chúng ta có thể đặt tương ứng một
tập số các số nguyên dương có tổng bằng n với mỗi phần tử của

n
theo cách các
số hạng trong tổng bằng n là chiều dài của các xích xuất hiện trong sự phân tích
thành các xích rời nhau của ρ và được gọi là cấu trúc xích của ρ. Chẳng hạn cấu
trúc xích của một r-xích trong

n
là (r, 1, , 1), có n − r số 1; cấu trúc xích của
(1 2 4)(3 5) trong

6
là (3, 2, 1). Chúng ta thường bỏ qua các 1-xích khi viết một
hoán vị thành tích các xích rời nhau. Chúng ta cũng thường sử dụng 1 để kí hiệu
cho phần tử đơn vị của

n
, sự phân tích thành các xích rời nhau của nó chỉ bao
gồm các 1-xích.
Mệnh đề 10. Cho n ∈ N. Khi đó hai phần tử của

n
liên hợp với nhau nếu và
chỉ nếu chúng có cùng cấu trúc xích.
Xem chứng minh [24, trang 46-7].

Một chuyển vị trong

n
là một 2-xích. Mọi phần tử của

n
đều có thể thành
tích của các chuyển vị (không nhất thiết rời nhau) theo nhiều cách khác nhau. Tuy
nhiên, ta có thể chứng minh được rằng hai sự phân tích như vậy của cùng một hoán
vị phải có cùng số chuyển vị theo modulo 2. (Xem [24, trang 8-9].) Do vậy chúng
ta có thể nói một hoán vị là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó có thể được viết thành
tích của một số chẵn (tương ứng, lẻ) các chuyển vị, một hoán vị có thể chẵn hoặc lẻ
nhưng không thể vừa chẵn vừa lẻ. Chẳng hạn, vì một r-xích có thể viết thành tích
của r − 1 chuyển vị nên một xích là một hoán vị chẵn nếu và chỉ nếu độ dài của
nó là lẻ. Tập con của

n
bao gồm tất cả các hoán vị chẵn là một nhóm con chỉ số
2, và do đó nó là chuẩn tắc trong

n
, theo Mệnh đề 8; nó được gọi là nhóm thay
phiên bậc n và kí hiệu là A
n
.
Xét H = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊆ A
4
. Ta có thể chỉ ra rằng H  A
4
.

(Thực ra, H là chuẩn tắc trong

4
. Nhóm H này, theo lịch sử tìm ra nó, có tên
là bốn-nhóm Klein.) Cho K = {1, (1 2)(3 4)}. Khi đó K là nhóm con của H với
|H : K| = |H|/|K| = 4/2 = 2 và do đó K  H theo Mệnh đề 8. Tuy nhiên, bằng
cách lấy liên hợp (1 2)(3 4) bởi hoán vị chẵn (1 2 3) ta thấy rằng K không chuẩn
tắc trong A
4
. Đây là phản ví dụ cho khẳng định ở trang 8.
12 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Cho G và H là các nhóm. Một đồng cấu là một ánh xạ ϕ : G → H với tính
chất ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi x, y ∈ G; nghĩa là, một đồng cấu là một ánh xạ giữa
các nhóm mà nó bảo tồn các cấu trúc nhóm tương ứng. Nếu ϕ là một đồng cấu thì
ϕ(1) = 1 và ϕ(x
−1
) = ϕ(x)
−1
với mọi x. Đồng cấu tầm thường từ G vào H là ánh
xạ biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của H. Nếu đồng cấu ϕ là đơn
ánh thì chúng ta gọi ϕ là đơn cấu, nếu ϕ là toàn ánh thì chúng ta gọi ϕ là toàn
cấu và chúng ta nói ϕ là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh. (Nhắc lại rằng, một ánh xạ
f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f (x

) thì suy ra x = x

, gọi là toàn ánh
nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X để f(x) = y; và gọi là song ánh nếu nó vừa là
đơn ánh, vừa là toàn ánh.) Nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ
−1

: H → G cũng vậy. Một
đồng cấu ϕ : G → G được gọi là một tự đồng cấu của G; một tự đồng cấu song ánh
được gọi là tự đẳng cấu.
Nếu G và H là các nhóm và có một đẳng cấu ϕ : G → H thì chúng ta nói rằng
G và H là đẳng cấu, hay G đẳng cấu với Hvà viết là G
∼
=
H. Đẳng cấu là một quan
hệ tương đương giữa các nhóm; tức là, nó phản xạ (G
∼
=
G), đối xứng (G
∼
=
H suy
ra H
∼
=
G) và bắc cầu (G
∼
=
H và H
∼
=
K suy ra G
∼
=
K.) Do đó, chúng ta có thể
nói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này. Các nhóm đẳng cấu
được coi là hoàn toàn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm là

đúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhóm
nào đẳng cấu với nhóm đó. Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất nhất
định là "đơn nhất" thì chúng ta thường hàm ý rằng nó là "đơn nhất đến đẳng cấu",
theo đó chúng ta hàm ý rằng hai nhóm có các tính chất xác định đó là đẳng cấu.
Bây giờ, chúng ta xét một vài ví dụ cơ bản.
• Cho G =< g > và H =< h > là hai nhóm xyclic cấp n. Chúng ta định nghĩa
một ánh xạ ϕ : G → H bằng cách đặt ϕ(g
a
) = h
a
với mọi 0 ≤ a < n. Ánh xạ
này là một đẳng cấu. Do vậy, bất kì hai nhóm xyclic hữu hạn nào có cùng cấp
đều đẳng cấu. Đặc biệt, mọi nhóm xyclic cấp n đều đẳng cấu với Z/nZ và có
duy nhất một nhóm cấp p với mọi số nguyên tố p. Chúng ta sử dụng Z
n
để kí
hiệu một nhóm xyclic cấp n và phép toán được viết theo lối nhân. Tương tự,
chúng ta có thể chỉ ra rằng hai nhóm xyclic vô hạn là đẳng cấu; chúng ta sử
dụng Z để kí hiệu một nhóm xyclic vô hạn và phép toán cũng được viết theo
lối nhân.
• Cho G là một nhóm, H  G và g ∈ G. Liên hợp của H bởi g là tập gHg
−1
=
{ghg
−1
|h ∈ H} chứa tất cả các liên hợp của các phần tử của H bởi g. Dễ thấy,
gHg
−1
 G. Chúng ta nói rằng K  G là một liên hợp của H trong G, hay K
và H là liên hợp trong G nếu K = gHg

−1
với g nào đó thuộc G. Cho H  G
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 13
và g ∈ G, chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : H → gHg
−1
bởi ϕ(h) = ghg
−1
với
h ∈ H. Dễ thấy ϕ là một đẳng cấu, do đó các nhóm con liên hợp với nhau đều
đẳng cấu. Tuy nhiên, hai nhóm con đẳng cấu của m ột nhóm G chưa chắc liên
hợp với nhau. Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳng
cấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên không thể
liên hợp với nhau.
• Cho X = {x
1
, , x
n
} và

X
là nhóm các hoán vị của X. Chúng ta định nghĩa
ánh xạ ϕ :

n
→

X
bởi ϕ(ρ)(x
i

) = x
ρ(i)
với ρ ∈

n
và 1 ≤ i ≤ n. Dễ thấy
ánh xạ ϕ là một đẳng cấu.
• Cho G là một nhóm và N  G. Có một ánh xạ từ G đến nhóm thương G/N,
đó là phép chiếu η : G → G/N xác định bởi η(x) = xN với x ∈ G. Chúng ta
dễ thấy rằng ánh xạ này là toàn cấu. Chúng ta gọi η là ánh xạ tự nhiên từ G
đến G/N.
Nếu ϕ : G → H là một đồng cấu thì chúng ta định nghĩa hạt nhân của ϕ là tập con
ker ϕ = {g ∈ G|ϕ(g) = 1} của G và ảnh của ϕ và tập con I m ϕ = {ϕ(g)|g ∈ G} của
H. Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K) để
chỉ tập {ϕ(g) = g ∈ K} với K  G. Ví dụ, nếu N  G và η : G → G/N là ánh xạ
tự nhiên thì chúng ta có ker η = N và η(K) = KN/N với mọi K  G. (Dễ thấy
η(K) = K/N nếu K chứa N .)
Mệnh đề 11. Cho G và H là các nhóm và ϕ : G → H là một đồng cấu. Khi đó
ker ϕ  G và ϕ(K)  H với mọi K  G.
Định lí sau là nền tảng của lí thuyết nhóm.
Định lý cơ bản về đồng cấu. Nếu G và H là các nhóm và ϕ : G → H là đồng cấu
thì có một một đẳng cấu ψ : G/K → ϕ(G) sao cho ϕ = ψ ◦ η, trong đó K = ker ϕ
và η : G → G/K là ánh xạ tự nhiên; hơn nữa, ánh xạ ψ xác định duy nhất.
(Nhiều tác giả gọi kết quả này là "định lí đẳng cấu thứ nhất"; các tác giả này cũng
đặt số thứ tự cho các định lí đẳng cấu dưới đây.)
Chứng minh. Nếu xK = yK, với x, y ∈ G, thì y
−1
x ∈ K; điều này kéo theo 1 =
ϕ(y
−1

x) = ϕ(y)
−1
ϕ(x) và do đó ϕ(y) = ϕ(x). Từ đó có thể định nghĩa ánh xạ
ψ : G/K → ϕ(G) bằng cách đặt ψ(xK) = ϕ(x) với xK ∈ G/K. Chúng tôi để bạn
đọ c kiểm tra lại rằng ψ có các tính chất như trong định lí.
14 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Theo kết quả của định lí cơ bản, chúng ta thấy rằng bất kì đồng cấu ϕ : G → H
đều có thể coi như tích của một toàn cấu (từ G lên ϕ(G)) và đơn cấu (từ ϕ(G) đến
H.)
Ba kết quả cuối cùng của phần này cũng rất quan trọng.
Định lý đẳng cấu thứ nhất. Cho G là một nhóm. Nếu N  G và H  G thì
HN/N
∼
=
H/H ∩ N.
(Chú ý rằng HN  G và H ∩ N  H, theo Mệnh đề 7, do N  G.)
Chứng minh. Áp dụng định lí cơ bản cho ϕ là hạn chế xuống H của ánh xạ tự nhiên
η : G → G/N.
Chứng minh kết quả tiếp theo thì tương đối đơn giản nhưng hơi nhàm chán một
chút.
Định lý tương ứng. Cho G, H là các nhóm và ϕ : G → H là toàn cấu có hạt nhân
N. Khi đó có một tương ứng song ánh sinh ra bởi ϕ giữa tập các nhóm con của G
chứa N và tập các nhóm con của H. Nếu K là một nhóm con của G chứa N thì phép
tương ứng này biến K thành ϕ(K); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm con
của G là tạo ảnh của L đối với phép tương ứng này là ϕ
−1
(L) = {x ∈ G|ϕ(x) ∈ L}.
Hơn nữa, nếu K
1
và K

2
là các nhóm con của G chứa N thì:
• K
2
 K
1
nếu và chỉ nếu ϕ(K
2
)  ϕ(K
1
), khi đó |K
1
: K
2
| = |ϕ(K
1
) : ϕ(K
2
)|.
• K
2
 K
1
nếu và chỉ nếu ϕ(K
1
)  ϕ(K
2
), khi đó ánh xạ từ K
1
/K

2
đến
ϕ(K
1
)/ϕ(K
2
) bi ến xK
2
thành ϕ(x)ϕ(K
2
) là một đẳng cấu.
Như một trường hợp đặc biệt của định lí tương ứng, chúng ta có kết quả s au:
Nếu G là một nhóm và N  G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với
K là m ột nhóm con của G chứa N. (Ở đây chúng ta coi ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G
vào G/N .)
Định lý đẳng cấu thứ hai. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một
nhóm G. Nếu H chứa K thì G/H
∼
=
(G/K)/(H/K).
Chứng minh. Áp dụng định lí tương ứng cho ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/K.
BÀI TẬP
1. Hãy chứng minh, hoặc hoàn thành các phác họa chứng minh, cho mỗi kết quả
trong phần này.
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 15
2. Chúng ta nói một nhóm G có số mũ e nếu e là số nguyên dương nhỏ nhất sao
cho x
e
= 1 với mọi x ∈ G. Chứng minh rằng nếu G có số mũ 2 thì G là abel.

Với các số nguyên e nào thì một nhóm có số mũ e là abel.
3. Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử rằng ánh xạ ϕ : G → G xác định bởi
ϕ(x) = x
3
, với x ∈ G, là một đồng cấu. Chứng minh rằng, nếu 3 không chia
hết |G| thì G phải là nhóm abel. (Xem kết quả tổng quát ở [2].)
4. Cho g là một phần tử của một nhóm G và giả sử rằng |G| = mn với m và n
nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có duy nhất các phần tử x và y thuộc
G sao cho xy = g = yx và x
m
= 1 = y
n
. (Trong trường hợp m là lũy thừa của
một số nguyên tố p, chúng ta gọi x là p-phần của g và y là p

-phần của g; tổng
quát hơn, nếu π là tập các số nguyên tố chia hết m và không chia hết n thì x
và y tương ứng được gọi là π-phần và π

-phần của g.)
5. Cho r, s và t là các số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng có một nhóm
G có các phần tử x và y sao cho x có cấp r, y có cấp s và xy có cấp t.
6. Cho X và Y là các tập con của một nhóm G. Các nhóm < X > ∩ < Y > và
< X ∩ Y > có nhất thiết bằng nhau không? Các nhóm << X > ∪ < Y >>
và < X ∪ Y > có nhất thiết bằng nhau không?
7. Cho G là một nhóm hữu hạn và H  G. Chứng minh rằng có một tập con T
của G mà vừa là lớp ngang trái, vừa là lớp ngang phải của H.
8. Giả sử C là họ các tập con của một nhóm G tạo thành sự phân hoạch của G
và giả sử rằng gC ∈ C với mọi g ∈ G và C ∈ C. (Nhắc lại, một sự phân hoạch
của tập S là một tập hợp S các tập con của S sao cho mọi phần tử của S nằm

trong đúng một phần tử của S.) Chứng minh rằng C là tập các lớp kề của một
nhóm con nào đó của G.
9. Giả sử C là một họ các tập con của một nhóm G mà tạo thành một s ự phân
hoạch của G và giả sử rằng XY ∈ C với mọi X, Y ∈ C. Chứng minh rằng có
đúng một trong số các tập hợp thuộc C là một nhóm con của G và nhóm con
này là chuẩn tắc trong G, đồng thời C bao gồm các lớp kề của nó.
10. Chứng minh kết quả tổng quát hóa của Mệnh đề 8: Nếu G là một nhóm hữu
hạn và H  G sao cho |G : H| bằng ước nguyên dương nhỏ nhất của |G| thì
H  G.
BÀI TẬP MỞ RỘNG
16 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Nếu K  H  G thì H/K được gọi là một thành phần của G. Chúng ta nói rằng
hai thành phần H
1
/K
1
và H
2
/K
2
là liên thuộc nếu mọi lớp kề của K
1
trong H
1
có
giao khác rỗng với chính xác một lớp kề của K
2
trong H
2
và ngược lại. (Nói cách

khác, hai thành phần là liên thuộc nếu quan hệ giao khác rỗng cho ta một tương
ứng song ánh giữa các phần tử của chúng.)
11. Hãy chỉ ra rằng các thành phần liên thuộc là đẳng cấu.
12. (tiếp) Giả sử rằng N  G và H  G. Hãy chứng minh rằng HN/N và H/H ∩N
là liên thuộc. (Bài tập 11 và 12 đưa ra một chứng minh thay thế của định lí
đẳng cấu thứ nhất.)
Nếu L/M là một thành phần của G và H  G thì hình chiếu của H lên L/M là
một tập con của L/M bao gồm các lớp kề của M trong L mà chứa các phần tử của
H.
13. (tiếp) Hãy chứng minh hình chiếu của H trên L/M là nhóm con (L ∩H)M/M
của L/M.
Cho H
1
/K
1
và H
2
/K
2
là các thành phần của một nhóm G.
14. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của K
2
trên H
1
/K
1
là nhóm con chuẩn tắc
của hình chiếu của H
2
trên H

1
/K
1
. Nhóm thương thu được bằng cách đó gọi
là hình chiếu của H
2
/K
2
trên H
1
/K
1
.
15. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của H
1
/K
1
trên H
2
/K
2
và hình chiếu của
H
2
/K
2
trên H
1
/K
1

là liên thuộc. Hãy suy ra kết quả sau:
Định lý đẳng cấu thứ ba. Cho H
1
, H
2
, K
1
 H
1
và K
2
 H
2
. Khi đó
(H
1
∩ H
2
)K
1
/(H
1
∩K
2
)K
1
∼
=
(H
1

∩ H
2
)K
2
/(K
1
∩ H
2
)K
2
.
(Kết quả này còn được gọi là định lí đẳng cấu thứ tư hay bổ đề Zassenhaus
(đặt tên theo người đa tìm ra nó khi mà ông còn là một sinh viên 21 tuổi),
hay còn có một tên khác nữa là bổ đề con bướm. Tên sau cùng này ám chỉ
hình dạng của biểu đồ biểu diễn mối quan hệ bao hàm giữa nhiều nhóm con
được bao hàm trong phát biểu của kết quả này, m ột biểu đồ như vậy xuất hiện
trong [22, trang 62].)
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 17
2. Tự đẳng cấu
Tập các tự đẳng cấu của một nhóm G được kí hiệu là Aut(G). Nếu ϕ và ρ là
các tự đồng của G thì tích của chúng ϕ ◦ ρ cũng là một tự đẳng cấu của G và do
đó tích của các ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên Aut(G). Phép toán này cho
ta một cấu trúc nhóm trên Aut(G); phần tử đơn vị là tự đẳng cấu tầm thường biến
mỗi phần tử thành chính nó, và nghịch đảo của một tự đẳng cấu ϕ là nghịch ánh
xạ ngược ϕ
−1
của nó. Chúng ta gọi Aut(G) với phép toán này là nhóm tự đẳng cấu
của G và có thể viết ϕρ thay cho ϕ ◦ ρ với ϕ, ρ ∈ Aut(G).
Mọi phần tử g của một nhóm G xác định một đồng cấu liên hợp ϕ

g
: G → G bởi
ϕ
g
(x) = gxg
−1
. (Rõ ràng ta có ϕ
g
(xy) = ϕ
g
(x)ϕ
g
(y) và ϕ
g
(x
−1
) = ϕ
g
(x)
−1
.) Những
ánh xạ như vậy thực ra là một tự đẳng cấu của G, bởi vì với x là một phần tử cho
trướ c của G ta có x = ϕ
g
(g
−1
xg), và nếu ϕ
g
(x)ϕ
g

(y) thì ta có x = y bằng cách giản
ướ c. Các ánh xạ này được gọi là tự đẳng cấu trong của G. Chúng ta có ϕ
g
ϕ
h
= ϕ
gh
với mọi g, h ∈ G, vì g(hxh
−1
)g
−1
= (gh)x(gh)
−1
với mọi x ∈ G; do đó, có một đồng
cấu từ G vào Aut(G) biến g ∈ G thành ϕ
g
. Ảnh của đồng cấu này được gọi là nhóm
tự đẳng cấu trong của G và được kí hiệu là Inn(G), đồng thời hạt nhân của nó được
gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G). Chú ý rằng
Z(G) = {g ∈ G|ϕ
g
(x) = x với mọi x ∈ G}
= {g ∈ G|gx = xg với mọi x ∈ G},
và do đó Z(G) bao gồm các phần tử của G mà nó giao hoán được với mọi phần tử
của G. Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu Z(G) = G.
Nếu σ ∈ Aut(G) và ϕ
g
∈ Inn(G) thì dễ dàng kiểm tra được rằng σϕ
g
σ

−1
= ϕ
σ(g)
.
Điều này chứng tỏ Inn(G)  Aut(G); nhóm thương Au t(G)/ Inn(G) được gọi là
nhóm tự đẳng cấu ngoài của G và được kí hiệu là O ut(G). Tuy nhiên, thuật ngữ
"tự đẳng cấu ngoài" thường không dùng để chỉ các phần tử của Out(G) mà thường
được dùng để chỉ các tự đẳng cấu của G nhưng không phải là tự đẳng cấu trong và
do đó chúng có ảnh không tầm thường trong Out(G) dưới ánh xạ tự nhiên. Khi đó,
nếu G là abel thì tất cả các tự đẳng cấu không tầm thường của G đều là tự đẳng
cấu ngoài, vì trong trường hợp này chúng ta có Inn(G) = 1.
Cho trướ c một nhóm G, chúng ta luôn muốn xác định cấu trúc của nhóm tự
đẳng cấu của nó. Đây thường là một bài toán khó. Bây giờ, chúng ta xét một vài
tính chất của các nhóm tự đẳng cấu của các nhóm xyclic.
Cho G =< x >
∼
=
Z và cho ϕ là một tự đẳng cấu trong của G. Khi đó ϕ(x) phải
là phần tử sinh của G; nhưng các phần tử sinh của G chỉ có thể là x và x
−1
. Do đó
ϕ cố định mỗi phần tử hoặc biến mỗi phần tử thành nghịch đảo của nó, và do đó
18 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
chúng ta có Aut(G)
∼
=
Z
2
.
Bây giờ, cho n ∈ N và G =< x >

∼
=
Z
n
. Giả sử rằng ϕ là một tự đồng cấu của
G. Khi đó, ϕ(x) = x
m
với m nào đó, 0 ≤ m < n; và do đó ϕ biến mọi phần tử của
G thành lũy thừa m của nó. Từ đó ta thấy rằng G có chính xác n tự đồng cấu, đó
là các ánh xạ lũy thừa m, kí hiệu là σ
m
, với 0 ≤ m < n.
Mệnh đề 1. Cho G =< x >
∼
=
Z
n
với n ∈ N và với mỗi số 0 ≤ m < n gọi σ
m
là tự
đồng cấu của G biến x thành x
m
. Khi đó Aut(G) bao gồm các tự đồng cấu σ
m
với
m = 0 và gcd(m, n) = 1. Hơn nữa, Aut(G) là abel và đẳng cấu với nhóm (Z/nZ)
×
của các phần tử đơn vị của vành Z/nZ.
Chứng minh. Ánh xạ σ
0

có ảnh tầm thường và do đó nó không phải là một tự đẳng
cấu. Bây giờ, giả sử 1 ≤ m < n, ta xét σ
m
. Nếu gcd(m, n) = 1 thì tồn tại các số
nguyên a, b sao cho am + bn = 1, từ đó σ
m
(x
a
) = x
am
= x
1−bn
= x(x
n
)
−b
= x, điều
này chứng tỏ σ
m
là toàn ánh. Vì G là hữu hạn nên một toàn ánh từ G vào G cũng
là đơn ánh; do đó σ
m
∈ Aut(G). Ngược lại, nếu σ
m
∈ Aut(G) thì x = σ
m
(x
a
) = x
am

với a ∈ Z; suy ra x
am−1
= 1, từ đó ta phải có am −1 = bn với b ∈ Z, điều này chứng
minh gcd(m, n) = 1. Như vậy, khẳng định thứ nhất đã được chứng minh.
Giả sử 1 ≤ m
1
, m
2
< n. Khi đó σ
m
1
σ
m
2
= σ
t
= σ
m
2
σ
m
1
, với 1 ≤ t < n sao
cho m
1
m
2
≡ t (mod n); do đó Aut(G) là abel. Vì (Z/nZ)
×
= {m + nZ|1 ≤ m <

n, gcd(m, n) = 1} nên dễ thấy rằng ánh xạ biến σ
m
thành m + nZ là một đẳng cấu
từ Aut(G) vào (Z/nZ)
×
.
Chúng ta định nghĩa giá trị hàm Ơle của n ∈ N là số các số nguyên dương vừa
nhỏ hơn n vừa nguyên tố cùng nhau với n. (Giá trị này còn được gọi là giá trị tại
n của hàm-phi Ơle.) Nếu chúng ta viết n = p
a
1
1
···p
a
r
r
, ở đó p
i
là các số nguyên tố
phân biệt, thì giá trị hàm Ơle của n là (p
a
1
1
− p
a
1
−1
1
) ···(p
a

r
r
− p
a
r
−1
r
). Theo Mệnh
đề 1, cấp của Aut(Z
n
) là giá trị hàm Ơle của n. Đặc biệt, |Aut(Z
p
)| = p − 1 với p
là số nguyên tố.
Mệnh đề 2. Cho p là số nguyên tố. Khi đó Aut(Z
p
)
∼
=
Z
p−1
.
Chứng minh. Cho F là trường có p phần tử. T heo Mệnh đề 1, Aut(Z
p
) đẳng cấu
với nhóm nhân F
×
các phần tử khác không của F . Với mỗi ước d của p − 1, gọi f
d
là số phần tử cấp d trong F

×
và z
d
là số phần tử cấp d trong Z
p−1
.
Giả sử d là một ước của p −1. Nếu x ∈ F
×
là một phần tử có cấp chia hết d thì
x phải là nghiệm phương trình X
d
− 1 ∈ F [X] và phương trình này có nhiều nhất
d nghiệm. Ngược lại, nếu x có cấp d thì các lũy thừa của x là các phần tử của F
×
mà nghiệm đúng phương trình X
d
− 1, và do đó mọi phần tử của của F
×
có cấp d
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 19
phải chứa trong < x >
∼
=
Z
d
. Vậy hoặc f
d
= 0 hoặc f
d

bằng số các phần tử cấp d
trong Z
d
.
Theo Định lí 4, nếu d là một ước tùy ý của p − 1 thì tất cả các phần tử cấp d
của Z
p−1
được chứa trong một nhóm con xyclic đơn cấp d; do đó z
d
bằng số phần
tử cấp d của Z
d
. Từ lập luận ở trên chỉ suy ra f
d
≤ z
d
với mọi d|(p − 1). Nhưng ta
có

d|(p−1)
f
d
= |F
×
| = p − 1 = |Z
p−1
| =

d|(p−1)
z

d
,
điều này kéo theo f
d
= z
d
với mọi d|(p − 1). Đặc biệt, f
d−1
= z
d−1
> 0 và do đó
F
×
∼
=
Z
p−1
.
Cho G =< x >
∼
=
Z
n
với n ∈ N và xét tự đẳng cấu lũy thừa m (σ
m
) của G,
trong đó 1 ≤ m ≤ n và gcd(m, n) = 1. Bằng lập luận quy nạp ta chứng minh được
(σ
m
)

k
(x) = x
m
k
với mọi k ∈ N; do đó cấp của σ
m
là số nguyên dương k nhỏ nhất
mà x
m
k
= x, hay là số k ∈ N nhỏ nhất sao cho m
k
≡ 1 (mod n). Nếu cấp của σ
m
bằng giá trị hàm Ơ le của n thì chúng ta nói rằng m là căn nguyên thủy modulo n.
(Thuật ngữ này xuất phát từ lí thuyết số cổ điển.) Rõ ràng, Aut(Z
n
) là xyclic nếu
và chỉ nếu tồn tại một căn nguyên thủy modulo n.
Với hợp số n, việc xác định cấu trúc của nhóm Aut(Z
n
) thuộc về lĩnh vực lí
thuyết số hơn là lí thuyết nhóm. K ết quả sau đây, mà chúng ta sẽ không chứng
minh, cho biết dạng của n mà làm cho nhóm Aut(Z
n
) là xyclic.
Định lí 3. Aut(Z
n
) là xyclic nếu và chỉ nếu n = 2 hoặc 4, hoặc n = p
k

hay 2p
k
với
p là số nguyên tố lẻ và k ∈ N.
Một kết quả tương đương về sự tồn tại và không tồn tại của căn nguyên thủy modulo
n được chứng minh trong [9, Phần 8.3].
Cho ϕ là một tự đẳng cấu của một nhóm G và H là một nhóm con của G.
Khi đó ϕ làm H đẳng cấu với một nhóm con ϕ(H) của G; chúng ta nói rằng H bị
cố định bởi ϕ nếu ϕ(H) = H. Trong trường hợp đó, hạn chế của ϕ lên H là một
tự đẳng cấu của H. Nếu L là một nhóm con của của Aut(G) thì chúng ta nói rằng
H bị cố định bởi L nếu H bị cố định bởi mọi ϕ ∈ L. Với thuật ngữ này, chúng ta
thấy rằng H là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ nếu H bị cố định bởi Inn(G). Chúng
ta nói rằng H là nhóm con đặc trưng của G (hay H là đặc trưng trong G) nếu H
bị cố định bởi Aut(G). (Một vài tác giả kí hiệu nhóm H này bởi char G.) Ví dụ,
tâm Z(G) luôn luôn là một nhóm con đặc trưng của của G, vì nếu x ∈ Z(G) và
ϕ ∈ Aut(G) thì chúng ta có ϕ(x)y = ϕ(xϕ
−1
(y)) = ϕ(ϕ
−1
(y)x) = yϕ(x) với mọi
20 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
y ∈ G, điều này chứng tỏ ϕ(x) ∈ Z(G). Rõ ràng rằng các nhóm con đặc trưng là
chuẩn tắc nhưng ngược lại thì không chắc đúng. Đặc biệt, một nhóm abel vô hạn
có thể không có một nhóm con đặc trưng khác tầm thường; xem Bài tập 5.
Trong Phần 1, chúng ta đã biết rằng chuẩn tắc không có tính chất bắc cầu giữa
các nhóm con. Tuy nhiên, tính đặc trưng thì lại có tính chất bắc cầu.
Bổ đề 4. Nếu K là một nhóm con đặc trưng của H và H là một nhóm con đặc
trưng của G thì K là một nhóm con đặc trưng của G.
Chứng minh. Nếu ϕ ∈ Au t(G) thì hạn chế của ϕ xuống H là một phần tử của
Aut(H) vì H là đặc tr ưng trong G, và do đó hạn chế của ϕ xuống K là một phần

tử của Aut(K) vì K là đặc trưng trong H. Do đó mọi tự đẳng cấu của G đều cố
định K, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lí do mà chuẩn tắc không có tính bắc cầu xuất phát từ thực tế nếu N  G thì
hạn chế xuống N của một phần tử của Inn(G) chắc chắn nằm trong Aut(N) nhưng
không nhất thiết nằm trong Inn(N).
Nhắc lại rằng nếu x và y là các phần tử của một nhóm G thì giao hoán tử
của x và y là [x, y] = xyx
−1
y
−1
. Chúng ta định nghĩa, nhóm con giao hoán tử
của G là nhóm con G

của G sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử trong G; tức
là G

=< {[x, y]|x, y ∈ G} >. Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu G

= 1, đồng
thời nếu H  G thì H

 G

. Một điều quan trọng là nên nhớ là, G

bao gồm
nhiều hơn chứ không chỉ là các giao hoán tử của G. Vì với mọi phần tử x, y ta có
[x, y]
−1
= (xyx

−1
y
−1
)
−1
= yxy
−1
x
−1
= [y, x] nên theo Mệnh đề 2, một phần tử bất
kì của G

là tích của các giao hoán tử của các phần tử của G.
Bổ đề 5. Cho G là một nhóm. Khi đó G

là đặc trưng trong G.
Chứng minh. Cho ϕ ∈ Aut(G). Ta có ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] với mọi x, y ∈ G.
Nếu g ∈ G

thì g là một tích của các giao hoán tử; suy ra ϕ(g) cũng vậy, và do đó
ϕ(g) ∈ G

. Vậy ϕ(G

)  G

; bằng lập luận tương tự ta cũng có ϕ
−1
(G


)  G

và do
đó G

= ϕ(ϕ
−1
(G

))  ϕ(G

). Từ đó ϕ(G

) = G

, bổ đề đượ c chứng minh.
Nhóm con giao hoán tử có tính chất quan trọng sau:
Mệnh đề 6. Cho G là một nhóm và N  G. Khi đó G/N là abel nếu và chỉ nếu
G

 N.
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ G, ta có [xG

, yG

] = [x, y]G

= G

; do vậy nhóm con

giao hoán tử của G/G

là tầm thường, và do đó G/G

là abel. Giả sử N  G. Nếu
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 21
G

 N thì theo định lí đẳng cấu thứ hai (Định lí 1), G/N là đẳng cấu với nhóm
thương của nhóm abel G/G

và do đó nó cũng là abel. Ngược lại, nếu G/N là abel
thì với mọi x, y ∈ G ta có (xN)(yN) = (yN)(xN) và do đó [x, y] ∈ N, điều này
chứng tỏ G

 N.
Chúng ta kết thúc phần này bằng một ứng dụng quan trọng của nhóm tự đẳng
cấu, đó là cấu trúc của các tích nửa trực tiếp, nhưng trước đó chúng ta nhắc lại khái
niệm quen thuộc về các tích nửa trực tiếp.
Cho n ∈ N và G
1
, , G
n
là các nhóm. Ta xét tích Đề các G
1
× ×G
n
và một
phép toán trên tập hợp này xác định bởi (g

1
, , g
n
)(g

1
, , g

n
) = (g
1
g

1
, , g
n
g

n
). Ta
gọi phép toán này là "nhân theo từng thành phần", phép toán này cho tích Đề các
một cấu trúc nhóm; phần tử đơn vị là (1, , 1) và nghịch đảo của phần tử bất kì
(g
1
, , g
n
) là (g
−1
1
, , g

−1
n
). Chúng ta gọi G
1
× ×G
n
với phép toán này là tích trực
tiếp (ngoài) của G
1
, , G
n
. Thứ tự của các thừa số là không quan trọng vì dễ thấy
rằng G
1
× × G
n
∼
=
G
ρ(1)
× × G
ρ(n)
với mọi ρ ∈

n
.
Chúng ta thấy rằng G = G
1
× × G
n

có các tính chất sau:
• Với mỗi i, G có một nhóm con chuẩn tắc H
i
đẳng cấu với G
i
, cụ thể là H
i
=
{(1, , g
i
, , 1)|g
i
∈ G
i
} (trong đó g
i
xuất hiện ở vị trí thứ i). Hơn nữa, G/H
i
là đẳng cấu với tích trực tiếp của các G
j
còn lại.
• Mọi g ∈ G đều có m ột sự phân tích duy nhất g = h
1
···h
n
, với h
i
∈ H
i
; nếu

g = (g
1
, , g
n
) thì h
i
= (1, , g
i
, , 1) với mọi i (trong đó g
i
xuất hiện ở vị trí
thứ i). Từ đó, nếu G
1
, , G
n
là các nhóm hữu hạn thì |G| = |G
1
|···|G
n
|.
Bây giờ, ta giả sử rằng G là một nhóm có các nhóm con H
1
, , H
n
thỏa mãn:
(1) H
i
 G với mọi 1 ≤ i ≤ n.
(2) Mọi g ∈ G đều có sự phân tích duy nhất g = h
1

···h
n
, trong đó h
i
∈ H
i
với
mọi i.
Điều kiện (1) và (2) suy ra các kết quả sau:
(3) G = H
1
···H
n
.
(4) H
i
∩ H
1
···H
i−1
H
i+1
···H
n
= 1 với mọi i.
(5) Nếu i = j thì các phần tử của H
i
giao hoán với mọi phần tử của H
j
.

(6) Nếu g = h
1
···h
n
và g

= h

1
···h

n
, trong đó h
i
, h

i
∈ H
i
với mọi i, thì gg

=
(h
1
h

1
) ···(h
n
h


n
).
22 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Trong trường hợp này, ta thấy rằng tồn tại duy nhất một đẳng cấu từ G đến tích
trực tiếp ngoài H
1
× ×H
n
biến H
i
thành 1 × ×H
i
× ×1. Do đó, chúng ta
gọi G là tích trực tiếp (trong) của các nhóm con H
1
, , H
n
và chúng ta cũng có thể
viết G = H
1
× ×H
n
(mặc dù điều này là lạm dụng kí hiệu một chút). Điều quan
trọng là cần chú ý rằng, nếu (1) xảy ra thì (2) xảy ra khi và chỉ khi cả (3) và (4)
đều phải xảy ra; do đó một nhóm cho trước có là một tích trực tiếp thì nó cần thỏa
mãn hoặc (1) và (2) hoặc (1), (3) và (4). (Chú ý rằng (4) rút gọn thành H
1
∩H
2

= 1
khi n = 2.)
Bây giờ, chúng tôi giới thiệu một vài kết quả liên quan đến các tích trực tiếp.
Bổ đề 7. Cho G là một nhóm có các nhóm con chuẩn tắc H và K sao cho G = HK.
Khi đó G/H ∩ K × K/H ∩ K.
Chứng minh. Trước hết cần chú ý rằng L = H ∩K là chuẩn tắc trong G theo Mệnh
đề 7. Từ định lí T ương ứng (Định lí 1), ta thấy rằng H/L và K/L là các nhóm
con chuẩn tắc của G/L, và rõ r àng (H/L) ∩ (K/L) là tầm thường. Do đó ta chỉ
cần chứng minh G/L = (H/L)(K/L). Giả sử g ∈ G. Khi đó g = hk với h ∈ H và
k ∈ K vì G = HK, và do đó gL = hkL = hLkL ∈ (H/L)(K/L), điều phải chứng
minh.
Bổ đề 8. Cho n ∈ N và ta viết n = p
a
1
1
···p
a
r
r
trong đó p
i
là các số ng uyên tố phân
biệt và a
i
là các số nguyên dương. Khi đó ta có Z
n
∼
=
Z
p

a
1
1
× × Z
r
a
r
.
Chứng minh. Cho P
i
=< x
i
>
∼
=
Z
p
a
i
i
với mỗi 1 ≤ i ≤ r. Dễ thấy rằng cấp của
(x
1
, , x
r
) ∈ P
1
× × P
r
là p

a
1
1
···p
a
r
r
= n và suy ra rằng P
1
× × P
r
∼
=
Z
n
.
Kết quả này có hệ quả trực tiếp sau:
Hệ quả 9. Nếu gcd(a, b) = 1 thì Z
ab
∼
=
Z
a
× Z
b
.
Mệnh đề 10. Giả sử một nhóm hữu hạn G là tích trực ti ếp củ a các nhóm con
H
1
, , H

n
của nó, trong đó các cấp |H
i
| là đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó
nhóm con L củ a G là tích trực tiếp của L ∩ H
1
, , L ∩ H
n
.
Chứng minh. Trước hết, chúng ta xét trường hợp n = 2 từ đó trường hợp tổng quát
dễ dàng được suy ra bằng luật giản ước. Ta viết H = H
1
và K = H
2
, từ đó ta có
G = H × K và gcd(|H|, |K|) = 1. Giả sử L  G. Khi đó, L ∩ H  L, L ∩ K  L và
(L∩H)∩(L∩K) = 1; do đó ta có, trong L, cấu trúc tích trực tiếp (H ∩H)×(L∩K).
Mọi phần tử g của L có thể viết g = hk với h ∈ H và k ∈ K, và để chứng m inh
L = (L ∩ H) × (L ∩ K) ta chỉ cần chỉ ra rằng h, k ∈ L. Vì h và k là các phần tử
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 23
giao hoán được với nhau, do có cấp nguyên tố cùng nhau, nên cấp của hk bằng tích
của các cấp của h và k. Theo Hệ quả 9, < h > × < k >
∼
=
< hk >. Mà chúng ta đã
có < g >=< hk >< h > × < k >, do đó h, k ∈< g > L, đây là điền cần chứng
minh.
Cho G là một nhóm. Giả sử rằng G có một nhóm con H và một nhóm con chuẩn
tắc N sao cho G = NH và N ∩ H = 1. Khi đó chúng ta gọi G tích nửa trực tiếp

(trong) của N bởi H và chúng ta viết là G = N H. (Kí hiệu này là phổ biến nhưng
không phải duy nhất, có một vài kí hiệu khác như N  H và H  N, một vài tác
giả không áp dụng một kí hiệu nào.) Nếu chúng ta có thêm H  G thì G là tích
trực tiếp của N và H. Ví dụ, nếu ta đặt G =

3
, N = A
3
và H =< (1 2) > thì dễ
thấy rằng G = N  H; tuy nhiên, H không là chuẩn tắc trong G nên G không là
tích trực tiếp của N và H.
Bây giờ, chúng ta đưa ra một vài nhận xét về các tích nửa trực tiếp. Giả sử rằng
G = N  H.
• Ta có H = H/(N ∩H)
∼
=
NH/N = G/N theo định lí đẳng cấu thứ nhất (Định
lí 1). Từ đó, nếu G là hữu hạn thì ta có |G| = |N||G : N| = |N||H|.
• Vì G = NH nên với mỗi x ∈ G ta có thể viết x = nh với n ∈ N và h ∈ H. Giả
sử rằng x có hai cách viết khác nhau như thế, chẳng hạn x = n
1
h
1
= n
2
h
2
với
n
1

, n
2
∈ N và h
1
, h
2
∈ H. Khi đó n
−1
2
n
1
= h
2
h
−1
1
∈ N ∩H = 1, do đó n
1
= n
2
và h
1
= h
2
. Vậy mỗi x ∈ G đều có một cách viết duy nhất x = nh trong đó
n ∈ N và h ∈ H.
• Cho x, y ∈ G và x = n
1
h
1

, y = n
2
h
2
như ở trên. Chúng ta biết rằng phần
tử xy của G có thể viết duy nhất thành n

h

với n

∈ N và h

∈ H; chính
xác là, xy = n
1
h
1
n
2
h
−1
1
· h
1
h
2
, trong đó n

= n

1
h
1
n
2
h
−1
1
∈ N (vì N  G) và
h

= h
1
h
2
∈ H.
• Cho h ∈ H. Do N là chuẩn tắc trong G nên phép liên hợp bởi h ánh xạ N vào
N; từ đó, ta có thể định nghĩa một ánh xạ ϕ
h
: N → N bởi ϕ
h
(n) = hnh
−1
với mọi n ∈ N. Dễ dàng chỉ ra rằng ϕ
h
là một tự đẳng cấu của N, và do đó
ϕ
h
◦ϕ
h


= ϕ
hh

với mọi h

∈ H. Do đó, ta có một đồng cấu ϕ : H → Aut(N),
trong đó ϕ(h) = ϕ
h
; chúng ta gọi ϕ là đồng cấu liên hợp của tích nửa trực tiếp
G. Bây giờ, chúng ta có (n
1
h
1
)(n
2
h
2
) = n
1
ϕ(h
1
)(n
2
) ·h
1
h
2
với mọi n
1

, n
2
∈ N
và h
1
, h
2
∈ H, và do đó phép toán của nhóm G có thể được viết theo các phép
toán của N và H và đồng cấu ϕ.
24 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
• Giả sử rằng đồng cấu ϕ : H → Aut(N) xác định ở trên là đồng cấu tầm
thường. Khi đó ta có nhn
−1
= nϕ(h)(n
−1
)h = nn
−1
h = h với mọi n ∈ N và
h ∈ H, và do đó H  G; suy ra G = N ×H. Ngược lại, nếu G = N × H thì
các phần tử của H giao hoán với mọi phần tử của N, và do đó đồng cấu ϕ
phải là tầm thường.
• Nếu đồng cấu liên hợp ϕ : H → Aut(N) là không tầm thường thì nhóm G phải
là không abel, từ đó tồn tại h ∈ H và n ∈ N sao cho hnh
−1
= ϕ(h)(n) = n,
trong trường hợp này h và n không giao hoán.
Các nhận xét này gợi ý rằng, nếu G là một tích nửa trực tiếp trong của N bởi H
thì cấu trúc của G được mô tả bởi cấu trúc của N và H cùng với sự tương tác giữa
N và H bên trong G và sự tương tác ấy được xác định bởi đồng cấu liên hợp từ H
vào Aut(N ). Do vậy, nếu chúng ta muốn phát triển một khái niệm về tích nửa trực

tiếp ngoài thì phải thận trọng khi lấy hai điểm xuất phát của chúng ta là hai nhóm
N và H cùng với một đồng cấu cho trước ϕ : H → Aut(N) và do đó hãy mô tả cấu
trúc của một nhóm mà nó như là tích nửa trực tiếp trong N  H và có ϕ như là
đồng cấu liên hợp của nó.
Với ý tưởng này, bây giờ ta giả sử N và H là các nhóm, ϕ là đồng cấu cho
trướ c từ H vào Aut(N). Chúng ta xác định một phép toán hai ngôi trên N × H
bởi (n
1
, h
1
)(n
2
, h
2
) = (n
1
ϕ(h
1
)(n
2
), h
1
h
2
). Định nghĩa này cho N ×H một cấu trúc
nhóm; phần tử đơn vị là (1, 1) và nghịch đảo của n, h là (ϕ(h
−1
)(n
−1
), h

−1
). Chúng
ta gọi nhóm này là tích nửa trự c tiếp (ngoài) của N bởi H ứng với ϕ và kí hiệu là
G = 
ϕ
H. (Nhắc lại, kí hiệu này là phổ biến nhưng không phải là duy nhất; có m ột
vài kí hiệu phổ biến khác như N 
ϕ
H và H ×
ϕ
N.) Cấu trúc của nhóm này trên
tập N ×H nói chung là khác so với cấu trúc của nhóm tích tr ực tiếp; trong tích trực
tiếp, các phần tử của 1 × H giao hoán với mọi phần tử của N × 1 điều này không
còn đúng trong trường hợp tích nửa trực tiếp ngoài nếu ϕ không tầm thường.
Nhóm G = N 
ϕ
H có các nhóm con N = N ×1 và H = 1 ×H tương ứng đẳng
cấu với N và H. Với (x, 1) ∈ N và (n, h) ∈ G, ta có
(n, h)(x, 1)(n, h)
−1
= (nϕ(h)(x), h)(ϕ(h
−1
)(n
−1
), h
−1
)
= (nϕ(h)(x)ϕ(h)(ϕ(h
−1
)(n

−1
)), hh
−1
)
= (nϕ(h)(x)n
−1
, 1) ∈ N,
và do đó N  G. Vì (n, h) = (nϕ(1)(1), h) = (n, 1)(1, h) với mọi (n, h) ∈ G nên
G = NH; hơn nữa, N ∩ H chỉ bao gồm phần tử đơn vị của G nên G là tích
nửa trực tiếp trong của N bởi H. Mặt khác, từ (n, 1) ∈ N và (1, h) ∈ H ta có
(1, h)(n, 1)(1, h)
−1
= (ϕ(h)(n), 1), do đó đồng cấu liên hợp từ H vào Aut(N) của
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 25
G = N  H tương ứng, sau khi đồng nhất N với N và H với H theo một cách tự
nhiên, với đồng cấu gốc ϕ : H → Aut(N).
Chúng ta kết luận rằng từ các nhóm N và H và một đồng cấu ϕ : H → Aut(N)
chúng ta có thể xây dựng một cấu trúc nhóm mới sao cho N 
ϕ
H như là tích nửa trực
tiếp trong của một nhóm con đẳng cấu với N bởi một nhóm con đẳng cấu với H. Bằng
cách đồng nhất N với N và H với H, chúng ta có thể viết N 
ϕ
H = {nh|n ∈ N, h ∈
H}, trong đó phép nhân được xác định bởi (n
1
, h
1
)(n

2
, h
2
) = n
1
ϕ(h
1
)(n
2
) · h
1
h
2
.
Đặc biệt, hnh
−1
= ϕ(h)(n). Chú ý rằng, nhóm này là không abel khi mà ϕ không
phải là đồng cấu tầm thường.
Nếu ϕ và ψ là hai đồng cấu phân biệt từ H vào Aut(N) thì nhóm N 
ϕ
H và
N 
ψ
H không nhất thiết đẳng cấu với nhau. Tuy nhiên, chúng ta có thể có đượ c
một vài kết quả theo hướng này và rất hữu ích trong phần sau.
Mệnh đề 11. Cho H là một nhóm xyclic và N là một nhóm bất kì. Nếu ϕ và ψ là
các đơn cấu từ H vào Aut(N ) sao cho ϕ(H) = ψ(H) thì ta có N 
ϕ
H
∼

=
N 
ψ
H.
Chứng minh. Giả sử H =< x >. Khi đó, từ giả thiết ϕ(H) = ψ(H) ta có ϕ(x) và
ψ(x) sinh ra cùng một một nhóm con xyclic của Aut(N). Do đó, tồn tại a, b ∈ Z sao
cho ϕ(x)
a
= ψ(x) và ψ(x)
b
= ϕ(x). Vì H là xyclic nên ϕ(h
a
) = ψ(h) và ψ(h
b
) = ϕ(h)
với mọi h ∈ H. Bây giờ, chúng ta định nghĩa τ : N 
ψ
H → N 
ϕ
H bởi τ(nh) = nh
a
.
Khi đó
τ(n
1
h
1
n
2
h

2
) = τ(n
1
ψ(h
1
)(n
2
)h
1
h
2
)
= n
1
τ(h
1
)(n
2
)(h
1
h
2
)
a
= n
1
ϕ(h
a
1
)(n

2
)h
a
1
h
a
2
= n
1
h
a
1
n
2
h
a
2
= τ(n
1
h
1
)τ(n
2
h
2
),
điều này chứng tỏ τ là một đồng cấu. Tương tự, chúng ta có thể chứng minh
ánh xạ λ : N 
ϕ
H → N 

ψ
H xác định bởi λ(nh) = nh
a
cũng là một đồng
cấu. Để hoàn thành chứng minh này, ta chỉ cần chỉ ra rằng các ánh xạ τ và λ
là nghịch đảo của nhau. Ánh xạ τ ◦ λ biến nh ∈ N 
ϕ
H thành nh
ab
. Nhưng
ϕ(x) = ψ(x)
b
= (ϕ(x)
a
)
b
= ϕ(x
ab
) và ϕ là đơn ánh; do đó x
ab
= x và h
ab
= h với
mọi h ∈ H. Vậy τ ◦ λ là ánh xạ đồng nhất trên N 
ϕ
H, tương tự λ ◦ τ là ánh xạ
đồng nhất trên N 
ψ
H, điều phải chứng minh.
Mệnh đề 12. Cho N và H là các nhóm, ψ : H → Aut(N) là một đồng cấu, và

f ∈ Aut(N). Nếu
ˆ
f là tự đẳng cấu trong của Aut(N) cảm sinh bởi f thì N 
ˆ
f◦ψ
H
∼
=
N 
ψ
H.