Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn năm học 2009 - 2010 ppsx

Sở giáo dục và đào tạo
thanh hoá
Kỳ thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơn
năm học: 2009 - 2010
Đề chính thức
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên T
oán)

Thời gian làm bài: 150
phút
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1:
(2,0 điểm)
1. Cho số
x


0; xRx thoả mãn điều kiện:
x
2
+
2
1
x
= 7
Tính giá trị các biểu thức:
A = x
3
+

3
1
x
và
B = x
5
+
5
1
x
2. Gii h phng trỡnh:
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y









Câu 2:
(2,0 điểm)

Cho ph-ơng trình:
2
0
ax bx c

(
0
a

) có hai nghiệm
1 2
,
x x
thoả
mãn điều kiện:
1 2
0 2
x x

.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2
2
2 3
2
a ab b
Q
a ab ac

Câu 3:
(2,0 điểm)
1. Giải ph-ơng trình:
2x
+
2009y
+
2010z
=
)(
2
1
zyx
2. Tìm tất cả các số nguyên tố
p
để
4p
2
+1
và
6p
2
+1
cũng là số nguyên tố.
Câu 4:
(3,0 điểm)

1. Cho hình vuông

ABCD
có hai đ-ờng chéo cắt nhau tại
E
. Một đ-ờng thẳng
qua
A
, cắt cạnh
BC
tại
M
và cắt đ-ờng thẳng
CD
tại
N
. Gọi
K
là giao điểm của
các đ-ờng thẳng
EM
và
BN
. Chứng minh rằng:
CK BN

.
2. Cho ng trũn (O) bỏn kớnh R=1 v mt im A sao cho OA= 2 .V cỏc tip
tuyn AB, AC vi ng trũn (O) (B, C l cỏc tip im).Mt gúc xOy cú s o bng
0
45 cú cnh Ox ct on thng AB ti D v cnh Oy ct on thng AC ti E. Chng
minh rng:

1222 DE
.
Câu 5:
(1,0 điểm)
Cho biểu thức bdacdcbaP
2222
,trong đó 1


bcad .
Chứng minh rằng:
3P .

Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Họ tên và chữ ký giám thị 1 Họ tên và chữ ký giám thị 2
. .

Sở giáo dục và đào Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn
Thanh Hoá năm học 2009-
2010
Đáp án đề thi chính thức
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào
lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
(Đáp án này gồm 04 trang)
Câu
ý
Nội dung
Điểm

1
1
Từ giả thiết suy ra: (x +
x
1
)
2
= 9 x +
x
1
= 3 (do x > 0)
21 = (x +
x
1
)(x
2
+
2
1
x
) = (x
3
+
3
1
x
) + (x +
x
1
) A = x

3
+
3
1
x
=18
7.18 = (x
2
+
2
1
x
)(x
3
+
3
1
x
) = (x
5
+
5
1
x
) + (x +
x
1
)
B = x
5

+
5
1
x
= 7.18 - 3 = 123
0.25
0.25
0.25
0.25
2
T h suy ra
x
y
y
x
1
2
11
2
1
(2)
Nu
yx
11
thỡ
xy
1
2
1
2

nờn (2) xy ra khi v ch khi x=y
th vo h ta gii c x=1, y=1
0.5
0.5
2
Theo Viét, ta có:
1 2
b
x x
a

,
1 2
.
c
x x
a

.
Khi đó
2 2
2
2 3
2
a ab b
Q
a ab ac

=
2
2 3.
2
b b
a a
b c
a a





( Vì a

0)
=
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3( ) ( )
2 ( )
x x x x
x x x x


Vì
1 2
0 2
x x

nên
2
1 1 2
x x x

và
2
2
4
x


2 2
1 2 1 2
4
x x x x



2
1 2 1 2
3 4
x x x x

Do đó
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3( ) 3 4
3

2 ( )
x x x x
Q
x x x x



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
2
x x

hoặc
1 2
0, 2
x x

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

Tức là
4
4
4
2

2
0
0
b
a
c
c b a
a
b a
b
c
a
c
a

Vậy max
Q
=3
0.25
3

1
ĐK:
x 2, y - 2009, z 2010
Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với:
x + y + z = 2 2x +2
2009y
+2 2010z
( 2x - 1)
2
+ ( 2009y - 1)
2
+ ( 2010z - 1)
2
= 0
2x - 1 = 0 x = 3
2009y - 1 = 0 y = - 2008
2010z - 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Nhận xét
: p là số nguyên tố 4p
2
+ 1 > 5 và 6p
2
+ 1 > 5
Đặt x = 4p
2

+ 1 = 5p
2
- (p - 1)(p + 1)
y = 6p
2
+ 1 4y = 25p
2
(p - 2)(p + 2)
Khi đó:
- Nếu p chia cho 5 d- 4 hoặc d- 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5
x chia hết cho 5 mà x > 5 x không là số nguyên tố

- Nếu p chia cho 5 d- 3 hoặc d- 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5
4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 y chia hết cho 5 mà
y > 5
y không là số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố p = 5
Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố
Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
4

1.
2.

Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm I sao cho IB = CM
Ta cã

IBE =

MCE (c.g.c).
Suy ra EI = EM ,
BEI
MEC





MEI vu«ng c©n t¹i E
Suy ra
BCE
EMI




0
45
MÆt kh¸c:
AN
MN

CB
CM
AB
IB


IM // BN

BKE
EMI
BCE






tø gi¸c BECK néi tiÕp
0
180




BKC
BEC
L¹i cã:
00
90
90






BKC
BEC
. VËy
CK BN

Vì AO = 2 , OB=OC=1 và ABO=ACO=90
0
suy ra OBAC là hình vuông
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho DOM = DOB MOE=COE
Suy ra

MOD=

BOD  DME=90
0


MOE=

COE EMO=90
0
suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).
Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1
Đặt DM= x, EM=y ta có AD

2
+ AE
2
= DE
2
 (1-x)
2
+ (1-y)
2
= (x+y)
2
 1- (x+y) = xy


4
2
yx 

suy ra DE
2
+ 4.DE - 4 0

 DE 222 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
D
C
N
A
BI
K
M
E
O
C
B
D
E
M
A
x
x
y

5.
Vy 222 DE<1
Ta có:
2222222222
22)()( cbabcddadbabcdcabcadbdac

2222222222
dcbacdbdca
Vì
1


bc
ad
nên




)1()(1

2222
2
dcbabdac
áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm




2222
; dcba


có:




bdacdcbabdacdcbaP
22222222
2

bdacbdacP
2
12 (theo (1))
Rõ ràng
0

P
vì:

2
2
12 bdacbdac
Đặt
bd
ac
x


,ta có:
xxP
2
12




341411414
2222222
xxxxxxxxP


3321
2
2
xx
Vậy
3

P

0.25
0.25
0.25
0.25