BAI GIANG QHTT doc

Giáo viên: ThS. Lê Hữu Chí
Giáo viên: ThS. Lê Hữu Chí


Bài giảng

Bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị cực đại (cực tiểu) của một số
hàm phụ thuộc nhiều biến số trên tập hợp các biến số thỏa mãn
những điều kiện nhất định. Các mô hình và phương pháp tối ưu có
những ứng dụng rộng rãi và đa dạng trong thực tiễn, đặc biệt trong
kinh tế và kỹ thuật.
Trong các bài toán tối ưu thì quan trọng nhất và đáng chú ý trước
nhất là các bài toán tối ưu tuyến tính, hay còn gọi là bài toán quy
hoạch tuyến tính, tức là bài toán tìm cực đại (cực tiểu) của một hàm
tuyến tính với các biến số thỏa mãn các phương trình hay bất phương
trình tuyến tính.
Phạm vi nghiên cứu của môn học:

Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán đối ngẫu

Bài toán vận tải

1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát:
1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát:
Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát với n ẩn x
Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát với n ẩn x
1
1

, x
, x
2
2
, …, x
, …, x
n
n
Trong đó:
(1): hàm mục tiêu của bài toán
(2): hệ ràng buộc chính của bài toán
(3): hệ ràng buộc dấu của bài toán
n , 3, 2, 1,j ;
ýtùy
0
0
x(3)
m , 3, 2, 1,i ;b xa xaxa (2)
max(min)xc xcxc f(x) (1)
j
inin2i21i1
nn2211
=











≤
≥
=










=
≤
≥
+++
→+++=
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính
*. Phương án: một vectơ n chiều x* = (x
1
*, x

2
*, …, x
n
*) thỏa mãn hệ ràng
buộc của bài toán được gọi là một phương án (PA) (lời giải chấp nhận được)
của bài toán QHTT.
-
Tập X gồm nhiều phương án gọi là tập phương án
-
Phương án x* thỏa mãn hệ ràng buộc chặt với dấu “ = “ , thỏa mãn lỏng với
dấu “ > ” hoặc “ < “ .
*. Phương án cơ bản: một phương án x* = (x
1
*, x
2
*, …, x
n
*) thỏa mãn
chặt ít nhất n ràng buộc của bài toán được gọi là một phương án cơ bản
(PACB).
-
PACB thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc: PACB không suy biến
- PACB thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc: PACB suy biến
Mọi bài toán QHTT Có PA thì sẽ có PACB và số PACB của bài toán đó
luôn hữu hạn.
Bài toán quy hoạch tuyến tính

*. Phương án tối ưu: PA của bài toán cực đại hay cực
tiểu được gọi là PATU nếu có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập PA
X của bài toán.

-
Nếu bài toán cực đại (hay cực tiểu) có PA và hàm mục tiêu bị chặn trên (hay
chặn dưới) trên tập PA thì bài toán có PATU.
-
Nếu bài toán QHTT có PATU thì nó phải có PACB tối ưu.
-
Nếu bài toán QHTT có hơn một PATU thì sẽ có vô số PATU.
)x, ,x,(xx
0
n
0
2
0
1
0
=
)x(f
0
*. Bài toán giải được:
-
Một bài toán QHTT có ít nhất một PATU được gọi là bài toán giải được.
-
Một bài toán QHTT không có PA hay có PA nhưng hàm mục tiêu không bị
chặn trên (BT cực đại) hay không bị chặn dưới (BT cực tiểu) trên tập PA được
gọi là bài toán không giải được.
Giải một bài toán QHTT là tìm PATU và GTTU, gọi là lời giải tối ưu của
bài toán hay chứng tỏ bài toán không giải được.
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính

2. Bài toán QHTT dạng chính tắc: một bài toán QHTT
được gọi là dạng chính tắc có dạng sau:
n , 3, 2, 1,j ; 0 x
b xa xaxa
. . . . . . . . . .
b xa xaxa
b xa xaxa
max(min)xc xcxc f(x)
j
mnmn2m21m1
2n2n222121
1n1n212111
nn2211
=≥
=+++
=+++
=+++
→+++=
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính

3. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn: một bài
toán QHTT dạng chuẩn có dạng sau:
m , 3, 2, 1,i; 0b ;n , 3, 2, 1,j 0;x
bxa xa x

bxa xa x
bxa xa x

max(min)f(x)
ij
mnn m1m1m mm
2nn 21m1m 22
1nn 11m1m 11
=≥=≥
=+++
=+++
=+++
→
++
++
++
Trong bài toán QHTT trên thì các ẩn x
1
, x
2
, … , x
m
là các ẩn cơ
bản và x
m+1
, x
m+2
, … , x
n
là các ẩn tự do.
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính

4. Phương pháp đơn hình:
Phương pháp giải bài toán QHTT được cho là đầu tiên và hiệu
quả nhất là phương pháp đơn hình.
PACB x
0

x
0
là PATU?
PACB x
1

Sai
Có PATU
Không có PATU
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính
Bài toán quy hoạch tuyến tính


Lập mô hình toán học

Phương pháp hình học

Biến đổi bài toán về dạng chính tắc

Lập bài toán mở rộng

Phương pháp đơn hình


Phương pháp đơn hình mở rộng

Xét tính tối ưu của một phương án

Giải bài toán có chứa tham số

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn
-
Xác định ẩn, đơn vị tính của ẩn,
-
Đặt điều kiện cho ẩn phù hợp với thực tế ( không âm, nguyên …)
Bước 2: Lập hệ ràng buộc chính
-
Tính các số liệu kỹ thuật của BT (Tổng số NVL, tổng khối lượng các chất
có trong NL, tổng SP thu được …) để được các biểu thức toán học.
-
Đặt điều kiện cho các biểu thức toán học để được các PT hay BPT của BT.
Bước 3: Lập hàm mục tiêu
-
Tính biểu thức diễn tả yếu tố “kinh tế” của BT (tổng doanh thu, tổng lợi
nhuận, tổng chi phí đầu ra …);
-
Đặt yêu cầu tối ưu cho biểu thức.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Lập mô hình toán học
Lập mô hình toán học

BÀI TẬP ỨNG DỤNG 1
Một XN dệt có kế hoạch sản xuất 3 loại vải A, B, C. nguyên liệu để sản xuất là

các loại sợi cotton, kate, polyester XN đã chuẩn bị được với khối lượng là 3
tấn; 2,5 tấn; 4,2 tấn. Mức tiêu hao mỗi loại sợi để sản xuất 1m vải và giá bán
(ngàn đồng/m) và thành phẩm của mỗi loại vải được cho trong bảng sau:
Nguyên liệu
(g)
Sản phẩm
A B C
Cotton
Kate
Polyester
200
100
100
200
200
100
100
100
100
Giá bán 35 48 25
Hãy lập mô hình toán học của BT lập kế hoạch sản xuất tối ưu, nghĩa là sản
xuất mỗi loại vải bao nhiêu mét để tổng doanh thu của XN đạt được cao nhất
và không bị động trong sản xuất. Biết rằng với giá bán đã định thì XN có thể
tiêu thụ hết được số SP đã sản xuất.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Lập mô hình toán học
Lập mô hình toán học

BÀI TẬP ỨNG DỤNG 2
Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng: đạm, đường,

khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g. Cho biết hàm lượng
các chất dinh dưỡng trên có trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn
mỗi loại cho trong bảng sau:
Chất dinh
dưỡng
Loại thức ăn
A B C
Đạm 0,1g 0,2g 0,3g
Đường 0,3g 0,4g 0,2g
Khoáng 0,02g 0,01g 0,03g
Giá mua 3000 đ 4000 đ 5000 đ
Hãy lập mô hình toán học của BT xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải
mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu
thức ăn tối thiểu mỗi.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Lập mô hình toán học
Lập mô hình toán học

Bước 1: biểu diễn tập phương án X trên mặt phẳng Oxy
-
Biểu diễn nghiệm của tất cả các BPT hay PT của hệ ràng buộc
trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
-
Xác định phần giao của các nghiệm đó (tập phương án X của
bài toán)
Bước 2: biểu diễn vectơ pháp tuyến và hàm mục tiêu
-
Lấy một điểm bất kỳ trong miền X;
-
Lấy điểm đó làm gốc để vẽ VTPT n của hàm mục tiêu và vẽ

đường thẳng d vuông góc n tại điểm đó (d: là biểu diễn của
đường thẳng hàm mục tiêu trên mặt phẳng tọa độ Oxy;
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp hình học
Phương pháp hình học

Bước 3: giải bài toán
TH1: hàm mục tiêu có dạng z = ax + by max
Cho d di chuyển theo phương vuông góc n và theo hướng n
1. Nếu d luôn giao với X thì bài toán không giải được;
2. Nếu d có vị trí tới hạn giao với X và X nằm về một phía của d thì bài toán
giải được.
Mọi (x
0,
y
0
) thuộc d giao với X đều là PATU của BT và có giá trị z
0
= ax
0
+ by
0
•
d giao với X là một điểm duy nhất thì BT có một PATU duy nhất;
•
d giao với X là một đoạn thẳng thì BT có vô số PATU.
TH2: hàm mục tiêu có dạng z = ax + by min
Giải tương tự bài toán cực đại chỉ khác là cho d di chuyển ngược hướng n.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp hình học

Phương pháp hình học

BÀI TẬP ỨNG DỤNG 1
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
0y x,
15y5x
62yx
2y2x
max(min)y2x z
≥
≤−
≤+−
≥+
→+=
BÀI TẬP ỨNG DỤNG 2
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
0y x,
10y2x
124y x
81y6x
max(min)y4020x z
≥
≥+
≥+
≥+
→+=
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp hình học
Phương pháp hình học

Bước 1: kiểm tra hệ ràng buộc chính
1. Nếu:
Thêm vào x
n+k
để được:
bax ax ax
iini2i1
≤+…++
bxax ax ax
iknini2i1
=++…++
+
2. Nếu:
Bớt đi x
n+k
để được:
Các ẩn phụ là ẩn không âm và hệ số của các ẩn phụ trong hàm MT bằng
0
bax ax ax
iini2i1
≥+…++
bxax ax ax
iknini2i1
=−+…++
+
Bước 2: kiểm tra điều kiện của ẩn số
1. Nếu x
j
<= 0: thay ẩn x
j

bằng ẩn x
j
’ = -x
j
để ẩn trong BT là x
j
’>= 0
2. Nếu x
j
có dấu tùy ý: thay ẩn x
j
= x
j
’ – x
j
’’ với x
j
’, x
j
’’>= 0
Các loại bài toán và phương pháp giải
Biến đổi bài toán về dạng chính tắc

*. Chú ý:
•
Bài toán QHTT đã được thêm các ẩn phụ hoặc đổi ẩn để có
dạng chính tắc là BT phụ của BT đã cho (BT gốc).
•
Nếu BT phụ không có PATU thì BT gốc cũng không có
PATU.

•
Nếu BT phụ có PATU thì BT gốc cũng có PATU, PATU của
BT gốc là PATU của BT phụ bỏ đi ẩn phụ và đổi các trị số ẩn
mới về ẩn cũ. Giá trị tối ưu của 2 BT bằng nhau.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Biến đổi bài toán về dạng chính tắc

BÀI TẬP ỨNG DỤNG1: Biến đổi các bài toán QHTT sau về dạng chính
tắc
BÀI TẬP ỨNG DỤNG2: Biến đổi các bài toán QHTT sau về dạng chính
tắc
4. 3, 2, 1,j0; x
34xx2x
4x4x3x
2x2x x
min4x3x2xxf(x)
j
432
321
421
4321
=≥
=+−
≥++
≤−+
→−++=
0x0; x
4x4x3x
44xx2x
2x2x x

min3xx2xf(x)
21
321
321
321
321
≤≥
≥++
=+−
≤−+
→++=
Các loại bài toán và phương pháp giải
Biến đổi bài toán về dạng chính tắc

Các loại bài toán và phương pháp giải
Lập bài toán mở rộng
Lập bài toán mở rộng
Một bài toán QHTT đã có dạng chính tắc nhưng không có
dạng chuẩn thì ta có thể lập bài toán mở rộng để được bài
toán có dạng chuẩn.
*.Bước 1: Kiểm tra dấu của các số hạng tự do
Nếu một ràng buộc có số hạng tự do âm thì ta nhân hai vế với -1
để được ràng buộc chính với số hạng tự do dương.
*.Bước 1: Kiểm tra ẩn cơ bản của bài toán
-
Bổ sung những cột đơn vị còn thiếu vào bên trái ma trận điều
kiện A. mỗi cột đơn vị tương ứng với một ẩn giả có hệ số 1 nằm
cùng dòng.
-
Hệ số của số giả là +M(-M) trong BT cực đại (cực tiểu).

BÀI TẬP ỨNG DỤNG 1
Các bài toán QHTT sau có dạng chuẩn chưa? Nếu chưa có dạng
chuẩn thì lập bài toán mở rộng của bài toán đó.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Lập bài toán mở rộng
Lập bài toán mở rộng
4. 3, 2, 1,j0; x
20xx2x x
165xx2x
173x2x x
minx4x3x2x)x(f
j
4321
321
321
4321
=≥
=+++
=++
=+−
→+++=
5. 4, 3, 2, 1,j0; x
20x5x2x4x
-6xx42x-
17x43xx2x
maxxxxxx)x(f
j
5431
531

5321
54321
=≥
=+++
≤++
=+++
→++++=
a)
b)

TRƯỜNG HỢP 1: bài toán cực đại
*. Bước lặp thứ nhất (bảng đơn hình thức nhất)
1. Lập bảng đơn hình xuất phát
x
1
x
2
x
3
. . . x
n
c
1
c
2
c
3
. . . c
n
Hệ

số
các
ẩn
CB
trong
HMT
Các
ẩn
cơ
bản
x
0
b
1
b
2
. . .
b
m
a
11
a
12
a
13
. . . a
1n
a
21
a

22
a
23
. . . a
2n
. . . . . .
a
m1
a
m2
a
m3
. . . a
mn
f(x
0
) Hệ số ước lượng
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp đơn hình
Phương pháp đơn hình

2. Xác định phương án cơ bản xuất phát
3. Đánh giá tính tối ưu của PACB xuất phát
- Dấu hiệu tối ưu: hệ số ước lượng của các ẩn đều không âm.
-
Dấu hiệu không có PATU: ít nhất một hệ số của ẩn không cơ
bản x
k
âm và cột điều kiện của A
k

của ẩn đó có các TP đều
không dương
Nếu không xảy ra cả hai trường hợp trên thi thuật toán tiếp
tục trong bước lặp thứ hai.
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp đơn hình
Phương pháp đơn hình

*. Bước lặp thứ hai (bảng đơn hình thứ hai)
1. Tìm ẩn đưa vào
2. Tìm ẩn đưa ra
3. Lập bảng đơn hình thứ hai
4. Xác định và dánh giá PACB thứ hai
TRƯỜNG HỢP 2: bài toán cực tiểu
Cách giải tương tư BT cực đại
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp đơn hình
Phương pháp đơn hình

BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Giải bài toán QHTT sau. Phương án tối ưu tìm được (nếu có) có
duy nhất hay không? Tìm một phương án tối ưu khác (nếu có).
6. 5, 4, 3, 2, 1,j ; 0 x
36 xxx3
30 3xxxx2
32 x9x26x x
max6x-x-x45x-2x f(x)
j
652
5432

5421
54321
=≥
=++
=+++
=−−+
→+=
Các loại bài toán và phương pháp giải
Phương pháp đơn hình
Phương pháp đơn hình

LỜI GIẢI
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
2 -5 4 -1 -6 0
2 x
1
32 1 6 0 -2 -9 0
4 x
3

30 0 2 1 1 (3) 0 (10)
0 x
6
36 0 3 0 0 1 1 36
184 0 25 0 1 (0) 0
2 x
1
122 1 12 3 1 0 0
-6 x
5
10 0 2/3 1/3 1/3 1 0
0 x
6
26 0 7/3 -1/3 -1/3 0 1

184 0 25 0 1 (0) 0
PATU: (122, 0, 0, 0, 10, 26); GTTU: 184
2.32 + 4.30 + 0.36 = 1842.6 + 4.2 + 0.3 – (-5) = 25