Chuyên đề A. LÝ THUYẾT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN potx

www.VNMATH.com
Chun đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
r u u
r r
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc với nhau với ba vectơ đơn vị i , j , k
r

(i=

r

u
r

)

j = k =1 .

u
u
r

u
r

u
r

u
u
r

u
u
r

u uu
uu
r

u
r

u
u
r

u
u
r

B. a ( a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1i + a2 j + a3 k ; M(x;y;z)⇔ OM = xi + y j + zk
r
r
C. Tọa độ của vectơ: cho u ( x; y; z ), v( x '; y '; z ')
r r
1. u = v ⇔ x = x '; y = y '; z = z '
r

z

r

2. u ± v = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ')
r
3. ku = (kx; ky; kz )

r
k ( 0;0;1)

ur
r

4. u.v = xx '+ yy '+ zz '
r r
5. u ⊥ v ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = 0

r
j ( 0;1;0 )

r

6. u = x 2 + y 2 + z 2
O

r r  y z z x x y 
;
;

÷ = yz '− y ' z; zx '− z ' x; xy '− x ' y )
7. u ∧ v = 
 y' z' z' x' x' y' ÷ (


u r
r
r r r
8. u, v cùng phương⇔ [u, v ] = 0
ur
r
r r
u.v
9. cos u , v = r r .

( )

y

x

r
i ( 1;0; 0 )

u.v

D. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
uu
ur
1. AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )

2. AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
x + xB + xC
y + yB + yC
z + z B + zC
xG= A
;yG= A
; zG= A
3
3
3
x A − kxB
y A − ky B
z A − kz B
; yM =
; zM =
;
4. M chia AB theo tỉ số k: xM =
1− k
1− k
1− k
x + xB
y + yB
z + zB
; yM = A
; zM = A
.
Đặc biệt: M là trung điểm của AB: xM = A
2
2

2
ur ur
uu uu r
ur ur
1 uu uu
5. ABC là một tam giác⇔ AB ∧ AC ≠ 0 khi đó S= AB ∧ AC
2
ur ur ur
uu uu uu
ur ur ur
1 uu uu uu
1
AB ∧ AC , AD , VABCD= S BCD .h (h là đường cao
6. ABCD là một tứ diện⇔ AB ∧ AC . AD ≠0, VABCD=
6
3
của tứ diện hạ từ đỉnh A)

phẳngI. Mặt

(

)

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
r
Mặt phẳng α được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), n = ( A; B; C ) }. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng α: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔ Ax+By+Cz+D=0.
 một số mặt phẳng thường gặp:

a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
r
uu uu
ur ur
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có n ( ABC ) = [ AB, AC ]
ur ur
u u
ur ur
u u
ur ur
u u
ur ur
u u
c/ α//β⇒ nα = nβ
d/ α⊥β⇒ nα = uβ và ngược lại e/ α//d⇒ uα = ud
f/ α⊥d⇒ nα = ud .

www.VNMATH.com

1


III. Góc- Kh/C

Đường congIV.

II. Đường thẳng

www.VNMATH.com
ur

u

Đường thẳng ∆ được xác định bởi: {M(x0;y0;z0), u∆ =(a;b;c)}
 x = x0 + at

i.Phương trình tham số:  y = y0 + bt ;
 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
ii.Phương trình chính tắc:
a
b
c
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 
trong đó
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
u
u
r
ur
u
ur urur
u u u
n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) là hai VTPT và VTCP u∆ = [n1 n2 ] .

x = 0

y = 0
x = 0
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: 
; Oy: 
; Oz: 
z = 0
y = 0
z = 0
ur ur
u
u
ur ur
u
u
r
uu
ur
b/ (AB): u AB = AB ;
c/ ∆1//∆2⇒ u∆ 1 = u∆ 2 ;
d/ ∆1⊥∆2⇒ u∆ 1 = n∆ 2 .
Góc giữa hai đường thẳng
u ur
r u
u.u '
u
r
*cos(∆,∆’)=cosϕ= r u ;
u .u'

Góc giữa hai mp

u ur
r u
n.n '
u
r
*cos(α,α’)=cosϕ= r u ;
n . n'

Góc giữa đường thẳng và mp
ur
r
n.u
*sin(∆,α)=sinψ= r r .
n.u

KHOẢNG CÁCH
r
Cho M (xM;yM;zM), α:Ax+By+Cz+D=0,∆:{M0(x0;y0;z0), u ∆ },
u
u
r
∆’ {M’0(x0';y0';z0'), u '∆ }
AxM + ByM + CZ M + D
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng α: d(M,α)=
A2 + B 2 + C 2
uuu r
u ur
[ MM 1 , u ]
r
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: d(M,∆)=

u
r u u u u ur
u uuuu
r
[u , u '].M 0 M '0
u u
u u
r r
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)=
[u , u ']

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S){I(a;b;c),bán kính R}
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)
Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= a 2 + b2 + c 2 − d
1. d(I, α)>R: α ∩ (S)=∅
2. d(I, α)=R: α ∩ (S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng α tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, α)=R (mặt phẳng α là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M
ur u u
u ur
khi đó nα = IM )
3. Nếu d(I, α)và bán kính r của (C) ta làm như sau:
2
2
a.
Tìm r = R - d ( I , α )
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, vng góc với α

+H=∆ ∩ α (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình ∆ với α)

www.VNMATH.com

2


www.VNMATH.com
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
x+2 y−2 z
=
=
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
vặt phẳng (P):x+2y−3z+4=0. Viết
1
1
−1
phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vng góc với đường thẳng ∆.

 x = −3 + t

5 1

ĐS: Chuẩn D  ; ; −1÷, Nâng cao d  y = 1 − 2t
2 2


z = 1 − t

2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.

www.VNMATH.com

3


www.VNMATH.com

ĐS: a. x2+y2+z2−3x−3y−3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)

x −1 y + 2 z
=
= .
−1
1
2
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) và đường thẳng ∆ :

www.VNMATH.com

4


www.VNMATH.com

x y−2 z−2
=
=
, b. M(−1;0;4).
2
−1
1
4. (Khối D_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
x−2 y +2 z −3
x −1 y −1 z +1
d1 :
=
=
=
=
, d1 :
.
2
−1
1
−1
2
1

a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1.
b. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vng góc với d1 và cắt d2.
ĐS: a. d :

ĐS:
a. A’(−1;−4;1), b. ∆ :
5. (Khối D_2005)

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
1
−3
−5

 x = 12 − 3t

x −1 y + 2 z +1
t.
=
=
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :
và d 2 :  y =
3
−1
2
 z = 10 − 2t

a. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và

d2.
b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O
là gốc tọa độ).

www.VNMATH.com

5


www.VNMATH.com

ĐS: a. 15x+11y−17z−10=0, b. S∆OAB = 5 .
6. (Khối D_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z−2=0. Viết
phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

ĐS: ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 1 .
7. (Khối D_2003)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng dk là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x+3ky−z+2=0,
(β): kx−y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng dk Vng góc với mặt phẳng (P):x−y−2z+5=0.
2

2

www.VNMATH.com

6


www.VNMATH.com

ĐS: k=1.
8. (Khối D_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x−y+2=0 và đường thẳng dm là giao tuyến của hai
mặt phẳng (α): (2m+1)x+(1−m)y+m−1=0, (β): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt
phẳng (P).
1
ĐS: m = − .
2

www.VNMATH.com

7


www.VNMATH.com

9. (Khối B_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;1) và D(0;3;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−5=0 và hai điểm A(−3;0;1), B(1;−1;3). Trong
các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến
đường thẳng đó là nhỏ nhất.

www.VNMATH.com

8

www.VNMATH.com

ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z−5=0, Nâng cao ∆ :

x + 3 y z −1
= =
.
26
11 −2

10. (Khối B_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z−3=0 sao cho MA=MB=MC.

www.VNMATH.com

9


www.VNMATH.com

ĐS:
a. x+2y−4z+6=0, b. M(2;3;−7).
11. (Khối B_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0 và mặt phẳng (P): 2x−y+2z−14=0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường trịn có bán kính bằng 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất.

ĐS: a. y−2z=0, b. M(−1;−1;−3).
12. (Khối B_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng

www.VNMATH.com

10


www.VNMATH.com
x = 1 + t

x y −1 z +1
d1 : =
=
, d 2 :  y = −1 − 2t .
2
1
−1
z = 2 + t

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng.

ĐS: a. (P): x+3y+5z−13=0, b. M(0;1;−1), N(0;1;1).
13. (Khối B_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;−3;0), B(4;0;0), C(0;3;0),
B(4;0;4).
a. Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB1C1).
b. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với

BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.

MN =

17
2

ĐS:
14. (Khối B_2004)

www.VNMATH.com

11


www.VNMATH.com
 x = −3 + 2t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(−4;−2;4) và đường thẳng d :  y = 1 − t . Viết phương trình
 z = −1 + 4t

đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vng góc với đường thẳng d.

∆:

x+4 y+2 z−4
=
=
3
2

−1

ĐS:
15. (Khối B_2003)
uu
ur
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho AC = ( 0; 6; 0 ) . Tính
khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

ĐS: Khoảng cách bằng 5
16. (Khối A_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x−2y−z−4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z2−2x−4y−6z−11=0.
Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường trịn đó.
Nâng cao
x +1 y z + 9
= =
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2y+2z−1=0 và hai đường thẳng ∆1 :
,
1
1
6
x −1 y − 3 z +1
∆2 :
=
=
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường
2
1
−2

thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
 18 53 3 
ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M1(0;1;−3), M 2  ; ; ÷ .
 35 35 35 

www.VNMATH.com

12


www.VNMATH.com

17. (Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d :

x −1 y z − 2
= =
.
2
1
2

a. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (α) lớn nhất.

ĐS: a. H(3;1;4), (α): x−4y+z−3=0.
18. (Khối A_2007)
 x = −1 + 2t

x y −1 z + 2

=
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : =
và d 2 :  y = 1 + t .
2
−1
1
z = 3

a. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x+y−4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1,
d2.

www.VNMATH.com

13


www.VNMATH.com

d:

x − 2 y z +1
= =
7
1
−4

ĐS:
19. (Khối A_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0),

A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN.
1
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos α =
6

www.VNMATH.com

14


www.VNMATH.com

ĐS: a. d ( A ' C , MN ) =

1
2 2

, (Q1): 2x−y+z−1=0, (Q2): x−2y−z+1=0.

20. (Khối A_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:

x −1 y + 3 z − 3
=
=
và mặt phẳng (P): 2x+y−2z+9=0.
−1
2
1

a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vng góc với d.
ĐS: a. I1(−3;5;7), I2(3;−7;1)

www.VNMATH.com

15


www.VNMATH.com

21. (Khối A_2004)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ
O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S 0; 0; 2 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.

(

)

a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

www.VNMATH.com

16


www.VNMATH.com

ĐS: a. d ( SA, BM ) =

2 6
, b. VS . AMN = 2 .
3

22. (Khối A_2002)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
x = 1 + t

x y+2 z
∆1 : =
= và ∆ 2 :  y = 2 + t
2
3
4
 z = 1 + 2t

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng ∆2.
b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ
nhất.

www.VNMATH.com

17


www.VNMATH.com

ĐS: a. 2x−z=0, b. H(2;3;4)
23. (CĐ_Khối A_2009)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2y−z+1−0. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vng góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2).

ĐS: (P): 4x−5y+2z−1−0
24. (CĐ_Khối A_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vng góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.

www.VNMATH.com

x y z −1
=
=
.
1 −1
2

18


www.VNMATH.com

ĐS: a. x−y+2z−6=0
 5 5 7
b. M 1 ( 1; −1;3) , M 2  − ; ; − ÷
 3 3 3

www.VNMATH.com

19