Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 3 ppsx

Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ
TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG
Bài 1:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD
tại O SO

(ABCD), SA = 2
2
. Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính
thể tích khối chóp S.ABMN
GIẢI
Cách 1:
B
O
C
D
A
S
M
N
Ta có AB // CD (gt)
(ABM) (SCD) = MN
⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD
VSABCD =
2
1
SABCD.SO =
2
1
AC.BD.SO =

2822.2.4
2
1

2
1

SD
SN
V
V
SABD
SABN
⇒ VSABN =
2
1
SSABD =
2
28
2
1
.
= 2 2
4
1
2
1
2
1


SD
SN
SC
SM
V
V
SBCD
SBMN
⇒ VSBMN =
4
1
SSBCD =
2
28
4
1
.
= 2
⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3 2
Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
O
S
A
C
D
N
M
B
z

x
y
Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS
Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2 )
Do (ABM)
∩ (SCD) = MN
AB // CD
⇒MN//CD
⇒N là trung điểm SD
⇒N(0; -
2
1
; 2 )
SA = (2; 0; -2 2 ); SM = (-1; 0; - 2 ); SB = (0; 1; -2 2 ); SN = (0; -
2
1
; - 2 )
[
SA , SM ] = (0; 4 2 ; 0)
V
SABM =
6
1
[ SA , SM ].SB =
3
22
VSAMN =
6
1
[ SA , SM ].SN =

3
2
VSABMN = VSABM + VSAMN = 2
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c
a)Tính thể tích A’C’BD
b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD.
GIẢI
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
C
B'
D'
C'
A'
A
D
B
x
y
a
b
c
M
a) Cách 1:
Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc
V
C’CDB =
6
1
6
1

2
1
.
3
1
'.
3
1


abcabcSCC
BCD
V
Tương tự ta có: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ =
6
1
V
⇒VA’C’DB = V - 4.
6
1
V =
3
1
V=
3
1
abc
Cách 2: dùng phương pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c),
A’(0; 0; 0)

DB
= (a; -b; 0); 'DC = (a; 0; c);
'
DA
= (0; -b;c);
[
DB
, 'DC ] = (-bc; -ac; ab)
V
A’C’DB =
6
1
|[
DB
, 'DC ].
'
DA
| =
3
1
abc
b) Ch
ọn hệ toạ độ như hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) ,
C(a;b;0) , C’(a;b;c)
M là trung điểm CC’ nên M(a;b;
2
c
)
)0;;( baBD  ,
)

2
;;0(
c
bBM
,
);0;(
'
caBA 
[ BMBD, ]=
);
2
;
2
( ab
acbc

VBDA’M =
6
1
|[
BD
,
BM
].
'
BA
| =
4
1
2

3
6
1
abc
abc
2) Về thể tích khối lăng trụ
Ta thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính
hoặc bổ sung thêm
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A =
A’B = A’C. C
ạnh AA’ tạo với đáy một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.
GIẢI
B
A
C
C'
B'
A'
O
a
Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OC
A’A = A’B = A’C (gt)
⇒A’O⊥ (ABC)
(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 60
0
A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC)
Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 60

0
= a
Vì
∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC =
4
3
2
a
⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =
4
3
3
a
Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A,
AC = b, C = 60
o
. (BC’,(AA’C’C)) = 30
o
. Tính thể tích của khối lăng trụ
GIẢI
C
C'
A'
A
B
B'
b
b'
Dễ thấy AB


(ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC
’
B = 30
0
∆ABC vuông tại A có C
ˆ
=60
0
, AC=b nên BC=2b và AB= 3 b.
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
vì AB

(ACC’A’) nên AB b AC’
∆ABC
’
vuông tại A có AC’ =
b
AB
3
30
tan
0

∆ACC’ vuông tại C có (CC’)
2
= AC’
2
- AC
2
= 9b

2
- b
2
= 8b
2
⇒CC’ = 2
2
b =AA’. S∆ABC =
2
1
CA.CBsin6o
o
=
2
3
2
b
⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6 b
3
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
DẠNG 2 : TỈ SỐ THỂ TÍCH
A/. Phương pháp:
Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V
1
và V
2
. Để tính k =
2
1
V

V
ta có thể:
-Tính trực tiếp V
1
, V
2
bằng công thức ⇒ k
-Tính V
2
(hoặc V
2
) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V
2
(hoặc
V
1
) ⇒ k
Ta có các k
ết quả sau:
+Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao
tương ứng.
+Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích
đáy.
+
''.'.

'''
SCSBSA
SCSBSA
V

V
CBSA
SABC

C
A
B
B'
C'
A'
(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))
B. Các bài tập
Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng
(P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
GIẢI
C
B
O
A
S
D
M
B'
I
D'
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM
⇒ I ∈ (P)
BD
⊂ (SBD)

BD // (P)
⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD
9
2
3
2
3
2
2
1
2
1
''

''

SO
SI
SO
SI
SD
SD
CSB
SB
SC
SM
V
V
SCBD
DSMB

(vì I là trọng tâm ∆SAC)
9
2
3
2
3
2
'''
1
''

SD
SD
SB
SB
SA
SA
V
V
SCBD
DSMB
mà V
SABD
= V
SCBD
=
2
1
V
SABCD

2
1
3
1
3
2
9
4
9
2
''
''''
2
1
''
2
1
''

MBABCDD
MDSAB
SABCD
MDSABDSABDSMB
V
V
V
V
V
V
V

V
Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA

(ABCD). (SC, (SAB)) = ỏ. Mắp
phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai
phần đó.
GIẢI
Kí hiệu K
1
= V
SMAQN
V
2
= V - V
1
Gọi O = AC ∩ BD
∆SAC kẻ AN

SC
E = SO
∩ AN ⇒ E ∈ (P)
vì (P)

SC
mà BD

SC
BD

AC

BD

SA


BD

(SAC)
BD
⊂ (SAC)
S
D
C
O
B
A
N
M
Q
E
⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD
CB

AB (gt)
CB

SA (vì SA

(ABCD))
⇒CB


(SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = ỏ
V
1
= 2V
SANQ
, V = 2V
SACB
SB
SQ
SC
SN
V
V
V
V
SACB
SANQ
.
1

Tam giác vuông SAC: SA
2
= SC.SN ⇒ SN =
SC
SA
2
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Tam giác vuông SAB: SA
2

= SB.SQ ⇒ SQ =
SB
SA
2
2
.
)(.
2
2
2
2
2
1
SCSB
SA
SB
SA
SC
SA
V
V

BC

AB (gt)
BC

SA (vì SA

(ABCD))

⇒BC

SB
Tam giác vuông SBC: cos
ỏ =
SC
SB
⇒ SC =

cos
SB
Tam giác vuông SAB: SA
2
= SB
2
- AB
2
= SB
2
- BC
2
= SB
2
- SB
2
tanỏ



2sin1)sin(cos)(

22
.
)tan1(
cos
2
1


SA
SB
SB
V
V




2sin
2sin1
)2sin11(
)2sin1(
1
11





V
V

VV
V
V
V
Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB

(SDC) chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung
điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương.
GIẢI
D
A
B
Q
M
C'
B'
D'
A'
P
E
C
Gợi ý:
Gọi V
1
, V
2
tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có:
V
1

= VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)
Để ý: ED’ = a, FC =
3
a
, PD’ =
3
2a
, CQ =
4
a
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Tính được V
1
=
144
55
3
a
V
2
= V- V
1
= a
3
-
144
55
3
a
=

144
89
3
a


89
55
2
1

V
V
Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho
2
1

MA
SM
,
2
NB
SN
. Mặt
phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.
GIẢI
A'
C
A
B

E
M
N
F
Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)
Đặt V = V
SABC, V
1
= VMNEFCS, V
2
= VMNEFAB
V
1
= VSCEF + VSFME + VSMNE
9
2
3
2
3
1

CB
CE
CA
CF
V
V
SCEF
3
1

. 
SA
SM
SA
SE
SE
SM
V
V
SFEA
SFME
9
4

CB
CE
CA
FA
S
S
S
S
S
S
V
V
ABC
CEA
CEA
FEA

ABC
FEA
SFEA
⇒
V
V
V
SFME
27
4
9
4
3
1
. 
9
2
. 
SB
SN
SA
SM
V
V
SABE
SMNE
3
1

CB

CE
CE
EB
S
S
S
S
S
S
V
V
ABC
CEA
CEA
ABE
ABC
ABE
SABE
⇒V
SABE
=
27
2
V ⇒ V
1
=
9
2
V +
27

4
V +
27
2
V =
9
4
V
5
4
2
1

V
V
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng
a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ
do (MNE) tạo ra.
GIẢI
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
B'
C'
C
B
A
A'
E
M
N
A'

I
Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI
Gọi V
1
, V
2
tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có
V
1
= VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF
V
2
= VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI
So sánh từng phần tương ứng ta có V
1
= V
2


2
1
V
V
= 1
Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. {O} = AC

BD, ox

(ABCD). Lấy
S


Ox, S

O. Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần.
Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT
ĐẲNG THỨC,KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG
DỰA VÀO THỂ TÍCH.
Bài 1: SABC có SA = 3a, SA

(ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120
o
Tính D(A,(SBC)).
GIẢI
B
A
S
C
M
3a
2a
S∆ABC =
2
1
AB.BC.sin120
o
=
4
3.2.2

aa
= a
3
3
SSABC =
3
1
S∆ABC .SA=
3
33.
2
aa
= a
3
3
Kẻ SM

BC
BC

SA (vì SA

(ABC))
⇒BC

AM ⇒ AM = a 3
∆SAM vuông tại A có SM = 2 3 a
S
∆SBC = SM.BC = 2 3 a
2

d(A, (SBC)) =
2
3
32
33
3
2
3


a
a
S
V
SBC
SABC
a
Bài 2: SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , SA

(ABC), SA =2a.
`Tính d(A, (SBC))
GIẢI