Đề thi khảo sát đại học môn toán năm 2010-2011 THPT Chuyên Vĩnh Phúc potx

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2
011
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

MÔN TOÁN 12 - KHỐI A -LẦN 3
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )

PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH .(
7,0 điểm
)
Câu I
:(2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
− − =
−
2
2 2
1
m
x x
x

Câu II
(2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :
5

2 2 os sin 1
12
c x x
π
 
− =
 
 

2) Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y

+ = − +


+ + − − =


.
Câu III: (
1,0 điểm ) Tính tích phân:
1
2
3
2

0
4
ln
4
 
−
=
 
+
 
∫
x
I x dx
x

Câu IV
:( 1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác
SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Hai mặt phẳng (SCA) và
(SCB) hợp với nhau một góc bằng
0
60
.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a .
Câu V :(1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
= + + + + +
2 2 2
2 1 3 16 36
S x y z

PHẦN B : THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1HOẶC PHẦN 2)
PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )

Câu VI.a 1.( 1,0 điểm
) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của
cạnh BC,phương trình đường thẳng DM:
x y 2 0
− − =
và
(
)
C 3; 3
−
.Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d : 3x y 2 0
+ − =
,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
(
)
P : x y z 1 0
+ + − =
và hai
điểm
(
)
(
)

A 1; 3;0 , B 5; 1; 2 .
− − −
Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MA MB
−
đạt giá
trị lớn nhất.
Câu VII.a
(1,0 điểm): Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức :
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1023
C C C C C
2 3 4 n 1 10
+ + + + + =
+


PHẦN 2
(
Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )

Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
=−− yxd
và

06:

2
=−+ yxd
. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
2. (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d
1
:
− −
= =
−
2 1
1 1 2
x y z
, d
2
:
2 2
3
x t
y
z t
= −


=



=


Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2


CâuVII.b
( 1,0 điểm) Tính tổng:
2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 2 3 2010 2011= + + + + +S C C C C C

…………………………………….…….H
ế
t

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !


Trường thpt Chuyên Vĩnh Phúc
kú thi khẢo SÁT ®¹i häc n¨m 2011
Môn Toán 12 -Khối
A
-Lần thứ 3


Câ

u
Ý

Nội dung
Điể
m

I
2,00
1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x .
= − +

1,00

T
+
ập xác định: Hàm số có tập xác định
=

D .

+
Sự biến thiên:
2
3 6

y' x x.
= −
Ta có
0
0
2
x
y'
x
=

= ⇔

=



,
y 0 x 0 x 2
> ⇔ < ∨ > ⇔
h/s đồng biến trên các khoảng
(
)
(
)
;0 & 2;
−∞ +∞


,

y 0 0 x 2
< ⇔ < < ⇔
h/s nghịch biến trên khoảng
(
)
0;2



0,25


(
)
(
)
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .
= = = = −

 Giới hạn
3
3
x
x
3 2
lim y lim x 1
x x
→±∞

→±∞
 
= − + = ±∞
 
 

0,25

 Bảng biến thiên:
x

−∞
0 2
+∞

y'


+
0
−
0
+


y

2
+∞

−∞

2
−




0,25





+
Đồ thị:

f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y

0,25






hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
2

Biện luận số nghiệm của phương trình
2
m
x 2x 2
x 1
− − =
−
theo tham số m.
1,00

 Ta có
( )
2 2
2 2 2 2 1 1
1
− − = ⇔ − − − = ≠
−
m

x x x x x m, x .
x
Do đó số nghiệm của
phương trình bằng số giao điểm của
(
)
(
)
2
2 2 1
y x x x , C'
= − − −
và đường thẳng
1
= ≠
y m,x .


0,25

 Vẽ
( )
(
)
( )
2
1
2 2 1
1
f x khi x

y x x x
f x khi x
>


= − − − =

− <


nờn
(
)
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x .
=

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x
=
qua Ox.


Đồ thị hàm số y =
2
( 2 2) 1

x x x
− − −
, với x
≠
1 có dạng như hình vẽ sau



0,25

 hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y









0,25

Đồ thị đường thẳng y=m song song với trục ox
Dựa vào đồ thị ta có:

+
2
< −
m :
Phương trình vô nghiệm;
+
2
= −
m :
Phương trình có 2 nghiệm kép
+
2 0
− < <
m :
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0
≥
m :
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.



0,25
II
2,00
1

Giải phương trình:
5

2 2 os sin 1
12
c x x
π
 
− =
 
 

1, 0
∑




hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
5
2 2 os sin 1
12
c x x
π
 
− =
 
 
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
π π

 
 
⇔ − + =
 
 
 
 



0.25


5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
π π π π π π
π π π
   
⇔ − + = = ⇔ − = − =
   
   
   
= − = −
   
   

0,25

( )
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13 3
12 12
2 2
12 12
4
x k
x k
x k
x k x k
π
π π
π
π
π π
π π π
π π


= +
− = − +



   
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈

   
   


− = + = +






0,50

2

Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y

+ = − +



+ + − − =


.
1, 0
∑


Điều kiện: x+y>0, x-y
≥
0
2 8
2 2 2 2 2 2 2 2
log 3log (2 ) 2
1 3 1 3
x y x y x y x y
x y x y x y x y
 
+ = + − + = + −
 
⇔
 
+ + − − = + + − − =
 
 

0,25

Đặt:
u x y
v x y
= +


= −

ta có hệ:
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
 
− = > + = +
 
⇔
 
+ + + +
− = − =
 
 


0,25đ

2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)
2
u v uv
u v uv
uv

+ = +

⇔

+ − +
− =


. Thế (1) vào (2) ta có:
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0
uv uv uv uv uv uv uv
+ + − = ⇔ + + = + ⇔ =
.

0,25đ


Kết hợp (1) ta có:

0
4, 0
4
uv
u v
u v
=

⇔ = =

+ =

(vì u>v). Từ đó ta có: x =2; y
=2.(T/m)
KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2).

0,25đ

III
Tính tích phân:
1
2
3
2
0
4
ln
4
 
−

=
 
+
 
∫
x
I x dx
x

1, 0
∑


Đặt
2
4
2
4
3
16x
4 x
du dx
u ln
x 16
4 x
x 16
v
dv x dx
4



 
−
=

=

  
−
+
⇒
 
 
−
 
=
=






0,50

Do đó
( )
1
1
2

4
2
0
0
1 4 x 15 3
I x 16 ln 4 xdx ln 2
4 4 x 4 5
 
−
 
= − − = − −
 
 
+
 
 
∫


0,50
IV
… Tính thể tích khối chóp S.ABC…
1, 00


Gọi H là trung điểm của AB
(
)
SH AB SH ABC
⇒

⊥
⇒
⊥


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
Kẻ
(
)
AK SC SC AKB
⊥
⇒
⊥
SC KB
⇒
⊥

(
)
(
)
(
)
0
SAC ; SBC KA;KB 60
 
⇒
= =
 
0 0

AKB 60 AKB 120
⇒
∠ = ∨ ∠ =
Nếu
0
AKB 60
⇒
∠ = thì dễ thấy
KAB
∆
đều
KA KB AB AC
⇒
= = =
(vô lí)
Vậy
0
AKB 120
∠ =
∆ΚΑΒ
cân tại K
0
AKH 60
⇒
∠ =
0
AH a
KH
tan 60
2 3

⇒
= =
Trong
SHC
∆
vuông tại H,đường cao
KH có
2 2 2
1 1 1
KH HC HS
= +
thay
a
KH
2 3
=

và
a 3
HC
2
=
vào ta được
a 6
SH
8
=

2 3
S.ABC ABC

1 1 a 6 a 3 a 2
V .SH.dt . .
3 3 8 4 32
∆
= = =




0,25



0,25



0,25




0,25
V


Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn :2x+3y+z=40.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
= + + + + +
2 2 2

2 1 3 16 36
S x y z

1, 0
∑


Ta có:
( ) ( )
= + + + + +
2 2
2 2 2 2
2 2 3 12 6
S x y z
Trong hệ toạ độ OXY xét 3 véc
tơ
(
)
(
)
(
)
a 2x;2 , b 3y;4 ,c z;6
= = =
  
,
(
)
(
)

a b c 2x 3y z;2 12 6 40;20
+ + = + + + + =
  

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
a 2x 2 , b 3y 12 , c z 6
= + = + = +
  
,
a b c 20 5
+ + =
  

Sử dụng bất đẳng thức về độ dài véc tơ :
S=
a b c a b c
+ + ≥ + +
     
S 20 5
⇒ ≥
.Đẳng thức xẩy ra khi các véc tơ
a,b,c
  

cùng hướng
xét hệ điều kiện :
2x 3y z 2x 3y z 2x 3y z 40
2

2 12 6 2 12 6 20 20
+ +
= =
⇒
= = = = =

x 2, y 8, z 12
⇒ = = =

Với :
x 2, y 8,z 12
= = =
thì
S 20 5
=

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng
20 5
đạt được khi :

x 2, y 8,z 12
= = =


0,25



0,25

0,25



0,25
VIA


2,00
1

Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M….Tìm toạ độ A,B,D.
1,00


Gọi A
(
)
t; 3t 2
− +
.Ta có khoảng cách:
( ) ( )
4t 4
2.4
d A, DM 2d C, DM t 3 t 1
2 2

−
= ⇔ = ⇔ = ∨ = −

hay
(
)
(
)
A 3; 7 A 1;5
− ∨ −
.Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM
nên chỉ có A
(
)
1;5
−
thoả mãn.
Gọi D
(
)
m;m 2
−
DM
∈
thì
(
)
(
)
AD m 1;m 7 ,CD m 3;m 1

= + − = − +
 

Do ABCD là hình vuông


0,25


0,25



hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
m 5 m 1
DA.DC 0
m 1 m 7 m 3 m 1
DA DC
= ∨ = −


=
 
⇒ ⇔
 
+ + − = − + +
=





 
m 5
⇔ =

Hay D
(
)
5;3
(
)
(
)
AB DC 2; 6 B 3; 1
= = − −
⇒
− −
 
.
K
ế
t lu
ậ
n A
(
)
1;5
−

,
(
)
B 3; 1
− −
, D
(
)
5;3



0,25


0,25

2

Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ

Oxyz
cho m

ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
P : x y z 1 0
+ + − =
…….
1,00

Đặ
t vt c
ủ
a (P) là:
(
)
f x; y;z x y z 1
= + + −
ta có
(
)
(
)
A A A B B B
f x ; y ;z f x ;y ;z 0
<

⇒
A,B n

ằ
m v
ề
hai phía so v
ớ
i (P).G
ọ
i
'
B
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i B qua (P)
(
)
'
B 1; 3; 4
⇒ − −
.
' '
MA MB MA MB AB
− = − ≤

Đẳ
ng th
ứ
c x

ẩ
y ra khi
'
M, A, B
th
ẳ
ng hàng
⇒
(
)
'
M P AB
= ∩
.M
ặ
t khác ph
ươ
ng trình
'
x 1 t
AB : y 3
z 2t
= +


= −


= −


⇒
to
ạ

độ
M là
nghi
ệ
m h
ệ
pt:
( )
x 1 t t 3
y 3 x 2
M 2; 3;6
z 2t y 3
x y z 1 0 z 6
= + = −
 
 
= − = −
 
⇒ ⇒ − −
 
= − = −
 
 
+ + − = =
 

0,25


0,25

0,25




0,25

VII
A

Tìm s
ố
nguyên d
ươ
ng n tho
ả
mãn
đẳ
ng th
ứ
c :
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1023

C C C C C
2 3 4 n 1 10
+ + + + + =
+



1,00

Xét khai tri
ể
n:
(
)
( )
( )
n
0 1 2 2 n n
n n n n
1 1
n
0 1 2 2 n n
n n n n
0 0
1 x C C x C x C x
1 x dx C C x C x C x dx
+ = + + + +
+ = + + + +
∫ ∫





( )
1
1
n 1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
0
1 x
1 1 1
C x C x C x C x
n 1 2 3 n 1
+
+
+
 
⇒ = + + + +
 
+ +
 



n 1
0 1 2 3 n
n n n n n
2 1 1 1 1 1 1023

C C C C C
n 1 2 3 4 n 1 n 1
+
−
⇒ = + + + + + =
+ + +


n 1 n 1 10
2 1 1023 2 1024 2 n 1 10 n 9
+ +
⇒ − = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ =
v
ậ
y
n 9
=




0,25


0,25


0,25

0,25

VI B

2,00
1

….cho hình ch
ữ
nh
ậ
t
ABCD
có di
ệ
n tích b
ằ
ng 12… 1,00

Ta có:
Idd
21
=∩
. To
ạ

độ
c
ủ
a I là nghi
ệ
m c

ủ
a h
ệ
:



=
=
⇔



=−+
=−−
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. V
ậ
y






2
3

;
2
9
I

Do vai trò A, B, C, D nên gi
ả
s
ử
M là trung
đ
i
ể
m c
ạ
nh AD
OxdM
1
∩=
⇒

Suy ra M( 3; 0)



0,25
đ


hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

Ta có:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
=






+






−==

Theo gi
ả
thi
ế
t:

22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
===⇔==

Vì I và M cùng thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d
1

ADd
1
⊥
⇒

Đườ
ng th
ẳ
ng AD
đ
i qua M ( 3; 0) và vuông góc v

ớ
i d
1
nh
ậ
n
)1;1(n
làm VTPT nên có
PT:
03yx0)0y(1)3x(1
=
−
+
⇔
=
−
+
−
. L
ạ
i có:
2MDMA
==





0,25
đ

To
ạ

độ
A, D là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
PT:
( )





=+−
=−+
2y3x
03yx
2
2

( ) ( )




±=−
−=
⇔



=−+−
+−=
⇔



=+−
+−=
⇔
13x
x3y
2)x3(3x
3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2





=
=
⇔
1y
2x
ho
ặ
c



−=
=
1y
4x
. V
ậ
y A( 2; 1), D( 4; -1)



0,25
đ



Do







2
3
;
2
9
I
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AC suy ra:



=−=−=
=−=−=
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC

T
ươ
ng t
ự

I c
ũ
ng là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BD nên ta có B( 5; 4)
V
ậ
y to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

0,25
đ


2

ph
ươ
ng trình m
ặ
t c
ầ
u có
đườ
ng kính là
đ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d
2

1,00

Các véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ

a d
1
và d
2
l
ầ
n l
ượ
t là
1
u

( 1; - 1; 2)
và
2
u

( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)
∈
d
1
; N( 2; 3; 0)
∈
d
2

Xét
1 2
; .
u u MN
 
 
  
= - 10
≠
0V
ậ
y d
1
chéo d
2

0,25
đ



G
ọ
i A(2 + t; 1 – t; 2t)
∈
d
1
B(2 – 2t’; 3; t’)
∈
d

2


1
2
. 0
. 0
AB u
AB u

=


=



 

⇒

1
3
' 0
t
t

= −




=


⇒
A
5 4 2
; ;
3 3 3
 
−
 
 
; B (2; 3; 0)
Đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua hai
đ
i
ể
m A, B là
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a d
1
và d

2
.
Ta có
∆
:
2
3 5
2
x t
y t
z t
= +


= +


=




0,25
đ

0,25
đ



PT m
ặ
t c
ầ
u nh
ậ
n
đ
o
ạ
n AB là
đườ
ng kính có
d
ạ
ng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
     
− + − + + =
     
     

0,25
đ


VII B
1,0đ


( )
2011
0 1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011 2011
1 x C C x C x C x C x
+ = + + + + +

(1)
L
ấ
y
đạ
o hàm hai v
ế
(
)
1
ta
đượ
c:

( )
2010
1 2 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 x C 2xC 3x C 2011x C
+ = + + + +


nhân hai v
ế
v
ớ
i x ta
đượ
c:



0,25

hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
( )
2010
1 2 2 3 3 2011 2011
2011 2011 2011 2011
2011x 1 x xC 2x C 3x C 2011x C
+ = + + + +

(2)
L

ấ
y
đạ
o hàm hai v
ế
(
)
2
ta
đượ
c
( ) ( )
(
)
2010 2019
1 2 2 2 2 3 2 2010 2011
2011 2011 2011 2011
2011 1 x 2010x 1 x
C 2 xC 3 x C 2011 x C
+ + + =
+ + + +

(3)
Thay x=1 vào hai v
ế
c
ủ
a (3) ta
đượ
c:

(
)
2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011
2011 2011 2011 2011
2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C
+ = + + +

V
ậ
y S=2011.2012.
2009
2


0,25



0,25


0,25