Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Bất đẳng thức pdf

TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
1
CHUYÊN : BT NG THC
CHUYÊN  1: PHNG PHÁP CÂN BNG H S TRONG
BT NG THC CAUCHY
Trc ht xin nêu ra và chng minh bt đng thc CauChy dng tng quát:
Cho n s không âm:
1 2
, , ,
n
a a a
. Khi đó:
1 2
1 2

, n 2,n
n
n
n
a a a
a a a
n
  
  

.
Du “ = “ xy ra
1 2

n
a a a

   
Ta chng minh BT trên bng phng pháp quy np.
Tht vy: Vi n = 2: Hin nhiên BT đúng. Ta nhn thy rng nu BT đúng vi n s thì cng đúng
vi 2n s vì:
2
1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2
( ) ( ) 2
n n n
n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a n a a a n a a a n a a a
   
             
Mt khác, nu BT đúng vi n s thì nó cng đúng vi ( n – 1) s. Tht vy, ta ch cn chn:
1 2 1
, s=
1
n n
s
a a a a
n

   

. T đó:
1 2 1
1
1 2 1

( 1)
1 1

n
n
n
n
a a a s
s
s n s n a a a
n n



    
 
ng thc xy ra khi tt c các bin bng nhau (đpcm).
Phng pháp chng minh trên gi là phng pháp quy np CauChy. Cách chng minh trên quá hay
và quá ngn gn do nhà Toán hc CauChy đa ra, chính vì th đôi khi ta lm tng rng CauChy là
ngi đu tiên phát hin ra nó.
Thc ra BT trên có tên là BT:AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means).
Trong chng trình toán THPT ta thng s dng BT trên cho 2 s hoc 3 s không âm.
*) i vi 2 s không âm a v
à b, ta có:
2
a b
ab


*) i vi 3 s không âm a, b, c , ta có:
3
3
a b c

abc
 

Xin minh ha phng pháp cân bng h s qua VD di đây:
VD m đu: Cho a, b, c dng. CMR: M =
2
3
)( cb
a

+
2
3
)( ca
b

+
2
3
)( ba
c


4
cba


(*)
Hng dn
Áp dng BT CauChy cho 3 s dng là:

2
3
)( cb
a

;
8
cb

;
8
cb

, ta có:
2
3
)( cb
a

+
8
cb

+
8
cb


3
3

3
64
a
=
4
3a

2
3
)( cb
a


4
3a
-
4
cb

(1)
Hoàn toàn tng t:
2
3
)( ca
b


4
3b
-

4
ac

(2) và
2
3
)( ba
c


4
3c
-
4
ba

(3)
Cng (1), (2) và (3) v theo v, ta có :
2
3
)( cb
a

+
2
3
)( ca
b

+

2
3
)( ba
c


4
cba


(đpcm)
Du “ = “ xy ra
a b c
  
.
Bình lun: Cách làm trên rt hay, ngn gn. Tuy nhiên có gì đó có v…n may??? C s nào đ áp
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
2
dng BT CayChy cho 3 s dng
2
3
)( cb
a

;
8
cb

;
8

cb

? S th nht đã có, còn 2 s sau ly  đâu
ra?
Cách làm trên là hoàn toàn có c s. Chúng ta đ ý rng, vai trò ca a, b, c trong bài toán là nh nhau
nên d đoán rng đng thc xy ra khi mà a = b = c ( Kim tra thy đúng). Nhìn vào v phi thì ch
xut hin a + b + c, không có a + b, b + c hay c + a vì th ta cn ngh cách đ kh chúng.
Khi a = b = c thì
2
3
)( cb
a

=
4
a
. Ta cn đi tìm s x sao cho:
2
3
)( cb
a

=
4
a
=
2
b c a
x x


 .
T đó tìm đc x = 8.
Bài 1: Cho a, b, c dng. CMR:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  

Hng dn
Ta có:
2 2
4 4 2
a b c a b c a
a a
b c b c
 
 
     
 
 
 
     
. Du “ = “ xy ra
a b c
  
.
Bài 2: Cho a, b, c dng. CMR:

2 2 2
1 1 1
a b c
b c a a b c
    
Hng dn
Ta có:
2 2
1 1 1 1 1
2 2
a a
b a b b b a a
 
     
 
 
     
. Du “ = “ xy ra
a b c
  
.
Bài 3: Cho a, b, c dng. CMR :
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
    
Hng dn
Ta có:
3 3

3 3 ( )
a a
b c a a b c a
bc bc
 
       
 
 
     
. Du “ = “ xy ra
a b c
  
.
Bài 4: Cho a, b, c dng. CMR :
3 3 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b a c c a b a b c
 
  
  
.
Hng dn
Ta có:
3 3
3 3
( ) 4 2 2 ( ) 2 4 2 2
a a c b a a a a c b a
b a c b a c
 

 
 
       
 
 
 
 
 
     
.
Du “ = “ xy ra
a b c
  
.
Bài 5: Cho a, b, c dng: a + b + c = 3. CMR
3 3 3
3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b a c b c b a c a c b
  
     
.
Hng dn
Ta thy VP ko còn cha bin, VT có bc 1. Vy phi chng VP cng phi bc 1? Liu VP có th thay
bng ( a + b + c )/4 ?
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
3
Ta có:
3 3

( ) 3 3 ( )
( )( ) 8 8 4 ( )( ) 4 8 8
1 3
(4 )
8 4 4
a a b a c a a a a b a c
a b a c a b a c
a
a b c
   
      
   
    
    
 
Du “ = “ xy ra
1
a b c
   
.
Các bài tp trên ch yu các BT cn CM  dng phân thc nên vic cân bng h s đ “ gin
c” ko my khó khn. Tuy nhiên, nu bài toán yêu cu tìm GTLN, GTNN ca mt biu thc ko
có dng phân thc nh trên thf làm th nào?
Ta hãy xét m
t s bài toán sau đây:
Bài 6: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1. Tìm GTNN ca biu thc: M = x
2
+ y
2
+ z

2

Hng dn
Bài toán trên là mt bài rtđn gin và có nhiu cách làm. Chng hn có th nêu mt s cách n.sau:
*) Cách 1:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( ) ( )( ) ( ) 1
xy yz zx x y z x y z x y z x y z
              
T đó: minM = 1
1
3
x y z    .
*) Cách 2: Ta nhn thy ngay BT c bn: x
2
+ y
2
+ z
2


xy + yz + xz = 1
*) Cách 3: Nhn thy vai trò ca các bin trong điu kin và trong biu thc M là nh nhau nên biu
thc M đt GTNN thì x = y = z. Do đó ta s phân tích nh sau:
M = x
2
+ y
2
+ z
2

=
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) 1
2 2 2
x y y z z x xy yz zx
        
.
Ta thy rng 2 cách đu tiên s gp khó khn nu nh h s ca x
2
, y
2
, z
2
trong biu thc M khác
nhau ( c 3 khác nhau tng đôi mt hoc ch có 2 h s ging nhau). Khi đó cách s 3 s gii quyt tt
các kh nng còn li. Hãy xét mt bài tp mà ch có 2 h s ging nhau.
Bài 7: Cho x, y, z > 0 : xy + yz + xz = 1. CMR : 15x
2
+15y
2
+ z
2
5


Hng dn
¸p dông B§T Cauchy ta cã :

2 2

2 2
2 2
25 1
5
2 2
5 5
5
2 2
25 1
5
2 2

 



 



 


x z xz
x y xy
y z yz

15y
2
+15y

2
+ z
2

5(xy+yz+xz) =5

®pcm. DÊu “=”










11
5
11
1
z
yx
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
4
Li gii trên rt hay, ngn gn. Tuy nhiên khi đc li gii ta thy có gì đó không my t nhiên! Ti
sao li ngh đc tách nh trên đ áp dng BT Cauchy???
Ta thy rng, vi x, y, z trong điu kin thì vai trò ca chúng là nh nhau, còn trong BT cn CM thì
vai trò ca x và y là nh nhau, tc là nu du “ = “ xy ra thì giá tr ca x, y là nh nhau và khác
giá tr ca z. Tuy nhiên, nhm giá trn ca x, y, z đ du bng xy ra  bài này li ko h đn gin

chút nào. Vy làm sao li tách đc nh trên ???
Ta chú ý rng BT trên còn có th vit li nh sau:
2 2 2
15 15 5( )
x y z xy yz zx
     . Vì th ta cn áp
dng BT sao cho có th s dng đc gi thit. Có x
2
, y
2
, z
2
đ to ra xy, yz, Zx chc ko khó đúng
ko? Vì vai trò ca x và y là nh nhau nên ta s tin hành nh sau:
2 2
2 2 2 2 2
2 2
ax 2
(15 ) 2 (15 ) 15 15 2 2 (15 ) 2 (15 )(1 ) (*)
(15 ) (1 ) 2 (15 )(1 )
ay axy
a x cz a c xz x y z axy a cxz a c yz
a y c z a c yz

 


            



     


Gi ta so sánh (*) và
2 2 2
15 15 5( )
x y z xy yz zx
     thì d dàng suy ra a = 5/2, c = 1/2 . n đây thì
mi vic đã đc sáng t.
BI TP VN DNG
Bài 8: Cho a, b, c dng: abc = 1. CMR
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
b c c a a b
  
     
.
Bài 9: Cho a, b, c dng: a + b + c = 3. CMR:
3 3 3
1
(2 ) (2 ) (2 )
a b c
b c a c a b a b c
  
  
.
Bài 10 : Cho a, b, c dng:
2 2 2

1
a b c
  
. CMR:
3 3 3
1
2 2 2 3
a b c
b c c a a b
  
  
.
Bài 11 : Cho a, b, c dng:
2 2 2
1
a b c
  
. CMR:
  
  
3 3 3
1
2
a b c
a b b c c a
.
Bài 12 :Cho x, y, z dng tho mãn: xy+yz+zx = 5.
TÌm GTNN ca biu thc M = 28x
2
+ 28y

2
+z
2
Bài 13: Cho x, y , z > 0: xy + yz + zx = 1. Tìm GTNN ca biu thc:
2 2 2
2 5
M x y z
  
Bài 14: Cho các s dng x,y,z sao cho x + y + z= 1. Tìm các giá tr nh nht:
a)
2 2 2
A x y z
  
b)
2 2 2
3
B x y z
   c)
2 2 2
2 3
C x y z
  
Bài 15: Cho x,y,z là các s dng : xy + yz + zx = 1. Tìm giá tr nh nht:
a.
2 2 2
10 10
A x y z
  
b)
2 2 2

2 3
B x y z
  
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
5
CHUYÊN  2: BT NG THC SVACX VÀ NG DNG
Bt đng thc Svacx là h qu trc tip ca BT Bunhiacopxki và đc phát biu nh sau:
Cho hai dãy s thc
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
(
0, 1,2,
i
b i n
   ) thì ta có:
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
( )
(*)

n n
n n
a a a a
a a
b b b b b b
  
   
  
.ng thc xy ra khi
  
,
j
i
i j
a
a
i j
b b
Vì là h qu trc tip ca BT Bunhiacopxki nên ta s phát biu và chng minh BT Bunhiacopxki.
Phát biu: Cho hai dãy s thc
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
ta có:

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b
         
Du “ = “ xy ra
, 1,2,
i i
a kb i n
  
Chng minh: t
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) , , , ( ) Ax 2
n n n n
i i i i i i
i i i i
f x a x b A a C b B a b f x Bx C
   
        
   
+) Trng hp 1: Nu A = 0 hoc C = 0: BT hin nhiên đúng
+) Trng hp 2:
, 0
A C

. Do          
2 2

( ) Ax 2 0 ' 0 (® )
f x Bx C x B AC pcm
Du “ = “ xy ra
, 1,2,
i i
a kb i n
   ( Tc là f(x) = 0 )
Ta s chng minh BT (*) bng BT Bunhiacôpxki:
Tht vy, áp dng bt đng thc
Bunhiacôpxki cho hai b s
1 2
1 2
1 2
, , , µ , ,
n
n
n
a
a a
v b b b
b b b
,
ta đc BT (*) .ng thc xy ra khi
  
,
j
i
i j
a
a

i j
b b
Sau đây là mt s bài tp minh ho cho s tin li ca BT Svacx trong vic chng minh BT
Bài s 1:Chng minh rng vi các s dng a,b,c ta đu có :
    
1 1 1
( )( ) 9 (1)
a b c
a b c
Hng dn
   
 
1 1 1 9
(1)
a b c a b c
( luôn đúng theo BT(*)). Du “ = “ xy ra
  
a b c
Bài s 2: Chng minh rng vi các s dng a,b,c tho mãn
  
2 2 2
1
a b c , ta có:
  
  
2 2 2
1 1 1 9
(2)
2
a bc b ca c ab

Hng dn

    
2 2 2
9
VT
a bc b ca c ab
. Do              
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( )
a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c
     
 
2 2 2
2 2 2
9 9
( 1)
2( ) 2
VT do a b c
a b c
. Du “ = “ xy ra
   
1
3
a b c
Bài s 3:Chng minh rng vi các s dng a,b,c thì
 
  
    
2 2 2

3( )
(3)
2( )
a b c ab bc ca
b c c a a b a b c
.
Hng dn
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
6
 
   
    
2 2 2 2
( )
2( )
a b c a b c
VT
b c c a a b a b c
. Ta có           
2 2 2 2
( ) ( ) 2( ) 3( )
a b c a b c ab bc ca ab bc ca

đpcm . Du “ = “ xy ra
  
a b c
Bài s 4 : Cho các s dng a,b,c tho mãn abc = 1. CMR :   
  
2 2 2
3

(4)
1 1 1 2
a b c
b c a
Hng dn
 
   
     
2 2 2 2
( )
1 1 1 3 ( )
a b c a b c
VT
b c a a b c
.
Ta có:
     
 
                
 
 
 
3
2
( ) 3
1 3 3 2( ) (® )
3 2( ) 2 2
a b c a b c a b c
abc a b c a b c a b c VT pcm
a b c

Du “ = “ xy ra
   
1
a b c
Bài s 5: Cho a , b , c > 0 . CMR:
 
     
  
3 3 3
2 2 2
1
(5)
2 2 2 3
a b c
A a b c
a b b c c a
Hng dn
 
      
       
3 3 3 4 4 4 2 2 2 2
2 2 2 2
( )
2 2 2 2 2 2 ( )
a b c a b c a b c
A
a b b c c a a ab b bc c ca a b c
Ta cn CM:
 
   

       
   

2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
( ) 1 1
( ) 0( « ®óng)
( ) 3 ( ) 3
a b c a b c
a b c a b lu n
a b c a b c
Du “ = “ xy ra
  
a b c
Bài s 6: Cho a , b , c > 0 . CMR
 
   
  
4 4 4
2 2 2
(6)
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
A
b c a c a b a b c
Hng dn
 
 
 

 
        
         
4
4 4 4 2 2 2
2
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2
( )
( )
( )
( ® )
( ) ( ) ( ) 2( ) 2( ) 2
a b c
a b c a b c
a b c a b c
a b c
b c a b c a
A pcm
b c a c a b a b c c a b a c b a b c a b c
Du “ = “ xy ra
  
a b c
BÀI TP VN DNG
Bài s 7: Cho a , b , c > 0. CMR:
 
   
  

6 6 6
3 3 3
(7)
( ) ( ) ( ) 2
a b c ab bc ca
A
b c a c a b a b c
Bài s 8: ( IMO - 1995 )
Cho a , b , c > 0: abc = 1. CMR:
 
   
  
3 3 3
1 1 1 3
(8)
( ) ( ) 2
A
a b c b c a c a b
Bài s 9: CMR: Vi a, b, c dng, ta có:
     
4 4 4
2 2 2
(9)
a b c
A a b c
bc ca ab
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
7
Bài s 10: CMR: Vi a, b, c dng, ta có:
2 2 2

3 3 3
9a b c
A
a b c
b c a
   
 
(10)
Các bài tp trên ta đã áp dng BT theo chiu “

” còn khi “

” thì sao?
Chng hn vi hai s dng x, y ta đu có:
1 1 4
x y x y
 

(*). Tuy nhiên trong mt s bài toán, chng
hn: Tìm GTLN ca mt biu thc thì ta li ko th dùng BT  dng (*) mà s dng BT  dng sau
đây:
1 1 1 1
( )
4
x y x y
 

.
Tng t, đi vi 3 s dng x, y , z ta cng có:
1 1 1 1 1

( )
9
x y z x y z
  
 
Bài s 11: Cho x, y, z > 0 sao cho:
1 1 1
4
x y z
  
. CMR:
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
  
     
(11)
Hng dn
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4
1
2 ( ) ( ) 4 4 4 4 16
VT
x y z x y x z x y x z x y x z x
 
   
 
         
 
 

 
 
      
 
   
 
    
Bài s 12: Cho a, b, c > 0. CMR:
2 2 2 4
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
 
  
     
(12)
TRNG THPT CHUYấN LO CAI Giothoimai2003
8
CHUYấN 3: S DNG O HM CHNG MINH BT NG THC
Bi 1: Chứng minh rằng
x
e > x

1 với 0

x
Giải
Xét hàm số


xf =

x
e -
1
-
x
liên tục và khả vi với mọi 0

x



xf
,
=
x
e -
1
,


00 f
nếu 0

x thì


01
,

x

exf



xf đồng biến




xf >


0f


x
e - 1 -
x
> 0


x
e > x

1 (1)
Nếu
0

x
thì

01
,

x
exf



xf nghịch biến




xf >


0f


x
e -1-
x
> 0


x
e > x

1 (2)
Từ (1),(2)


x
e > x

1 với 0

x đpcm.
Bi 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội )
Chứng minh rằng bất đẳng
2
1
2
x
xe
x
đúng với mọi 0

x
Giải
Yêu cầu bài toán


x
ex
x
1
2

2
< 0 0


x
Xét

x
ex
x
xf 1
2
2
.Ta có


xf
,
=
x
ex 1 ,


01
,,

x
exf 0

x
Do đó


xf
,
nghịch biến trong


;0x




xf
,
<


0
,
f =0 với


;0x



xf nghịch biến trong

;0x




xf <


00 f 0


x

x
ex
x
1
2
2
<0 hay
2
1
2
x
xe
x
với 0

x đpcm.
Bi 3: Chứng minh rằng
6
3
x
x < xx

sin với 0

x
Giải
Ta h- ớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức


chứng minh







xx
x
xx
sin
6
sin
3
với 0

x
Ta chứng minh xx

sin với 0

x
Xét


xf = xsin -
x
,


00 f




xf
,
= 1cos

x <0




xf nghịch biến

xf <


0f với 0

x

xsin -
x
<o

xx

sin (1)
Ta chứng minh
6
3
x
x < xsin
Xét

6
sin
3
x
xxxf

xf
,
=
2
1cos
2
x
x =


xg



0sin
,
xxxg với mọi
x
>0



xg đồng biến

xg >


0g =0
với 0

x hay


xf
,
>0 với 0

x



xf đồng biến



xf >


0f =0 với 0

x

0
6

sin
3

x
xx

6
3
x
x < xsin với 0

x (2)
TRNG THPT CHUYấN LO CAI Giothoimai2003
9
Từ (1),(2)


6
3
x
x < xx

sin với 0

x đpcm.
Bi 4: Chứng minh rằng
xx tansin
2
2

1
2
x
với
2
0

x
Giải
áp dụng bất đẳng thức côsi:
xx tansin
2
2




xx tansin
2.2.2 =
1
2
tansin
2
tansin
22.2

xxxx


xx tansin
2
2



1
2
tansin
2

xx
Yêu cầu bài toán

Việc chứng minh
1
1
2
tansin
2
2




x

xx


11
2
tansin


x
xx


xxx 2tansin


với
2
0

x
xét hàm số


xf = xxx 2tansin


với
2
0

x ,


00 f





xf
,
= 2
cos
1
cos2
cos
1
cos
2
2
2

x
x
x
x
icos

2.
cos

1
.cos.2
2
2

x
x
0

(vì xx
2
coscos với
2
0

x )




0
,
xf



xf đồng biến

xf


0f với
2
0

x




xf = 02tansin



xxx


xxx 2tansin


hay
xx tansin
2
2

1
2
x
với
2
0

x đpcm.
Bi 5: (ĐH D- ợc )
Với
2
0

x , chứng minh rằng
1
2
3
tansin.2
2
2
2



x
xx
Giải
Xét hàm số

2
3
tan
2
1
sin
x
xxxf với
2

xo
Ta có

i
x
xx
x
xxf
cos
22
,
2
3
cos
.
2
1
2
cos
2

cos
2
3
cos
.
2
1
cos

0
2
3
.
cos
1
2
cos
2
cos
.3
3
2

x
xx

0
,
xf







2
;0

x




xf đồng biến trong khoảng






2
;0

xf




0f

0
2
3
tan
2
1
sin
x
xx







2
;0

x

2
.3
tan
2
1
sin
x
xx







2
;0

x
. Đẳng thức xảy ra

0

x
Mà
2
3
tan
2

1
sin
tansin2tansin.2
2.22.222.222
x
xx
xxxx




2
3
1
tansin2
2
2
2
x
xx

2
;0

x
Đẳng thức chỉ xảy ra



0
tansin.2


x
xx

0

x .Do đó
1
2
3
tansin.2
2
2
2



x

xx
với







2
;0

x
đpcm.
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
10
BÀI TP VN DNG
Bài 6 Cho
4
3
0 

, Chøng minh r»ng 3
1
.2
2



Bài 7: Chøng minh r»ng víi 10

3
 aba th×









 
ba
baa
b
ba
baa





3
3
3
3
3
1.2
.211
.2

.2.
.
Bài 8 Cho
2
0

 ba
Chøng minh r»ng bbaa sin.sin.

>


ab coscos.2 
Bài 9: Chøng minh r»ng
0000
10tan.6tan.39tan.5tan.4 
Bài 10: Cho


y
x
z>0 chøng minh
y
xz
x
zy
z
yx
222


222
zyx 
Bài 11: Chøng minh
 
xx
x
x  1ln
2
2
víi mäi 0

x

Bài 12: Chøng minh r»ng
x
x
xx
x



1
2
2
víi 0

x
Bài 13: Chøng minh r»ng :
 
2

2
2
4
1sin




xx víi
2
0

 x

Bài 14: Cho a,b,c>0 vµ 1
222
 cba chøng minh r»ng

2
3.3
222222






b
a
c

a
c
b
c
b
a


TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
11
CHUYÊN  4: K THUT CHN IM RI TRONG GII TOÁN
BT NG THC
Xin m đu bng 2 bài toán sau đây:
Bài toán 1. Cho
, 0
1
a b
a b



 

, tìm GTNN ca
2 2
1 1
2
P
ab
a b

 

Hng dn
Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4
4
2
2 ( )
ab
a b a ab b a b
   
   
.
D
u “=” xy ra
a
a b
P a
a b
b






     
 
 






1
1
2
Min 4 khi b
2
1 1
2
Bài toán 2. Cho
, 0
1
a b
a b



 

, tìm GTNN ca
2 2
1 1
2
1
P
ab
a b

 
 
Hng dn
Li gii 1. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 2
1 2 1 ( ) 1
P
ab
a b a ab b a b
     
      
Du “=” xy ra
2 2 2
1 2 ( ) 1 0
(voâ nghieäm)
1 1
a b ab a b
a b a b
 
     
 
 
 
   
 
 
. Vy không tn ti

Min ???
P
Li gii 2. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
6 3 3 3
1 6 1 ( ) 1 4
P
ab ab ab ab
a b a ab b a b ab
      
       
Mt khác
2
1
2 4
a b
ab

 
 
 
 
. Vy
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P

a b a b
  
 
   

   
   
Du “=” xy ra
2 2
1 3
1
2
1
a b ab
a b a b
a b

  

    


 

.
Bình lun: Bài toán 1 và bài toán 2 gn nh tng t nhau, cùng áp dng bt đng thc
1 1 4
a b a b
 


. Li gii 1 ti sao sai? Li gii 2 ti sao li tách
1 1 1
2 6 3
ab ab ab
  ? Làm sao nhn bit
đc điu đó? ó chính là k thut chn đim ri trong bt đng thc. Và qua chuyên đ này
chúng ta s hiu sâu hn v k thut “chn đim ri” trong vic gii các bài toán cc tr
Các bt đng thc trong các đ thi thông thng là đi xng vi các bin, và ta d đoán du bng xy
ra khi các bin bng nhau và xy ra ti biên.
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
12
I. K thut chn đim ri trong bt đng thc Cauchy
Bài 1: Cho
, 0
1
a b
a b



 

, tìm GTNN ca biu thc
2 2
1 1
4
P ab
ab
a b
  


.
Sai lm thng gp:
*) Sai lm 1:
Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b
 
         
 
   
 
.
Mt khác
1 1
4 2 .4 2 2
2 2
ab ab
ab ab
   . Vy
4 2 2
P   nên
2(2 2)
MinP  

*) Sai lm 2:
2 2 2
1 1 1 1 4 1 1 1 1
4 2 4 . 4 2 6
4 4 2 4 4 4
( )
P ab ab
ab ab ab ab ab ab ab
a b a b
 
           
 
 
 
Du bng xy ra
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b

 


    



 


. Thay
1
2
a b
 
vào ta đc
7
P

7
MinP
 
khi
1
2
a b
 
.
Nguyên nhân sai lm:
Sai lm 1: Hc sinh cha có khái nim “đim ri”, vic tách
1 1 1
2 2
ab ab ab
  là do thói quen đ làm
xut hin
2 2 2

2 ( )
a b ab a b
    .
1
4 2 2 4
2
1
a b
MinP ab VN
ab
a b




    


 


. Du “=” bt đng thc
không xy ra

không kt lun đc
4 2 2
MinP  
Sai lm 2: Hc sinh đã có khái nim đim ri, d đoán đc du bng khi
1
2

a b
 
nên đã tách các
s hng và
7
MinP

khi
1
2
a b
 
là đúng, nhng bc cui hc sinh làm sai ví d nh
2
(1 )
x x x
  
, du bng xy ra khi
1
x

2
( 1) 1??
Min x x
 
   
 
.
Li gii đúng: Do P là biu thc đi xng vi
,

a b
, ta d đoán
MinP
đt ti
1
2
a b
 
, ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4 2 4 . 7
2 4 4 2
( )
4
2
P ab ab
ab ab ab ab
a b a b
a b
 
        
 
 
 

 
 
 
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

13
Du bng xy ra
2 2
2 2
2
1 1
16 2
1
a b ab
a b a b
a b

 


    


 


.
Bài 2: Cho
, 0
1
a b
a b




 

, tìm GTNN ca biu thc
3 3 2 2
1 1 1
S
a b a b ab
  

.
Sai lm thng gp:
Ta có:
3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2
1 1 1 2 2 9 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3
S
a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab
 
       
 
   
 
3 2
9 2 1 1 1 2 4 59
. 9 .
3 3
( )
3.
2

ab a b a b
a b
a b
 
     
 


 

 
 
 
.
59
3
MinS 
Nguyên nhân sai lm:
3 3 2
3
59
« Öm
3
1
a b a b
MinS a b v nghi
a b

 


   


 

Li gii đúng
Ta d đoán du bng xy ra khi
1
2
a b
 
, và ta thy
3 3 2 2 3
3 3 ( )
a b a b ab a b
     vì th ta mun
xut hin
3
( )
a b
 ; ta áp dng bt đng thc cho 3 s
3 3 2 2
1 1 1
2 2
a b a b ab
 

và nu vy:
3 3 2 2 3
1 1 1 9

2 2 ( ) ( )
a b a b ab a b ab a b
  
   
, ta không đánh giá tip đc cho nên ta phi áp dng bt
đng thc cho 5 s:
3 3 2 2 2 2 3 3
3
1 1 1 1 1 25 25
20
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )
( )
4
S
a b a b ab a b ab a b ab a b a b
a b
       
    
 
Du bng xy ra khi
1
2
a b
 
.
II. K thut chn đim ri trong bt đng thc BCS.
Bài 3. Cho
, ,
x y z
là ba s dng và

1
x y z
  
, chng minh rng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82
x y z
x y z
     
Nhn xét: chúng ta có th dùng bt đng thc Cauchy nh  phn 1
Sai lm :
 
2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1
2
x x x x x
x x x
x x
     
         
     
     
TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
14
Tng t ta có:

1 1 1 1 2 1 1 1
( ) ( ) 3 2
2 2
P x y z x y z
x y z x y z
 
   
           
 
   
   
 
Vy
3 2 ?
P 
Nguyên nhân sai lm:
1 1 1
, ,
1 1 1
3 2 ( )
1
x y z
x y z
P vn
x y z

  

 



  

Li gii đúng: Ta d đoán du đng thc xy ra khi
1
3
x y z
  
; và biu thc trong cn gi cho
tam s dng BCS:
 
2
2 2 2
2
1
x x
y
x

  
 
 
   
   
 
 
vi
,
 
là nhng s tha mãn:

2
1
1 1
9
x
x
x
x

   
    
, chn
1, 9
 
 
Ta có
 
2
2 2 2 2
2 2
1 9 1 1 9
1 9
82
x x x x
x x
x x
     
       
     
     

, tng t ta có:
1 1 1 1
9 ) 9
82
P x y z
x y z
 
 
     
 
 
 
 
, do
1 1 1
1; 9
x y z
x y z
     
nên ta tách:
1 1 1 1 80 1 1 1 2 1 1 1 80 9
( ) ( ) 82
9 9 3 9
x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
     
              
     
 
     

Vy
82
P  , du “=” xy ra khi
1
3
x y z
  
.
Bài 4. Cho
, , .0
1 1 1
1
x y z
x y z



  


, tìm GTLN ca
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
Hng dn : Ta có:
2 2
1 1 ( )

2 2
z
y z
x x y z
 

  
 
, ta chn

sao cho
3
x y z
  
và

1 1
1 2
2 2
y z
x
 

     
Vy ta có:
 
 
2
2
2

2
2 1 1 (2 2)
2 2
2 2
1 1 1 (2 2) 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2
1 1 1 (2 2)
2 2
y z
x x y z
P
x z x y z
y x y z
x y
z x y z


  

 



 


       

 

  
 





  

 

Du bng xy ra khi
1
3 khi 3
2 2
x y z MaxP x y z
       

TRNG THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003
15
BÀI TP VN DNG
Bài 5 : Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z





  


. Tìm GTLN ca
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
.
Bài 6: Cho
, , 0
3
a b c
a b c



  

. Chng minh rng:
3 3 3 3
2 2 2 3 3
a b b c c a      .
Bài 7: Cho
, , 0
1
x y z

xyz





, chng minh rng:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  
Bài 8. Cho
, ,
x y z
là 3 s tha
0
x y z
  
, chng minh rng:

3 4 3 4 3 4 6
x y z
     
(đ tham kho 2005)
Bài 9. Cho
, , 0
1

a b c
abc





,chng minh rng
3 3 3
1 1 1 3
2
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
  
  
Bài 10. Cho
, , 0
1
a b c
abc





, tìm GTNN ca
3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
P
b c c a a b

  
     
Lào Cai, ngày 21 tháng 10 nm 2010
Trn Hoài V