Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 2 docx

Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S
A
D
C
K
B
H
S⋄ABCD = 3S∆BCD =
12
3289
2
a
⇒VSABCD =
3
1
S⋄ABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170 3 a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong
mặt phẳng


(ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với
(SCD) một góc ỏ. Tính thể tích khối chóp SABCD
GIẢI
Trong ∆SCD hạ SH

CD
Vì
∆SCD cân tại S
⇒ H là trung điểm CD.
SH

CD
(SCD)

(ABCD
⇒ SH

(ABCD)
G
ọi K là trung điểm AB
Ta có HK

AB
AB

SH (vì SH

(ABD))
⇒AB


(SKH) ⇒ AB

SK ⇒ ∆SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ
∆SAB có SK =
acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ
∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos
2
ỏ
KH = SKsinỏ = asinỏcosỏ. SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ
= 2a2sin
2
ỏcosỏ ⇒VSABCD =
23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH

ỏ
Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60
o
,
BC = a, SA = a
3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
GIẢI

H
C
A
B
a
M
Cách 1.
SA b (ABC)
T
ừ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC)
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
2
3
2
1
a
SA 
S∆ABC = 3.60tan
2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o


VMABC =
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3
.3
a
a
ABC
aMHS 

Cách 2.
2
1

SB
SM
V
V
ASABC
MABC
VMABC =
SABC
V

2
1
mà VSABC =
3
1
SA.S∆ABC =
63.3
3
2
1
2
2
1
3
1
aaa 
⇒VMABC =
3
4
1
a
Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD),
AB = a, SA = a
2 . H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng
minh rằng: SC

(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
GIẢI

A
C
O
H
K
a
a
N
F
E
B
D
a 2
S
y
x
AH

SB (gt) (1)
BC

AB (vì ABCD là hình vuông)
BC

SA (vì SA

(ABCD))
⇒BC

(SAB) BC


AH (2)
T
ừ (1) (2) ⇒AH

(SBC ⇒AH

SC (3)
Ch
ứng minh tương tự ta có: SC

AK (4)
T
ừ (3) (4) ⇒ SC

(AKH)
G
ọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE

(AHK)
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111

ADASAK

⇒ AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS


Dễ thấy AH =
3
2
a
∆AKH cân tại A
Dễ thấy ∆SBD có
BD
KH
SD
SK

mà SK =
2 2 2 2
2

2
3
3
2
a
SA AK a a
   
SD = a
3
⇒
SO
SF
a
a
BD
KH

3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =

3
1
SO ⇒
2
1

SF
OF
∆SAC có : OA = OC
⇒
2
1

SF
OF
SN
OE
⇒OE =
2
1
SN =
2
1
a
S
∆AHK =
2
1
KH.
4

2
2
HK
AK  =
9
22
2
a
⇒ V =

AHK
.
3
1
SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2 ) , O(
2
a
,
2
a
, 0)
∆SKA


∆ SAD ⇒
SD
SA
SA
SK

⇒ SK=
3
2a
⇒K(0,
2
3
a
,
2
3
a
)
∆ABS có SHSBAS .
2
 ⇒ SH=
3
2a
⇒H(
2
3
a
,0,
2
3

a
)
Ta có
)
3
2
,0,
3
2
(
a
aAH


)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK


,0)
2
,
2
(

aa
AO

[ AKAH, ] =(
9
4
,
9
22
,
9
22
222
aaa 
)
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
⇒ VOAHK=
6
1

|[ AKAH, ]. AO |=
3
27
2
a
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 ,
SA = a, SA

(ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính
thể tích hình chóp ANIB.
GIẢI
SA

(ABCD)
G
ọi {O} = AC ∩ BD
Trong ∆SAC có ON // SA
⇒ON

(ABCD) ⇒ NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1
a
SA

Tính S∆AIB = ?
ABD só I là tr

ọng tâm
⇒S∆ABI =
3
2
S∆ABO =
4
1
3
2
.
S⋄ABCD =
3
2
a.a 2 =
6
22
a
⇒ SANIB =
3
1
NO.S∆AIB =
36
2
6
2
23
1
32

aa

a

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
GIẢI
A
C
N
a
D
P
B
M
F
E
S
y
x
z
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE

AD
(SAD)

(ABCD)
⇒SE


(ABCD)
- G
ọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung
điểm EB
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Ta có MF =
2
1
SE =
4
3
2
3
2
1
.
aa

S∆CNP =
2
8
1
8
1
4
1
aSS
ABCDCBD



VCMNP =
2
1
S∆NCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3
1
3
.
aa
a 
Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều
cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB =
2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB
GIẢI
B
A
A'
O'
O
H
D

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên
A’D.
Ta có BH

A’D
BH

A’A

⇒ BH

(AOO’A’)

⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’
SAOO’ =
2
2
a
, A’B =
3'
22
aAAAB 
∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a
∆O’BD đều ⇒ BH=
2
3a
⇒VBAOO’

=
.

3
1
BH
SAOO’ =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA

(ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3
a
.
(BCM)
∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
GIẢI
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S
A
D
C
B
N
M
H

Ta có SAB=60
0
∆SAB vuông tại A có AM =
3
3a
, AB = a ⇒ ABM = 30
0
Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 30
0
= a
BC//(SAD)
⇒MN//BC ⇒
AD
MN
SA
SM

⇒MN =
3
4. a
SA
SMAD

⇒SBCMN =
33
10
).(
2
1

2
a
BMBCMN

⇒VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;
AB = BC = a; AD = 20; SA
b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD.
Ch
ứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
GIẢI
A
D
S
H
M
N
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Ta có BC//AD ,BC=

AD
2
1
,MN//AD , MN=
AD
2
1
⇒BC = MN , BC// MN (1)
BC
⊥AB
BC
⊥SA
⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)
T
ừ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥ (BCNM)
⇒VSBCNM=
3
1
SBCNM.SH=
3
1
BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1

C
1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a 2 . M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Hướng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phương pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
GIẢI
a.
H
C
B
C
D
Cách 1:

Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB
S∆ABC =
xxxABCC
x
.4.4'.
2
4
1
42
1
2
1
2

HC = R∆ABC =
2
4
2
2
22
4
1
1.4
cossin4
sin2
x
xx
C

x
xx
CC





⇒Tam giác vuông HCD có HD
2
= CD
2
- DC
2
=
2
2
2
4
3
4
1
1
x
x
x 



⇒ HD =

2
2
4
3
x
x


⇒VABCD =
2
2
2 2
3
1 1 1
3 3 4 12
4
. . 4 . . 3
x
x
ABC
x
S HD x x x



   
Cách 2:
B
A
D

M
C'
Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD

ABM
Vì
∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM =
2
3
VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1
CM.S∆ABC =
ABM
S

.
2
1
3
2
S∆ABM =
2
1
MC’.AB =
2
4
2
2
2

2
3
2
1
3)()(. xx
xx

VABCD =
xxx
x
.33
2
12
1
2
43
1

b)
S
ACD=
4
3
⇒ d(B,(ACD))=
ACD
ABCD
S
V
3
= xx .3

3
1
2

c)
V
ABCD =
2 2
2
3
1 1 1
12 12 2 8
3 . .
x x
x x
 
  
Dấu “=” xảy ra ⇔ x
2
= 3-x
3
⇔ x =
2
3
và thể tích lớn nhất là
8
1
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ
SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là

l
ớn nhất.
GIẢI
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
C
A
S
M
D
B
H
Ta có BM

SH (gt)
BM

SA (Vì SA

( ABCD)
⇒BM

AH
S
ABM =
2
1
SABCD =
2
1
a

2
Mà SABM =
2
1
AH.BM ⇒ AH=
22
22
xa
a
BM
a


∆SAH vuông ở A có SH=
22
2
222
xa
a
hAHSA


∆BAH vuông ở H có BH=
22
22
4
222
xa
ax
xa

a
aAHAB




SABH =
2
1
AH.BH =
2
1
22
3
xa
xa

VSABH =
22
3
.
6
1
.
3
1
xa
xha
SAS
ABH



ha
ax
xha
2
3
12
1
2
6
1

Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D.
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy
ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng

Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện
SAKI.
Đáp số
a)V
max
=
12
3
a
b)V
SAKI

=
)sin1(24
2sin
2
3



a
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
CÓ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNH
CÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM
Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC =
BD = b, AD = BC = c
Tính th
ể tích ABCD
GIẢI
H
C
P
Q
R
B
+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR.
+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB =
4
1
S∆PQR
⇒ S∆BCD =
4

1
S∆PQR
AD = BC = PR
D là trung điểm PR
⇒AR

AP
Tương tự AP b AQ, AQ b AR
V
APQR =
4
1
S∆PQRAR
Bài 26: VABCD =
6
1
AD.BC.MN.Sin ỏ. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của
đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD v
à CB, ỏ =(AD, BC)
Hướng dẫn: D
ùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này.
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều
bằng ỏ. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC
GIẢI
Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
C
A
B
S
E

F
a
-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C
-G
ọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE
AB
b CE
⇒AB b (SCE)
⇒VSABC = VASEC + VBSEC =
3
1
S∆SEC.(AE+BE) =
3
1
S∆SEC.AB
Tính S
∆SEC = ?
∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC
∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))
FS = FC
⇒FBC =
3

Tam giác vuông EBC có CE =


tan
2
Tam giác vuông FBC có BC =

22
EBCE 
2
cos cos 2cos
( )
a
a
EB
  
  
Sin
2

=
BC
FC
⇒ FC = BC sin
2

=
2cos2
sin.


a
Tam giác vuông EFC có
EF
2
= EC
2

- FC
2
=
2
22
cos
1
4
cos4
sin
2
4
sin(sintan
2
2
2
2
22
2





a
a
a
S∆SEC =
2
1

EF.SC = EF.FC =
2cos22
22
cos2
sin sinsin





aa

=
2
22
2
cos2
sinsin.sin.
2
2




a
VSABC =
2
22
2
cos12

3
sinsin.sin.
2




a