Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian

Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
GIẢI PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
Vấn đề phương pháp tọa độ trong không gian dành cho học sinh trung bình yếu
I) THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC HHGT TRONG KHÔNG GIAN:
- Đối với Giáo viên: Dạy học còn chủ quan, chưa thống nhất nội dung giảng dạy, chưa có
điều kiện học hỏi trao đổi chuyên môn, còn lúng túng trong đổi mới phương pháp dạy học, ...
- Đối với học sinh: Đa số mất căn bản, khó lấy lại căn bản hơn bộ môn khác, không biết
phương pháp học, ham chơi, chưa xác định được động cơ học tập....
- Đối với gia đình học sinh: ít quan tâm việc học của con em mình lo làm kinh tế, thường
giao phó việc học tập của con em cho nhà trường...
- Chương trình sách giáo khoa: Còn nặng về lý thuyết mang tính hàn lâm. chưa có sự
thống nhất hài hòa giữa 2 bộ sách cũng như quan điểm trình bày...
- Cơ sở vật chất chưa đáp ứng trong việc đổi mới phương pháp dạy học, như chưa có
phòng học bộ môn, việc sử dụng công nghệ thông tin vào dạy học còn hạn chế...
II) MỘT SỐ GIẢI PHÁP:
Giáo viên cần chuẩn bị tốt yêu cầu sau:
- Thường xuyên tự học hỏi trao đổi chuyên môn.
- Nghiên cứu thật kỹ chuẩn kiến thức để dạy kiến thức chuẩn cho học sinh.
- Cần nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT những năm gần đây, trong đó hình học giải
tích trong không gian chiếm 1/5 số điểm (2 điểm). Câu hỏi trong đề thi cho theo chuẩn kiến
thức (kiến thức cơ bản)
- Nội dung. Chú ý có 3 phần chính:
- Giáo viên lớp 12 dạy thật kỹ phần này, sao cho mỗi học sinh đều làm được, nhắc lại
nhiều lần và cho bài tập tương tự củng cố sau từng nội dung dạy.
+ Cụ thể: phải đảm bảo các kiến thức chuẩn trọng tâm và rèn luyện kỹ năng giải
được các các dạng toán sau:
1) Hệ trục tọa độ trong không gian
- Tính dược tọa độ các phép toán của 2 vectơ: tổng, hiệu, tính 1 số với 1 véctơ, tính vô
hướng 2 vec tơ
- Khoảng cách 2 điểm
- Xác định tâm, bán kính mặt cầu cho trước

1
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
- viết được phương trình mặt cầu
2) Phương trình mặt phẳng
- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. (Tính có hướng 2 vectơ)
- Biết cách viết phương trình mặt phẳng. (xác định 2 yếu tố)
- Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
3) Phương trình đường thẳng
- Biết cách viết phương trình tham số của đường thẳng
- Từ các phương trình của 2 đường thẳng, biết cách xác định vị trí tương đối của 2
đường thẳng đó
* Chú ý:
- Đây là bài tập cơ bản giáo viên dạy thật kỹ, mỗi phần phải làm ví dụ mẫu và cho ví dụ
tương tự, học sinh giải bài tập tại lớp về nhà làm lại.
- Hướng dẫn học sinh biết tóm tắt trọng tâm bài. yêu cầu cần đạt
- Soạn tiết dạy có bài tập cùng loại (tương tự) về nhà làm lại (giáo viên kiểm tra bái làm
tiết dạy sau)
- Sau khi giải xong một dạng toán giáo viên cho bài tập tự luyện có hướng dẫn giúp học
sinh hiểu và vận dụng làm được bài tập ở nhà
- Trong khi giải bài tập giáo viên khuyến khích cho học sinh giải nhanh cho điểm khuyến
khích, kích thích sự học tập của học sinh qua dạy các bài tập toán tương tự.
- Động viên, khuyến khích học sinh lên bảng, xung phong giải bài tập, khen học sinh có
tiến bộ, có cố gắng, .... Tuyệt đối không dùng từ ngữ chê bai các em, mà bình tĩnh, kiên nhẫn
động viên học sinh yếu..
- Sau mổi bài, hết phần (Chương) có tóm tắt trọng tâm phương pháp giải và có hệ thống
bài tập tự rèn luyện (tham khảo SGK và SBT).
III/ CÁC VẤN ĐỀ CỤ THỂ ĐỀ XUẤT DÀNH CHO HỌC SINH CHUẨN:
§ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Tọa độ điểm và vec tơ :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3
a a i a j a k
= + +
r r r r
2
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
2. Bi ểu thức tọa độ các phép toán vec tơ
Trong không gian Oxyz Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r

ta có:
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
± = ± ± ±
r r

1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
=
r

1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r

a
r
và

b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

r r
 Cho A(x
A
;y
A
;z
A
), B(x
B
;y
B
;z

B
) thì
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur
 là trung điểm AB thì M






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
3. Tích vô hướng và ứng dụng
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3

( ; ; )b b b b
=
r
là:

1 1 2 2 3 3
. . os(a; )a b a b c b a b a b a b
= = + +
r r r r r r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −

1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b

+ +
=
+ + + +
r r
(với
0 , 0a b≠ ≠
r r r r
)
a
r
và
b
r
vuông góc
1 1 2 2 3 3
. . . 0a b a b a b⇔ + + =
4. Phương trình mặt cầu
3
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
 Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình (x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= r
2

 Phương trình : x
2

+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
A
2
+B
2
+C
2
-D > 0
là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính
2 2 2
r A B C D= + + −
.
B. BÀI TẬP:
Bài 1.
Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2a i j
→ → →
= − +
+
K3
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k

→ →
= −
;
Bài 2.
Cho ba vectơ
→
a
= ( 2; -1 ; 0 ),
→
b
= ( -1; -2; 2) ,
→
c
= (-2 ; 1; 0 ).
a. Tìm tọa độ của vectơ :
→
v
= -2
→
a
+ 3
→
b
- 5
→
c
và
→
u
= 3

→
a
- 2
→
c
b. Chứng tỏ
→
a
⊥

→
b
và
→
b
⊥

→
c
Bài 3. Cho 2 vectơ
→
a
= (1; 2; 3) Tìm tọa độ của vectơ
x
→
, biết rằng:
a)
0a x
→ → →
+ =

b)
4a x a
→ → →
+ =

Bài 4.
Cho ba điểm không thẳng hàng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C
− − −

a. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b. Tính chu vi tam giác ABC
c. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d. Tìm tọa độ diểm M sao cho
GMGA 2
−=
Bài 5.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5).
a. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
b. Tìm tọa độ trọng tâm G, G’ lần lượt của tứ diện A.A’BD và C’.CB’D’
c. Chứng tỏ rằng: 3GG’ = AC’
Bài 6:
Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a.
0128
222
=++−++
yxzyx
4
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian

b.
04284
222
=−−++++
zyxzyx
c.
07524
222
=−−++−−−
zyxzyx
d.
03936333
222
=+−+−++
zyxzyx
Bài 7.
Viết phương trình mặt cầu:
a. Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 4.
b. Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c. Hai đầu đường kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d. Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1)
e. Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
5
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
C. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
•
n
r

≠
0
r
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)
⇔

n
r
⊥ (α)
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
* Định nghĩa:
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0
với A
2
+B
2
+C
2
≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
• Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C=
r
• Mặt phẳng (P) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0

) và nhận
( ; ; )n A B C=
r
làm vectơ pháp
tuyến có phương trình dạng: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0.
• Nếu (P) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá
song song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định

n
=
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
 
 

= = − − −
 ÷
 
 
r r
• Các trường hợp riêng của phương trình măt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
 D = 0 khi và chỉ khi (
)
α
đi qua gốc tọa độ.
 A=0 ,B
0
≠
,C
0
≠
, D
0
≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song với trục Ox
 A=0 ,B = 0 ,C
0≠
, D

0≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song mp (Oxy )
 A,B,C,D
0
≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(Các trường hợp còn lại xét tương tự)
6
Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
α
): Ax+By+Cz+D = 0, (
α
’):A’x+B’y+C’z+D’= 0
 (

α
)cắt (
α
’) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
 (
α
) // (
α
’) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
 (
α
) ≡ (
α
’) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặc biệt
 (
α
)
⊥
(
α
’)
1 2
. 0 . ' . ' . ' 0n n A A B B C C⇔ = ⇔ + + =
ur uur
4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ M
0
(x
0

;y
0
;z
0
) đến mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
+ + +
α =
+ +
D. BÀI TẬP
Bài 1.
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n
r
biết
a. Điểm
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b.
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )

M 4; 1; 2 , n 0;1;3− − =
r
d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0− =
r
Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC)
Bài 3.
Lập phương trình mp
( )
α
đi qua điểm M và song song với mp
( )
β
biết:
a.
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxyβ =
b.
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
7