Đề thi tuyển số 2 - Môn toán pps

ĐỀ 2
Câu 1 Tính giá trị biểu thức:


x 5 2 2 5 5 250
  
;
3 3
y
3 1 3 1
 
 
;
 
x x y y
A x y
x xy y

 
 

Câu 2: Cho phương trình (m + 1)x
2
– 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn:
1 2

1 1 7
x x 4
 

Câu 3:Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới
bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành
đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc
riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước.
Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại
hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M
kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm
đường tròn đó.
b) Chứng minh MA.MB = MN
2
.
c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều.
d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Câu 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:
4 5
23
x y
 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 7
B 8x 18y
x y
   

ĐÁP ÁN

Câu 1: Tính giá trị biểu thức:


 
 
x 5 2 2 5 5 250
5 2 2 5 5 5 5. 2
5 2 5 2 2 5 5 2
10
  
  
  


   
 
3 3
y
3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3 1 3 1
3 3 1
3
2
 
 
 

 
 

 

 
   
 
  
 
  
3 3
x x y y
A x y
x xy y
x y x y x xy y
x y x y
x xy y x xy y
x y x y x y 10 3 7

 
 
   
   
   
       


Câu 2: a) Xét phương trình (m + 1)x
2

– 2(m – 1)x + m – 2 = 0
Khi m = 2 phương trình trở thành: 3x
2
– 2x = 0

 
0
3 2
2
3



  



x
x x
x

b) Để phương trình là phương trình bậc 2 thì trước tiên m ≠ 1






2
' 1 m m 1 m 2 3 m

       

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
' 0
 
hay m < 3 (1)
Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có:
1 2
1 2
2(m 1)
S x x
m 1
m 2
P x .x
m 1


  






 

 
(2)
Xét biểu thức
1 2

1 2 1 2
1 1 7 x x 7
x x 4 x .x 4

   
(3)
Thế (2) vào (3)
2(m 1) m 2 7 2(m 1) 7
: 8m 8 7m 14
m 1 m 1 4 m 2 4
  
       
  


m 6
  
Kết hợp với điều kiện (1): Kết luận m = 6
Câu 3: Gọi vận tốc của dòng nước là: x (km/giờ) (ĐK: x>0)
Vận tốc thực của ca nô là: 4x (km/ giờ)
* Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B vận tốc của ca nô so với đường là: 4x+x (km/giờ)
Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là:
60 12
4x x x


(giờ).
* Khi ca nô ngược dòng từ B về A vận tốc của ca nô so với đường là: 4x-x (km/giờ)
Thời gian ca ngược dòng từ B về A là:
60 20

4x x x


(giờ).
* Thời gian ca nô nghỉ ở B là 1 giờ 20 phút hay
4
3
giờ.
* Vì tổng thời gian hết 12 giờ nên ta có phương trình

12 20 4 8 1
12 3 x 3
x x 3 x 3
       

* Kết luận: Vận tốc dòng nước là 3 km/giờ.
Vận tốc thực của ca nô là 3 x 4=12 km/giờ.

Câu 4:
a) CM tứ giác MNOP nội tiếp:
Xét tứ giác MNOP có
MN ON

(Tính chất tiếp tuyến

dây cung)

·
0
ONM 90

 


N
O

A

P

M

B

d

I
H

K

d
’


MP OP

(Tính chất tiếp tuyến

dây cung)

·
0
OPM 90
 


·
·
0
ONM+OPM 180


Vậy tứ giác MNOP nội tiếp trong đường
Tròn đường kính OM, tâm là trung điểm OM
(Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
).

b) CM: MA.MB = MN
2
:
Xét 2 tam giác

AMN và

NMB có
Góc
·
AMN

chung.

·
ANM
=
·
ABN
(Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn
cung
»
AN
của đường tròn tâm O).

AMN đồng dạng với

NMB
2
MA MN
= MA.MB = MN
MN MB
 
(Điều phải chứng minh).

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều:
* Xét MNP có MN=MO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Nên MNP cân tại M.
* Giả sử MNP đều thì góc
·
0
NMP 60



Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có OM là phân giác của góc
·
NMP
nên

·
0
OMN 30

* Lại có tam giác

OMN vuông tại N và
·
0
OMN 30
 nên

·
0
NOM 60

Gọi I là trung điểm OM thì IN = IM = IO (NI là trung tuyến ứng cạnh huyền
của tam giác vuông OMN)


Tam giác ONI đều
Vậy IN = IM = IO = R hay OM = 2R
* Kết luận: Vậy để tam giác MNP đều thì OM=2R.

d) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP:
* Kẻ OH vuông góc vớ (d) tại H
Gọi K là trung điểm của OH
* Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP cũng ngoại tiếp tứ giác MNOP (Tâm I)


IK là đường trung bình của tam giác MOH.
* Xét: khi M

A thì I

Trung điểm OA
khi M

B thì I

Trung điểm OB
M nằm ngoài đường tròn O (tức nằm ngoài AB) thì I cũng nằm ngoài tam giác AOB.
* Kết luận: Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ đi qua K và
song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong tam giác AOB) như hình vẽ.

Câu 5: (1 điểm)
6 7 2 2 4 5
B 8x 18y 8x 18y
x y x y x y
   
 
         
 

   
 
   

Áp dụng BĐT Côsi và BĐT của đầu bài đã cho ta có
B
8 12 23 43
   
Dấu bằng xảy ra khi
 
1 1
x;y ;
2 3
 

 
 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi
 
1 1
x;y ;
2 3
 

 
 


***************************************