Bai giang giai tich (dai hoc su pham).pdf

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Số phức
1.1 Khái niệm về số phức
Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R
không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm
thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

1.1.1 Định nghĩa số phức:
1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i
2
= - 1 gọi là đơn vị ảo.
2. Biểu thức z = a + bi với a, b ∈ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)
3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.
4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.
5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng
bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.
6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký
hiệu
z
. Khi đó: số phức liên hợp của
z
là z.

1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức
1. Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số

phức.
2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng
Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b)
của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.
Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục
thực.
Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo
Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ
OA
uuur
Trong nhiều trường hợp,
người ta xem vec tơ
OA
uuur
như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.
3. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a +bi và
OA
uuur
là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy.
Khi đó:
Độ dài r = OA
uuur
của vectơ
OA

uuur
được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển
nhiên ta có:
|z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, |z | = 0 ⇔ z = 0
Bây giờ giả sử z ≠ 0, tức là
OA
uuur
≠
0
r
. Góc định hướng giữa tia Ox
và vectơ
OA
uuur
(đo bằng radian) ϕ =
·
( )
,OxOA
uuur
được gọi là
argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất
mà sai khác nhau k2π.
Nếu chỉ giới hạn xét ϕ ∈[0;2π) thì khi đó ϕ được gọi là
argument chính, ký hiệu argz.
Khi z = 0 thì ϕ không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.
Rõ ràng a = rcosϕ ; b = rsinϕ.
Do đó: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ)
Ta có: r =
22

ab+ , ϕ = tg (b/a) , nếu a ≠ 0. a = rcosϕ ; b = rsinϕ
Từ định nghĩa của số phức liên hợp
z
của z và biểu diễn hình học của
z
, ta có:
|
z
| = | z |; arg
z
= - argz.
Ví dụ:
1. r(cosϕ - isinϕ) có phải là dạng lượng giác của số phức z?
2. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác
a. z = -2 + 2i
3
b. z = 1 + i c. z = 1- i
d. z =
cos.sin
77
i
ππ

−+


e. z =
sin.cos
33
i

ππ

+



A(a,b)
b
y
O a x
ϕ
r
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



1.2 Những phép tính cơ bản trên số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là r
1
(cosϕ
1
+
isinϕ
1
) và r
2
(cosϕ
2
+ isinϕ
2

)
1.2.1 Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)
1.2.2 Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)
Nhận xét: z.
z
= a
2
+ b
2
= | z |
2
.
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:
z.w = r
1
.r
2
(cos(ϕ
1
+ϕ
2
) + isin(ϕ
1
+ϕ
2
)) (3)
Nhận xét: | z.w | = | z |. | w |;
| z
n
| = | z |

n
; Arg(z
n
) = n. Argz + k2π
1.2.3 Phép chia 2 số phức.
Bổ đề: Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z
1
sao cho z.z
1
=1. Khi đó z
1
được
gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z
-1
. Vậy z
-1
= 1/z.
Chứng minh
Ta cần tìm z
1
= c + di sao cho z.z
1
= 1.
Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1
Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1
Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)
Giải hệ phương trình (I) ta được:
2222
;
ab

cd
abab
−
==
++

Vậy z
1
tồn tại.
Do đó, z
-1
= z
1
=
2222
ab
i
abab
−
++
(4)
Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm z
-1
= 1/z bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức
liên hợp
z


Phép chia hai số phức:
Giả sử w ≠ 0. Khi đó:

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



2222
.().()()()
.
zzwabicdiacbdbcadi
wcdcd
ww
+−++−
===
++
(5)
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:
z/w = (r
1
/r
2
). (cos(ϕ
1
- ϕ
2
) + isin(ϕ
1
-ϕ
2
)) (6)
1.2.4 Các ví dụ:
1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w,z – w,z.w, z/w.

2. Tính (1 + i)
2
, (1 + i)
4
. Suy ra (1+i)
2006
, (1 – i)
210906

3. (3 –i)(14 +2i); (2+3i)/ (1 - 4i); (1 + 2i)
2
/1-i
4. (1 + i)
9
/(1 – i )
7
; 1 + (1+i) + (1+i)
2
+ ... + (1+i)
99

5. Tìm modun của các số phức sau:
4
(1)
(16)(27)
i
ii
+
+−

1.3 Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức
1.3.1 Nâng lên lũy thừa
Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:
[r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ).
Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức
lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với
số mũ của lũy thừa.
Áp dụng của công thức Moivre:
Trong công thức đặt r = 1, ta được
(cosϕ + isinϕ)
n
= (cosnϕ + isinnϕ)
Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần
ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn sinnϕ và cosnϕ theo luỹ thừa của cosϕ và sinϕ.
Chẳng hạn với n = 3: ta có:
VT = cos
3
ϕ + i.3cos
2
ϕsinϕ - 3cosϕsin
2
ϕ - isin
3
ϕ
VP = cos3ϕ + isin3ϕ
Do đó: cos3ϕ = cos

3
ϕ - 3cosϕsin
2
ϕ = -3cosϕ + 4 cos
3
ϕ
sin3ϕ = -sin
3
ϕ + 3cos
2
ϕsinϕ = 3sinϕ - 4 sin
3
ϕ
1.3.2 Phép khai căn
Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn:
n
n
zwwz=⇔=
.
Hay: (cossin)(cossin)
n
riiϕϕρθθ+=+
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



(cossin)(cossin)
n
rininϕϕρθθ⇔+=+
Vì trong những số phức bằng nhau. Môđun phải bằng nhau nhưng argument có thể

sai khác một bội 2π nên:
ρ
n
= r; nθ = ϕ + k2π
Từ đó: ρ =
n
r
; θ =
2k
n
ϕπ+
; k là số nguyên tùy ý.
Cho k các giá trị 0,1,2,..., n-1, ta được n giá trị khác nhau của căn.
Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau
Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc
biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác:
Nếu A > 0 thì A = |A| (cos0 + isin0)
Nếu A < 0 thì A = |A| (cosπ + isinπ)
Ví dụ: Tìm
3
3
4
1,1,(22)i−+


Bài tập:
Bài 1 Tính:
1. (3+5i).(4-i) 2. (6+11i).(7+3i) 3. (4 – 7i)
30
4.

3
45
i
i
−
+

5.
23
32
(12)(1)
(32)(2)
ii
ii
+−−
+−+
6.
34
12
i
i
+
−
7. (1+i 3)
3
8.
512i−−

9.
()

()
9
3
1313ii+++ 10.
8
1
2
i
−
−+



11.
()
7
13i−− 12.
()
()
2007
2006
13ii−+−
Bài 2 Tìm các số thực x,y sao cho:
1. (1- 2i)x + (-3 + 4i)y = -1 -3i 2. (2+i)x – (3+5i) = 1 +3i
3. (2 - 3i)x +(1+3i)y = x + 5iy 4. (3-2i)x – (4+5i)y = 2y + 3ix
Bài 3: Tìm |z| (modun của số phức) nếu :
1. ( 1 + i)
()
3i+ 2.
1

3
i
i
+
+
3.
(1)(3)(2)
(34)(5)
iii
iii
++−−
++
4.
3
26
13
i
i

−+


+


5.
5
(34)
34
i

i
+
−
6.
3
1
i
i
i
+
−+
−
7.
2006
23
32
i
z
i
+

=

−

8.
4
(34)(1)
34
ii

i
++


−


Bài 4: Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác
1. – 1 – i 2.
13i+
3.
()
3
13
1
i
i
+
−−
4.
()
()
4
31ii+−
5.
()
()()
1133iii+−−+

Bài 5: Giải các phương trình:

1. z
2
= - 1 + i 2. 4z
2
+ 4z + i = 0 3.
42
2340zz−+=
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Bài 2. ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

I. Giới hạn hàm số
1. Các giới hạn cơ bản:
1. 1lim
sin
lim
00
==
→→
t
tgt
t
t
tt
2. 1
)1ln(
lim
1

lim
00
=
+
=
−
→→
t
t
t
e
t
t
t
3.
2
1cos1
lim
2
0
=
−
→
t
t
t

4.
a
t

t
a
t
=
−+
→
1)1(
lim
0
5.
p
e
t
t
p
t
∀=
∞→
,0lim
6.
p
t
t
p
t
∀>=
∞→
,0,0
ln
lim α

α

2. Quy tắc L’Hospital:
Cho x
o
∈ R hoặc x
o
= ± ∞.
f, g có đạo hàm liên tục thỏa mãn:
0)(lim)(lim
00
==
→→
xgxf
xxxx
hoặc
±∞==
→→
)(lim)(lim
00
xgxf
xxxx

Giả sử tồn tại
A
xg
xf
xx
=
→

)('
)('
lim
0
. Khi đó:
A
xg
xf
xx
=
→
)(
)(
lim
0

3. Giới hạn dạng:
[ ]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→

1. Giả sử
bxgaaxf
xxxx
=>=

→→
)(lim);0()(lim
00
(a,b hữu hạn) thì
[ ]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→
= a
b

2.
[ ]
)(
)(lim
0
xv
xx
xu
→
có dạng 0
0
. Đặt y = u
v
thì lny = v.lnu
Khi đó:

y
xx
lnlim
0
→
có dạng 0.0 ta dùng L’Hospital để tính giới hạn.
Nếu
y
xx
lnlim
0
→
=
)(ln)(lim
0
xuxv
xx→
=a thì
[ ]
)(
)(lim
0
xv
xx
xu
→
= e
a

3.

[ ]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→
có dạng 1
∞
. Khi đó:
[ ]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→
=
()
( )
0
()1()
1
()1
lim1(()1)
fxgx
fx
xx

fx
−
−
→

+−


=
[]
()
0
lim()1
gx
xx
fx
e
→
−

Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1.
12
1
lim
2
2
−−
−

∞→
xx
x
x
2.
x
xxx
x
1)31)(21)(1(
lim
0
−+++
→

3.
52
5
0
)51()1(
lim
xx
xx
x
+
+−+
→
4.
1
3
lim

32
1
−
−++
→
x
xxx
x

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



5.
2
1
1
)1(
)1(
lim
−
++−
+
→
x
nxnx
n
x
6.







−
−
−
→
3
1
)1(
3
1
1
lim
x
x
x

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1.
x
axa
x
33
0
lim
−+
→

2.
4
8
lim
3
64
−
−
→
x
x
x
3.
22
lim
ax
axax
ax
−
−+−
→

4.
23
7118
lim
2
3
2
+−

+−+
→
xx
xx
x
5.
1
lim
+
++
∞→
x
xxx
x
6.
2
12
2
lim
x
x
x
x






−

+
∞→

7.
2
1
2
0
2
1
1
lim
x
x
x
+
→






+
8.
()
2
.
1
2lim

x
tg
x
x
π
−
→
9.
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x






→

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Bài 3 . VÔ CÙNG BÉ

1.1. Định nghĩa:
Hàm α(x) được gọi là lượng vô cùng bé (VCB) khi x → x
o
nếu
lim()0
o
xx
xα
→
=

Ví dụ: x
m
, sinx, tgx, ln(1+x), (1-cosx) là các VCB khi x → 0.
Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x → ∞ thay vì quá trình

x → x
o.


Quy ước: quá trình x → ∞ hay x → x
o
ta gọi chung là trong 1 quá trình.

1.2 Định lý:
Trong 1 quá trình, f(x) → L khi và chỉ khi α(x) = f(x) – L là VCB trong quá trình đó.

1.3 Tính chất:Trong 1 quá trình
1. Nếu α(x) là VCB, C là hằng số thì C.α(x) là VCB.

2. Nếu α
1
(x), α
2
(x), ..., α
n
(x) là một số hữu hạn các VCB thì tổng
α
1
(x) + α
2
(x) + + ... + α
n
(x) cũng là VCB.
3. Nếu α(x) là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích α(x).f(x) cũng là VCB.

1.4 So sánh hai lượng VCB:
Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.
Giả sử k
xg
xf
o
xx
=
→
)(
)(
lim
Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: f = o(g)
Nếu k = ±∞ thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu g = o(f)

Nếu k ≠0, k ≠ ±∞ thì f, g là haiVCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k =1 thì ta nói f, g là
VCB tương đương. Ký hiệu: f ~ g
Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f, và g không so sánh được với nhau
Ví dụ:
1. 1 – cosx và x
2
là hai VCB ngang cấp khi x → 0.
2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x → 0.

1.5 Các VCB bé tương đương cần chú ý:
Nếu x → 0 thì:
sinx ~ x; tgx ~ x; (1 – cosx) ~ ½ x
2
; arcsinx ~ x;
(e
x
-1) ~ x; ln(1+x) ~ x ; [(1+x)
a
– 1] ~ ax;

1.6 Khử dạng vô định:
Tính chất 1: Nếu
k
g
f
o
xx
=
→
lim

, f ~ f
1
; g ~ g
1
thì
k
g
f
o
xx
=
→
1
1
lim

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Chứng minh
Thật vậy:
limlim..lim
ooo
xxxxxx
fffgf
gg
fgg
→→→
==

Ví dụ:

3
00
ln(12)22
limlim
33
1
x
xx
xx
x
e
→→
+
==
−


Tính chất 2: Nếu α(x) = o(β(x)) trong 1 quá trình thì α(x) + β(x) ~ β(x).
Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn

Ví dụ:
1.
2
0
1cos5
lim
sin2

x
x
x
→
−
2.
0
ln(13)
lim
2
x
x
tgx
→
−
3.
23
35
0
sin
lim
24
x
xxtgx
xxx
→
++
++

4.

3
0
ln(1)
lim
sin
x
tgx
xx
→
+
+
5.
2
2
0
ln(12sin)
lim
sin.
x
xx
xtgx
→
−


Bài tập:
1. Giả sử t là lượng VCB. So sánh các lượng VCB: u = 5t
2
+ 2t
5

và v = 3t
2
+2t
3

2. So sánh các VCB u = tsin
2
t và v = 2tsint khi t → 0.
3. So sánh các VCB u = t
2
sin
2
t và v = ttgt khi t → 0.
4. Sử dụng các VCB tương đương, tính các giới hạn:
a.
2
0
)sin.31ln(
lim
tgx
xx
x
+
→
b.
xtg
x
x
3
121

lim
0
−+
→
c.
)21(ln
3sin
lim
2
2
0
x
x
x
+
→

d.
)41ln(
1
lim
2
0
x
e
x
x
−
−
→

e.
)1ln(
cosln
lim
2
0
x
x
x
+
→
f.
x
e
x
x
ln
)1sin(
lim
1
1
−
−
→

g.
1)1().1(
1)1(
lim
3

2
5
3
0
−++
−+
→
xx
x
x
h.
2516
238
lim
4
3
0
−+
−+
→
x
x
x
i.
)431ln(
)231ln(
lim
32
32
1

xxx
xxx
x
+−+
+−+
→

j
2
1
arcsin
1
lim
ln(1)
x
x
x
x
→
−
−
k.
2
1
2
41
lim
arcsin(12)
x
x

x
→
−
−