Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 8 doc

Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 69

Gii:
Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)
A
/
(0; 0; a), B
/
(a; 0; a), C
/
(a; a; a), D
/
(0; a; a)
000
222
aaa
MN;;,;;
ổửổử
ị
ỗữỗữ
ốứốứ

1. Tớnh R:
Phng trỡnh mt cu (S):
222
2220
xyzxyzd
abg
++ +=

CDMNS
/
,,,()
ẻ , suy ra:

2
2
2
2
22201
22202
03
4
04
2
aaad
aaad
a
ad
a
aad
()
()
()
()
ab
bg
a
bg

ỡ
+=
ù
+=
ù
ù
ớ
-+=
ù
ù
+=
ù
ợ

(1) (2) suy ra: a = g
(2) (4) suy ra: d = a
2


5
3
4
4
4
a
a
()
()
ag
b

ị==
ị=

ị Phng trỡnh mt cu (S):
2222
55
0
222
aaa
xyzxyza
++ +=


22
22
22
5535
44416
aaaa
Ra
ổử
ổửổử
=++-=
ỗữ
ỗữỗữ
ốứốứốứ

Vy
35
4

a
R
.
=
2. Tớnh r:
Phng trỡnh mt cu (SÂ):
2222
2220
xyzxyzd
////
abg
++ +=


ABCDS
////
,,,(),
ẻ suy ra:

2
2
2
2
20
20
32220
20
aad
aad
aaaad

aad
//
//
////
//
g
a
abg
b
ỡ
-+=
ù
ù
-+=
ớ
+=
ù
ù
-+=
ợ


0
2
a
d
////
,
abg
ị====

222
0
Sxyzaxayaz
/
():
ị++ =
v bỏn kớnh
3
2
a
R
/
=
D thy C(a; a; 0)
SCC
/
()()
ẻịẻ
Gi
IIJ
/
,,
l tõm ca (S), (S
/
) v (C)
A
/

D
/

C
/

B
/

A

D

C

B

y

x

z

N

a

K

L

M

I
/

R
/

C

(C)

(S)

I

R

J

r

PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 70


55
444222
aaaaaa

II
/
;;,;;
ổửổử
ị
ỗữỗữ
ốứốứ

Ta cú:
JCII
/
^

IICI
rdCII
II
/
/
/
[,]
(,)ị==
uur
uur


3335
444444
aaaaaa
IICI
/

;;;;
ổửổử

=-=
ỗữỗữ
ốứốứ
uur
uur

2
132
4
a
IICI
/
[,](;;)
ị=-
uur
uur


14
19
raị=
3. Tớnh S:

2
213
4
CMN

a
nCMCN
()
[,](;;)
==
uuuruuur
r

ị Phng trỡnh mt phng (CMN):
230
xyza
-+-=

Phng trỡnh ng thng AAÂ:
0
0
x
ytR
zt
()
ỡ
=
ù
=ẻ
ớ
ù
=
ợ

Phng trỡnh ng thng DDÂ:

0x
yatR
zt
()
ỡ
=
ù
=ẻ
ớ
ù
=
ợ

Gi
KCMNAALCMNDD
//
(),()=ầ=ầ

( )
2
000
33
1
2
12
00
22333
CMKL
aa
KLa

SSCMCKCKCL
aaaa
aaaaaa
;;,;;
[,][,]
;;,;;;;,;;
ổửổử
ị
ỗữỗữ
ốứốứ
ị==+
ổử
ộựộự
ổửổửổửổử
= +
ỗữ
ỗữ
ỗữỗữỗữ
ờỳờỳ
ỗữ
ốứ
ốứốứốứ
ởỷởỷ
ốứ
uuuruuuruuuruuur


2
14
4

a
S
.
ị=














Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 71

BI TP
Baứi 1. Cho t din OABC cú ỏy OBC l tam giỏc vuụng ti O, OB=a, OC=
3
a
, (a>0) v ng
cao OA=
3
a
. Gi M l trung im ca cnh BC. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB

v OM.
HD: Chn h trc ta sao cho:
00000300030
OAaBaCa
(;;),(;;),(;;),(;;)
.

ị
15
5
a
dABOM(;)=
Baứi 2. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc. im M c
nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) l
1, 2, 3. Tớnh a, b, c th tớch O.ABC nh nht.
HD: Chn h trc ta sao cho:
000000000
OAaBbCc
(;;),(;;),(;;),(;;)
.

ị

1231
27
3
V
abc
min
====

Baứi 3. T din S.ABC cú cnh SA vuụng gúc vi ỏy v
ABC
D
vuụng ti C. di ca cỏc cnh
l SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gi M l trung im ca cnh AB, H l im i xng ca C qua M.
Tớnh cosin gúc hp bi hai mt phng (SHB) v (SBC).
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) v H(1;0;0).
Baứi 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AB = AC = a (a > 0), hỡnh
chiu ca S trờn ỏy trựng vi trng tõm G ca DABC. t SG = x (x > 0). Xỏc nh giỏ tr ca x
gúc gia hai mt phng (SAB) v (SAC) bng 60
o
.
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0),
0
3322
aaaa
GSx
;;,;;
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
ị
3
a
x
.
=

Baứi 5. Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB, SC.
Tớnh theo a din tớch DAMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC).
HD: Chn h trc to sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h),
3
3
a
A; 0; 0
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
(SO = h).

ị

22
2
5110
0
12216
AMNSBC
AMN
aa
AMNSBCnnhSAM AN
()()
()().,
D
ộự
^ị=ị=ị==
ởỷ

rruuuruuur

Baứi 6. Cho lng tr ABC.A'B'C' cỏc cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng cnh a. Gi D, F ln lt l
trung im ca cỏc cnh BC, C'B'. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'B v B'C'.
HD: Chn h trc to sao cho:

3333
0000000
22222222
aaaaaaaa
ABCAaBaCa
(;;),;;,;;,'(;;),';;,';;
ổửổửổửổử

ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ


ị

( )
21
7
a
dABBC
';''.
=
Baứi 7. T din ABCD cú AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tớnh
khong cỏch t A ti mt phng (BCD).
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0).

Baứi 8. Cho hỡnh chúp SABC cú di cỏc cnh u bng 1, O l trng tõm ca tam giỏc DABC. I l
trung im ca SO.
a. Mt phng (BIC) ct SA ti M. Tỡm t s th tớch ca t din SBCM v t din SABC.
b. H l chõn ng vuụng gúc h t I xung cnh SB. Chng minh rng IH qua trng tõm G
ca DSAC.
PP To trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 72

HD: Chn h trc to sao cho: O(0; 0; 0),
3
00
3
A
;;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
;
31
0
62
B
;;
ổử

ỗữ
ỗữ
ốứ
;

31
0
62
C
;;
ổử
-
ỗữ
ỗữ
ốứ
;
6
00
3
S ;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
;
6
00
6
I ;;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
.

1
4
SBCM
SABC
V
V
()
()
ị=


Baứi 9. Cho hỡnh lng tr ABCD. A
1
B
1
C
1
cú ỏy l tam giỏc u cnh a. AA
1
= 2a v vuụng gúc
vi mt phng (ABC). Gi D l trung im ca BB
1
; M di ng trờn cnh AA
1
. Tỡm giỏ tr ln
nht, giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc MC
1
D.
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A
1

(0;0;2a),
1
3
2
22
aa
Ca
;;
ổử
ỗữ
ỗữ
ốứ
, D(0;a;a)

ị
Giỏ tr ln nht
1
2
15
4
DCM
a
S = khi M

A
Baứi 10. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a,
SAABC
()
^
v SA = a.

AHSB
^
ti H,
AKSC
^
ti K.
a. Chng minh
HKSC
.
^

b. Gi
IHKBC
.
=ầ
Chng minh B l trung im CI.
c. Tớnh sin gúc j gia SB v (AHK).
d. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip SABC.
S: a/
0
HKSC
.;
=
uuuruur
c/
2
6
;
d/
3

2
a
SJJCR,==
Baứi 11. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a,
SAABC
()
^
v
2
SAa
=
.
Gi D l trung im ca AC.
a. Chng minh khong cỏch t A n (SBC) gp ụi khong cỏch t D n (SBC).
b. Mt phng (a) qua A v vuụng gúc SC, (a) ct SC v SB ti M v N. Tớnh th tớch hỡnh
chúp SAMN.
c. Tớnh cosin ca gúc to bi hai mt phng (SAC) v (SBC).
S: a/
66
36
AB
aa
dd;== b/
3
2
18
a
d/
3
3

Baứi 12. Cho DABC u cnh a. Trờn ng thng
dABC
()
^
ti A ly im S, SA = h.
a. Tớnh d(A, (SBC)) theo a v h.
b. ng thng
SBC
()
D
^
ti trc tõm H ca DSBC, chng t D luụn qua im c nh khi
S di ng trờn d.
c. D ct d ti S
/
. Tớnh h theo a SS
/
nh nht.
S: a/
22
3
34
ah
ah
;
+
b/ Trng tõm
D
ABC d/

2
2
2
a
ah
;.
=
Baứi 13. Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh a,
SAABCD
()
^
v
2
SAa
=
. Mt
phng (P) qua A v
SC
()
a
^
; (P) ct cỏc cnh SB, SC, SD ln lt ti H, M, K.
a. Chng minh
AHSBAKSD
,.
^^

b. Chng minh BD // (a) v BD // HK.
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 73

c. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC.
d. Tính V
S.AHMK
.
ĐS: a/
0
AHSBAKSD
==
uuuruuruuuruuur
b/
3
0
2
BDnBDHK
.;
a
==
uuurruuuruuur
;
c/
HGGK
//;
d/
3
2
18
a
.

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD,
SAABCD
()
^
và ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD
= b, SA = 2a. N là trung điểm SD.
a. Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN).
b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
c. Gọi M là trung điểm SA. Tìm điều kiện a và b để
·
1
3
CMNcos =
.
Trong trường hợp đó tính V
S.BCNM
.
ĐS: a/
22
22
2
45
aab
ab
;;
+
b/
22
205
b

ab
;
+
c/
3
4
a
abV
;.
==
Baøi 15. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD. Trên tia
Az
()
a
^
lấy điểm S. Đường thẳng
1
SBC
()()
D
^ tại S cắt (P) tại M,
2
SCD
()()
D
^ tại S cắt (P) tại N. Gọi I là trung điểm MN.
a. Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng.
b. Khi S di động trên Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định.
c. Vẽ
AHSI

^
tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực tâm SMN.
d. Cho OS = 2, AB = 1. Tính V
ASMN
.
ĐS: a/
22
MAhABNAhAD
,;
==
uuuruuuruuuruuur
b/
22
0
22
hh
IAC
;;;
æö
Î
ç÷
èø

c/
AHSMNMNSHSMAH
();;;
^^^
d/
16
3

.

Baøi 16. Cho hình chóp S.ABCD có
SAABCD
()
^
, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Trên các
cạnh BC, CD lấy lần lượt các điểm M, N. Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a).
a. Tìm hệ thức giữa x và y để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) bằng 45
o
.
b. Tìm hệ thức giữa x và y để
SAMSMN
()()
^

ĐS: a/
4322
4420
aaxyaxyxyxy()()
-+++-=
b/
2
0
xaxay
-+=

Baøi 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng
2
a

, đường cao SO, cạnh bên bằng
5
a
.
a. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu (S) nội tiếp hình chóp.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD tại Q và R.
Tính diện tích thiết diện.
c. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp ra hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS: a/
3
4
32
aa
VOIR;
===
b/
2
2
a
c/
3
2
3
a
.

Baøi 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SO. Mặt bên tạo
với đáy góc
0
60

. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy góc
0
30
cắt các cạnh SC, SD lần
lượt tại M, N.
a. Tính góc giữa AN với (ABCD) và BD.
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 74

b. Tính khoảng cách giữa AN và BD.
c. Tính thể tích hình khối ABCDMN.
ĐS: a/
3
13
sin
j
= b/
3
22
a c/
3
53
48
a
.

Baøi 19. Cho hình vuông ABCD cạnh
2
a
tâm O. Trên tia

OzABCD
()
^
lấy điểm S, mặt phẳng
(SAD) tạo với đáy góc a.
a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
b. Mặt phẳng (b) qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích hai phần đó.
ĐS: a/
2a
.sin
a
b/
2
cos.
a

Baøi 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= 2, AD = 4, AA¢ = 6. Gọi I, J là trung
điểm AB, CD¢. Gọi M, N thỏa
AMmADBNmBB
/
,==
uuuur
uuuruuuruuur

01
m
()
££

a. Tính khoảng cách từ A đến (BDA¢).
b. Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng.
c. Xác định tâm K và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA¢.
d. Tính bán kính r của đường tròn giao của (S) và (BDA¢).
ĐS: a/
12
7
b/
0
INIJIM[,].
=
uuruuruuur
c/
12314
KR
(;;),;
= d/
526
7
.

Baøi 21. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có các cạnh bằng 2. Gọi M, N là trung điểm AB và
DD¢.
a. Chứng minh MN // (BDC¢). Tính MN và d(MN, (BDC¢)).
b. Gọi P là trung điểm C¢D¢ . Tính V
C.MNP
và góc giữa MN và BD.
c. Tính bán kính R của đường tròn (A
/
BD).

ĐS: a/
3
06
3
MNnMNd
.;;;
===
uuuurr
b/
130
o
V
;;
j
== c/
26
3
.

Baøi 22. Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông tại O, OA= a, OB = b, OO/ = h. Mặt phẳng
(P) qua O vuông góc AB¢.
a. Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA
/
tại I, J (I, J không trùng A, B, A
/
).
b. Với điều kiện trên hãy tính: S
DOIJ
và tỉ số thể tích 2 phần do thiết diện chia lăng trụ.
ĐS: a/

ah
<
b/
32224
1
2222224
2
233
V
ababha
S
V
habahbha
;
()
++
==
++-

Baøi 23. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại A,
SCABC
()
^
và SC = AB = AC =
2
a
. Các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a. Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn nhất.
b. Khi MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
ĐS: a/

22
62
342
33
aa
MNtatat;min,=-+== b/
MNAMMNCN
,.
^^

Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB= 3, BC = 4. Cạnh bên
SAABC
()
^
và SA = 4.
a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
b. Trên AB lấy 1 điểm E với AE = x. Mặt phẳng (P) qua E song song với SA và BC cắt hình
chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ trong không gian
Trang 75

ĐS: a/
41
2
SIICR;== b/
3
4
2
Sx
max,.

==

Baøi 25. Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc
nhau. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB, F là trung điểm của SB.
a. Chứng minh rằng mặt phẳng
CMFSIB
()()
^
.
b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD giữa CM và SA.
ĐS: b/
33
24
aa
;.

Baøi 26. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
·
60
o
BAD =
. Gọi M là trung điểm cạnh AA¢ và N là trung điểm cạnh CC¢.
a. Chứng minh rằng 4 điểm B¢, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.
b. Tính cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN là hình vuông.
ĐS: b/
2
a
.

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 76


ĐỀ THI TỐT NGHIỆP


Baøi 1. (TN 2006–pb) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng
a
3
.
1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
ĐS: 1) Va
3
1
2
3
= 2) IB = IC = ID = IS.
Baøi 2. (TN 2007–pb) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh

B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC.
ĐS: V =
a
3
6
.
Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD.
ĐS: V =
a
3
2
3
.
Baøi 4. (TN 2008–pb) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh SA vuông góc với BC.
2. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
ĐS: 1) BC
^
AI, BC
^
SI
Þ
BC
^
SA 2) V =
a

3
11
24
.
Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,
đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, BC =
a
3
và SA = 3a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
ĐS: 1) V =
a
3
3
2
2) BI =
a
13
2
.
Baøi 6. (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
·
BAC
0
120
=
, tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a.

ĐS: V =
a
3
2
36
.
Baøi 7. (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng
0
60
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
ĐS: V =
a
3
6
6
.
Baøi 8. (TN 2011)
ĐS:

I. KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học
Trang 77
ĐỀ THI ĐẠI HỌC

Baøi 1. (ĐH 2002A) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a.
Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác
AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
ĐS:

2
10
16
a
S =
Baøi 2. (ĐH 2002B) Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
1. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và B
1
D.
2. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai
đường thẳng MP và C
1
N.
ĐS: 1)

6
6
a
2)
1
MPCN
.
^
Baøi 3. (ĐH 2002D) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(BCD).
ĐS:
634
17
.
Baøi 4. (ĐH 2002A–db1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = 1, AC = b, AD = c và
·
·
·
BACCADAB
0
D60
===
.
ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002A–db2) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (SBC) bằng
0
60

. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002B–db1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng
cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2002B–db2) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau. Gọi a, b, g lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC),
(OCA), (OAB). Chứng minh rằng:
coscoscos3
abg
++£.
ĐS:
Baøi 8. (ĐH 2002D–db1) Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh
a
62
=
. Hãy xác định độ dài
đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
ĐS:
Baøi 9. (ĐH 2002D–db2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
(SBC) theo a, biết rằng SA =
a
6
2
.
ĐS:
Baøi 10. (ĐH 2003A) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tính số đo của góc phẳng nhị
diện [B, A¢C, D].

ĐS:
120
o

Baøi 11. (ĐH 2003B) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đáy ABCD là một hình thoi
cạnh a, góc
·
60
o
BAD =
. Gọi M là trung điểm cạnh AA
/
và Nlà trung điểm cạnh CC
/
.
Chứng minh rằng bốn điểm B
/
, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh
AA
/
theo a để tứ giác B
/

MDN là hình vuông.
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng
Trang 78
ĐS:
2
a
.

Baøi 12. (ĐH 2003D) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là
đường thẳng D. Trên D lấy hai điểm A, B với AB= a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C,
trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với D và AC = BD =
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD) theo a.
ĐS:
32
22
aa
RAH
;.
==
Baøi 13. (ĐH 2003A–db1) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD)
và (ABC) vuông góc với nhau và góc
·
BC
0
D90
=
. Xác định tâm và tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
ĐS:

Baøi 14. (ĐH 2003A–db2) Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác cân với AB = AC
= a và góc
·
BAC
0
120
=
, cạnh bên BB¢ = a. Gọi I là trung điểm của CC¢. Chứng minh tam
giác AB¢I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB¢I).
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003B–db1) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢. Tìm điểm M thuộc cạnh
AA¢ sao cho mặt phẳng (BD¢M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ
nhất.
ĐS:
Baøi 16. (ĐH 2003B–db2) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy
một góc bằng j
00
(090)
j
<< . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh
A đến mặt phẳng (SBC).
ĐS:
Baøi 17. (ĐH 2003D–db1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng
minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
ĐS:
2
2
2
AMB

Sa
D
= .
Baøi 18. (ĐH 2003D–db2) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam
giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo
a, b, c và chứng minh rằng
abcabc
2S()
³++
.
ĐS:
Baøi 19. (ĐH 2004B) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt đáy bằng j (
00
090
()
j
<< . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(ABCD) theo j. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và j.
ĐS:
3
2
2
6
a
V
.tan;.tan
jj
=
Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA ^ (ABC). Tam giác ABC

có AB = BC = 2a, góc
·
ABC
0
120
=
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004D–db2) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên các nửa đường thẳng
Ax, By vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng
(ABCD), lần lượt lấy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M. Đặt AM = m,
BN = n. Chứng minh rằng
mnma
2
()
-=
và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang
ABNM.
ĐS: